专题3.1 三角形中的边角关系（高效培优讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题3.1 三角形中的边角关系 教学目标 1.经历探索三角形内角和定理的过程，理解三角形内角和定理及其证明方法。 2.理解三角形的三边关系，会判断三条线段能否组成一个三角形，能运用它解决有关问题。 3.了解三角形的高、中线和角平分线的概念及性质，会画任意三角形的高、中线、角平分线。 教学重难点 教学重点：三角形的概念与分类；三角形三边关系；三角形内角和定理 教学难点：三边关系的应用；复杂图形中的应用 知识点01 三角形的有关概念 1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2.三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【即学即练】一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 知识点02 三角形的分类 按边分类： 按角分类： 【即学即练】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   知识点03 三角形的三边关系 1.三角形任意两边之和大于第三边. 2.三角形任意两边的之差小于第三边. 【即学即练】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 知识点04 三角形内角和定理 三角形的内角和为180°．即在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 【即学即练】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 知识点05 三角形中的几种重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这个交点就是三角形的重心。 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【即学即练】如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型01 三角形的识别 【例1】如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点． (1)的三个顶点是什么?三条边是什么? (2)是哪些三角形的边? 【变式1-1】如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角． 【变式1-2】如图所示， （1）图中有几个三角形？ （2）说出的边和角． （3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？ 题型02 三角形三边关系的应用 【例2-1】判断三条已知线段能否组成三角形（24-25八年级上·安徽淮北·期中）以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（    ） A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6 【例2-2】求三角形第三边的取值范围（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）若的边长均为整数，且最长边等于5，最短边等于3，则第三条边长等于 ． 【例2-3】（三角形三边关系与等腰三角形）一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是 ． 【例2-4】求边长中未知数的取值范围（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围 ． 【例2-5】（三角形三边关系与绝对值综合）已知三边分别是、、， 化简 【例2-6】判断三角形的形状（按边分类）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为． (1)第三边的范围为______． (2)当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 【变式2-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，4，6 D．3，3，8 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）三角形的三边长分别为，，，则第三边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】已知等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长是 ． 【变式2-4】（22-23八年级上·安徽合肥·期中）有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 个不同的三角形． 【变式2-5】已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：． 【变式2-6】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 【变式2-7】已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状； （2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值． 题型03 三角形内角和定理的应用 【例3-1】求三角形的内角度数（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，交线段于D，，，则 度． 【例3-2】判断三角形的形状（按角分类）在中，若，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”、或“钝角”） 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）在中，若，，则的度数为 ． 【变式3-2】（22-23八年级上·安徽淮北·期中）如图，三角形有一部分被墨迹所遮挡，观察可判断三角形的形状为 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）      【变式3-3】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“三倍角三角形”． (1)中，，，是“三倍角三角形”吗？为什么？ (2)若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 题型04 三角形的三种重要线段的应用 【例4-1】三角形的角平分线的应用（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例4-2】三角形的中线的应用（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的周长为 ． 【例4-3】三角形的高的应用（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，分别是，，的对边，将这三条边上的高依次记为，，． （1）当，，时， ． （2）当，时，的取值范围是 ． 【变式4-1】（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，于点E，于点D，交于点B．若，，则 ． 【变式4-2】如图所示，的两条角平分线相交于点，过点作EFBC，交于点，交于点，若的周长为，则 cm． 【变式4-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【变式4-4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 题型05 三角形的三边关系的实际应用 【例5】（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，一个四边形木框，四边长分别为，，，．它的形状是不稳定的，但任意三点不能共线，求和的取值范围． 【变式5-1】“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框． （1）要制作满足上述条件的三角形木框共有　 种． （2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头） 【变式5-2】在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 【变式5-3】实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架． 数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下， 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有_________种制作方案． (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 题型06 由三角形的三边关系证明线段间的不等关系 【例6】（23-24八年级上·安徽池州·期中）如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 【变式6-1】（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【变式6-2】如图，P为中任意一点．证明：． 【变式6-3】如图，已知中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：． 题型07 有关三角形个数的探究 【例7】如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A．10 B．15 C．21 D．28 【变式7-1】根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(    ) A．6(n-1) ； B．6n； C．6(n+1) ； D．12n； 【变式7-2】如图，在中，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中便有6个不同的三角形…… (1)完成下表： 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 (2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ (3)若一直连接到，则图中共有多少个三角形？ 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽六安·期末）若一个三角形的两个内角的度数分别为和，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（    ） A．7 B．5 C．3 D．2 3．（24-25八年级上·安徽池州·期末）中，，，若边的长为偶数，则的周长为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 4．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．含角的直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 6．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知分别为三角形的三边，且满足，，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 二．填空题 7.（24-25八年级上·安徽淮南·期末）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”的度数是 ． 8．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，，为边上的高，若，则的度数为 ． 9．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 三．解答题 10．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知，是边上的中线，且，若的边上的高为2，的边上的高为4，求的长． 11．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知，的三边长分别为，，． (1)求的取值范围； (2)若它是一个等腰三角形，求它的周长． 12．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，这个三角形的最长边为． (1)求的取值范围： (2)若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长． 13.（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 15.某木材市场上的木材规格与价格如下表： 规格/ 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 5 10 15 20 25 30 (1)小明现有2根长度分别为和的木材，现再从这个市场上购买1根木材，将这3根木材首尾顺次相接，钉成一个三角形支架，问有哪几种购买方案？（接头损耗长度忽略不计） (2)在（1）的方案中，小明想花费最少的钱，则他应该选择哪种规格的木材？ 16.如图，在中，点在上，点在上．求证：． 17．（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 18．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.1 三角形中的边角关系 教学目标 1.经历探索三角形内角和定理的过程，理解三角形内角和定理及其证明方法。 2.理解三角形的三边关系，会判断三条线段能否组成一个三角形，能运用它解决有关问题。 3.了解三角形的高、中线和角平分线的概念及性质，会画任意三角形的高、中线、角平分线。 教学重难点 教学重点：三角形的概念与分类；三角形三边关系；三角形内角和定理 教学难点：三边关系的应用；复杂图形中的应用 知识点01 三角形的有关概念 1.三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 2.三角形的基本元素： ①三角形的边：即组成三角形的线段； ②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角； ③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点. 3.三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示． 【即学即练】一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则其中符合三角形概念的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意； B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意； C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意； D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意； 故选：D 知识点02 三角形的分类 按边分类： 按角分类： 【即学即练】（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了三角形的分类．根据三角形的分类，进行判定作答即可． 【详解】解：由题意知，三角形包括等腰三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，A、C正确，故不符合要求； 三角形按照角度分类包括锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，B正确，D错误， 故选：D． 知识点03 三角形的三边关系 1.三角形任意两边之和大于第三边. 2.三角形任意两边的之差小于第三边. 【即学即练】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能组成三角形，故A不符合题意； B、，不能组成三角形，故B不符合题意； C、，不能组成三角形，故C不符合题意； D、，能组成三角形，故D符合题意． 故选：D． 知识点04 三角形内角和定理 三角形的内角和为180°．即在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°. 【即学即练】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）一个三角形三个内角的度数之比是，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】此题考查了三角形的内角和定理．根据三角形的内角和是180°，设三个内角分别为，则，分别求得三个内角的度数，即可解答． 【详解】解：∵一个三角形三个内角的度数之比是， 设三个内角分别为，则 解得：， ∴这三个内角分别为， ∴这个三角形是直角三角形， 故选：A． 知识点05 三角形中的几种重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这个交点就是三角形的重心。 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 【即学即练】如图，已知D是的中点，、分别是的角平分线、高线，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、三角形角平分线的定义、根据三角形中线求长度 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此题的关键． 【详解】A、∵D是的中点，∴，但不一定等于，故本选项结论错误，不符合题意； B、∵是的角平分线，∴，本选项结论正确，符合题意； C、∵是的角平分线，不是高线，∴不等于，故本选项结论错误，不符合题意； D、与的关系不能确定，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 题型01 三角形的识别 【例1】如图，在中，，分别是边上的点，连接，，相交于点． (1)的三个顶点是什么?三条边是什么? (2)是哪些三角形的边? 【详解】（1）解：的三个顶点是点，，，三条边是，，； （2）解：是，，，的边． 【变式1-1】如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指出所有以E为顶点的角． 【答案】图中共有7个三角形；以E为顶点的角是∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF． 【详解】图中共有7个三角形，分别是： △AEF，△ADE，△DEB，△ABF，△BCF，△ABC，△ABE， 以E为顶点的角是：∠AEF，∠AED，∠DEB，∠DEF，∠AEB，∠BEF． 【变式1-2】如图所示， （1）图中有几个三角形？ （2）说出的边和角． （3）是哪些三角形的边？是哪些三角形的角？ 【答案】（1）图中有：，，，，，共5个； （2）的边：，，，角：，，； （3）是，，的边；是，，的角． 【详解】解：（1）图中有：以AB为边的三角形有△ABD，△ABC， 以AD为边的三角形有△ADE，△ADC， 再以DE为边三角形有△DEC， 一共有5个三角形分别为，，，，； （2）的边：，，， 角：，，； （3）是，，的边； 是，，的角． 题型02 三角形三边关系的应用 【例2-1】判断三条已知线段能否组成三角形（24-25八年级上·安徽淮北·期中）以三个连续的偶数为三角形的三条边长，构不成三角形的是（    ） A．4，6，8 B．8，10，12 C．18，20，22 D．2，4，6 【答案】D 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查了三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，据此逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，能构成三角形，不符合题意； B、，能构成三角形，不符合题意； C、，能构成三角形，不符合题意； D、，不能构成三角形，符合题意； 故答案为：D． 【例2-2】求三角形第三边的取值范围（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）若的边长均为整数，且最长边等于5，最短边等于3，则第三条边长等于 ． 【答案】3或或5 【分析】本题考查三角形的三边关系，由题意根据三角形的三边关系即可求得第三边的范围，从而由的边长均为整数，最长边等于5，最短边等于3，确定第三边的长度． 【详解】解：设第三边长是c，则 即 ∵最长边等于5，最短边等于3， ∴ 又为整数 ∴或4或5 故答案为：3或或5． 【例2-3】（三角形三边关系与等腰三角形）一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是 ． 【答案】16或17． 【知识点】确定第三边的取值范围 【详解】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分两种情况讨论： （1）当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16； （2）当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17． ∴这个等腰三角形的周长是16或17． 【例2-4】求边长中未知数的取值范围（24-25八年级上·安徽合肥·期中）若一个三角形三边长分别为2，m和8，则m的取值范围 ． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】设第三边长为m，根据题意，得即，解答即可． 本题考查了三角形三边关系，熟练掌握三边关系是解题的关键． 【详解】解：设第三边长为m，根据题意，得即， 故答案为：． 【例2-5】（三角形三边关系与绝对值综合）已知三边分别是、、， 化简 【答案】 【知识点】整式的加减运算、三角形三边关系的应用、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查三角形的三边关系，绝对值的性质，整式的加减运算．根据三角形的任意两边之和大于第三边可得，，，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，然后利用整式的加减运算进行计算即可得解． 【详解】解：∵、、分别为的三边长， ∴，， ∴，，， ∴ 故答案为：． 【例2-6】判断三角形的形状（按边分类）如果一个三角形的一边长为，另一边长为，若第三边长为． (1)第三边的范围为______． (2)当第三边长为奇数时，求出这个三角形的周长，并指出它是什么三角形（按边分类）． 【答案】(1) (2)    底边和腰不相等的等腰三角形 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形的分类 【分析】（1）三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，据此可求得答案． （2）先求得第三边的长度，然后计算三角形的周长并按边的相等关系分类即可． 【详解】（1）根据三角形两边的和大于第三边，则 ． 即． 根据三角形两边的差小于第三边，则 ． 即． 综上所述 ． 故答案为：． （2）∵第三边的长为奇数， ∴第三边的长为． ∴三角形的周长． ∵两条边的长为，另外一条边的长为， ∴这个三角形是底边和腰不相等的等腰三角形． 【变式2-1】（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列长度的三条线段首尾相接能构成三角形的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，4，6 D．3，3，8 【答案】B 【知识点】构成三角形的条件 【分析】本题考查三角形三边关系，在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形，由此即可判断． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故A不符合题意； B、，能构成三角形，故B符合题意； C、，不能构成三角形，故C不符合题意； D、，不能构成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 【变式2-2】（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）三角形的三边长分别为，，，则第三边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】确定第三边的取值范围 【分析】本题主要考查三角形三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键；根据题意及三角形三边关系可直接进行求解． 【详解】解：由题意得第三边长的取值范围是：，即 故选：C． 【变式2-3】已知等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据和可分别作等腰三角形的腰，结合三角形的三边关系，分别讨论求解． 【详解】解：当为腰时，三边为，由三角形的三边关系可知，不能构成三角形， 当为腰时，三边为，符合三角形的三边关系，周长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，以及分类讨论的思想．解题的关键是能根据题意，进行分类讨论． 【变式2-4】（22-23八年级上·安徽合肥·期中）有4条线段的长度分别是和，选择其中能组成三角形的三条线段作三角形，则可作 个不同的三角形． 【答案】3 【知识点】构成三角形的条件 【分析】根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，即可获得答案． 【详解】解：（1）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形； （2）当取、、三条线段时，∵，故不能构成三角形； （3）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形； （4）当取、、三条线段时，∵，，故能构成三角形． 综上所述，可作3个不同的三角形． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，理解并掌握三角形三边关系解题的关键． 【变式2-5】已知△ABC的三边长分别为1，4，a，化简：． 【答案】 【知识点】确定第三边的取值范围、带有字母的绝对值化简问题 【分析】直接利用三角形三边关系进而得出a的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得出答案． 【详解】解：因为△ABC的三边长分别为1，4，a． 所以4-1<a<4+1． 解得3<a<5． ∴，，， ∴ ． 【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，正确得出a的取值范围是解题关键． 【变式2-6】（24-25八年级上·安徽六安·期中）已知的三边长均为整数，的周长为偶数． (1)若，，求的长． (2)若，求的最大值． 【答案】(1)或10 (2)13 【知识点】确定第三边的取值范围、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）根据三角形的三边关系求出的取值范围，再由为偶数即可得出结论； （2）根据，的周长为偶数，可得为正整数，且为奇数，再根据，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：∵由三角形的三边关系知，，即：， ∴， 又∵的周长为偶数，而、为奇数， ∴为偶数，且为正整数，故或10； （2）解：∵，的周长为偶数， ∴为正整数，且为奇数， ∵ ∴的最大值为13． 【变式2-7】已知△ABC的三边长分别为a，b，c． （1）若a，b，c满足（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0，试判断△ABC的形状； （2）若a＝5，b＝2，且c为整数，求△ABC的周长的最大值及最小值． 【答案】（1）等边三角形；（2）最大值13，最小值11 【知识点】利用算术平方根的非负性解题、确定第三边的取值范围 【分析】（1）根据完全平方式的非负性即可得出结果； （2）根据三角形三边关系即可得出答案． 【详解】解：（1）∵（a﹣b）2＋（b﹣c）2＝0， ∴a﹣b＝0，b﹣c＝0， ∴a＝b＝c， ∴△ABC是等边三角形； （2）∵a＝5，b＝2，且c为整数， ∴5﹣2＜c＜5＋2，即3＜c＜7， ∴c＝4，5，6， ∴当c＝4时，△ABC周长的最小值＝5＋2＋4＝11； 当c＝6时，△ABC周长的最大值＝5＋2＋6＝13． 【点睛】本题考查了算术平方根的非负性，三角形三边关系等知识点，熟知相关知识是解题的关键． 题型03 三角形内角和定理的应用 【例3-1】求三角形的内角度数（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，交线段于D，，，则 度． 【答案】 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查求三角形内角和定理，根据求出，根据角的和差关系计算即可得答案． 【详解】解：如图所示： ∵交线段于D， ∴在的内部， 在中，，， ， ， ． 故答案为：． 【例3-2】判断三角形的形状（按角分类）在中，若，，则是 三角形．（填“锐角”、“直角”、或“钝角”） 【答案】直角 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形内角和，结合，，求出∠B和∠C的度数即可得出三角形的形状． 【详解】解：∵， ∴， 设，则，根据题意得： ， 解得：， 则， ∴是直角三角形． 故答案为：直角． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和的应用和一元一次方程的应用，根据题意求出，是解题的关键． 【变式3-1】（24-25八年级上·安徽阜阳·期中）在中，若，，则的度数为 ． 【答案】/度 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查了三角形的内角和，根据三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 【变式3-2】（22-23八年级上·安徽淮北·期中）如图，三角形有一部分被墨迹所遮挡，观察可判断三角形的形状为 三角形．（填“锐角”、“直角”或“钝角”）      【答案】钝角 【知识点】三角形的分类、三角形内角和定理的应用 【分析】根据三角形的内角和定理可求出被遮住的角的度数，根据三角形的分类即可求解． 【详解】解：根据题意可知被遮住的角的度数为， ∵， ∴该三角形是钝角三角形， 故答案为：钝角． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握以上知识是解题的关键． 【变式3-3】（24-25八年级上·安徽池州·阶段练习）在一个三角形中，如果一个内角是另一个内角的3倍，这样的三角形我们称之为“三倍角三角形”，例如，三个内角分别为，，的三角形是“三倍角三角形”． (1)中，，，是“三倍角三角形”吗？为什么？ (2)若是“三倍角三角形”，且，求中最小内角的度数． 【答案】(1)是，见解析 (2)或 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查新定义问题，涉及三角形内角和定理，读懂题意，理解“三倍角三角形”是解决问题的关键． （1）根据定义，结合三角形内角和定理求解即可得到答案； （2）根据题意，由定义，结合三角形内角和定理分三种情况求解即可得到答案． 【详解】（1）解： 是“三倍角三角形”，理由如下： ∵，， ∴， ∴是“三倍角三角形”． （2）∵， ∴， 设最小的角为， ①当时，，满足题意； ②最小角为时，另外两个角为，，满足题意； ③当时，，，（不合题意，舍去） 答②：中最小内角的度数为或． 题型04 三角形的三种重要线段的应用 【例4-1】三角形的角平分线的应用（24-25八年级上·安徽亳州·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，与交于点，角，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、三角形角平分线的定义 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义和应用，熟练掌握三角形内角和定理和角平分线的定义是解题的关键． 连接，根据题意得到，，进而得出，得到，根据三角形内角和定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 是的角平分线，是的角平分线， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C ． 【例4-2】三角形的中线的应用（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的周长为 ． 【答案】17 【知识点】根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形中线的特点进行解答即可． 【详解】解：∵为的边上的中线， ∴， ∴， ∵的周长比的周长大3， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴的周长为， 故答案为：17． 【例4-3】三角形的高的应用（24-25八年级上·安徽安庆·阶段练习）在中，，，分别是，，的对边，将这三条边上的高依次记为，，． （1）当，，时， ． （2）当，时，的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】三角形三边关系的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形的高的定义，三角形的三边关系； （1）根据等面积法即可求解； （2）根据三角形的三边关系得出两个不等式，，进而即可求解． 【详解】解：（1）∵，，， ∴； 故答案为：． （2）∵，设， ∴ 即 ∵， ∴，即， ∵，同理可得 ∴，即 ∴ 故答案为：． 【变式4-1】（23-24八年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，于点E，于点D，交于点B．若，，则 ． 【答案】 【知识点】与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查了三角形面积公式，熟知三角形面积公式是解题的关键．根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图所示，的两条角平分线相交于点，过点作EFBC，交于点，交于点，若的周长为，则 cm． 【答案】30 【知识点】三角形角平分线的定义、两直线平行内错角相等 【分析】利用平行线的性质和角平分线的定义得到，证出，同理，则的周长即为，可得出答案． 【详解】解：， ， 平分， ， 同理：， 即 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，证出，是解题的关键． 【变式4-3】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16． （1）的面积为 ； （2）设的面积为m，的面积为n，则 ． 【答案】 4 / 【知识点】根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键． （1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可． （2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可． 【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得， ， ∵， ∴， 故答案为：4． （2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到， 又的面积为m，的面积为n，得到即， 如图，连接，根据， 得到， 又是边上的中线，， 故， 解得， 故． 故答案为：． 【变式4-4】（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线， (1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）． (2)若，，求的度数． (3)若，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)②③④ (2) (3) 【知识点】根据三角形中线求面积、与三角形的高有关的计算问题、与角平分线有关的三角形内角和问题 【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键． （1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出 ， ，，据此分别判断各选项即可； （2）先根据三角形的内角和求出，然后分别求出和，再利用角的和差计算即可； （3）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系． 【详解】（1）解：∵，，分别是的高线，角平分线，中线， ∴ ， ，， 而不一定成立，故①不正确，②正确； ∴， ∴，即与互余，④正确； ∴，, ∴，③正确； 综上所述，正确的是：②③④， 故答案为：②③④； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； （3）解：， 理由：在中，，分别是的高和角平分线， ，，， ． 题型05 三角形的三边关系的实际应用 【例5】（22-23八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，一个四边形木框，四边长分别为，，，．它的形状是不稳定的，但任意三点不能共线，求和的取值范围． 【答案】， 【知识点】三角形三边关系的应用、一元一次不等式组的其他应用 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，列出不等式求解即可． 【详解】解：如图，在中，，即， 在中，，即， ∴； 在中，，即， 在中，，即， ∴． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，涉及到了一元一次不等式组的应用，解题关键是掌握三角形的三边关系，能列出不等式（组）求解． 【变式5-1】“佳园工艺店”打算制作一批有两边长分别是7分米，3分米，第三边长为奇数（单位：分米）的不同规格的三角形木框． （1）要制作满足上述条件的三角形木框共有　 种． （2）若每种规格的三角形木框只制作一个，制作这种木框的木条的售价为8元╱分米，问至少需要多少钱购买材料？（忽略接头） 【答案】(1)3；（2）至少需要408元钱购买材料． 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】（1）根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，确定第三边的取值范围，从而确定符合条件的三角形的个数． （2）求出各三角形的周长的和，再乘以售价为8元/分米，可求其所需钱数． 【详解】解：（1）三角形的第三边x满足：7-3＜x＜3+7，即4＜x＜10．因为第三边又为奇数，因而第三边可以为5、7或9．故要制作满足上述条件的三角形木框共有3种． 故答案为：3 （2）制作这种木框的木条的长为：3+5+7+3+7+7+3+7+9=51（分米）， ∴51×8=408（元）． 答：至少需要408元购买材料． 【点睛】本题主要考查三角形三边关系的应用，注意熟练运用在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 【变式5-2】在学习了三角形后，老师给同学们每人准备了一根长的木棒，让同学们通过剪拼的形式，制作一个三角形木框． (1)小明想把木棒剪成三段，第一段长，第二段的长比第一段的3倍少．试判断第一段的长能否为，并说明理由； (2)小亮先把木棒剪成如图所示的和的两段，现要将木棒从处剪开，使得三根木棒首尾顺次相接能组成三角形，请直接写出符合条件的的整数长度． 【答案】(1)第一段的长不能为，理由见解析 (2)符合条件的的整数长度为或或 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解此题的关键． （1）先计算出三个木棒的长度，然后根据三角形三边关系判断即可得解； （2）设，则，先求出，即可得解． 【详解】（1）解：第一段的长不能为； 理由如下： 根据题意，第一段长，第二段的长，第三段的长为， 当时，，， ∵， ∴三个木棒不能制作一个三角形木框， ∴第一段的长不能为； （2）解：设，则， ∵、、能组成三角形， ∴且， 解得， ∴整数为或或， 即符合条件的的整数长度为或或． 【变式5-3】实践教育：为提高学生火灾逃生能力，学校组织学生进行模拟逃生演练，需要制作若干个铁质三角形框架模拟火灾中坍塌的环境．数据应用：设计小组需要制作两边长分别为2米和4米，第三边长为奇数的不同规格的三角形框架． 数据收集：设计小组成员到建材市场收集数据如下， 铁条规格/米 2 3 4 5 6 单价/（元/根） 6 8 (1)根据市场能购买到的铁条制作满足上述条件的三角形框架，共有_________种制作方案． (2)若（1）中每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需多少钱？ 【答案】(1)2 (2)购买铁条共需元 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查三角形三边关系，有理数加法的实际应用． （1）根据构成三角形的三边关系求出第三边的取值范围，再根据题意取值即可； （2）根据（1）的方案，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：设第三边长为， 则，即， 第三边长为奇数规格有：3和5， 共有2种制作方案； （2）解：当三角形框架的边长为：时， 所需费用为：（元）； 当三角形框架的边长为：时， 所需费用为：（元）； 每种规格的框架各制作一个，则购买铁条共需（元）， 答：购买铁条共需元． 题型06 由三角形的三边关系证明线段间的不等关系 【例6】（23-24八年级上·安徽池州·期中）如图，在中，，点在的延长线上．求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查的是线段的和差关系，三角形的三边关系的应用，本题先证明，结合，从而可得答案． 【详解】证明， ， ， ． 【变式6-1】（22-23八年级上·安徽合肥·期中）如图，D为的边上一点，试判断与的周长之间的大小关系，并加以证明． 【答案】，见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，即可得出答案． 【详解】证明：∵在中，， 在中，， ∴， 即， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟记其三边关系是解题的关键． 【变式6-2】如图，P为中任意一点．证明：． 【答案】见解析 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系定理的应用，掌握三角形的两边之和大于第三边成为解题的关键． 如图：延长交于D，在中，，在中，，求出，同理，最后相加化简即可证明结论． 【详解】证明：如图：延长交于D， ∵在中，，在中，， ∴， ∴， 同理：， ∴，即． 【变式6-3】如图，已知中，大于其它两边，分别在上，连接．求证：． 【答案】证明见解析． 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，连接，根据大边对大角可得到，，进而可推出，从而可得到，同理可得，从而求证，掌握三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】证明：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型07 有关三角形个数的探究 【例7】如图，其中第①个图形中有1个三角形，第②个图形中有3个三角形，第③个图形中有6个三角形，…，按此规律变化，第⑥个图形中三角形的个数是（    ） A．10 B．15 C．21 D．28 【答案】C 【知识点】三角形的个数问题 【分析】根据各图形三角形的个数即可找到规律，根据规律即可解答． 【详解】解：第①个图中三角形的个数为1； 第②个图中三角形的个数为3=1+2； 第③个图中三角形的个数为6=1+2+3； …， 故第n个图中三角形的个数为， 故第⑥个图形中三角形的个数为：， 故选：C． 【点睛】本题考查的是规律性问题，解答规律型问题时，通常是根据简单的例子找出一般化规律，然后根据规律去求特定的值． 【变式7-1】根据下图所示的形⑴、⑵、⑶三个图所表示的规律，依次下去第n个图中的三角形的个数是(    ) A．6(n-1) ； B．6n； C．6(n+1) ； D．12n； 【答案】C 【知识点】图形类规律探索、三角形的个数问题 【分析】从这三个图中找规律，可以先分别找出每个图形中三角形的个数，再分析三个数字之间的关系，从而得出第n个图形中三角形的个数． 【详解】图（1）中，三角形的个数是 , 图（2）中，三角形的个数是 , 图（3）中，三角形的个数是 , 第n个图形中三角形的个数是， 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的变化规律，利用图形之间的练习，得出数字间的运算规律，从而解决问题，体现了从特殊到一般的数学思想． 【变式7-2】如图，在中，为AC边上不同的n个点，首先连接，图中出现了3个不同的三角形，再连接，图中便有6个不同的三角形…… (1)完成下表： 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 (2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？ (3)若一直连接到，则图中共有多少个三角形？ 【答案】(1)3，6，10，15，21，28；(2)8；(3) 【知识点】图形类规律探索、三角形的个数问题 【分析】(1)根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数．所以当上面有3个分点时，有6+4=10；4个分点时，有10+5=15；5个分点时，有15+6=21；6个分点时，有21+7=28；7个分点时，有28+8=36； (2)若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点； (3)若有n个分点，则有()()． 【详解】(1) 连接点的个数 1 2 3 4 5 6 出现三角形个数 3 6 10 15 21 28 (2)由(1)中表格：7个分点时，有28+8=36；8个分点时，有36+9=45； ∴出现了45个三角形，则共连接了8个点； (3)设连接到AAn时，图中有个三角形(n为正整数)． 观察图形和(1)中表格，可知：=2+1=3，=3+2+1=3，=4+3+2+1=10，， ∴ =()()， ∴若一直连接到，则图中共有()()个三角形． 【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数． 一、单选题 1．（24-25八年级上·安徽六安·期末）若一个三角形的两个内角的度数分别为和，则这个三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，根据三角形三个内角的度数之和为180度求出另外一个内角的度数即可得到答案． 【详解】解：∵一个三角形的两个内角的度数分别为和， ∴这个三角形的另一个内角的度数为， ∴该三角形是钝角三角形， 故选：C． 2．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为（    ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；牢记三角形的三边关系定理是解答的关键．根据三角形的三边关系得出，解答即可． 【详解】解：由题意可得， 解得，， 所以，x为12、13、14，这样的三角形个数为3个， 故选：B． 3．（24-25八年级上·安徽池州·期末）中，，，若边的长为偶数，则的周长为（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三条边的关系，熟练掌握三角形三条边的关系是解答本题的关键．三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值，从而求得三角形的周长． 【详解】解：根据三角形的三边关系得： ， 即， ∵为偶数， ∴， ∴的周长为：， 故选：B． 4．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在中，，则这个三角形是（   ） A．含角的直角三角形 B．等腰三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的内角和定理，三角形的分类，掌握知识点的应用是解题关键． 由，设，，，再根据三角形的内角和定理得出，解得，然后求出各内角即可判断． 【详解】解：∵， 设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，， ∴这个三角形是含角的直角三角形， 故选：． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键． 根据是的中线得出，根据三角形的面积公式即可得出的长． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的高线， ∴，即， 解得， 故选：B． 6．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知分别为三角形的三边，且满足，，则的取值范围是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由三角形的三边关系得到，继而得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：分别为三角形的三边， ， ，， ， 解得：， 故选：A． 二．填空题 7.（24-25八年级上·安徽淮南·期末）当三角形中一个内角是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中称为“特征角”．如果一个直角三角形为“特征三角形”，那么它的“特征角”的度数是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据特殊三角形的定义，分直角为特征角和锐角是特征角，两种情况进行求解即可． 【详解】解：当直角为特征角时，一个锐角的度数为，符合题意； 当锐角为特征角时，则：， ∴， ∴； 故答案为：或． 8．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，，为边上的高，若，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，解答本题的关键是会运用三角形的内角和定理与角的和差进行答题．先根据题意画出图形再求解，注意对在三角形内部和外部两种情况进行分类讨论． 【详解】如图，当在三角形内部时，   为边上的高， ， ， ， ， ， 如图，当在三角形外部时，   为边上的高， ， ， ， ， ， 故答案为或． 9．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）在中，为边上的高，，，则的度数为 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查三角形的内角和定理，分在三角形的内部和外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：当在内部时，如图： ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， 当在外部时，如图： 则：； 故答案为：或． 三．解答题 10．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）已知，是边上的中线，且，若的边上的高为2，的边上的高为4，求的长． 【答案】8 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据三角形中线求面积 【分析】本题考查了三角形的中线，以及等积法求线段的长，由中线的定义得，然后根据列式求解即可． 【详解】解：如图，是边上的中线， ， ， ， 即 ． 11．（23-24八年级上·安徽安庆·期中）已知，的三边长分别为，，． (1)求的取值范围； (2)若它是一个等腰三角形，求它的周长． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形三边关系的应用、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理（三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边），三角形周长的求解，先确定为等腰三角形时，再用三角形周长公式即可求解，能熟练运用三角形的三边关系定理是解题的关键. 【详解】（1）解：∵三角形的三边关系是：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，   ∴， ∴． （2）解：若为等腰三角形，或， 当时，不符合三角形的三边关系，应舍去， ∴， ∴等腰的周长为． 12．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期中）已知三角形三边长分别为a，b，c，其中a，b满足，这个三角形的最长边为． (1)求的取值范围： (2)若此三角形的周长为偶数，求此三角形的周长． 【答案】(1) (2)22或24 【知识点】三角形三边关系的应用、绝对值非负性、确定第三边的取值范围 【分析】本题考查了非负数的性质，以及三角形三边的关系，利用非负数的性质，求得a、b的值是解题关键． （1）由非负数的性质，可得、的值，根据三角形两边之和大于第三边，三角形的最长边为，可得答案； （2）由此三角形的周长为偶数，可知为奇数，则或11，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∵三角形的最长边为， ∴，即：； （2）由（1）可知，，，， 则此三角形的周长为， ∵此三角形的周长为偶数， ∴为奇数，则或11， ∴或24， ∴此三角形的周长为22或24． 13.（24-25八年级上·安徽六安·期中）在中，，． (1)若是偶数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为13，求的周长． 【答案】(1) (2)的周长为21 【知识点】三角形三边关系的应用、根据三角形中线求长度 【分析】本题考查的是三角形的三边关系、三角形的中线的定义，掌握三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”得，根据是偶数得； （2）根据是的中线得，根据的周长为13和即可求解． 【详解】（1）解：由三角形的三边关系可知：， 即， 是偶数， ； （2）解：的周长为13， ， ， ， 是的中线， ， ， ， 的周长． 14．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）在中，． (1)若是整数，求的长； (2)已知是的中线，若的周长为17，求的周长． 【答案】(1)8 (2)10 【知识点】根据三角形中线求长度、三角形三边关系的应用 【分析】本题考查了三角形的三边关系，中线与周长的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据三边关系得，则，因为是整数，则，即可作答． （2）因为是的中线，所以，因为且，得出，即可算出的周长． 【详解】（1）解：由题意得：， ∵， ， 是整数， ； （2）解：是的中线， ， 的周长为17， ， ， 的周长． 15.某木材市场上的木材规格与价格如下表： 规格/ 1 2 3 4 5 6 价格/（元/根） 5 10 15 20 25 30 (1)小明现有2根长度分别为和的木材，现再从这个市场上购买1根木材，将这3根木材首尾顺次相接，钉成一个三角形支架，问有哪几种购买方案？（接头损耗长度忽略不计） (2)在（1）的方案中，小明想花费最少的钱，则他应该选择哪种规格的木材？ 【答案】(1)四种购买方案 (2)选择的木材 【知识点】三角形三边关系的应用 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系，求出第三边的取值范围，即可求解； （2）根据第三根木棍时，花费最少，即可求解． 【详解】（1）解：设第3根木材的长度为． 根据三角形的三边关系，得，即． 故可购买的木材，一共有四种购买方案． （2）解：根据表格信息可知，在（1）的四种购买方案中，规格为的木材价格最低， 故应该选择的木材． 16.如图，在中，点在上，点在上．求证：． 【答案】见解析 【知识点】三角形三边关系的应用、不等式的性质 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，不等式的性质，掌握三角形的任意两边之和大于第三边吗，任意两边之差小于第三边是解题关键．延长交于点，由三角形的三边关系可得，，进而得到，，即可证明结论． 【详解】证明：延长交于点，如图． 在中，， ， 即． 在中，， ， 即， ． 17．（1）如图1，图中共有三角形 个；如图2，若增加一条线，则图中共有三角形 个； （2）如图3，若增加到10条线，请你求出图中的三角形的个数． 【答案】（1）10；24；（2）个 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、三角形的个数问题 【分析】（1）根据三角形的定义，三角形是由同一平面内不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形来判断图1和图2中三角形的个数即可； （2）通过数三角形的个数可知，图1中有10个三角形，图2中，增加一条线后三角形的个数为，增加2条线后，三角形的个数为，增加3条线后，三角形的个数为，依次类推即可推出增加条线后，三角形的个数，据此即可得到增加10条线后三角形的个数． 【详解】解：（1）根据三角形的定义可得图1中三角形个数为10； 根据三角形的定义可得图2中三角形个数为24； （2）增加1条线，三角形个数为：； 增加2条线，三角形个数为：； 增加3条线，三角形个数为：； 则增加条线，三角形个数为：， 所以增加10条线，三角形个数为个； 【点睛】本题考查了三角形的定义，列代数式，列整式，找规律等知识点，解答本题的关键是根据增加线段的数量找出增加三角形的个数与增加线段的关系． 18．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线． (1)若，，求的度数； (2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）； (3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立 【知识点】角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质以及三角形高线的性质，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数，进而找出角之间的关系． （1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线性质求出，根据直角三角形性质求出，最后得出． （2）根据（1）的计算结果进行归纳猜想． （3）同样先求出相关角的度数，再验证猜想是否成立． 【详解】（1）在中，已知，则， 是的平分线， ． 是边上的高线， ， 在中， ， ； （2）猜想：，证明如下： ，， ∴； （3）当是钝角时，上述猜想成立， 设． 根据三角形内角和定理，， 是的平分线， 是边上的高线， ， 在中， 所以当是钝角时，上述猜想仍然成立． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$