精品解析：江苏省扬州市江都区第三中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

江都区第三中学2025-2026学年第一学期九年级数学学科阶段练习 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 方程x( x + 2 )＝0的解是（　　） A. x＝0 B. x＝2 C. x＝0或x＝2 D. x＝0或x＝-2 2. 若函数 是关于x的二次函数，则m的取值为（   ） A. B. 1 C. D. 任何实数 3. 如图，以下三个三角形中，相似的是（ ） A. （1）和（2） B. （2）和（3） C. （1）和（3） D. （1）和（2）和（3） 4. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，那么新的抛物线解析式是（ ）． A. B. C. D. 6. 对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得；，S2甲=0.025，S2乙=0.026，下列说法正确的是（ ） A. 甲短跑成绩比乙好 B. 乙短跑成绩比甲好 C. 甲比乙短跑成绩稳定 D. 乙比甲短跑成绩稳定 7. 如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（ ） A. 0 B. C. D. 8. 在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若=，则的值为___________ 10. 一组数据：5、4、3、4、6、6、8，这组数据的中位数是_____． 11. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 12. 如图，若是的直径，是的弦，，则___________°． 13. 如图，圆锥体的高，底面半径 ，则圆锥体的侧面积为___． 14. 已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____． 15. 若是方程的两个根，则_____． 16. 如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_______米． 17. 如图，在矩形中，，，点P在线段上从点B出发向点C运动，同时点Q在线段上以相同速度从点D出发向点A运动，过点A作交直线于点M，当点P从点B运动到点C的过程中，点M的运动路径长是________． 18. 如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得，面积的最大值为_____． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程： （2）计算： 20. 某公司需要经常寄送物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 90 88 （1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差是 ； （2）七位员工对平台B的服务态度评分的众数是 ； （3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 21. 某地铁站有3个出站口,分别为1号、2号、3号,小华和小明先后在该地铁站下车，任意选择一个出站口出站． (1)小华从1号出站口出站的概率是 ； (2)列表或画树状图求两人不从同个出站口出站的概率 22. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一边靠墙（墙的长度为），其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形，如图所示．已知栅栏的总长度为，设较小矩形中与墙平行的一边长为． （1）填空： ①养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含的代数式表示为_____； ②x的取值范围是_____； （2）矩形养殖场的面积能否达到？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 23. 如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 24. 如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连接、、，． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求的长． 25. 今夏，江苏省城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，十三太保大乱斗给我们带来无限激情与欢乐．赛事前半程战绩平平、热度不高的泰州队，努力践行英雄杨根思的“不相信有完不成的任务，不相信有克服不了的困难，不相信有战胜不了的敌人”的战斗誓言，屡斩强敌，在11月1日晚决赛中战胜“超级学霸”南通队，一黑到底！勇夺“苏超”首届冠军奖杯！图1就是“苏超”首座冠军奖杯，通体金黄，造型独特，象征着江苏足球的蓬勃发展．设计灵感源于江苏省内的13座城市，这13根托起足球的旋转条纹，正是象征着这些城市团结一心、携手共进的精神．图2是从奖杯中抽象出的成轴对称的几何模型，、是圆的切线，C、D为切点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）； （2）与相交于P点，将奖杯分为上下两部分，且P点恰好为整个奖杯的一个黄金分割点（偏下），量得奖杯底座，，求奖杯上足球的半径．（结果精确到．参考数据：，，，） 26. 小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图像．请根据函数图像，回答下列问题： （1）观察探究： ①方程的解为： ； ②若方程有四个实数根，则的取值范围是 ． （2）延伸思考： ①在同一个直角坐标系中画出函数的图像； ②观察图像，直线与两个函数图像最多有 个公共点； ③直接写出当时，自变量的取值范围 ． 27. 如图1，在锐角三角形ABC中，点D在边BC上，过点D分别作线段AC，AB的垂线，垂足为点E、F．如果，那么我们把AD叫做△ABC关于的正平分线． （1）如图2，，，，试说明AD为△ABC关于的正平分线； （2）如图3，若AD为△ABC关于的正平分线，过点D作，,． ①试说明：四边形MNFD为正方形； ②若，边AB上的高为80，，求的正平分线AD的长． 28. 如图，二次函数的图像经过点，对称轴为直线，顶点为点P，与y轴交于点A． （1）求二次函数的解析式； （2）连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，判断Q点是否在抛物线上，并说明理由； （3）点B在x轴的正半轴上，以为边在第一象限作矩形．若点C在该函数的图象上，且矩形的两邻边之比为，求点B的坐标． （4）若矩形的面积为10，则的最大值是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江都区第三中学2025-2026学年第一学期九年级数学学科阶段练习 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 方程x( x + 2 )＝0的解是（　　） A. x＝0 B. x＝2 C. x＝0或x＝2 D. x＝0或x＝-2 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解法即可求解方程． 【详解】x( x + 2 )＝0 x=0或x+2=0 ∴x1＝0，x2＝-2 故选D． 【点睛】此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知因式分解法的运用． 2. 若函数 是关于x的二次函数，则m的取值为（   ） A. B. 1 C. D. 任何实数 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，二次函数定义：形如(a)的函数叫二次函数．根据二次函数的定义列出不等式组求解即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 解得： 故选C． 3. 如图，以下三个三角形中，相似的是（ ） A. （1）和（2） B. （2）和（3） C. （1）和（3） D. （1）和（2）和（3） 【答案】B 【解析】 【分析】由两角对应相等的两个三角形相似．即可判断． 【详解】第（1）个三角形的第三角是， 第（2）个三角形的第三角是， 第（3）个三角形的第三角是， ∴（2）和（3）两个三角形的两角对应相等， ∴（2）和（3）两个三角形相似． 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，关键是掌握有两组角对应相等的两个三角形相似． 4. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 5. 将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到新的抛物线，那么新的抛物线解析式是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，根据“上加下减，左加右减”的规律进行解答即可，熟知函数图象平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴根据“上加下减，左加右减”规律可得抛物线是， 故选：． 6. 对甲、乙两同学100米短跑进行5次测试，他们的成绩通过计算得；，S2甲=0.025，S2乙=0.026，下列说法正确的是（ ） A. 甲短跑成绩比乙好 B. 乙短跑成绩比甲好 C. 甲比乙短跑成绩稳定 D. 乙比甲短跑成绩稳定 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差的意义可作出判断，比较出甲乙的方差大小即可． 【详解】解：∵ ∴从平均成绩来看甲、乙两同学的短跑成绩一样，故A,B选项不正确， ∵甲的成绩的方差是S2甲=0.025，乙的成绩的方差是S2乙=0.026，0.025<0.026，  ∴甲的成绩比乙的成绩稳定，  故选：C． 【点睛】本题考查方差了的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 7. 如图，已知抛物线的顶点 A 在 y 轴上，过点 A 作 x 轴的平行直线，将原抛物线对称轴右侧的部分沿直线翻折后，所得的部分与原抛物线对称轴左侧的部分构成一个新函数的图像（图中的实线部分），若这十个点都在此新函数的图像上，这10个点的横坐标从开始依次增加1，则的值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质、轴对称变换、中心对称变换，理解题意，得到根据二次函数的性质及轴对称性质可得到与，与与与都关于点A对称，根据中心对称性质可得，进而可求解． 【详解】解：抛物线的顶点坐标A为，对称轴为y轴， 根据题意，与点A重合，即， ∴根据对称性质可得与，与与与都关于点A对称， ∴， 又， ∴ =， 故选：D． 8. 在平面直角坐标系内，以原点O为圆心，1为半径作圆，点P（m， m＋2），过点P作该圆的一条切线，切点为A，则PA的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知点P在直线上，再结合题意，画出图形．设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H．根据坐标轴上点的坐标特点，由一次函数解析式，求得B、C两点的坐标，即得出OB、OC、BC的长．再根据面积法即可求出OH的长．根据切线的性质可知，即由勾股定理可推出．由OA为圆O半径，是定值，故可知当OP最小时，PA最小，此时OP最小值即为OH的长，由此即可求出PA的最小值． 【详解】解：根据题意可知点P在直线上，设该直线与y轴交于点B，与x轴交于点C，并作于点H，如图． 令，则， 解得：； 令，则． 故B点坐标为(0，)，C点坐标为(-2，0)． ∴，，． ∵， ∴，即． ∵为圆O的切线， ∴， ∴在中，． ∵OA为圆O半径，是定值， ∴当OP最小时，PA最小． ∵OP最小时即为OH的长， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，切线的性质，勾股定理．根据题意作出图形，并理解当OP最小时，PA最小，且OP最小值为OH的长是解答本题的关键． 二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9. 若=，则的值为___________ 【答案】 【解析】 【分析】先将代数式化简，再把已知的值代入计算即可求解． 【详解】解： ， ， ∴， 故答案是： ． 【点睛】本题主要考查代数式的化简求值，解题的关键是掌握代数式的加减乘除的计算法则． 10. 一组数据：5、4、3、4、6、6、8，这组数据的中位数是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查的是中位数的意义及计算方法，找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数(或两个数的平均数)为中位数． 将数据按从小到大排序后，找出中间位置的数． 【详解】数据排序后为：3、4、4、5、6、6、8． 数据个数为7，是奇数，中位数是第4个数，即5． 故答案为：5． 11. 已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于c的方程即可． 【详解】∵，，， 根据题意得， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（）的根与有如下关系：当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程无实数根． 12. 如图，若是的直径，是的弦，，则___________°． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识．连接．首先证明，求出即可解决问题． 【详解】解：连接． 是直径， ， ， ， ， 故答案为：35． 13. 如图，圆锥体的高，底面半径 ，则圆锥体的侧面积为___． 【答案】8π 【解析】 【详解】试题分析：根据勾股定理得，母线l=；则圆锥的侧面积为．故答案为． 考点：圆锥的计算． 14. 已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于_____． 【答案】15或10 【解析】 【分析】作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D，分AB、AC位于AD异侧和同侧两种情况，先在Rt△ABD中求得AD、BD的值，再在Rt△ACD中利用勾股定理求得CD的长，继而就两种情况分别求出BC的长，根据三角形的面积公式求解可得． 【详解】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D， ①如图1，当AB、AC位于AD异侧时， 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10， ∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5， 在Rt△ACD中，∵AC=2， ∴CD=， 则BC=BD+CD=6， ∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15； ②如图2，当AB、AC在AD的同侧时， 由①知，BD=5，CD=， 则BC=BD-CD=4， ∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10． 综上，△ABC的面积是15或10， 故答案为15或10． 【点睛】本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股定理． 15. 若是方程的两个根，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．根据一元二次方程的根与系数的关系，先求出两根之和与两根之积，再代入所求表达式计算． 【详解】解：∵方程中，，，． ∴由根与系数的关系，得 ，． 因此． 故答案为：． 16. 如图，防洪大堤的横断面是梯形，坝高AC=6米，背水坡AB的坡度i=1：2，则斜坡AB的长为_______米． 【答案】6 【解析】 【分析】设出垂直高度，表示出水平宽度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵背水坡AB的坡度i=1：2，AC=6， ∴BC=12． 根据勾股定理可得： AB===6（米）． 故答案为6. 【点睛】此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tanα（坡度）=垂直距离：水平距离． 17. 如图，在矩形中，，，点P在线段上从点B出发向点C运动，同时点Q在线段上以相同速度从点D出发向点A运动，过点A作交直线于点M，当点P从点B运动到点C的过程中，点M的运动路径长是________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意确定点A、点G、点I和点H四点共圆，利用矩形的性质和三角形面积公式求得，则，，，即有、、和为等边三角形，进一步求得，点M的轨迹是以得内心O为圆心为半径的圆弧，进一步求得，，且，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图， 当点P在起点B处时，点M位于初始位置时为点I，当点P与点Q运动至中点时，点M即为点H是的中点，当点P运动到点C时，点M和点A重合，过点M作交于点G，连接，取其中点O，连接和， 则， ∴点A、点G、点I和点H四点共圆， ∵四边形矩形， ∴， ∵，， ∴，，即， ∵， ∴，解得， ∴， ∴，， ∵， ∵ ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， 同理可证，为等边三角形， 则， ∴为等边三角形， ∵点H和点G为中点， ∴， 则， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四点共圆、矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及弧长公式，解题的关键是找到点的轨迹和求得其圆心以及半径长． 18. 如图，在等腰直角三角形中，，，是的中点，是边上的动点，作，交于点，延长到点，使得，面积的最大值为_____． 【答案】9 【解析】 【分析】连接，取的中点，连接并延长交于点，证明，得到，证明，得到，，进而得到，推出为等腰直角三角形，求出，设，则：，，根据面积，转化为二次函数求最值即可． 【详解】解：连接，取的中点，连接并延长交于点， ∵，，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，即：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则：，， ∴， ∴面积， ∴面积的最大值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定性质，二次函数求最值． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程： （2）计算： 【答案】(1) ；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程，即可得到答案； （2）由特殊角的三角函数值进行计算，然后计算加减运算即可． 【详解】解：（1）， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） = = =． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 20. 某公司需要经常寄送物品，准备从A，B两家快递平台中选择一家作为日常使用．该公司让七位相关员工对这两家平台从物品完好度、服务态度与物流时长三项分别评分（单位：分），其中对平台A的服务态度评分为：86，88，89，91，92，95，96；对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95．现将每项七个评分的平均值作为该项的得分，平台A，B各项的得分如下表： 物品完好度 服务态度 物流时长 平台A 92 m 90 平台B 95 90 88 （1）七位员工对平台A的服务态度评分的极差是 ； （2）七位员工对平台B的服务态度评分的众数是 ； （3）如果公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分，并以此为依据选择平台，请问该公司会选择哪家平台？ 【答案】（1）10 （2）86 （3）选择平台B 【解析】 【分析】本题主要考查极差、众数，加权平均数，解题的关键是掌握极差、加权平均数和众数的定义． （1）根据极差的概念求解即可； （2）根据众数的概念求解即可； （3）根据加权平均数的定义列式计算，继而比较大小即可得出答案． 【小问1详解】 解：七位员工对平台A的服务态度评分的极差（最大值与最小值的差）是， 故答案为：10； 【小问2详解】 解：对平台B的服务态度评分为：86，86，89，90，91，93，95， 因为86出现2次，次数最多， 故众数为86； 【小问3详解】 解：， ∵公司将物品完好度、服务态度、物流时长三项的得分按的比例确定平台的最终得分， A平台：分， B平台：分， ， ∴该公司会选择平台B． 21. 某地铁站有3个出站口,分别为1号、2号、3号,小华和小明先后在该地铁站下车，任意选择一个出站口出站． (1)小华从1号出站口出站的概率是 ； (2)列表或画树状图求两人不从同个出站口出站的概率 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式计算可得． （2）画树状图得出所有等可能结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：（1）总共有3个出站口，所以小华从1号出站口出站的概率是， 故答案为； （2）画树状图如下： 总共有9种等可能的情况数，两人不从同个出站口出站的情况有6种，所以P=， 答：两人不从同个出站口出站的概率是. 【点睛】本题考查简单概率的计算，熟练掌握列表和画树状图的方法以及概率公式是解题的关键. 22. 某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一边靠墙（墙的长度为），其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形，如图所示．已知栅栏的总长度为，设较小矩形中与墙平行的一边长为． （1）填空： ①养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含的代数式表示为_____； ②x的取值范围是_____； （2）矩形养殖场的面积能否达到？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）①；② （2）能， 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）①由“中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形”得，即可得，再由即可得出结论； ②由“墙的长度为”得，继而可得x的取值范围； （2）根据题意列一元二次方程，解方程，有附合题意的解，即可得出结论． 【小问1详解】 解：①由题意得，， ∵中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵墙的长度为， ∴， 即， ∴x的取值范围是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：能． 根据题意，列方程得， 整理，得， 解方程，得，， 由（1）可知，， ， 即矩形养殖场的面积能达到，此时的值是． 23. 如图，正方形中，E，F分别是边，上的点，，，连接并延长交的延长线于点G． （1）求证：； （2）若正方形的边长为4，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （2）； 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，根据，即可得到，结合相似三角形的判定即可得到证明； （2）由正方形及平行线的性质可得，再由对顶角相等，可得，利用相似三角形的对应边成比例即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为4，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】主要考查正方形的性质及相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 24. 如图，为的外接圆，直径垂直于弦，垂足为点．点为圆外一点，连接、、，． （1）求证：为的切线； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵直径垂直于弦， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵为半径， ∴为的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）先由垂径定理得到，则，再导角证明，则，即可证明； （2）可证明四边形是平行四边形，则，，然后解求出，连接，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， 连接，如图： 设，则 在中，由勾股定理得， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定，解直角三角形，垂径定理，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握各知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 25. 今夏，江苏省城市足球联赛（俗称“苏超”）火爆出圈，十三太保大乱斗给我们带来无限激情与欢乐．赛事前半程战绩平平、热度不高的泰州队，努力践行英雄杨根思的“不相信有完不成的任务，不相信有克服不了的困难，不相信有战胜不了的敌人”的战斗誓言，屡斩强敌，在11月1日晚决赛中战胜“超级学霸”南通队，一黑到底！勇夺“苏超”首届冠军奖杯！图1就是“苏超”首座冠军奖杯，通体金黄，造型独特，象征着江苏足球的蓬勃发展．设计灵感源于江苏省内的13座城市，这13根托起足球的旋转条纹，正是象征着这些城市团结一心、携手共进的精神．图2是从奖杯中抽象出的成轴对称的几何模型，、是圆的切线，C、D为切点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出这个圆的圆心（保留作图痕迹，并写出必要的文字说明）； （2）与相交于P点，将奖杯分为上下两部分，且P点恰好为整个奖杯的一个黄金分割点（偏下），量得奖杯底座，，求奖杯上足球的半径．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】（1） 如图2，点即为所求． （2） 【解析】 【分析】（1）先过作直线的垂线，再过作直线的垂线，与的交点即为所求． （2）如图3，连接，，并延长交于，延长交圆于，证明，，，，，再进一步求解即可． 【小问1详解】 由作图可得：，， ∴圆心在直线上，圆心也在直线上， ∴直线与直线的交点即为圆心． 【小问2详解】 解：如图3，连接，，并延长交于，延长交圆于， ∵、是圆的切线，C、D为切点． ∴，，， ∵结合题意可得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵P点恰好为整个奖杯的一个黄金分割点（偏下）， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，， ∴， 解得：，经检验符合题意． 【点睛】本题考查的是作线段的垂线，圆的切线的性质，切线长定理的应用，平行线分线段成比例，解直角三角形的应用，熟练作图是解本题的关键． 26. 小爱同学学习二次函数后，对函数进行了探究，在经历列表、描点、连线步骤后，得到如下的函数图像．请根据函数图像，回答下列问题： （1）观察探究： ①方程的解为： ； ②若方程有四个实数根，则的取值范围是 ． （2）延伸思考： ①在同一个直角坐标系中画出函数的图像； ②观察图像，直线与两个函数图像最多有 个公共点； ③直接写出当时，自变量的取值范围 ． 【答案】（1）①或或；② （2）①图像如图所示： ② ③或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象和性质，数形结合是解题的关键． （1）①根据图象即可求得； ②根据图象即可求得； （2）①根据“上加下减”的平移规律，画出函数的图象，即可作答． ②根据图象即可得到结论． ③根据图象即可得到结论． 【小问1详解】 解：观察探究： ①由函数图象可知：方程的解为：或或； ②若方程有四个实数根，由函数图象可知：的取值范围是：． 故答案为：①或或；②； 【小问2详解】 ①将函数的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数的图象 ②直线与两个函数图像最多有个公共点 ③当时，自变量的取值范围是或． 27. 如图1，在锐角三角形ABC中，点D在边BC上，过点D分别作线段AC，AB的垂线，垂足为点E、F．如果，那么我们把AD叫做△ABC关于的正平分线． （1）如图2，，，，试说明AD为△ABC关于的正平分线； （2）如图3，若AD为△ABC关于的正平分线，过点D作，,． ①试说明：四边形MNFD为正方形； ②若，边AB上的高为80，，求的正平分线AD的长． 【答案】（1） 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵DE⊥AC，DF⊥AB， ∴∠CED=∠BFD=90°， ∴△CDE∽△BDF， ∴， ∵， ∴， ∴AD为△ABC关于的正平分线； （2） ①∵，，． ∴DM⊥MN， ∴∠DMN=∠MNF=∠DFN=90°， ∴四边形DFNM是矩形， ∵， ∴∠CMD=∠CAB ∴sin∠CAB=sin∠CMD， ∴， ∴DF=DM， ∴四边形MNFD为正方形； ②． 【解析】 【分析】（1）证明△CDE∽△BDF推出，即可得到结论； （2）①先证明四边形DFNM是矩形，利用推出∠CMD=∠CAB，得到sin∠CAB=sin∠CMD，列得，得到DF=DM，即可证得四边形MNFD为正方形； ②过点C作CH⊥AB于H，交MD于G，设DF=4x，则FB=3x，DM=4x，证明△CMD∽△CAB，求出，列得x=12，根据勾股定理求出AD． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②过点C作CH⊥AB于H，交MD于G， ∵， ∴设DF=4x，则FB=3x，DM=4x， ∵， ∴△CMD∽△CAB， ∴， ∴， ∴，解得x=12， ∴DF=48，AF=AB-FB=84， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，三角函数的知识，正方形的判定定理，正确掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 28. 如图，二次函数的图像经过点，对称轴为直线，顶点为点P，与y轴交于点A． （1）求二次函数的解析式； （2）连接，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，判断Q点是否在抛物线上，并说明理由； （3）点B在x轴的正半轴上，以为边在第一象限作矩形．若点C在该函数的图象上，且矩形的两邻边之比为，求点B的坐标． （4）若矩形的面积为10，则的最大值是 ． 【答案】（1）二次函数的解析式为 （2） 解：Q点不在抛物线上，理由如下： ， ∴此抛物线顶点为， 当时，， ， 作轴于点M，作轴于点N， ， ∵将线段绕点A逆时针旋转得到线段， ， ， ， ， ， ， 当时，， 故Q点不在此抛物线上； （3）点B的坐标或 （4）的最大值为 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的三边关系求最值，直角三角形的性质，熟练掌握以上内容并正确作出辅助线是解题关键． （1）用待定系数法求表达式即可； （2）先求出抛物线顶点为，，作轴于点M，作轴于点N，证明，求出，进而得出结论； （3）设，作轴于点E，证明，得出，再分两种情况：当时或当时，分别求出即可； （4）作轴交直线于点F，证明，求出，取的中点M，连接，求出，根据求出最值即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像经过点，对称轴为直线， ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设，作轴于点E， ， 在矩形中，， ， ， ， ， 当时， ， ， 把代入， 则， 解得：（负值不合题意舍去）， ； 当时， ， ， 把代入， 则， 解得：（负值不合题意舍去）， ； 综上所述，点B的坐标或； 【小问4详解】 解：作轴交直线于点F， 在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点M，连接， 则， ， 故， 当且仅当O、M、D三点共线时取等号， ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $