专题12 等腰三角形（压轴题专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题12 等腰三角形 目录 2 类型一、利用等腰三角形的性质求解 2 类型二、利用等腰三角形的性质进行证明 9 类型三、“两圆一线”的应用 20 类型四、等腰三角形的判定 23 类型五、等腰三角形性质与判定综合 31 类型六、利用等边三角形的性质求解 40 类型七、等边三角形的判定 46 类型八、等边三角形性质与判定综合 54 类型九、与等腰三角形有关的多结论问题 61 类型十、手拉手模型 70 类型十一、等腰三角形与一次函数综合 80 91 类型一、利用等腰三角形的性质求解 对于等腰三角形中求角度问题，若题目没有一个已知角度而结果需要求具体的角度，则常设较小角为x，通过三角形内角和或等腰三角形的性质列方程求解. 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，点E在边上，的中垂线交于点D，若，，则等于（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，是等边的中线，是直线上一点，连接，以为边，向下方作等边，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·浙江台州·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 类型二、利用等腰三角形的性质进行证明 7．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点，，分别在，，边上，且，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 8．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，在中，，点D是边上一点，点E是上一点，且． (1)若，则的度数为______； (2)若，，猜想和的关系并给出证明． 9．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接.       (1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，延长交于点G，探究与的关系，并说明理由. 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 11．（23-24八年级上·云南昭通·期中）在等腰中，，，，分别为的中线． (1)如图1，求证：； (2)求证：与的面积相等； (3)如图2，点在的延长线上，连接，，若，求证：． 12．（22-23八年级上·安徽池州·期末）如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明； (3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由． 类型三、“两圆一线”的应用 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在如图的网格中，在网格上找到格点C，使为等腰三角形，这样的点有（    ）个 A．5 B．7 C．8 D．10 14．（安徽省淮南市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 15．（安徽省六安市舒城县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷）在平面直角坐标系中，已知点、，为等腰三角形，且其面积等于面积的一半，则符合条件的点P共有（    ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 类型四、等腰三角形的判定 判定三角形是等腰三角形的两种常用方法:1）找三角形中两条相等的边.2）找三角形中两个相等的角. 16．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D为上一点，且满足．点F在延长线上，连接并延长，交于点E，连接． (1)求和的度数； (2)若点E是的中点，求证：是等腰三角形． 17．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点，若，求的度数． 18．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】 如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】 （1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】 当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】 （2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 19．（24-25八年级上·新疆·期末）（1）【课本再现】课本习题13.3中有这样一道题，如图1，，平分，求证． （2）【类比分析】小文同学发现，当角平分线与平行线结合，可以得到等腰三角形，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系． 请用小文的发现解决问题： 如图2，在中，，点D在上，、分别平分，，线段与、有什么数量关系？请说明理由； （3）【学以致用】如图3，D在外，，且平分，平分，过点D作分别交、于E、F两点，直接写出线段与、数量关系为． 20．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，平分，交于点． (1)求证：． (2)如图，若的角平分线交于点，求证：． (3)如图，若的外角平分线交的延长线于点，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 类型五、等腰三角形性质与判定综合 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，在中，点D是上一点，过点D的直线交于点E，交延长线于点F，点G是上一点，连接并延长交延长线于点H，，． (1)若，求的度数： (2)若，，求证：． 22．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形． (1)如图，若点在边上，交于点． 求证：； 当平分时，求证：． (2)如图，平分交于点，平分交于点，若，则线段的最小值为 ． 23．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______； (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长． 24．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，，D，E分别为边，上的点，且．连接，，点P为的中点，连接． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，若，请你探究线段与线段之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明． 类型六、利用等边三角形的性质求解 与等边三角形有关的角度计算常常要用到等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60，这一点是解题的关键. 25．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 26．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，点E在等边的边上，，点P是射线上一动点，点F是边上一动点，，垂足为点C，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 27．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，将边长为9的等边折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上的动点．若，则周长的最小值为（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 28．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，D、E分别是的边、上的点，且，与相交于点P，于点F，，，则的长为（    ） A．8 B．13 C．16 D．17 29．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知，如图，等边三角形中，，点P为边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． (1)写出y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量范围)； (2)当的长等于多少时，点P与点Q重合． 30．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，等边三角形中，点D，E分别在，边上，且，，相交于点F． (1)请在图中找出与相等的线段，并证明． (2)求出的度数． 类型七、等边三角形的判定 31．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 32．（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 33．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，和都是的外角，    (1)如图1，若，证明：是等边三角形； (2)如图2，求的度数． 34．（22-23八年级上·北京·期末）如图，在中，D为边上一点，于F，延长交于E．若．    (1)求证：为等边三角形； (2)若D是的中点，求的值．   35．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点为内一点，，为延长线上的一点，且． (1)求证：平分； (2)请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 36．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 类型八、等边三角形性质与判定综合 题目图形中有两个以上的以图形中的线段为边向图形同侧或异侧作的特殊图形(特殊图形包括等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析条件时，经常先寻找图形中有无全等三角形（手拉手模型），若有，这对全等三角形的性质常常是解题的关键所在. 37．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． (1)如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 38．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）点分别在等边的两边、所在的直线上，点为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、上移动时，的周长与等边的周长的关系． (1)如图，当点在边、上，且时，_________； (2)如图，当点在边、上，且时，（）中的结论仍然成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究与的关系； (3)如图，当分别在边、的延长线上，且时，请探究此时与的关系，并说明理由． 39．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）【模型初现】 （1）如图1，在中，，，，平分交于点D，于点E，则________ 【模型归纳】（2）如图2，是的角平分线，，，点E在上，．探索线段，和之间的数量关系，并加以证明； 【模型应用】（3）如图3，点E是等边外一点，连接，，，恰好满足．已知平分交于点D，若，求的长． 类型九、与等腰三角形有关的多结论问题 40．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图，已知中高恰好平分边，，点是延长线上一动点，点是线段上一动点，且，下面的结论：①；②的周长为；③；④．其中正确个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 41．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在等边三角形中，点是边上（不含端点）的动点，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点，连接、以下说法：①；②；③；④当点D在上自左向右运动时，四边形的面积先减小后增大，正确的是（    ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 42．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是 （      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．（20-21八年级上·河南漯河·期末）如图所示，在等边中，，将线段沿翻折得到线段，连接交于点N，连接，，，以下说法：①；②是等边三角形；③；④；⑤中，正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 类型十、手拉手模型 44．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的是（     ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤ 45．（25-26八年级上·全国·期中）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 46．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． (1)求度数； (2)连接，求证：平分； (3)若，，，求的值． 47．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，并当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等的三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，在和中，，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手”图形中，可得的度数为．请证明这个结论； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，求的度数； (3)【解决问题】如图3，，试探究与的数量关系． 48．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：__________________； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 类型十一、等腰三角形与一次函数综合 49．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，如图，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点点，直线和相交于点． (1)求的值以及点的坐标； (2)关于的不等式组的解集为______； (3)判断的形状，并说明理由． 50．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，顶点在轴上． (1)如图，若于垂直轴，垂足为点．点坐标，点的坐标，求点坐标； (2)如图，直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，猜想：与数量关系，并证明你的猜想； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于，在滑动的过程中，两个结论： 为定值； 为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论并直接写出这个定值．（不需要证明） 51．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点，在坐标轴上，点，轴，垂足为点． (1)求证：，并写出点的坐标； (2)与轴交于点，求证：； (3)与轴交于点，连接，试说明． 52．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图2，，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 53．（23-24八年级上·安徽铜陵·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，为等边三角形，点为轴上任意一点，以为边在下方作等边，连接，． (1)如图①，当点在轴正半轴上时，求证：； (2)如图②，当点在轴负半轴上时，请在图2中补全图形，并直接写出与之间的数量关系：__________； (3)根据上述探究，请判断的长是否存在最小值？若存在，求长的最小值，并求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 54．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的每一个顶点叫做格点．的顶点都在格点上．请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)请在图画出的中线和高． (2)要求在图中在轴上找点，使平分． 55．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，且满足． (1)求点的坐标． (2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且． ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示）． ②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系． 56．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）在和中，，，，连接，． (1)求证：； (2)若和 均为等边三角形，作直线，点 C 在直线l上且点 D 在 右侧，的延长线交l于E，连接，． ①求证：点D 在线段的垂直平分线上； ②若 斜边上的高为2，点C在直线l上运动，则 的最小值 = ． 57．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图1，点、分别在射线，上，且为钝角，现以线段、为底边向的外侧作等腰三角形，分别是，．    (1)如图2，连接、，交于点，连接，若． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图3，若点，分别是，的中点，连接、并延长交于点，连接、、，当 °时，为等边三角形． 58．（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． 小星的思路是： (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）；理由如下：（请你将理由补充完整） 证明：过点E作，交于点F． (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 59．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，平分与y轴交于D点，．      (1)求证：； (2)如图2，点C的坐标为，点E为AC上一点，且，求的长； (3)在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点．（如图（3），当H在上移动，点G点在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 60．（23-24八年级上·吉林·期中）在中，，，点D为边的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当，点P在线段上．若和全等，求t的值； (3)当，为等腰三角形时，请直接写出的度数． 61．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点．若直线 与x轴、y轴分别交于点B、D，且与直线交于点C，点C的横坐标为2． (1)求直线的表达式； (2)直线 上是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 62．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系内，点为坐标原点，轴上点，轴上点．，且． (1)直接写出点、点的坐标； (2)若，且，求出的面积； (3)在（2）条件下，且当点在第二象限时，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形．若存在，请写出点有几个，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12 等腰三角形 目录 2 类型一、利用等腰三角形的性质求解 2 类型二、利用等腰三角形的性质进行证明 9 类型三、“两圆一线”的应用 20 类型四、等腰三角形的判定 23 类型五、等腰三角形性质与判定综合 31 类型六、利用等边三角形的性质求解 40 类型七、等边三角形的判定 46 类型八、等边三角形性质与判定综合 54 类型九、与等腰三角形有关的多结论问题 61 类型十、手拉手模型 70 类型十一、等腰三角形与一次函数综合 80 91 类型一、利用等腰三角形的性质求解 对于等腰三角形中求角度问题，若题目没有一个已知角度而结果需要求具体的角度，则常设较小角为x，通过三角形内角和或等腰三角形的性质列方程求解. 1．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，点E在边上，的中垂线交于点D，若，，则等于（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】本题主要考查的是等边对等角以及全等三角形的判定等知识内容，正确掌握全等三角形的判定是解题的关键．先根据得，又因为得，然后证明，从而知道，即可知道的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵的中垂线交于点D， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，是等边的中线，是直线上一点，连接，以为边，向下方作等边，连接．若，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，由等边三角形的性质可得，，，进而可得，利用可证得，于是可得，，由三线合一可得，，于是推出点在以点为旋转点逆时针旋转的射线上运动，由垂线段最短可知，当时，有最小值，根据含度角的直角三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵是等边三角形，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵是等边的中线， ∴，， ∴点在以点为旋转点逆时针旋转的射线上运动， ∴当时，有最小值， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三线合一，垂线段最短，含度角的直角三角形的性质等知识点，推出点在以点为旋转点逆时针旋转的射线上运动是解题的关键． 3．（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）如图所示，已知，点在边上，，点、在边上，，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．首先过点作，根据等腰三角形三线合一定理可知，根据直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半可得，根据可求结果． 【详解】解：如下图所示，过点作， ，， ， 在中，， ， ， ． 故选：B． 4．（23-24八年级上·湖北十堰·期末）如图，在中，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后判断出点在的垂直平分线上，根据三角形外心的性质可得，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理和翻折的性质列式计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、， 平分， ， 又， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， 平分，， 又∵， ， ， ∴点在的垂直平分线上， 又∵是的垂直平分线， ∴点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 根据翻折的性质可得， ， ， ， 故选：A． 5．（23-24八年级上·浙江台州·期末）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的．借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D，E可在槽中滑动，若，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的外角性质，根据，可得，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 6．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键： （1）根据等边对等角，先得出，再证明，进而可得出答案； （2）先证明，再证明，得出，进而可得出答案； （3）先证明，，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中，， ， （2）解：， ， 在和中，， ， ， ． （3）证明：， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 类型二、利用等腰三角形的性质进行证明 7．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点，，分别在，，边上，且，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形内角和定理： （1）先根据等边对等角得到，进而证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质得到，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，则由三角形内角和定理得到，进而得到，则由平角的定义可得． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ，，， ， ， ， ． 8．（22-23八年级上·安徽亳州·期末）已知：如图，在中，，点D是边上一点，点E是上一点，且． (1)若，则的度数为______； (2)若，，猜想和的关系并给出证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，灵活运用性质求解是解答本题的关键． （1）由等腰三角形的性质得，，然后利用三角形外角的性质即可求解； （2）利用（1）的结论求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴，． ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）由（1）得， ∵，， ∴． 9．（23-24八年级上·山东潍坊·期中）如图，C为线段上一点，分别以为底边，在的同侧作等腰和等腰，且，在线段上取一点F，使，连接.       (1)如图1，判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图2，若，延长交于点G，探究与的关系，并说明理由. 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据等边对等角和已知条件推出，则可证明，推出，利用证明即可得到结论； （2）由全等三角形的判定得到，由等边对等角得到，则，由三角形内角和定理得到，则，即可推出． 【详解】（1）解：，理由如下： 等腰和等腰中，和是底边， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质与判断，等边对等角，三角形内角和定理，证明是解题的关键． 10．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，平分，于，于，且，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的三线合一性质， （1）根据角平分线的定义得，证明，由全等三角形的性质即可得证； （2）根据等腰三角形的三线合一性质得，继而得到，利用证明全等即可； 解题的关键是掌握全等三角形的判定的一般方法：、、、、（仅用于证明直角三角形全等）． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 11．（23-24八年级上·云南昭通·期中）在等腰中，，，，分别为的中线． (1)如图1，求证：； (2)求证：与的面积相等； (3)如图2，点在的延长线上，连接，，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据三线合一可得是的高，根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据三角形中线的性质得出，进而即可求解； （2）过点作交的延长线于点．则为边上的高线．得出，进而即可得出结论； （3）根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据三线合一可得，，进而证明得出，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：如图， ，， ， 是边上的中线 是的高， ， ， 是边上的中线， ， ． （2）证明：如图，过点作交的延长线于点． 则为边上的高线． ， 为中点 与的面积相等． （3）证明：由（2）知． ，， 垂直平分 ， 又 ， 在和中， ， ∴ ∴，而 ∴ 12．（22-23八年级上·安徽池州·期末）如图1，在中，，，点P是斜边的中点，点D，E分别在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若点D，E分别在边的延长线上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？并加以证明； (3)在（1）或（2）的条件下，是否能成为等腰三角形？若能，请直接写出的度数（不用说理）；若不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 (3)能成为等腰三角形，此时的度数为或或或 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由，可得，可证得，即可求证； （2）连接，根据等腰直角三角形的性质可得，从而得到，再由∵，可得，可证得，即可； （3）根据等腰三角形的性质，分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）明∶ 连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：仍成立，理由如下： 连接， ∵， ∴， ∵P为斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：能成为等腰三角形， ①当，点E在的延长线上时，则， 又∵， ∴； ②当，点E在上时，则； ③当时，则， ∴； ④当，点E和C重合， ∴； 综上所述，能成为等腰三角形，的度数为或或或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 类型三、“两圆一线”的应用 13．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）在如图的网格中，在网格上找到格点C，使为等腰三角形，这样的点有（    ）个 A．5 B．7 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的判定以及勾股定理．首先由勾股定理可求得的长，然后分别从去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴①若，则符合要求的有：共2个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，则符合要求的有：共6个点． ∴这样的C点有10个． 故选：D． 14．（安徽省淮南市2024-2025学年八年级上学期1月期末数学试题）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点共有（    ） A．6个 B．7个 C．8个 D．9个 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形，等腰三角形的定义，分三种情况进行讨论即可． 【详解】解：当时，在轴上有1个满足题意，在轴上有2个满足题意； 当时，在轴上有2个满足题意，其中一个与时的重合，在轴上有1个满足题意； 当，在轴和轴各有1个满足题意，其中在轴上的与时的重合， 故满足条件的点共有个； 故选A． 15．（安徽省六安市舒城县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷）在平面直角坐标系中，已知点、，为等腰三角形，且其面积等于面积的一半，则符合条件的点P共有（    ） A．6个 B．8个 C．10个 D．12个 【答案】C 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，坐标与图形，先求解，可得，可得在直线与上，再进一步解答即可． 【详解】解：∵点、， ∴， ∴， ∴在直线与上， 如图，作的垂直平分线，与直线与的交点符合条件； 分别以为圆心，为半径画弧，与直线与的交点符合条件； ∴符合条件的一共有个； 故选：C 类型四、等腰三角形的判定 判定三角形是等腰三角形的两种常用方法:1）找三角形中两条相等的边.2）找三角形中两个相等的角. 16．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，点D为上一点，且满足．点F在延长线上，连接并延长，交于点E，连接． (1)求和的度数； (2)若点E是的中点，求证：是等腰三角形． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）设，由知，，由列方程求解可得； （2）依据E是的中点，即可得到，进而得出． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 则，． （2）解：∵E是的中点，， ∴，，即， ∴，即为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，解决问题的关键是综合运用等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，三角形外角的性质． 17．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知点，分别是的边和延长线上的点，作的平分线，若． (1)求证：是等腰三角形； (2)作的平分线交于点，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质等知识： （1）根据角平分线的定义得，由平行线的性质得，，可得，可得出是等腰三角形； （2）由（1）知，得出，由角平分线定义得出，最后根据平行线的性质可得结论． 【详解】（1）证明：∵平分 ∴． ∵ ∴，． ∴． ∴是等腰三角形． （2）解：∵，， ∴． ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 18．（24-25八年级上·河南省直辖县级单位·期末）【教材呈现】 如图1，平分，．易证是等腰三角形． 【变式探究】 （1）如图2，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】 当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】 （2）如图3，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】 （3）如图4，在四边形中，，E为的中点，且平分，连接，则线段和之间的数量关系为__________． 【答案】（1）重合部分是一个等腰三角形，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）由平行线的性质得，由折叠的性质得，从而，进而可证是等腰三角形； （2）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1）重合部分是一个等腰三角形，理由： ∵在长方形中，， ∴， 由折叠性质可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． 19．（24-25八年级上·新疆·期末）（1）【课本再现】课本习题13.3中有这样一道题，如图1，，平分，求证． （2）【类比分析】小文同学发现，当角平分线与平行线结合，可以得到等腰三角形，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系． 请用小文的发现解决问题： 如图2，在中，，点D在上，、分别平分，，线段与、有什么数量关系？请说明理由； （3）【学以致用】如图3，D在外，，且平分，平分，过点D作分别交、于E、F两点，直接写出线段与、数量关系为． 【答案】（1）见解析；（2）；见解析；（3） 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等腰三角形的判定，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行线性质和角平分线定义、等腰三角形的判定即可解决问题； （2）由角平分线的定义可得，由平行线的性质可得，从而得到，进而得到，即可得证； （3）由（2）知，由平行线的性质可得，推出，即可得证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： ∵平分平分， ， ， ， ， ， ， 即； （3）解：；理由如下： 由（1）知， ， ， ， ， ． 故答案为：． 20．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，，，平分，交于点． (1)求证：． (2)如图，若的角平分线交于点，求证：． (3)如图，若的外角平分线交的延长线于点，则（2）中的结论是否成立？若成立，给出证明，若不成立，写出正确的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)不成立，正确的结论是． 【分析】（1）根据三角形内角和可得，利用角平分线得出，由等角对等边即可证明； （2）过点E作交于点F，根据平行线的性质可得，由等量代换、外角的性质及等角对等边可得，，依据全等三角形的判定和性质可得，，，结合图形，由线段间的数量关系进行等量代换即可证明； （3）（2）中的结论不成立，正确的结论是．过点A作交于点F，由平行线的性质及等量代换可得，根据等角对等边得出，由角平分线可得，结合图形根据各角之间的数量关系得出，由等角对等边可得，结合图形进行线段间的等量代换即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图：过点E作交于点F， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； （3）解：（2）中的结论不成立，正确的结论是．理由如下： 如图，过点A作交于点F， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用角平分线进行角度的计算，平行线的性质，三角形内角和定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 类型五、等腰三角形性质与判定综合 21．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知，在中，点D是上一点，过点D的直线交于点E，交延长线于点F，点G是上一点，连接并延长交延长线于点H，，． (1)若，求的度数： (2)若，，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）根据，以及三角形外角的性质，可得，，再由，可得，，即可求解； （2）根据，以及三角形外角的性质，可得，可证明，可得，，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 即． 22．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形． (1)如图，若点在边上，交于点． 求证：； 当平分时，求证：． (2)如图，平分交于点，平分交于点，若，则线段的最小值为 ． 【答案】(1)见解析  见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形． （1）可证得，，从而； 延长，交的延长线于点，可证得，从而，可证得，从而，从而； （2）当时，最小，延长，交于，可证得，从而，可证得，进一步得出结果． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ； 如图， 延长，交的延长线于点， 由得，，， ，， ， ， ，平分， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图， 当时，最小， ， 延长，交于， 由（1）知，， ，， ， ， 平分， ， ， ， ， 线段的最小值为， 故答案为：． 23．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）已知等边中，点为射线上一点，作，交直线于点． (1)如图1，当点在线段上时，线段、、之间的数量关系是______； (2)如图2，当点在的延长线上时，（1）中的、、数量关系是否成立，若成立，说明理由，若不成立，求出、、之间的数量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，的平分线交于点，过点A作于，当时，求的长． 【答案】(1) (2)不成立， (3) 【分析】（1）过点D作，交于点M，可证是等边三角形，则有，然后可证，所以，，所以； （2）过作交的延长线于N，得，为等边三角形，同理可证，得，可得； （3）连接，证明，可得，证明 ，得，可得，得，由，得． 【详解】（1）解：∵为等边三角形， ∴， 过点D作，交于点M，如图所示， 则，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：不成立． 过作交的延长线于N，如图所示， 则， ∴，是等边三角形， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， 平分， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形和全等三角形．熟练掌握等边三角形的性质与判定，全等三角形判定与性质，平行线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形性质，含30度的直角三角形性质，添加合适的辅助线，构造全等的三角形，是解决本题的关键． 24．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，，D，E分别为边，上的点，且．连接，，点P为的中点，连接． (1)如图①，当时，求证：； (2)如图②，若，请你探究线段与线段之间的数量关系，写出你的结论，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据；，结合已知解答即可． （2）过点D作交于点F，连接，先证明是等边三角形，是等边三角形，再利用三角形全等证明即可． 本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：，， 又， ． （2）证明：．证明如下， 过点D作交于点F，连接， ∵，且， 是等边三角形． ∴， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， 为的中点， ， ∵，， ∴ 在和中， ， ， ，， ，P，F三点共线． ． 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ． 类型六、利用等边三角形的性质求解 与等边三角形有关的角度计算常常要用到等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60，这一点是解题的关键. 25．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，已知，点在射线上，点在射线上，均为等边三角形．若，则的长为（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 由等边三角形的性质可得、，再根据三角形外角的性质可得，则，等腰三角形的性质可得，然后可得，同理可得，，然后根据求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形 ∴，， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴ 同理可得：，， ∴． 故选B． 26．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，点E在等边的边上，，点P是射线上一动点，点F是边上一动点，，垂足为点C，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查轴对称最短路径问题、等边三角形的性质、角直角三角形的性质等知识，求出是解题的关键． 作点关于直线的对称点，过作于，交于，则此时的值最小，由直角三角形的性质求得，由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ，， 作点关于直线的对称点，过作于，交于， 则此时，的值最小， ∵，， ∴， ∵， ， ∵， ， ∴， ， ∴ 故选：B 27．（23-24八年级上·安徽淮北·期末）如图，将边长为9的等边折叠，使点恰好落在边上的点处，折痕为，为折痕上的动点．若，则周长的最小值为（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】C 【分析】本题考查动点最值问题-将军饮马模型，涉及对称性求最值、等边三角形性质等，根据对称性，利用动点最值问题-将军饮马模型，确定与关于对称，进而得到的周长最小值为线段即可得到答案，熟练掌握动点最值问题-将军饮马模型的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知：是的对称轴， ∴，即与关于对称， 周长为， ∴当三点共线时，最小值为线段， ∵，， ∴， ∴周长最小值， 故选：C． 28．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，是等边三角形，D、E分别是的边、上的点，且，与相交于点P，于点F，，，则的长为（    ） A．8 B．13 C．16 D．17 【答案】B 【分析】证，推出，求出，得出，根据含30度角的直角三角形性质求出即可． 本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，三角形外角性质，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 29．（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知，如图，等边三角形中，，点P为边上的任意一点(点P可以与点A重合，但不与点B重合)，过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． (1)写出y与x之间的函数关系式(不要求写出自变量范围)； (2)当的长等于多少时，点P与点Q重合． 【答案】(1) (2)当时，点与点重合 【分析】本题考查了等边三角形的性质和含角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． （1）由题意知：，利用图中边之间的关系和角的性质依次表示出的长，进而求出与之间的等量关系式； （2）再根据点与点重合时，即可解出的值． 【详解】（1）解：是等边三角形，， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ， 则． 在中，， ， ． 在中，， ， ． （2）解：当点与点重合时，， 即， 解得． 故当时，点与点重合． 30．（23-24八年级上·安徽宣城·期末）如图，等边三角形中，点D，E分别在，边上，且，，相交于点F． (1)请在图中找出与相等的线段，并证明． (2)求出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形性质和全等三角形判定与性质， （1）由等边三角形性质可得，，结合已知利用边角边即可证明，由此得出结论． （2）由可得，再由三角形外角性质可得． 【详解】（1）解：； 理由如下： ∵为等边三角形， ∴，， 在和中，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型七、等边三角形的判定 31．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，，，． (1)求的度数； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)等边三角形，见解析 【分析】本题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等，等边三角形的判定方法． （1）由等腰三角形的性质推出，由三角形内角和定理即可求出； （2）由垂直的定义得到，由直角三角形三角形的性质求出，得到，判定是等边三角形． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： ，， ， 由（1）知， ， ， ， 是等边三角形． 32．（21-22八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，的垂直平分线分别交和于点D，E，连接． (1)求证：； (2)连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）连接，根据线段垂直平分线的性质得到，根据等边对等角得，再根据角的和差得，结合得，即可得证； （2）连接，证明，则，而，即可得解． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ， ∴在中，， ； （2）解：是等边三角形，理由如下： 连接，如图所示： 是的垂直平分线， ∴， ∴， 由（1）得，， ∵， ∴， ， ， 是等边三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的定义及性质，等边三角形的判定，含的直角三角形的性质，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 33．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，和都是的外角，    (1)如图1，若，证明：是等边三角形； (2)如图2，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查三角形综合，涉及等腰三角形的判定、等边三角形的判定、三角形内角和定理和邻补角等知识，熟练掌握三角形相关定理性质是解决问题的关键． （1）首先由题中条件判断是等腰三角形，再由等边三角形的判定“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”判定即可得证； （2）先由三角形内角和定理得到，再由邻补角定义即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 是等腰三角形， 又， 是等边三角形； （2）解：， ， ． 34．（22-23八年级上·北京·期末）如图，在中，D为边上一点，于F，延长交于E．若．    (1)求证：为等边三角形； (2)若D是的中点，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】（1）先根据直角三角形的两锐角互余求得，再根据三角形的外交性质求得，由等角对等边得，即可证明结论成立； （2）连接，由（1）得，，先由等腰三角形的三线合一得，进而根据等角对等边得，在中，根据直角三角形的性质即可得，即可求得． 【详解】（1）证明：∵于F， ∴， ∵， ∴在中，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （2）解：连接，如下图，    由（1）得，，， ∵D为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及判定，等边三角形的判定，直角三角形的两锐角互余以及直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半以及三角形的外角，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 35．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，点为内一点，，为延长线上的一点，且． (1)求证：平分； (2)请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（）证明，得到，进而由三角形外角性质得，三角形内角和定理得，，即得，即可求证； （）在上截取点，使，根据等边三角形的判定可得为等边三角形，从而得，，然后利用证出，得出，进而即可求证． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （2）解：，理由如下： 在上截取点，使， ∵， ∴为等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，三角形外角性质，掌握以上知识点是解题关键． 36．（24-25八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）证明，得，即得，进而得到，根据等边三角形的判定定理即可求证； （）由（）知，是等边三角形，得，利用三角形外角性质及等腰三角形的性质可得，再根据等边三角形的性质可得，即可得，再根据三线合一即可求解． 【详解】（1）证明：∵于点，于点， ∴， ∵为的中点， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 即， ∴， ∵ ∴， ∴是等边三角形； （2）解：由（）知，是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 类型八、等边三角形性质与判定综合 题目图形中有两个以上的以图形中的线段为边向图形同侧或异侧作的特殊图形(特殊图形包括等边三角形、等腰三角形、等腰直角三角形等)，在分析条件时，经常先寻找图形中有无全等三角形（手拉手模型），若有，这对全等三角形的性质常常是解题的关键所在. 37．（24-25八年级上·安徽淮南·期末）已知为等边三角形，点从点出发，沿射线运动，速度为，同时，点从出发以与点相同的速度沿方向在射线上运动，连接，与直线相交于点． (1)如图，当点为边的中点，且的边长为时． ①求的长； ②求的长； (2)在点的运动过程中，过点作直线的垂线，垂足为，线段中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)在点的移动过程中，线段的长度保持不变，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定： （1）根据点为边的中点，运动速度相同可求得的长度，过点作交于点，利用等边三角形得到，根据全等三角形即可求出的长； （2）分类讨论即可 【详解】（1）①当点为边的中点，且的边长为时， 点与点的运动速度相同，； ②如图，过点作交于点， 为等边三角形，， ，是等边三角形． 由①知：，．． 又， ； （2）在点的移动过程中，线段的长度保持不变．理由如下：设的边长为． ①当点在线段上时， 如图，过点作交于点， 则为等边三角形． ， 同上（1）法可证：， （定值）； ②当点与点重合时，点恰好与点重合，点恰好为的中点， 同样有； ③当点在的延长线上时，如图2②，过点作交的延长线于点， 同法可得．， 当点在移动的过程中，线段的长度保持不变． 38．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）点分别在等边的两边、所在的直线上，点为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、上移动时，的周长与等边的周长的关系． (1)如图，当点在边、上，且时，_________； (2)如图，当点在边、上，且时，（）中的结论仍然成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究与的关系； (3)如图，当分别在边、的延长线上，且时，请探究此时与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)（）中的结论仍然成立，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）先证是等边三角形，再证，然后根据特殊直角三角形的性质求出之间的数量关系即可求解； （）在的延长线上截取，连接，可证，可得，再证，由全等三角形的性质可得结论仍成立； （）在上截取，连接，可证，可得，，然后证得，可证，得到，进而根据得到，，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：（ ）中的结论仍然成立． 证明：如图，在的延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∵的周长， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， 同理（）可证， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 39．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）【模型初现】 （1）如图1，在中，，，，平分交于点D，于点E，则________ 【模型归纳】 （2）如图2，是的角平分线，，，点E在上，．探索线段，和之间的数量关系，并加以证明； 【模型应用】 （3）如图3，点E是等边外一点，连接，，，恰好满足．已知平分交于点D，若，求的长． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）6 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明三角形全等是关键． （1）先证得，得到，进而求出的长度，即可求解； （2）证明，则，根据三角形的外角性质和等角对等边可证得，从而求证； （3）在上找一点，使得．证明，则易得是等边三角形．即可得到，进而代数即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 平分， ． ， ． 又， ． ． ， ∵，， ∴， ∴ （2）证明：是的角平分线， ． ， ． ． ， ， ， ． （3）解：在上找一点，使得． 是等边三角形，， ． ， ． ． 平分， ． ， 是等边三角形． ， ， ∵， ∴， ∴ 类型九、与等腰三角形有关的多结论问题 40．（23-24八年级上·广东汕头·期末）如图，已知中高恰好平分边，，点是延长线上一动点，点是线段上一动点，且，下面的结论： ①； ②的周长为； ③； ④． 其中正确个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 连接，证明是等边三角形，即可判断②；由等边三角形的性质可得，根据，即可判断③；在上截取，则是等边三角形，证明，得出，即可判断①；过点作于，由角平分线的性质定理可得，表示出，，由此即可判断④． 【详解】解：如图，连接， 高恰好平分边， ，，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， 的周长为，故②正确，符合题意； ， ，故③正确，符合题意； 如图，在上截取， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ，故①正确，符合题意； 如图，过点作于， ，， ， ， ， ，故④正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②③④，共4个． 故选：D． 41．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图，在等边三角形中，点是边上（不含端点）的动点，，将线段沿翻折，得到线段，连接交于点，连接、以下说法：①；②；③；④当点D在上自左向右运动时，四边形的面积先减小后增大，正确的是（    ） A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题根据等边三角形性质证明，得到，根据折叠的性质得到，在结合题干的条件证明为等边三角形，得到，即可判断①，由①知，，即可判断②，根据对称的性质得到，结合等边三角形性质，得到，利用30度所对直角边等于斜边的一半，即可判断③，根据，得到，利用，即可判断④． 【详解】解：为等边三角形， ， ， 在与中， ， ，， 线段沿翻折，得到线段， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， ①正确． 由①知，， 与不全等． ②错误． 线段沿翻折，得到线段， ，， ， ， ， ③正确 ． ， ， ，即四边形的面积为一个定值． ④错误． 综上所述，正确的是①③， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、轴对称性质、30度所对直角边等于斜边的一半，解题的关键在于熟练掌握相关性质并灵活运用． 42．（20-21八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，等腰三角形，，，于点D，点P是延长线上一点，点O是线段上一点，，以下结论：①；②是等边三角形；③；④；⑤，其中正确个数是 （      ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】①连接，根据垂直平分线性质求出，即可解题；②可求得，，从而推出，结合得证；③在上截取，先证明是等边三角形，接着证，推出，即可解题；④过点作于，先证明，结合，可推导出答案；⑤由，通过，可证，故⑤错误； 【详解】解：如图，连接OB.   ，， ，， ，. ， ， ，， . 故①正确； ， . ， ， . ， 是等边三角形. 故②正确； 如图，在上截取，   ， 是等边三角形， ，， . ， . ， ， ， . 故③正确； 如图，过点作于，   ，， ， ， ， . 故④正确. ，，， ， ， ，， ，故⑤错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一性质，角的平分线性质定理，等边三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形全等的判定和性质，三角形面积公式的应用，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 43．（20-21八年级上·河南漯河·期末）如图所示，在等边中，，将线段沿翻折得到线段，连接交于点N，连接，，，以下说法：①；②是等边三角形；③；④；⑤中，正确的是（    ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 【答案】D 【分析】根据题意证明出，得到，，然后结合折叠的性质得到，即可判断①；推出，证明出是等边三角形，即可判断②；根据题意无法证明，即可判断③；推出垂直平分线段，求出，得到，即可判断④；根据题意证明出，得到，即可判断⑤． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵线段沿翻折，得到线段， ∴，，， ∴，故①正确； ∴， ∴ ∴ ∴是等边三角形，故②正确； 根据题意无法证明，故③错误； ∵将线段沿翻折得到线段 ∴垂直平分线段， ∵，， ∴， ∴，故④正确； ∵，，， ∴ ∴，故⑤正确． 综上所述，正确的是①②④⑤． 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，属于中考选择题中的压轴题． 类型十、手拉手模型 44．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的是（     ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质，证，即可判断①结论；根据全等三角形的性质，得到，结合对顶角相等可推出，然后根据三角形外角的性质，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论：根据等边三角形的性质，得出，即可判断⑤结论． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故②结论错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故③结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故④结论正确； ∴， ∴， ∴， 故⑤结论正确； 即正确结论的是①③④⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 45．（25-26八年级上·全国·期中）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形，与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：；；；；，一定成立的是（　　） A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质可得，，，利用等式的性质可得，于是可证得，进而可得，故结论正确，，，然后利用可证得，于是可得，，故结论正确，进而可证得是等边三角形，于是可得，因而可得，于是可得，故结论正确，利用三角形外角的性质可得，故结论正确，然后可推出，因而，即，故结论不正确．综上所述，正确的结论有，共个，据此即可得出答案． 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， 即：， ， ，故结论正确， ， ， 即：， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，故结论正确， 又， 是等边三角形， ， ， ，故结论正确， ， ，故结论正确， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，故结论不正确， 综上，正确的结论有， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质（和），内错角相等两直线平行，三角形外角的性质，等角对等边等知识点，熟练掌握等边三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 46．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，分别以三角形的边，为边向外作等边和等边，交于点O，交于M，与交于点N． (1)求度数； (2)连接，求证：平分； (3)若，，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、角平分线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等边三角形的性质可得，，，再证明，得出，再由三角形内角和定理计算即可得解； （2）作于，于，由（1）可得，由全等三角形的性质可得，，结合三角形面积公式可得，再由角平分线的判定定理即可得证； （3）作交的延长线于，求出，从而可得，由（1）可得，即可得出，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：∵、均为等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （2）证明：如图，作于，于， ， 由（1）可得， ∴，， ∵，， ∴， ∵，， ∴点在的角平分线上，即平分； （3）解：如图，作交的延长线于， ， ∵、均为等边三角形，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴． 47．（23-24八年级上·安徽芜湖·阶段练习）小明同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，若它们的顶角具有公共的顶点，并当把它们底角的顶点连接起来时会形成一组全等的三角形，小明把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形． (1)【问题发现】如图1，在和中，，连接，当点落在边上，且三点共线时，则在这个“手拉手”图形中，可得的度数为．请证明这个结论； (2)【拓展探究】如图2，若和均为等边三角形，点在同一条直线上，连接，求的度数； (3)【解决问题】如图3，，试探究与的数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，三角形内角和定理，利用手拉手模型证明三角形全等是解题的关键． （1）利用证明得到，再由三角形内角和定理可得； （2）先由等边三角形的性质得到，再证明，并求出；进一步证明，得到，则； （3）延长至点P使，连接，可得 是等边三角形，则可得 ，从而可证 ，继而 ，即可解答． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵和均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ （3）解：如图3，延长至点P使，连接， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ， ， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 48．（22-23八年级上·江苏无锡·期中）综合实践：在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形，兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”，因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则． 【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形：__________________； 【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点Q，求的大小． 【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，；连接，，交于点P，请判断和的关系，并说明理由． 【答案】初步把握：；深入研究：；拓展延伸：，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法为解题的关键． 初步把握：利用证出，即可解答； 深入研究：利用证出，再利用角的等量代换解答即可； 拓展延伸：利用证出，再利用角的等量代换解答即可． 【详解】初步把握：解：∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， 故答案为：； 深入研究：解：∵和为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴； 拓展延伸：解：，理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， 设与的交点为，如图所示： ∴在和中， ， ∴， ∴． 类型十一、等腰三角形与一次函数综合 49．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）在平面直角坐标系中，如图，直线与轴、轴分别交于点、点，直线与轴、轴分别交于点点，直线和相交于点． (1)求的值以及点的坐标； (2)关于的不等式组的解集为______； (3)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）将代入，求得，则；将代入，求得，则；联立，求解可得点的坐标； （2）当时，，解得，，即，由题意知，的解集为在轴上方，下方，所对应的的图象所对应的的取值范围，结合图象求解作答即可； （3）如图，过点作于点，则点的坐标为，，则是的垂直平分线，进而可得是等腰三角形． 【详解】（1）解：将代入，得，解得， ∴； 将代入，得，解得， ∴； 联立， 解得，， 点的坐标为； （2）解：当时，， 解得，， ∴， 由题意知，的解集为在轴上方，下方，所对应的的图象所对应的的取值范围， 由图象可知，解集为， 故答案为：； （3）解：等腰三角形，理由如下： 如图，过点作于点，则点的坐标为， ∴，，即， ∴是的垂直平分线， ∴，即是等腰三角形． 【点睛】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定等知识．熟练掌握两直线的交点与二元一次方程组的解，一次函数解析式，根据两条直线的交点求不等式的解集，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定是解题的关键． 50．（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知满足，，直角顶点在轴上，顶点在轴上． (1)如图，若于垂直轴，垂足为点．点坐标，点的坐标，求点坐标； (2)如图，直角边在两坐标轴上滑动，若轴恰好平分，与轴交于点，过点作轴于，猜想：与数量关系，并证明你的猜想； (3)如图③，直角边在两坐标轴上滑动，使点在第四象限内，过点作轴于，在滑动的过程中，两个结论： 为定值； 为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论并直接写出这个定值．（不需要证明） 【答案】(1)； (2)，见解析； (3)结论成立，见解析． 【分析】根据同角的余角相等，可证，利用可证，根据全等三角形的性质可证，，求出的长度，即可得到点的坐标； 如下图所示，延长、交于点，利用可证，根据全等三角形的性质可证，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证； 过点作，可证，根据全等三角形的性质可证，从而可得为定值； 【详解】（1）解：点坐标，点的坐标， ，， ， ， 又， ， ， 又 垂直于轴， ， 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为； （2）解：． 证明：如下图所示，延长、交于点， 轴恰平分， ， 又 轴， ， 在和中，， ， ， ， ，， ， 又， ， 在和中，， ， ， ； （3）解：为定值． 证明：如下图所示，过点作于E， ， ， 又， ， 在和中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了同角的余角相等，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，坐标与图形，解本题的关键是根据全等三角形的性质找到边之间的关系． 51．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在等腰直角中，，，点，在坐标轴上，点，轴，垂足为点． (1)求证：，并写出点的坐标； (2)与轴交于点，求证：； (3)与轴交于点，连接，试说明． 【答案】(1)证明见解析，点的坐标为 (2)证明见解析 (3)见解析 【分析】（1）先证明，结合与全等三角形的性质可得答案； （2）如图1，过点作轴于点，则，证明，，证明，从而可得结论；          （3）如图2，在上截取，使得，连接．证明，可得，，再证明，进一步可得结论． 【详解】（1）证明：轴， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 点的坐标为； （2）证明：如图1，过点作轴于点，则， ，， ， ， 在和中，， ， ； （3）证明：如图2，在上截取，使得，连接． ∵，， ∴， 在和中，， ， ，， ， 则．由（2）可知， ， ， ． 【点睛】本题考查的是坐标与图形，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 52．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图2，，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)为等边三角形；理由见解析 (2)见解析 (3)；证明见解析 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论； （2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论； （3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知：是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，在上截取，连接， ∴，即， ， ， 为的中点，， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，以及含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 53．（23-24八年级上·安徽铜陵·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在第一象限，为等边三角形，点为轴上任意一点，以为边在下方作等边，连接，． (1)如图①，当点在轴正半轴上时，求证：； (2)如图②，当点在轴负半轴上时，请在图2中补全图形，并直接写出与之间的数量关系：__________； (3)根据上述探究，请判断的长是否存在最小值？若存在，求长的最小值，并求此时点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，补全图形见解析； (3)存在，的最小值为2，此时点D的横坐标为． 【分析】（1）利用等边三角形性质判定即可； （2）利用等边三角形性质判定即可； （3）根据题意当的值最小时，的值最小，过点作轴于点． 【详解】（1）解：∵在等边和等边中， ∴，，， ， ， ， ； （2）解：，补全图形如下： ∵和为等边三角形， ∴，，， ∴，即：， ， ∴； （3）解：， ， 当的值最小时，的值最小， 当轴时，的值最小，最小值为2， 的最小值为2， 四边形中，，， 过点作轴于点， ， ， ， 、O、D三点共线， ， ，， ， 点D的横坐标为． 【点睛】本题考查等边三角形性质，全等三角形性质和判定，三角形内角和定理，含直角三角形三边关系． 54．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的每一个顶点叫做格点．的顶点都在格点上．请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)请在图画出的中线和高． (2)要求在图中在轴上找点，使平分． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）取格点、，连接交于点，连接；取格点，连接，交于点即可； （2）取格点、、，连接、且交于点，连接并延长交轴于点，连接即可； 【详解】（1）解：取格点、，连接交于点，连接；取格点，连接，交于点；取格点，连接、、、、、，交于点， ∵在正方形网格中，每个小正方形的边长为， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴是的中线， 则即为所作； ∵，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的高， 则即为所作； （2）取格点、、，连接、且交于点，连接并延长交轴于点，连接、、、、、， ∵在正方形网格中，每个小正方形的边长为， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵在正方形网格中，每个小正方形的边长为， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴平分， 则点即为所作． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了正方形的性质，平行四边形及矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 55．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，且满足． (1)求点的坐标． (2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且． ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示）． ②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系． 【答案】(1) (2)① ②且 【分析】（1）直接根据绝对值的非负性求出的值即可； （2）①先根据平行线的性质求出，再根据全等三角形的判定和性质求出，最后根据点在轴正半轴上作答即可； ②过点作 轴于，先根据全等三角形的判定和性质等量代换得到，求出，再根据等腰三角形的性质计算角的加减即可. 【详解】（1）∵满足， ∴； （2）①∵ ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴； ∵且点在轴正半轴上， ∴ ②如图3，过点作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点在过点且与轴正半轴成夹角的直线上运动， 如图4，设直线与轴交于点，当时，最小． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形，且， 又∵， ∴、均是等腰直角三角形， ∴， ∴且； 【点睛】此题考查的是坐标与图形，绝对值的非负性，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角的有关计算． 56．（23-24八年级上·安徽蚌埠·期末）在和中，，，，连接，． (1)求证：； (2)若和 均为等边三角形，作直线，点 C 在直线l上且点 D 在 右侧，的延长线交l于E，连接，． ①求证：点D 在线段的垂直平分线上； ②若 斜边上的高为2，点C在直线l上运动，则 的最小值 = ． 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】（1）先证明，再利用证明即可； （2）①证明，可得，再证明，是的垂直平分线，从而可得结论；②如图，过作于，则，证明，可得当，，三点共线时，则，此时最小，再利用含的直角三角形的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． （2）①∵和 均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴点D 在线段的垂直平分线上； ②如图，过作于，则， 由①得：是的垂直平分线， ∴， ∴， 当，，三点共线时， 则，此时最小， ∵，， ∴， 即的最小值为． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的判定，线段的垂直平分线的定义与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 57．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图1，点、分别在射线，上，且为钝角，现以线段、为底边向的外侧作等腰三角形，分别是，．    (1)如图2，连接、，交于点，连接，若． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图3，若点，分别是，的中点，连接、并延长交于点，连接、、，当 °时，为等边三角形． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）①由，是等腰三角形，且，可得，再通过边角边即可求证；②三角形全等则有两三角形对应边所对的高线相等，由角平分线的性质即可求证； （2）连接根据垂直平分线的性质及判定得到，由为等边三角形即可得，由四边形的内角和为即可求证． 【详解】（1）解：① ，是等腰三角形，且， ，是等边三角形， ，， ， ， ， ； ②过点A作如图：   ， ， 平分； （2）连接如图所示：    ，是等腰三角形，点，分别是，的中点， 分别是线段的垂直平分线， ，， 为等边三角形， ， ， ， 在四边形中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质及判定，垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 58．（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． 小星的思路是： (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）；理由如下：（请你将理由补充完整） 证明：过点E作，交于点F． (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由E为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）过点E作，交于点F，由为等边三角形，得到三角形为等边三角形，进而得到，，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证； （3）如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下， 过点E作，交于点F， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则； （3）如图3所示，作，交的延长线于点F，则， 同理可得：是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，而， ∴． 59．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，平分与y轴交于D点，．      (1)求证：； (2)如图2，点C的坐标为，点E为AC上一点，且，求的长； (3)在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点．（如图（3），当H在上移动，点G点在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的对应点得出，进而证明，进一步证明，即可得出结论； （2）过点作于，根据角平分线的性质得出，进而证明，得出，进一步证明，得出，再判断出，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：如图2，过点作于，   平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图3，在的延长线上取一点，使，   平分，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定理，等腰三角形的性质，坐标与图形，构造出全等三角形是解本题的关键． 60．（23-24八年级上·吉林·期中）在中，，，点D为边的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当，点P在线段上．若和全等，求t的值； (3)当，为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了三角形全等的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想是解题关键． （1）由图可知，求出线段即可； （2）由和全等，可得或两种情况，列出关于t的方程即可求解； （3）由为等腰三角形，利用等腰三角形性质分点P在点A左右两边讨论即可求解． 【详解】（1）解：设点运动时间为秒， ， 当时，； 当时，； （2）∵， 由题意得， 当时，， 可得∶， 解得∶， 当时，， 可得∶， 解得∶ 综上所述，若和全等，则的值为或； （3） ，为等腰三角形时， 当时，点P在点A左侧时， ， 当，点P在点A右侧时， ， 当时， ， 当时， 的度数为或或或． 61．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线 过点．若直线 与x轴、y轴分别交于点B、D，且与直线交于点C，点C的横坐标为2． (1)求直线的表达式； (2)直线 上是否存在点M，使为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在；或 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，用待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质， （1）先求出 解析式得到，将代入，求解即可； （2）先求出，得到，，则是等腰直角三角形，得到，再分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ， 当时，， ∴， 将代入，得， 解得， ∴直线的表达式为； （2）解：当时，，解得， ∴， ∴，， 当时，，即， ∴是等腰直角三角形， ∴； 分以下两种情况： ①过点A作x轴的垂线，交直线于点M， 在 中，令，则， ∴， 即此时是等腰直角三角形，； ②如图，取的中点N，过点N作x轴的垂线，交直线于点，由垂直平分线的性质可得， ∴， ∴， 即此时是等腰直角三角形， 由N为的中点，易得， 在 中，令，则， ∴． 综上，直线上存在点M，使为等腰直角三角形，点M的坐标为或． 62．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）在平面直角坐标系内，点为坐标原点，轴上点，轴上点．，且． (1)直接写出点、点的坐标； (2)若，且，求出的面积； (3)在（2）条件下，且当点在第二象限时，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形．若存在，请写出点有几个，并直接写出其中两个点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)个，，，，． 【分析】（1）将转化为，再根据平方的非负性可得，，即可求解； （2）①当点在第一象限时，过点作轴于点，证明，得到，，可得，然后根据三角形的面积公式求解即可；②当点在第二象限时，过点作轴于点，证明，得到，，可得，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）结合等腰三角形的判定分三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，， ∴，； （2）∵，， ∴，， ①当点在第一象限时， 过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； ②当点在第二象限时， 过点作轴于点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积为或； （3）共有三种情况： 第一种情况：如图，由②可知：， ∴， 即当点与点重合时，设为， 则是等腰三角形， 此时； 第二种情况： ∵，，， 又∵， ， ∴， 即当点与点重合时，设为， 则是等腰三角形， 此时； 第三种情况： 设， ∵，， ∴， ， 当即时，得： ， 解得：，， ∴当点的坐标为或时，此时是等腰三角形， 综上所述，在轴上存在一点，使是等腰三角形，符合条件的点有个，它们的坐标分别为，，，． 【点睛】本题考查坐标与图形，完全平分公式的应用，全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，两点间的距离公式，等腰三角形的判定等知识点．正确理解题意并运用分类讨论的思想是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $