2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学上册期末复习冲刺讲义 （压轴篇）

该初中数学讲义通过题型分类系统构建八年级上册期末复习知识体系，涵盖概念辨析、二次根式、一元二次方程、几何综合等七大模块，以递进式框架呈现知识脉络，突出重点知识内在联系与难点分布。 讲义亮点在于真题情境与分层练习结合，如概念辨析题强化抽象能力，图形运动题发展空间观念，应用题提升模型意识。含上海多校期中期末真题，从基础辨析到压轴综合，助力分层提升，为教师精准教学与学生自主复习提供实用支持。

2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义 期末复习满分冲刺讲义（压轴篇） 题型一：概念结论辨析 题型二：二次根式的化简与求值 题型三：一元二次方程根与系数的关系应用 题型四：直角三角形与平分线综合 题型五：图形的运动 题型六：应用题 题型七：几何综合压轴 题型一：概念结论辨析 1．（24-25八上·上海市西中学·期中)下列语句正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．400万有7个有效数字 C．近似数12.8和12.80表示的意义是相同的 D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1 【答案】A 【分析】本题考查近似数、有效数字、平方根、立方根，根据它们的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：5的平方根是，故是5的一个平方根，故A正确； B：400万有3个有效数字，故B错误； C：近似数12.8和12.80表示的意义是不同的，12.8精确到十分位，12.80精确到百分位，故C错误； D：一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是0，故D错误． 故选：A． 2．（24-25八上·上海嘉定区德富中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 【答案】A 【分析】本题考查了立方根、平方根、算术平方根等知识，根据立方根、平方根、算术平方根和绝对值的定义，逐一判断各选项的正确性． 【详解】解：A．立方根等于它本身的数是0和，故原说法正确； B．平方根是它本身的数是0，故原说法错误； C．算术平方根是它本身的数是0 和1，故原说法错误； D．绝对值是它本身的数是0和正数，故原说法错误， 故选：A． 3．（24-25八上·上海师范大学附属高桥实验中学·月考)下列说法正确的是（　　） A．1的平方根与立方根相同 B．实数与数轴上的点一一对应 C．两个无理数的和还是无理数 D．对于实数，若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根、实数与数轴、无理数的定义、二次根式的性质，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．根据平方根、立方根、实数与数轴、无理数的定义、二次根式的性质，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、因为，所以1的平方根是，因为，所以1的立方根是1，由于1的平方根与立方根不相同，所以选项A错误； B、实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，所以选项B正确； C、例如和都是无理数，它们的和为，而0是有理数，所以选项C错误； D、根据二次根式的性质，，当时，；当时，．已知，则，而不是，所以选项D错误． 故选：B． 4.（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）设关于的方程的两个实数根为、，现给出三个结论：①；  ②；  ③． 则正确结论的个数是 （   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据根的判别式即可判断①；根据根与系数的关系得到，即可判断②；根据完全平方公式的变形得到即可判断③． 【详解】解：由题意得： ， ∵， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，故①正确； 由根与系数的关系可得， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③错误； 故选B． 5．(24-25八上·上海松江区·期末)如图，在中，，是斜边的中线，是斜边的高，如果恰好是边上的中线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据直角三角形斜边中线的性质得到，即可判断A选项；然后证明出是等边三角形，得到，即可判断B选项；然后利用含角直角三角形的性质即可判断C选项；然后根据勾股定理即可判断D选项． 【详解】解：∵在中，，是斜边的中线， ∴，故A正确； ∵恰好是边上的中线， ∴ ∵是斜边的高， ∴ ∴垂直平分 ∴， ∴ ∴是等边三角形 ∴，故B正确； ∵ ∴ ∴，故C正确； ∵是等边三角形， ∴ ∴ ∴，故D错误． 故选：D． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（   ） A． B．点到的距离等于线段的长度 C．点在线段的垂直平分线上 D． 【答案】A 【分析】证明是直角三角形，，过点E作于点H，得到，即可判断选项B正确；由是边上的中线得到，则点在线段的垂直平分线上，即可判断选项C正确；由，得到，即可判断选项D正确；如果，则，证明，则，得到是等边三角形，则，与已知矛盾，即可判断A错误． 【详解】解：∵中， ∴， ∴是直角三角形，， 过点E作于点H， ∵是的角平分线，， ∴， ∴点到的距离等于线段的长度， 故选项B正确； ∵是边上的中线， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 故选项C正确； ∵， ∴， 故选项D正确； 如果，则，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，与已知矛盾， ∴错误， 故选项A错误， 故选：A 【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 题型二：求值与范围问题 7. 已知，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，二次根式的性质，二次根式有意义的条件为被开方数为非负数；分式有意义的条件为分母不为0；熟练掌握相关知识点是解题关键．根据二次根式的性质及二次根式有意义的条件、分式有意义的条件计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∴， 故选：C． 8. 已知：，，，__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，化简二次根式，分式的求值，先根据题意得到，进而得到，则可求出或（舍去），据此把代入所求式子中计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， 故答案为：． 9. 已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根的判别式，由得到，，根据根的判别式得到，，依此，，可得，根据题意由根的判别式得到是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵有且只有三个不同的值满足方程， ∴，， ∴， ∴， 当时，最小值， 故答案为：． 10．(24-25八上·上海闵行区北桥中学·期末)已知是方程的一个根，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 11．(24-25八上·上海闵行区七宝第二中学·期末)已知三个不同的实数a、b、c满足，关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和也有一个相同的实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的解，以及根与系数的关系；根据根相同列出方程组，用，，表示相同的根，从而得出方程根的关系进而求解．设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根，将代入方程和组成方程组，把代入方程和组成方程组，解出，解出，得,方程的两根之积等于，所以是方程和的解，进而解得，再代入方程和，可得，，结合即可，即可解决问题． 【详解】解：设方程和的一个相同实数根，设方程和有一个相同的实数根， 则 ，则 ， 解得，， ∴， ∵方程的两根之积等于， ∴也是方程的根； ∵是方程和的解， 则， 解得(其中)， 把代入方程和， 得，， ∵， ∴,， ∴，，， ∴. 故答案为：． 题型三：一元二次方程根与系数的关系应用 12. 已知是方程的两根，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得出，，，，再对所求式子变形整理，求出答案即可． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，，，， ∴ ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，若一元二次方程（a、b、c为常数，）的两根为，，则，． 13. 若实数a，b满足2a2﹣5a＝2b2﹣5b＝3，且a≠b，则a2b+ab2的值为 　 ． 【分析】利用2a2﹣5a＝3，2b2﹣5b＝3，a≠b，则可把a、b看作方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根，根据根与系数的关系得到a+b，ab，再把a2b+ab2分解因式得到ab（a+b），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵2a2﹣5a＝3，2b2﹣5b＝3， 即2a2﹣5a﹣3＝0，＝2b2﹣5b﹣3＝0， 而a≠b， ∴a、b可看作方程2x2﹣5x﹣3＝0的两根， ∴a+b，ab， ∴a2b+ab2＝ab（a+b）． 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2． 14．(24-25八上·上海松江区·期末)如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义计算、一元二次方程的解、代数式求解和绝对值方程的求解，准确的计算是解决本题的关键． 由方程可得两根为和，根据根的距离为1，得，分两种情况求解的值，再计算代数式即可． 【详解】解：∵方程为， ∴其两根为和， 由题意得，， 设，则 或， 解得或， 代数式 ， 当时，， 故； 当时，， 故． 综上，代数式的值为． 故答案为：． 15.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数根m，使（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明 理由． 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2＝2（m+1），，再由（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6，可得关于m的方程，即可求解． 【解答】解：（1）由题意得：Δ＝[﹣2（m+1）]2﹣4（m2+3）≥0， 解得：m≥1， 即：m的取值范围为：m≥1； （2）存在， 由根与系数的关系得：x1+x2＝2（m+1），， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6， ∴x1x2﹣x1﹣x2+1＝m+6， ∴x1x2﹣（x1+x2）+1＝m+6， ∴m2+3﹣2（m+1）+1＝m+6， 解得：m1＝4，m2＝﹣1， ∵m≥1， ∴m＝4． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． 16.已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足14．求4x2﹣10的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围； （2）利用根与系数的关系可得出x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2，结合14，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出实数m的值，即可求出x1+x2＝4，，代入4x2﹣10即可得答案． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0有实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝[2（m﹣1）]2﹣4×1×m2≥0， 解得：m， ∴实数m的取值范围为m． （2）∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0的两实数根， ∴x1+x2＝﹣2（m﹣1），x1•x2＝m2． ∵14， ∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝14， ∴[﹣2（m﹣1）]2﹣2m2＝14， ∴4m2﹣8m+4﹣2m2＝14， ∴m＝5或﹣1， 当m＝5时，方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0变为x2+8x+25＝0，无解舍去， 当m＝﹣1时，方程变为x2﹣4x+1＝0， ∴x1+x2＝4，， ∴x1﹣1， ∴4x2﹣10＝4x1﹣1+4x2﹣10＝4（x1+x2）﹣11＝16﹣11＝5． 【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合（x1+x2）2＝18+4x1x2，找出关于m的一元一次方程． 17.已知关于x的方程kx2+（k+1）x0有实根． （1）当k＝4时，求解上述方程； （2）求k的取值范围； （3）是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）讨论：当k＝0时，方程为一元一次方程，有实数解；当k≠0时，利用根的判别式的意义得到Δ＝（k+1）2﹣4k0，此时满足k且k≠0，然后综合两种情况得到k的取值范围； （3）设方程的两根分别为a、b，根据根与系数的关系得a+b，ab，再利用1得到，解得k，然后利用k且k≠0可判断不存在实数k，使方程两根的倒数和为1． 【解答】解：（1）k＝4，方程化为：4x2+5x+1＝0， （4x+1）（x+1）＝0， 4x+1＝0或x+1＝0， 所以x1，x2＝﹣1； （2）当k＝0时，方程化为x＝0，方程有实数解； 当k≠0时，根据题意得Δ＝（k+1）2﹣4k0， 解得k且k≠0， 综上所述，k的取值范围为k； （3）不存在． 理由如下： 设方程的两根分别为a、b， 根据根与系数的关系得a+b，ab， ∵1， 即1， ∴a+b＝ab， ∴， 解得k， ∵k且k≠0， ∴不存在实数k，使方程两根的倒数和为1． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．也考查了根的判别式． 题型四：直角三角形与平分线综合 18．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（   ） A． B．点到的距离等于线段的长度 C．点在线段的垂直平分线上 D． 【答案】A 【分析】证明是直角三角形，，过点E作于点H，得到，即可判断选项B正确；由是边上的中线得到，则点在线段的垂直平分线上，即可判断选项C正确；由，得到，即可判断选项D正确；如果，则，证明，则，得到是等边三角形，则，与已知矛盾，即可判断A错误． 【详解】解：∵中， ∴， ∴是直角三角形，， 过点E作于点H， ∵是的角平分线，， ∴， ∴点到的距离等于线段的长度， 故选项B正确； ∵是边上的中线， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， 故选项C正确； ∵， ∴， 故选项D正确； 如果，则，如图， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，与已知矛盾， ∴错误， 故选项A错误， 故选：A 【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、直角三角形的性质、垂直平分线的判定等知识，熟练掌握直角三角形的性质和勾股定理是解题的关键． 19．(24-25八上·上海长宁区·期末)在中，为钝角，都是这个三角形的高，P为的中点，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形中两锐角互余，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等边对等角，根据直角三角形中两锐角互余，先求出，再根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得到，，根据等边对等角得到，最后根据求出结果． 【详解】解：， ， ，P为的中点， ，， ， ， 故答案为：． 20．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的判定与性质，角平分线的判定，平行线的判定与性质，根据作图得到，等边对等角，推出，进而得到，根据点在边上且到边和边的距离相等，得到平分，推出为等腰三角形，逐一进行判断即可． 【详解】解：由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在边上且到边和边的距离相等， ∴平分， ∴， ∴， ∴，；故选项A，C正确，不符合题意； ∵， ∴（平行线间的距离处处相等）；故选项D正确，不符合题意； 无法得到； 故选：B． 题型五：图形的运动 21．已知点、分别是等边边、上的动点，将沿直线翻折，使点恰好落在边上的点处，如果是直角三角形，且，那么的长是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，一是，由等边三角形的性质得，得到，则，由勾股定理求出，由翻折得，，则，，再根据线段的和差求出，最后由即可求解；二是，则，从而求出，根据勾股定理得，进而求出，则据线段的和差求出，最后根据即可求解． 【详解】解：如图1，是直角三角形，且， 是等边三角形，， ， ， ， ， 由翻折得，， ，， ，， ； 如图2，是直角三角形，且，则， ， ， ，   ， ， ， ， 故答案为：或． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地求出的长是解题的关键． 22．在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13，如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 ． 【答案】4 【详解】如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得 A′D=AD=13， 在Rt△A′CD中，A′D2=A′C2+CD2， 即132=（13-A′B）2+52， 解得A′B=1， 如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得A′B=AB=5， ∵5-1=4， ∴点A′在BC边上可移动的最大距离为4． 23．如图，在中，，，，点D是的中点，将沿直线翻折后点A落在点E，那么的长为 【答案】 【分析】连接，过点E作于点G，由折叠的性质得，，，，，根据直角三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，根据直角三角形的性质求得，，利用勾股定理求得，从而可得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点E作于点G， 由折叠的性质得，，，，， ∵，，点D是的中点， ∴， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴在中，， ， ∵， ∴在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形的性质、三角形外角的性质、折叠的性质，添加辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于 ． 【答案】12或 【分析】根据题意可知，需要分两种情况，，，画出对应的图形，再根据折叠的性质及等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：①当时，如图， 此时，四边形是正方形， 则， 又是等腰直角三角形， 属于， 所以； ②当时，如图， 设，则，， 由折叠可知，， 由题意可知，， ， ， 即是等腰直角三角形， ，， ， ， 解得， ． 故答案为：12或． 【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、解直角三角形、等腰直角三角形的性质与判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想解决问题． 25．（2022秋•徐汇区期末）在中，，，，如图所示．如果将绕着点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，联结，那么的长等于　　． 【答案】． 【分析】过点作，交的延长线于，由旋转的性质可得，，由直角三角形的性质可求，，由勾股定理可求解． 【解答】解：如图，过点作，交的延长线于， 将绕着点顺时针旋转得到， ，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 26．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，已知等腰中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点．如果直线与直线的夹角为，那么面积的值等于 ． 【答案】或 【分析】由等腰直角三角形求出，，进而根据旋转轨迹分类讨论，利用30度所对的直角边是斜边的一半求解即可． 【详解】解：设直线与直线交点为D， ∵等腰中，，． ∴，， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ①当时，如图， ∴， 过作于点M， ∴， ∴； ②当时，如图， ∴过作于点M， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，面积的值等于或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等腰直角三角形的性质、含有的直角三角形、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 题型六：新定义问题 27．对任意两个实数、定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A． B．3 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了实数的大小比较，求一个数的立方根． 根据新定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 28.对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的混合运算．根据新定义运算得到、的结果，再相乘即可． 【详解】∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 29.对于实数，，定义运算“*”： ．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】或30 【分析】本题考查解一元二次方程，新定义运算，理解新定义是解题的关键，注意分类讨论． 用因式分解法求出一元二次方程的解，再分类讨论即可求解． 【详解】解： ∴或 ∴或， 当，时， ； 当，时， ． 故答案为：或30． 30.对于实数，，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且和为两个连续正整数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，正确理解新定义是求解本题的关键．根据的范围，求出x和y的值，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵和为两个连续正整数，，即， ∴，， ∴． 故答案为：． 31.定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 32．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 【答案】或5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，正确理解“好点”的定义是解题关键．先求出，设，则，，再分三种情况：①点在上；②点与点重合，③点在上，利用勾股定理求出的值，再根据“好点”的定义求出的值，两者建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴，， ①如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“好点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； ②如图，当点与点重合时，则， ∴，， ∴，这与点是边上的“好点”矛盾，则的情形不存在； ③如图，当点在上时，则， ∴， 在中，， ∵点是边上的“好点”， ∴， ∴， 解得或（不符合题设，舍去）， ∴此时； 综上，线段的长为或5， 故答案为：或5． 题型六：应用题 33. 如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别为多少米？ 【答案】这个仓库的长和宽分别为14米、10米 【解析】 【分析】首先设这个仓库的长为x米，则宽表示为（32+2-x），再根据面积为140平方米的仓库可得x×（32+2-x）=140，再解一元二次方程即可． 【详解】解：设这个仓库的长为x米，由题意得：x×（32+2-x）=140， 解得：x1=20，x2=14， ∵这堵墙的长为18米， ∴x=20不合题意舍去， ∴x=14， 宽为：×（32+2-14）=10（米）． 答：这个仓库的长和宽分别为14米、10米． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，正确表示出长方形的长和宽． 34. 云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． （1）若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ （2）小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 【答案】（1）每间商铺的长为米，宽为米 （2）小王每月需要付给经营者元租金 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，配方法的应用； （1）设垂直于墙的一边长米，可得米，根据三间商铺总面积为列出方程，求得合适的解即可； （2）根据题意求得三间商铺的总面积，根据配方法可得最大值，进而可得租金为多少． 【小问1详解】 解：设垂直于墙的一边长x米，则米， ， 整理得：， 解得：，， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴． 答：每间商铺的长为米，宽为米； 【小问2详解】 解：三间商铺的总面积为， ∵， ∴时，三间商铺的总面积最大，三间商铺的总面积最大为平方米， (元)． 答：小王每月需要付给经营者元租金． 35．（2025·上海·模拟预测）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 【答案】(1)甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子 (2)400 【分析】（1）设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子，根据甲乙两个小组的工作情况列出二元一次方程组，从而解决问题． （2）根据“甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务”，考虑设“甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子”，再根据实际总工作量等于甲乙两组实际工作量之和，列出方程． 【详解】（1）解：设甲、乙两组平均每天各能加工袋、袋粽子 由题意得：解得： 答：甲、乙两组平均每天各能加工200袋、150袋粽子． （2）解：设提高效率后，甲组平均每天比原计划平均每天多加工袋粽子 由题意得： 整理得： 解得：，， 又∵甲、乙两组加工的天数均为整数 ∴ ∴200+100×2=400（袋） 答：提高工作效率后，甲组平均每天能加工400袋粽子． 【点睛】本题考查了运用二元一次方程组、一元二次方程解决实际问题，理清题意，正确计算是解题的关键． 36．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 37.（2024八年级上·上海静安·专题练习）如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 【答案】(1)不能，理由见解析 (2)秒、5秒或秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），设经过秒，线段能否将分成面积相等的两部分，根据面积之间的等量关系和判别式即可求解； 对于（2），分三种情况：①点在线段上，点在线段上；②点在线段上，点在线段上；③点在射线上，点在射线上；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：设经过秒，线段能将分成面积相等的两部分 由题意知：，，则， ， ， ， 此方程无解， 线段不能将分成面积相等的两部分； （2）设秒后，的面积为， ①当点在线段上，点在线段上时 此时 由题意知：， 整理得：， 解得：（不合题意，应舍去），； ②当点在线段上，点在线段的延长线上时 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：； ③当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时， 此时， 由题意知：， 整理得：， 解得：，，（不合题意，应舍去）， 综上所述，经过秒、5秒或秒后，的面积为. 题型七：几何综合压轴 38．（2022秋•长宁区校级期末）在中，已知，，点在射线上，联结，． （1）如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； （2）如图2，当点在边上时，求证：； （3）若，，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）或． 【分析】（1）依据题意，由的垂直平分线经过点，从而，故，再结合，求出，最后，进而计算可以得解； （2）依据题意，取的中点，连接，可得，即，从而．，再由，故，从而，进而可以判断得解； （3）依据题意，分在边上时和在的延长线上两种情况，然后在中和在中利用勾股定理建立方程进而计算可以得解． 【解答】（1）解：的垂直平分线经过点， ． ． 又， ． ． 又， ． （2）证明：如图1，取的中点，连接． ， ． ， ． ． ． ． ． （3）解：如图2，当在边上时，作于， 又， ． 设， ． ． ，． ，． 在中，， 在中，， ． ，即． 如图3，当在的延长线上时，连接，作于，再取的中点，连接． 由题意，， ． ． ． 又， ． 设， ． ． ． ． ． ． 在中，， 在中，， ． ，即． 综上，的长为或． 【点评】本主要考查了线段垂直平分线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 39.如图，在中，，，为边上的中线，是边上任意一点，，交于点．为的中点，连接并延长交于点． （1）说明：； （2）连接，说明：； （3）若，，求边的长． 【分析】（1）通过全等三角形的对应边相等证得； （2）根据和斜边上中线的性质来证明； （3）求出的长是4，在中，，根据勾股定理求出，即可求出． 【解答】解：（1）证明：，， ， 为边上的中线， ，， ， ， 即， ， ，， ， 在和中， ， ； （2），为的中点， ， ，为的中点， ， ； （3），是边上的中线， ， ， ，， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上1的中线性质以及勾股定理等知识的综合运用，考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 40．把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，，F在同一直线上．，，，，，点P是线段的中点．从图1的位置出发，以的速度沿射线方向匀速运动，如图2，与相交于点Q，连接．当点D运动到边上时，停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的长； (2)当点A在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中是否存在以为底的等腰三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在运动过程中存在以为底的等腰三角形，此时的值为 【分析】本题考查了勾股定理、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． （1）先根据直角三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的判定与性质可得，然后根据求解即可得； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，从而可得的长，由此即可得； （3）过点作于点，根据等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得的长，从而可得的长，由此即可得． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 由题意得：， 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵点是线段的中点，， ∴， 当点在线段的垂直平分线上时，则， ∵， ∴， 由（1）已得：， ∴， 所以的值为． （3）解：当点运动到边上，停止运动时，， ∴， 如图，是以为底的等腰三角形，过点作于点， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，符合题意， 所以在运动过程中存在以为底的等腰三角形，此时的值为． 41．已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． (1)如图1，当时，时，求的大小； (2)当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）由平行线的性质求解，再利用三角形的外角的性质可得答案； （2）①证明，可得，再利用勾股定理求解即可；②如图，过作于，当在的右边时，利用勾股定理求出，可得，用等面积法可得，可得，根据，从而可得答案；当在的左边时，如图，同理可得，，，，证明，即可得到． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵，， ； （2）解：①，， ， ∵，， ，，，， ， ， ， ∴， ， ， ∵， ， 解得：（负根舍去）； ②如图，过作于，当在的右边时， ∵，， ，， ∵， ， ， ， ， ， 当在的左边时，如图， 同理可得：，，， ∴， 由（1）得：， 而，， ∴， ∴； 综上：或． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握知识点是解本题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学上学期同步培优讲义 期末复习满分冲刺讲义（压轴篇） 题型一：概念结论辨析 题型二：二次根式的化简与求值 题型三：一元二次方程根与系数的关系应用 题型四：直角三角形与平分线综合 题型五：图形的运动 题型六：应用题 题型七：几何综合压轴 题型一：概念结论辨析 1．（24-25八上·上海市西中学·期中)下列语句正确的是（    ） A．是5的一个平方根 B．400万有7个有效数字 C．近似数12.8和12.80表示的意义是相同的 D．一个数的平方根与其立方根相同，则这个数是1 2．（24-25八上·上海嘉定区德富中学·期中)下列说法正确的是（   ） A．立方根是它本身的数是0和 B．平方根是它本身的数是0和1 C．算术平方根是它本身的数是1 D．绝对值是它本身的数是0 3．（24-25八上·上海师范大学附属高桥实验中学·月考)下列说法正确的是（　　） A．1的平方根与立方根相同 B．实数与数轴上的点一一对应 C．两个无理数的和还是无理数 D．对于实数，若，则 4.（24-25八年级上·上海普陀·阶段练习）设关于的方程的两个实数根为、，现给出三个结论：①；  ②；  ③． 则正确结论的个数是 （   ） A．1 B．2 C．3 D．无法确定 5．(24-25八上·上海松江区·期末)如图，在中，，是斜边的中线，是斜边的高，如果恰好是边上的中线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（   ） A． B．点到的距离等于线段的长度 C．点在线段的垂直平分线上 D． 题型二：求值与范围问题 7. 已知，则a的取值范围是（   ）． A． B． C． D． 8. 已知：，，，__________． 9. 已知、是实数，有且只有三个不同的满足方程，则的最小值是_____． 10．(24-25八上·上海闵行区北桥中学·期末)已知是方程的一个根，则 ． 11．(24-25八上·上海闵行区七宝第二中学·期末)已知三个不同的实数a、b、c满足，关于的方程和有一个相同的实数根，关于的方程和也有一个相同的实数根，则的值为 ． 题型三：一元二次方程根与系数的关系应用 12. 已知是方程的两根，则的值是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 13. 若实数a，b满足2a2﹣5a＝2b2﹣5b＝3，且a≠b，则a2b+ab2的值为 　 ． 14．(24-25八上·上海松江区·期末)如果关于的一元二次方程有两个实数根、，且，那么称该方程的两个根的距离为1．如果关于的方程的两个根的距离为1，则代数式的值是 ． 15.已知x1、x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+3＝0的两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）是否存在实数根m，使（x1﹣1）（x2﹣1）＝m+6成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明 理由． 16.已知关于x的一元二次方程x2+2（m﹣1）x+m2＝0． （1）若方程有实数根，求m的取值范围； （2）若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足14．求4x2﹣10的值． 17.已知关于x的方程kx2+（k+1）x0有实根． （1）当k＝4时，求解上述方程； （2）求k的取值范围； （3）是否存在实数k，使方程两根的倒数和为1？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 题型四：直角三角形与平分线综合 18．(24-25八上·上海黄浦区·期末)如图，中，是边上的中线，是的角平分线，下列结论错误的是（   ） A． B．点到的距离等于线段的长度 C．点在线段的垂直平分线上 D． 19．(24-25八上·上海长宁区·期末)在中，为钝角，都是这个三角形的高，P为的中点，若，则的度数为 ． 20．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，在中，，点在边上且到边和边的距离相等．以点为圆心，线段的长为半径画弧交边于点，连接．下列结论中，不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 题型五：图形的运动 21．已知点、分别是等边边、上的动点，将沿直线翻折，使点恰好落在边上的点处，如果是直角三角形，且，那么的长是 ． 22．在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13，如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动.若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为 ． 23．如图，在中，，，，点D是的中点，将沿直线翻折后点A落在点E，那么的长为 24．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，点D为边BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折得到△AED，点C的对应点为点E，联结BE，如果△BDE是以BD为直角边的等腰直角三角形，那么BC的长等于 ． 25．（2022秋•徐汇区期末）在中，，，，如图所示．如果将绕着点顺时针旋转得到，其中点、的对应点分别为点、，联结，那么的长等于　　． 26．(24-25八上·上海普陀区·期末)如图，已知等腰中，，．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为点．如果直线与直线的夹角为，那么面积的值等于 ． 题型六：新定义问题 27．对任意两个实数、定义两种运算：，，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：，，，那么等于（    ） A． B．3 C．6 D． 28.对于任意的正数、定义运算，，计算的结果为 ． 29.对于实数，，定义运算“*”： ．例如，因为，所以．若是一元二次方程的两个根，则 ． 30.对于实数，，定义的含义为：当时，，当时，，例如：，已知，，且和为两个连续正整数，则的值为 ． 31.定义：关于的一元二次方程：（、、是常数，）与（、、是常数，），称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．如果关于的一元二次方程：与（、是常数，）是“同族二次方程”．那么代数式的最小值是 ． 32．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为 ． 题型六：应用题 33. 如图，要建一个面积为140平方米的仓库，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙垂直的一边要开一扇2米宽的门．已知围建仓库的现有木板材料可使新建板墙的总长为32米，那么这个仓库的宽和长分别为多少米？ 34. 云栖小小的经营者要把如图所示的区域分隔成三个面积相同的商铺出租．已知铺面两面靠墙，墙长分别为米和米，三间商铺都在沿街开一个1米宽的门．经营者共用去板材45(不计损耗)． （1）若三间商铺总面积为，求每间商铺的长和宽分别是多少？ （2）小王作为个体经商户，希望同时租下三间铺面开设不同的商铺，但要求在不增加板材的基础上，使这三间商铺的总面积达到最大．已知商铺的租金为每月每平方米元，请问小王每月需要付给经营者多少租金？ 35．（2025·上海·模拟预测）“端午临中夏，时清日复长”．临近端午节，一网红门店接到一批3200袋粽子的订单，决定由甲、乙两组共同完成．已知甲组3天加工的粽子数比乙组2天加工的粽子数多300袋．两组同时开工，甲组原计划加工10天、乙组原计划加工8天就能完成订单． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少袋粽子； (2)两组人员同时开工2天后，临时又增加了500袋的任务，甲组人员从第3天起提高了工作效率，乙组的工作效率不变．经估计，若甲组平均每天每多加工100袋粽子，则甲、乙两组就都比原计划提前1天完成任务．已知甲、乙两组加工的天数均为整数，求提高工作效率后，甲组平均每天能加工多少袋粽子？ 36．（24-25八年级上·上海静安·阶段练习）为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 37.（2024八年级上·上海静安·专题练习）如图所示，中，，，． (1)点从点开始沿边向以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动．如果、分别从，同时出发，线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由． (2)若点沿射线方向从点出发以的速度移动，点沿射线方向从点出发以的速度移动，、同时出发，问几秒后，的面积为？ 题型七：几何综合压轴 38．（2022秋•长宁区校级期末）在中，已知，，点在射线上，联结，． （1）如图1，若的垂直平分线经过点，求的度数； （2）如图2，当点在边上时，求证：； （3）若，，请直接写出的长． 39.如图，在中，，，为边上的中线，是边上任意一点，，交于点．为的中点，连接并延长交于点． （1）说明：； （2）连接，说明：； （3）若，，求边的长． 40．把一副三角板按如图1摆放（点C与点E重合），点B，，F在同一直线上．，，，，，点P是线段的中点．从图1的位置出发，以的速度沿射线方向匀速运动，如图2，与相交于点Q，连接．当点D运动到边上时，停止运动．设运动时间为． (1)当时，求的长； (2)当点A在线段的垂直平分线上时，求t的值； (3)在运动过程中是否存在以为底的等腰三角形，如果存在，请直接写出t的值；如果不存在，请说明理由． 41．已知在中，，点D在线段上，点F在射线上，连接，作交射线于E，． (1)如图1，当时，时，求的大小； (2)当，时， ①如图2，连接，当，求的长； ②若，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $