专题03 三角形中的边角关系（期中专项训练）八年级数学上学期新教材沪科版

专题03 三角形中的边角关系 题型1 三角形的个数问题 题型9 画三角形的高 题型2 三角形的分类 题型10 与三角形的高有关的计算问题（常考点） 题型3 构成三角形的条件（常考点） 题型11 利用网格求三角形面积 题型4确定第三边的取值范围（重点） 题型12根据三角形中线求长度（重点） 题型5 与平行线有关的三角形内角和问题（常考点） 题型13 根据三角形中线求面积（难点） 题型6 与角平分线有关的三角形内角和问题（重点） 题型7三角形折叠中的角度问题（难点） 题型8 三角形内角和定理的应用（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的个数问题（共3小题） 1．请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形． 题型 二 三角形的分类（共3小题） 4．在一个三角形中，已知三个角的度数比是，这个三角形一定是 三角形．（填“锐角，直角或钝角”）． 5．在中，若，则的形状为 ． 6．如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，撕去的这个角是 ，原来这张纸片的形状是 三角形，也是 三角形． 题型三 构成三角形的条件（共3小题） 7．下列各组线段能构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 8．下列长度的线段中，不能组成三角形的是（    ） A．1，1，3 B．2，4，5 C．3，3，5 D．3，4，5 9．三角形的两边长分别为和，第三边与前两边中的一边相等，求第三边的长． 题型四 确定第三边的取值范围（共3小题） 10．已知三角形三条边的长分别是2，a，6，则a的值可以是（   ） A．3 B．5 C．8 D．9 11．如果一个三角形的两条边长分别为和，则此三角形的第三边长可能是（   ） A． B． C． D． 12．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ． 题型五 与平行线有关的三角形内角和问题（共3小题） 13．如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 14．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 15．如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 题型六 与角平分线有关的三角形内角和问题（共3小题） 16．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E．若，，则的度数为 ． 17．如图，在三角形中，分别把其余的两个角平均分成两份，则 °． 18．如图，中，，两锐角的平分线，交于点F．的度数为 ． 题型七三角形折叠中的角度问题（共3小题） 19．如图，在中，，，点D是上一点，将沿折叠，使C点落在边上的点处，则 °． 20．如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么 度．    21．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 题型八 三角形内角和定理的应用（共3小题） 22．如图，把一个三角尺的直角顶点放置在内，使它的两条直角边，分别过点，，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 23．如图，，，，则的度数为 ． 24．如图，在中，，点P在边上，点D在边上，连接，且，则的度数为 ． 题型九 画三角形的高（共3小题） 25．下列四个图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． 26．用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A．B．C． D． 27．下面四个图形中，线段是的高的图形是（　　） A．B．C．D． 题型十 与三角形的高有关的计算问题（共3小题） 28．如图，在中，，平分，，，则 度． 29．如图，在中， 是的角平分线，是的高线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 30．如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数． 题型十一 利用网格求三角形面积（共3小题） 31．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点O的坐标为，请写出点A，B的坐标，并求出的面积． 32．如图，三角形的顶点都在方格纸的格点上，将三角形先向左平移2格，再向上平移3格，其中每个格子的边长均为1个单位长度． (1)请在图中画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 33．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，把先向左平移4个单位，再向下平移4个单位得到； (1)在平面直角坐标系中画出平移后的； (2)求的面积． 题型十二根据三角形中线求长度（共3小题） 34．如图，在中，为边的中线，的周长比的周长多，，则 ． 35．如图，在中，是边上的中线，周长比周长多，的周长L为，长为，求和的长． 36．如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 题型十三 根据三角形中线求面积（共3小题） 37．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，连接，若四边形的面积为18，则四边形的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 38．如图，中，点E是上一点，，点D是的中点，若，则 ． 39．如图，在中，已知点D、E、F分别为的中点，且，求的面积． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形中的边角关系 题型1 三角形的个数问题 题型9 画三角形的高 题型2 三角形的分类 题型10 与三角形的高有关的计算问题（常考点） 题型3 构成三角形的条件（常考点） 题型11 利用网格求三角形面积 题型4确定第三边的取值范围（重点） 题型12根据三角形中线求长度（重点） 题型5 与平行线有关的三角形内角和问题（常考点） 题型13 根据三角形中线求面积（难点） 题型6 与角平分线有关的三角形内角和问题（重点） 题型7三角形折叠中的角度问题（难点） 题型8 三角形内角和定理的应用（重点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角形的个数问题（共3小题） 1．请同学们认真观察，图中三角形的个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查三角形，关键是掌握三角形的概念．由三角形的概念，数的时候要注意按照一定的规律，不重不漏． 【详解】解：有，，，，，共5个三角形． 故答案为：A． 2．图中以为边的三角形有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了对三角形的认识，正确理解三角形的定义是解题的关键．观察图形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以为边的三角形有：、、，共个． 故选：C ． 3．如图，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形，并指出所有以E为顶点的三角形． 【答案】图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有． 【分析】本题考查三角形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据三角形的定义，即可解答． 【详解】解：由图，可知 图中共有7个三角形，分别为；以E为顶点的三角形有． 题型 二 三角形的分类（共3小题） 4．在一个三角形中，已知三个角的度数比是，这个三角形一定是 三角形．（填“锐角，直角或钝角”）． 【答案】钝角 【分析】此题考查的目的是理解掌握按比例分配的意义，三角形内角和的应用，以及三角形按照角的大小分类情况的应用． 先求出总份数，再求出较大的角的度数占三角形内角和的几分之几，根据一个数乘分数的意义，用乘法求出较大的角的度数，三角形按照角的大小分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．根据较大的角的度数确定这个三角形属于哪一种三角形即可． 【详解】解：， （度）， 度的角是钝角，所以这个三角形一定是钝角三角形． 故答案为：钝角． 5．在中，若，则的形状为 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理（三角形内角和为）及三角形形状的判定，解题的关键是根据、、的数量关系设未知数，利用内角和列方程求出各角度数，再通过最大角判断三角形形状． 根据设∠A为未知数，用该未知数表示出和；利用三角形内角和为列方程求解各角度数；通过最大角的度数判断三角形是直角、锐角还是钝角三角形． 【详解】解：设，由，得 根据三角形内角和为，列方程：， 化简得，解得． 则，故为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 6．如图，一张三角形纸片被撕去了一个角，撕去的这个角是 ，原来这张纸片的形状是 三角形，也是 三角形． 【答案】 67 锐角 等腰 【分析】本题主要考查三角形内角和定理的应用及三角形的分类．三角形的内角和是，因此用减另外两个角的度数之和即可求出撕去的这个角是多少；然后根据三角形分类的标准填空，两腰相等，两个底角相等的三角形是等腰三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【详解】解： ， 三角形三个角都小于，所以原来这张纸片的形状是锐角三角形； ，所以原来这张纸片的形状也是等腰三角形． 答：撕去的这个角是；原来这张纸片的形状是锐角三角形，也是等腰三角形． 故答案为：67，锐角，等腰． 题型三 构成三角形的条件（共3小题） 7．下列各组线段能构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数． 根据三角形的三边关系，逐一比较两条较小边的和与最大边的大小即可得答案． 【详解】解：A、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； B、，能构成三角形，故本选项符合题意； C、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； D、，不能构成三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 8．下列长度的线段中，不能组成三角形的是（    ） A．1，1，3 B．2，4，5 C．3，3，5 D．3，4，5 【答案】A 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，正确把握定义是解题关键． 根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，逐项验证求解即可得到答案． 【详解】解：A、，选项中的三条线段不能组成三角形，该选项符合题意； B、，选项中的三条线段能组成三角形，该选项不符合题意； C、，选项中的三条线段能组成三角形，该选项不符合题意； D、，选项中的三条线段能组成三角形，该选项不符合题意； 故选：A． 9．三角形的两边长分别为和，第三边与前两边中的一边相等，求第三边的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，分第三边的长为和第三边的长为两种情况，结合三角形中，任意两边之和大于第三边进行讨论求解即可． 【详解】解：当第三边的长为，则此时这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时不能构成三角形，故此种情形不符合题意； 当第三边的长为，则此时这个三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形，故此种情形符合题意； 综上所述，第三边的长为． 题型四 确定第三边的取值范围（共3小题） 10．已知三角形三条边的长分别是2，a，6，则a的值可以是（   ） A．3 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系，可以得到a的取值范围，进而可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系定理可得：， 解得：． ∴A，C，D不符合题意，B符合题意． 故选：B． 11．如果一个三角形的两条边长分别为和，则此三角形的第三边长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形三边关系定理，第三边的长度应大于已知两边之差且小于两边之和，由此可解． 【详解】解：设第三边长为， 一个三角形的两条边长分别为和， ， ， 观察四个选项可知，只有选项C符合要求， 故选：C． 12．已知的三条边长分别为5、7和x，则x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了三角形的三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知两边的差，而小于两边的和．根据三角形的三边关系：三角形第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围． 【详解】解：， 则． 故答案为：． 题型五 与平行线有关的三角形内角和问题（共3小题） 13．如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的概念，先由，得，再运用，代数进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ 故选：D． 14．如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 15．如图，，点位于与的同侧，则下列式子中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，平角以及三角形的内角和．熟练掌握平行线的性质，平角以及三角形的内角和是解题的关键． 由两直线平行，同位角相等得到，再根据平角的度数以及三角形的内角和即可得到． 【详解】解：如图， ， ， ，， ， 故选：B． 题型六 与角平分线有关的三角形内角和问题（共3小题） 16．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交直线于点E．若，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17．如图，在三角形中，分别把其余的两个角平均分成两份，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握三角形内角和定理． 利用三角形内角和定理及角平分线的定义，逐步进行求解即可． 【详解】解：由三角形的内角和定理得， ， ∵把平均分成两份， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，中，，两锐角的平分线，交于点F．的度数为 ． 【答案】/135度 【分析】本题考查了三角形内角和性质，角平分线的定义，先根据，求出，因为两锐角的平分线，交于点F．则，再根据三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵中，， ∴ ∵两锐角的平分线，交于点F． ∴ ∴ 在中，， 故答案为： 题型七三角形折叠中的角度问题（共3小题） 19．如图，在中，，，点D是上一点，将沿折叠，使C点落在边上的点处，则 °． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出，再由折叠的性质得出，再由三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由折叠得：， 在中，， 故答案为：． 20．如图，在中，，将沿翻折后，点落在边上的处，如果，那么 度．    【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，三角形内角和定理．根据平角及折叠可得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠可知， ， ， ， 故答案为：65． 21．在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可； 【详解】解：由题意知：， ， ， ． 题型八 三角形内角和定理的应用（共3小题） 22．如图，把一个三角尺的直角顶点放置在内，使它的两条直角边，分别过点，，如果，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于．根据三角形的内角和定理求出，，即可求出答案． 【详解】解：，， ，， ， 故选：A． 23．如图，，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的内角和定理，垂线，先根据垂直的定义得，由三角形内角和定理求出，再根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：． 24．如图，在中，，点P在边上，点D在边上，连接，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和为是解题的关键． 根据题意得到，则，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型九 画三角形的高（共3小题） 25．下列四个图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的高线，熟练掌握三角形的高线的定义，是解题的关键．根据三角形的高的定义：从三角形的一个顶点，作对边的垂线，顶点与垂足所连线段即为三角形的一条高线，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、线段不是从顶点向对边所在直线作的垂线，不能表示的高，不符合题意； B、线段不是从顶点向对边所在直线作的垂线，不能表示的高，不符合题意； C、线段不是从顶点向对边所在直线作的垂线，不能表示的高，不符合题意； D、线段是从顶点向对边所在直线作的垂线，即是的高，符合题意． 故选：D． 26．用一块含角的透明直角三角板画已知的边上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了画三角形的高，熟练掌握三角形的高的定义是解题关键．根据三角形的高的定义（从三角形一个顶点向它的对边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高）画图即可得答案． 【详解】解：三角板的摆放位置正确的是一条直角边与边齐平，另一条直角边经过点， 观察四个选项可知，只有选项B符合. 故选：B． 27．下面四个图形中，线段是的高的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的高，根据三角形的高的定义进行判断即可，理解三角形的高的定义是解题的关键． 【详解】解：由三角形的高的定义可知，四个选项中，只有D选项中， 故选：D． 题型十 与三角形的高有关的计算问题（共3小题） 28．如图，在中，，平分，，，则 度． 【答案】50 【分析】本题考查了三角形的内角和，角平分线和高的相关知识，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 由平分，可得和相等，由，，可求得的度数．已知和，在直角三角形中利用两锐角互余，可求得答案． 【详解】解：∵平分，， ∴ ∴， ∴中，． 故答案为：50． 29．如图，在中， 是的角平分线，是的高线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，根据三角形的内角和定理可求解的度数，再利用角平分线的定义可求解的度数，由三角形的高线可得，利用三角形的内角和定理可求解的度数，进而可求得的度数． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 30．如图，、分别是的高和角平分线，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的高，三角形的角平分线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 先根据三角形内角和定理计算出，再根据三角形的高和角平分线的定义得到，，于是可计算出，然后利用进行计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵、分别是的高和角平分线， ∴，， ∴， ∴． 题型十一 利用网格求三角形面积（共3小题） 31．如图，在平面直角坐标系中，已知的顶点O的坐标为，请写出点A，B的坐标，并求出的面积． 【答案】点的坐标为，点的坐标为，面积为9 【分析】本题主要考查了不规则图形的面积、坐标与图形等知识点，掌握运用割补法求解不规则图形的面积成为解题的关键． 根据直角坐标系即可确定点A、B的坐标，再用矩形的面积减去四周三个三角形的面积即可解答． 【详解】解：点A的坐标为，点的坐标为． 如答图，将补成一个长方形， 如图：易得． 因为， 即， 所以的面积为9． 32．如图，三角形的顶点都在方格纸的格点上，将三角形先向左平移2格，再向上平移3格，其中每个格子的边长均为1个单位长度． (1)请在图中画出平移后的三角形； (2)求三角形的面积． 【答案】(1)图见解析 (2)8 【分析】本题考查了平移作图、利用网格求三角形的面积，熟练掌握平移作图的方法是解题关键． （1）先根据平移的性质分别画出点，再顺次连接即可得； （2）利用网格可得，边上的高也为4，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求． ． （2）解：三角形的面积为． 33．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，把先向左平移4个单位，再向下平移4个单位得到； (1)在平面直角坐标系中画出平移后的； (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向左平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积． 题型十二根据三角形中线求长度（共3小题） 34．如图，在中，为边的中线，的周长比的周长多，，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查三角形的中线，由为边的中线，可得，再根据的周长比的周长多，可得，由此可解． 【详解】解：为边的中线， ， 的周长比的周长多， ， ， ， 故答案为：5． 35．如图，在中，是边上的中线，周长比周长多，的周长L为，长为，求和的长． 【答案】和的长分别为和 【分析】本题考查了三角形的中线定义，二元一次方程组的求解，利用加减消元法求解是解题的关键． 根据三角形中线的定义，，所以和的周长之差也就是与的差，然后列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：是边上的中线， ， ， 即①， 的周长L为，长为， ，即②， ①②得， 解得， ②①得， 解得， 故和的长分别为和． 36．如图，已知，分别是的高和中线，． (1)若的面积为20，求的长； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高，三角形的面积，解决本题的关键是掌握等高的三角形面积比等于底与底的比． （1）根据三角形的中线得，然后利用三角形的面积即可求出； （2）根据，两个三角形的高相等可得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， ∵的面积为， ∴，即， 解得：； （2）解：∵， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∴，， ∴． 题型十三 根据三角形中线求面积（共3小题） 37．如图，在四边形中，E，F分别是的中点，连接，若四边形的面积为18，则四边形的面积为（    ） A．8 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．连接，先根据三角形中线的定义得出，再根据得出即可求解． 【详解】解：连接， ∵E，F分别是的中点， ∴， ∵与同高，与同高， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 38．如图，中，点E是上一点，，点D是的中点，若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查根据三角形中线求面积，证明是解题的关键． 连接，由点D是的中点，可设，由，设，则，再根据，可得，进而可得． 【详解】解：如图，连接， 点D是的中点， 设， ， ，， 设，则， ， ， 即， ， ， 故答案为：6． 39．如图，在中，已知点D、E、F分别为的中点，且，求的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质． 先根据三角形中线的性质可得，进而得，同理可得，接下来说明，最后根据得出答案． 【详解】解：是的中点， . 又是的中点， 同理：． ∴ ， . ∵F是的中点， ． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $