精品解析：安徽省九师联盟2025-2026学年高三上学期12月质量检测数学试卷

安徽省九师联盟2025-2026学年高三上学期12月质量检测 数学试卷 满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，求出复数在复平面内对应点的坐标，判断结果. 【详解】，故在复平面内，复数对应的点为，位于第一象限. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分式不等式与一元二次不等式解法解出集合，再根据集合补集运算和集合交集运算得出结果. 【详解】由，解得：，又， 所以， 由，得解：或， 所以或， 所以， 所以， 故选：C. 3. 已知向量，若与共线，则实数（ ） A. B. 2 C. 或2 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标运算即可. 【详解】因为与共线，所以，即，解得或. 故选：D. 4. 已知抛物线焦点关于的准线的对称点为，则上的点到点的距离为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义和性质，求出焦点和准线方程，结合已知条件求出，进而求出，最后利用抛物线的焦半径公式计算求解． 【详解】抛物线， ，的准线方程为，故关于准线的对称点为， 焦点关于的准线的对称点为， ，解得， 抛物线方程为， 点在抛物线上， ，解得， 抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， ，故A正确． 故选：A． 5. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合两条直线平行的条件即可求出答案. 【详解】当，直线，此时，故“”是“”的充分条件， 由，得，解得，故“”是“”的必要条件， 故“”是“”的充要条件. 故选：C. 6. 若曲线与曲线仅有4个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先分析曲线的性质作出图像，再利用直线与圆的位置关系结合已知条件讨论求解． 【详解】曲线等价于，表示位于一、二象限的半圆，圆心为，半径， 曲线表示边长为的正方形，图像如下图所示， 当时，圆心到曲线的距离为2，即曲线与相切，有两个公共点； 当时，曲线的3个顶点在上，即曲线与有三个公共点； 当时，曲线与有4个公共点， 当时，曲线与无公共点； 曲线与曲线仅有4个公共点， ，故B正确． 故选：B． 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为上一点，若，（为坐标原点），则的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据焦点三角形，利用双曲线的性质、余弦定理、向量的相关知识得出和之间的关系，从而求出双曲线的离心率. 【详解】不妨设，记，，，由，得， 在中，由余弦定理，得，两式相减，得， 因为为的中点，所以， 所以，又，所以， 所以，又，所以，解得， 所以. 故选：D 8. 已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，问题转化为满足的恰有5个不同的解，画出图像，讨论时的根的个数，从而得出结果. 【详解】由恰有5个零点，则关于的方程恰有5个相异实根， 令，问题转化为满足的恰有5个不同的解. 作出函数的图像，如图所示，由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且，此时仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有两个相异实根，而各仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有3个实根，且各仅有1个实根，且两实根均小于， 则有三个实根，必有，所以.又， 所以，此时5个实根互不相等，即恰有5个零点； 当时，仅有2个相异实根，且，此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线为上一点，为坐标原点，则（ ） A. C关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 的取值范围分别为 D. 的最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A、B， 通过坐标替换法（用换、换），判断曲线方程是否不变，进而确定曲线的对称性.选项C， 根据曲线方程中、的非负性，推导得、的取值范围.选项D， 将表示为关于的函数，通过配方求二次函数的最值，判断其最大值是否为2. 【详解】用换方程中的，化简后方程不变，故关于轴对称， 同理可得，关于轴对称，故AB均正确； 由，得，解得，同理可得，故C正确； 在曲线上，所以， 所以， 当时，取得最大值，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知函数在上单调递增，直线和直线是的图象的两条对称轴，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则 （ ） A. B. 在上的值域为 C. 方程在内无解 D. 曲线与直线所围成图形的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简得，利用三角函数的性质解出，进而逐项验证即可求解. 【详解】 ， 由题意知的图象关于直线对称，也关于直线对称， 且在上单调递增， 所以的半个周期，所以，所以，故A错误； 则，符合题意，当时，， 此时， 所以在上的值域为，故B正确； 由， 当时，，此时， 所以，故方程在内无解；故C正确； 曲线与直线所围成的图形的面积 等于在上的图象与直线所围成的图形的面积， 由图象的对称性知所求面积等于图中阴影部分的面积，该面积为，故D正确， 故选：BCD. 11. 已知为椭圆的左、右焦点，为上一点，的离心率为，为的一个动点，轴，垂足为，线段的中点为，则 （ ） A. 使得的点有4个 B. 的最小值为 C. 点所在的轨迹方程为 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据点在椭圆上，离心率为求出从而得出椭圆的标准方程，根据椭圆定义及对称性分析即可得出选项A；根据椭圆定义及基本不等式即可得出选项B；设，根据轴，垂足为，线段的中点为，得出关系式代回椭圆方程中化简即可得出选项C；先判断点与圆位置关系，然后计算点到圆的圆心的距离，从而得出与，即可得出选项D. 【详解】将的坐标代入的方程，得，① 因为，所以，② 联立①②可解得：， 故的方程为：， 设为上顶点，如图所示： 根据椭圆的定义得：，， 所以， 又，所以， 所以，即的最大值为， 由椭圆的对称性知使得的点仅有2个，故A错误； 由椭圆的定义得：，则， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立，故B正确； 设，如图所示： 因为轴，垂足为，所以， 又线段的中点为， 则， 因为为的点，所以即， 也即，故C正确； 由， 所以点在圆外， 且点到圆的圆心的距离为， 所以，， 故的取值范围为，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________. 【答案】或 【解析】 【分析】分类讨论直线是否过原点确定直线方程即可. 【详解】当直线过原点时，设直线方程为，则， 直线方程为，即， 当直线不经过原点时，直线的斜率为，直线方程为，整理可得：. 故答案为或． 【点睛】本题主要考查直线方程的求解，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 13. 紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 【答案】389 【解析】 【分析】设，求出，最后在中利用余弦定理可得. 【详解】由题意可知，， 设，在中，，所以， 同理在中，， 在中，由余弦定理得， 即， 所以. 故紫峰大厦主体的高度约为米. 故答案为： 14. 已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】先换元设，原等式即为，设，再根据直线与圆的位置关系求出的范围，并求出，将表示成关于的函数，利用导数分析其单调性，即可解出. 【详解】设，由题意得， 即， 在平面直角坐标系中表示半圆（除去两点），令，画出图形如下： 当直线经过圆心时，； 当直线与半圆相切时， 则圆心到直线的距离：， 解得（舍去），故. 因为，所以， 所以， 令，则， 所以当时，，所以在上单调递增， 所以， 综上所述，的最大值为2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）求顶点在原点，对称轴为轴，且与直线相交所得线段长为9的抛物线的方程； （2）求焦点为，且过点的双曲线的标准方程； （3）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意知所求抛物线的焦点在轴的负半轴上，设其方程为，联立即可求得线段长，列式求解即可得到答案； （2）设双曲线的方程为，根据双曲线的定义求出，再结合即可求出答案； （3）由题意设双曲线的方程为，将点代入即可求出答案. 【小问1详解】 由题意知所求抛物线的焦点在轴的负半轴上，设其方程为， 与联立，得，即， 因为所得线段长为9，所以，解得， 故所求抛物线方程为. 【小问2详解】 由题意知可设双曲线的方程为， 由双曲线的定义得， 即，所以， 则， 故所求双曲线的方程为. 【小问3详解】 设所求双曲线的方程为， 将点代入方程，得， 解得，故， 故所求双曲线的方程为. 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面分别为棱和的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）取棱的中点，连接，通过构造中位线、平行四边形的方法，先证得，进而证得平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得平面与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 取棱的中点，连接， 因为为的中位线，所以，且， 因为四边形为正方形，为的中点，所以，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 分别取棱的中点，连接，则. 因为为的中点，所以， 又平面平面，平面平面平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以直线两两垂直，以为原点， 直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以. 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，所以. 设平面的一个法向量， 则，即， 令，解得，所以. 记平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 在数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用题干条件构造恒等式，从而得出通项公式，注意检验时是否满足通项公式. （2）由（1）得出，再将进行奇偶讨论，先算出项数为偶数时的和，再计算项数为奇数的和，可以简化运算. 【小问1详解】 因为， 所以当时，，即， 所以当时，， 所以， 在中，令时，，解得. 对于，，当时，， 符合上式，所以通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得， 当为偶数时， ； 当为奇数时， 所以. 18. 已知圆，点为圆上的动点，线段的中垂线交线段于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．设与轴交于点（点在轴的负半轴上），过点且斜率为的直线交于点． （1）求的方程； （2）当时，求四边形的面积； （3）若点关于原点的对称点为，直线交于点，记直线的斜率为，判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）是定值，为 【解析】 【分析】（1）证明，根据椭圆定义判断Q的轨迹为椭圆，根据椭圆的几何性质即可求出其标准方程； （2）写出l的方程，与椭圆方程联立，消去y得到关于x的方程，设，利用韦达定理求出，根据四边形的面积，即可求出； （3）设l的方程为，代入椭圆的方程，消去x得到关于y的方程，设．写出直线AD、BN的方程，联立它们的方程求出G的坐标，从而可求，代入化简，即可得到答案． 【小问1详解】 如图： 连接，由题意知，点在圆内部， ∴， 由椭圆的定义知，点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆． 设其方程为，则， ∴，故； 【小问2详解】 由（1）得， 当时，直线的方程为，代入的方程并化简，得， 设，则，， ∴， ∴四边形的面积； 【小问3详解】 设的方程为，代入的方程并化简，得， 显然判别式，设， 则，， ∴直线的方程为， 直线的方程为， 由，解得， ∴， 又，∴，即为定值，且定值为． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求曲线在点处的切线方程. （2）问题转化为，从而求参数的取值范围. （3）分情况讨论函数的单调性，得到函数极值的存在情况，再用作差法比较极值的大小. 【小问1详解】 由， 得， 当时，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为在上单调递增，所以. 由（1）知， 因为，所以，即在上恒成立， 所以，又，所以， 即的取值范围为. 【小问3详解】 ①当时，在上恒成立，所以在上单调递增， 所以不存在极值，不合题意； ②当时，，所以当时，；当时，，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以无极大值，不合题意； ③当时，的定义域为， 令，得，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值为，极小值为，且，不合题意； ④当时，的定义域为，且， 令，得，且， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 所以极大值为，极小值为，且， ， ， 因为，所以，所以， 即，符合题意. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省九师联盟2025-2026学年高三上学期12月质量检测 数学试卷 满分150分，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若与共线，则实数（ ） A B. 2 C. 或2 D. 或 4. 已知抛物线的焦点关于的准线的对称点为，则上的点到点的距离为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 已知直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 若曲线与曲线仅有4个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为上一点，若，（为坐标原点），则的离心率为 （ ） A. B. 2 C. D. 8. 已知函数若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知曲线为上一点，为坐标原点，则（ ） A. C关于轴对称 B. 关于轴对称 C. 的取值范围分别为 D. 的最大值为2 10. 已知函数在上单调递增，直线和直线是的图象的两条对称轴，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则 （ ） A. B. 在上的值域为 C. 方程在内无解 D. 曲线与直线所围成图形的面积为 11. 已知为椭圆的左、右焦点，为上一点，的离心率为，为的一个动点，轴，垂足为，线段的中点为，则 （ ） A. 使得点有4个 B. 的最小值为 C. 点所在的轨迹方程为 D. 取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过点且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_______________. 13. 紫峰大厦为南京最高的大楼，某数学建模兴趣小组的同学去实地进行测量：在水平的地面上选择三个点，点作为测量基点，设大厦主体的最高点为（与水平面垂直），在点和点处测得点处的仰角分别为和，测得米，测角仪的高度不计，则紫峰大厦主体的高度约为__________米（精确到整数位）（）. 14. 已知实数满足，则的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15 （1）求顶点在原点，对称轴为轴，且与直线相交所得线段长为9抛物线的方程； （2）求焦点为，且过点的双曲线的标准方程； （3）求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 16. 如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面分别为棱和的中点. （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 在数列中，. （1）求的通项公式； （2）若，求的前项和. 18. 已知圆，点为圆上的动点，线段的中垂线交线段于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．设与轴交于点（点在轴的负半轴上），过点且斜率为的直线交于点． （1）求的方程； （2）当时，求四边形的面积； （3）若点关于原点的对称点为，直线交于点，记直线的斜率为，判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由． 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递增，求的取值范围； （3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $