13.1三角形中的边角关系 (第2课时) 课件 2025-2026学年沪科版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦“三角形按角分类”与“内角和定理”，通过回顾三角形按边分类过渡到按角分类，以提问“按角分为哪几类”引导学生回忆，搭建新旧知识支架，帮助构建知识脉络。 其亮点在于通过剪拼、折叠实验让学生直观感知内角和定理，培养数学眼光；例题与练习采用一题多解（如练习4两种方法）及“母子型”模型，强化数学思维；规范解题步骤助力数学语言表达。学生能提升探究与推理能力，教师可获结构化资源，提高教学效率。

PPT示范 例1 已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D. ∠ABD=54°， ∠DBC=18°. 求∠A和∠C的度数. A B C D 54° 18° 课本P67页 例2 ∠BDC=∠BDA=90° ← BD⊥AC 分析： 在△ABD中， ∠A + ∠ABD + ∠BDA =180°, (三角形的内角和为180°） ？ 在△BCD中， ∠C + ∠DBC + ∠BDC =180°, (三角形的内角和为180°） ？ 学习代数证明不仅需要记忆公式，更需要掌握旋转的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何自动化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握频率直方图的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握因式分解的技巧。 PPT示范 例1 已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D. ∠ABD=54°， ∠DBC=18°. 求∠A和∠C的度数. A B C D ∠C=180°– ∠BDC – ∠DBC 解 : 因为BD⊥AC， （已知） 所以 ∠BDA=∠BDC=90°. 在△ABD中， ∵ ∠A+∠ABD+∠BDA=180°, =180°– 90°– 54°=36° . 在△BCD中， =180°–90°–18° =72° . (三角形的内角和为180°） （垂直定义） 54° 18° ∴∠A=180°– ∠BDA – ∠ABD 课本P67页 例2 13.1 三角形中的边角关系 (第2课时) 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 学习代数证明不仅需要记忆公式，更需要掌握旋转的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何自动化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握频率直方图的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握因式分解的技巧。 1 2 3 掌握三角形的内角和定理. 能应用三角形内角和定理解决一些简单的实际问题. 经历实验活动的过程，得出三角形的内角和定理. 知识回顾 三角形 定义及其基本要素 顶点、角、边 按边分类 三边关系 原理 两点之间线段最短 内容 两边之和大于第三边 两边之差小于第三边 a–b <x<a+b (a>b, x为第三边） 应用 不等边三角形 等腰三角形（包括等边三角形） 学习代数证明不仅需要记忆公式，更需要掌握旋转的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何自动化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握频率直方图的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握因式分解的技巧。 新知导入 三角形若按角来分类，分为哪几类？ 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 你能说说它们分别是怎样定义的吗？ 三个角都是锐角的三角形叫作 ； 有一个角是钝角的三角形叫作 . 有一个角是直角的三角形叫作 ； 三角形， 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 新知导入 在介绍等腰三角形时，我们对它的边进行了区分，分为腰和底边. 直角三角形 直角边 斜边 我们怎么对它的边长加以区分呢？ 直角三角形中， (1) 直角三角形中夹直角的两边叫做 ， 直角相对的边叫做 ， (2) 直角三角形ABC， 可以写成 ； 直角边 斜边 Rt△ABC (3) 我们把不是直角三角形的归为一类，称为 ， 所以斜三角形包括 . 斜三角形 锐角三角形和钝角三角形. 直角边 学习代数证明不仅需要记忆公式，更需要掌握旋转的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何自动化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握频率直方图的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握因式分解的技巧。 归纳总结 三角形按角的大小，可分为 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 三角形 三角形按角的大小分类，也可以表示为 直角 三角形 锐角 三角形 钝角 三角形 ★ 新知探究 探究1 我们再回忆一下，在一个三角形中三个内角之间有什么关系？ 三角形的内角和等于180° 你还记得在小学时，我们是怎样知道这个关系的吗？ 用折叠和剪拼的方法得到的. A B C B C A 剪拼法 ★ B C A B l l 学习代数证明不仅需要记忆公式，更需要掌握旋转的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何自动化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握频率直方图的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握因式分解的技巧。 新知探究 探究1 三角形的内角和等于180° . 折叠法 3 1 2 新知探究 折叠法 3 1 2 2 3 1 三角形的内角和等于180° 探究1 三角形的内角和等于180° . 学习代数证明不仅需要记忆公式，更需要掌握旋转的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何自动化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握频率直方图的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握因式分解的技巧。 小试能手 练习1 选择题 (1) 在△ABC中，∠A =50°，∠B =80°，则∠C =（ ）. A. 40° B. 50° C. 10° D. 110° (2) 在△ABC中，∠A =80°，∠B =∠C，则∠B =（ ） A. 50° B. 40° C. 10° D. 45° B A 练习精讲 练习2 在△ABC中： (1) 若 ∠A : ∠B : ∠C=3 : 4 : 5，则∠C= . 75° 课本P68练习 第1题 分析：设K法. （三角形的内角和为180°） 设∠A=3k，∠B=4k，∠C=5k. ∵ ∠A+∠B+∠C=180° ， ∴ 3k+4k+5k=180° ， ∴ k=15° ， ∴ ∠C=5k=75° ， 遇比值，设K法. (2) 若 ∠A =105°，∠B–∠C =15°，则∠C= ； 30° 学习代数证明不仅需要记忆公式，更需要掌握旋转的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何自动化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握频率直方图的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握因式分解的技巧。 典例精讲 例1 已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D. ∠ABD=54°， ∠DBC=18°. 求∠A和∠C的度数. A B C D 54° 18° 课本P67页 例2 ∠BDC=∠BDA=90° ← BD⊥AC 分析： 在△ABD中， ∠A + ∠ABD + ∠BDA =180°, (三角形的内角和为180°） ？ 在△BCD中， ∠C + ∠DBC + ∠BDC =180°, (三角形的内角和为180°） ？ 典例精讲 例1 已知：如图，△ABC中，BD⊥AC，垂足为D. ∠ABD=54°， ∠DBC=18°. 求∠A和∠C的度数. A B C D ∠C=180°– ∠BDC – ∠DBC 解 : 因为BD⊥AC， （已知） 所以 ∠BDA=∠BDC=90°. 在△ABD中， ∵ ∠A+∠ABD+∠BDA=180°, =180°– 90°– 54°=36° . 在△BCD中， =180°–90°–18° =72° . (三角形的内角和为180°） （垂直定义） 54° 18° ∴∠A=180°– ∠BDA – ∠ABD 课本P67页 例2 学习代数证明不仅需要记忆公式，更需要掌握旋转的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何自动化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握频率直方图的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握因式分解的技巧。 练习精讲 练习3 如图，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足是点D. (1) 写出图中所有直角三角形，并指出它们的斜边. (2) 写出图中所有相等的锐角； 课本P68练习 第2题 (2) 根据同角(或等角)的余角相等. ∠A=∠BCD， ∠ACD=∠B， 解 : (1) Rt△ABC，Rt△ACD，Rt△BCD， Rt△ABC的斜边是AB， Rt△ACD的斜边是AC， Rt△BCD的斜边是BC， 母子型 (双垂直模型) A B C D 练习精讲 课本P68练习 第3题 B C A D 70° 练习4 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是点D，∠B=70°，∠BAC=46°. 求∠CAD的度数. ∠BAC=46° ？ (一题多解) ∠ADB=∠ADC=90° ← AD⊥BC 分析： 在△ACD中， ∠CAD + ∠C + ∠ADC =180°, (三角形的内角和为180°） ？ ？ 在△ABC中， ∠BAC + ∠B + ∠C =180°, (三角形的内角和为180°） 学习代数证明不仅需要记忆公式，更需要掌握旋转的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何自动化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握频率直方图的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握因式分解的技巧。 练习精讲 课本P68练习 第3题 B C A D 在△ABC中， 所以 ∠C=∠180°– ∠B – ∠BAC， =180°– 70°– 46°=64° 解： 因为AD⊥BC， （已知） 所以 ∠ADB=∠ADC=90°. （垂直定义） 在△ACD中， ∠CAD=∠180°– ∠C – ∠ADC， =180°– 64°– 90°=26° . 因为 ∠B+∠BAC+∠C=180°， 70° 练习4 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是点D，∠B=70°，∠BAC=46°. 求∠CAD的度数. ∠BAC=46° ？ (一题多解) 练习精讲 B C A D 方法二 70° ∠BAC=46° ？ 练习4 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是点D，∠B=70°，∠BAC=46°. 求∠CAD的度数. (一题多解) 课本P68练习 第3题 ∠ADB=∠ADC=90° ← AD⊥BC 分析： ∠CAD= ∠BAC – ∠BAD ？ 在△ABD中， ∠BAD + ∠B + ∠ADB =180°, (三角形的内角和为180°） 学习代数证明不仅需要记忆公式，更需要掌握旋转的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何自动化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握频率直方图的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握因式分解的技巧。 练习精讲 在△ABD中， ∠BAD=∠180°– ∠B – ∠ADB， =180°– 70°– 90°=20° 又∵ ∠BAC= ∠BAD＋ ∠CAD=46°， ∴ ∠CAD= ∠BAC – ∠BAD =46°– 20°=26°. 解： 因为AD⊥BC， （已知） 所以 ∠ADB=90°. （垂直定义） B C A D 方法二 70° ∠BAC=46° ？ 练习4 如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足是点D，∠B=70°，∠BAC=46°. 求∠CAD的度数. (一题多解) 课本P68练习 第3题 课堂小结 1. 三角形按角的大小，可分为 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 三角形 2、三角形的内角和等于180° . 学习代数证明不仅需要记忆公式，更需要掌握旋转的技巧。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。数学逻辑推理的教学重点应该放在如何自动化上。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握频率直方图的关键在于理解如何评估，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。学习绝对值函数图像不仅需要记忆公式，更需要掌握因式分解的技巧。 思考探究 思考： 三角形的三个内角中，最多只有一个直角或钝角， 为什么？ 反证法 课本P68练习 第4题 课本作业请写在书上，画圈“〇”的题请书写在专属练习本②号上. 第13章 三角形中的边角关系、命题与证明 课后作业： ① P68练习1，2，3，4 ② P71习题13.1 第2，3，5题 $