精品解析：安徽省合肥市第六中学2025届高三上学期第三次阶段性教学质量检测数学试卷

安徽省合肥市第六中学2025届高三上学期第三次阶段性教学质量检测数学试卷 命题人：邹奎方 审题人：张园园 （时长：120分钟 分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数为的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 展开式中含项的系数为（ ） A B. C. D. 4. 已知直线与圆交于A，B两点，若，则（ ） A. B. C. D. 5. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 6. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，且函数在区间上单调递增，记，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数（）的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列前项和为，若，则（ ） A. 的公差为2 B. C. 的最大值为36 D. 使得的的最大值为11 10. 如图，四棱锥的底面是梯形，，，，，平面平面，，分别为线段，的中点，点是底面内包括边界的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥外接球的体积为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 11. 已知函数，则下列结论正确是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的最小正周期是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 若，则的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非零向量，若向量在向量上的投影向量为，则___________. 13. 已知函数，若直线与曲线相切，则___________. 14. 如图所示，三棱锥中，，，则三棱锥体积的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 16. 为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成． （1）求小明至少正确完成其中3道题的概率； （2）设随机变量X表示小宇正确完成题目个数，求X的分布列及数学期望； （3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由． 17. 如图，五面体中，平面平面，且，. （1）求证：平面平面； （2）已知是线段上一点，且满足，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 已知函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）若有两个极值点分别为，，求的最小值. 19. 在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离. （1）设双曲线上的任意一点到直线，的方向距离分别为，求的值； （2）设点、到直线的方向距离分别为，试问是否存在实数，对任意的都有成立？说明理由； （3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽省合肥市第六中学2025届高三上学期第三次阶段性教学质量检测数学试卷 命题人：邹奎方 审题人：张园园 （时长：120分钟 分值：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数为的共轭复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘方法则和复数的除法运算法则求得复数，进而可求得，可求得的虚部. 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得和，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 所以集合， 又由，则满足，即，解得， 所以集合，所以. 故选：C. 3. 展开式中含项的系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式可求含项的系数. 【详解】由题意知，展开式的通项公式为， 令，得，故含项的系数为. 故选：B. 4. 已知直线与圆交于A，B两点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将直线方程化为一般式，求出圆心到直线的距离，再利用弦长公式进行求解. 【详解】将直线化为， 则圆半径为， 且圆心到直线的距离为， 又因为， 所以， 即，解得. 故选：A. 5. “”是“方程表示双曲线”（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由方程表示双曲线可得或，进而可知“”是该方程表示双曲线的充分而不必要条件. 【详解】若方程表示双曲线， 则有，解得或. 所以是方程表示双曲线的充分而不必要条件. 故选：A. 6. 已知函数的定义域为，函数为偶函数，函数为奇函数，且函数在区间上单调递增，记，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知函数周期，函数在区间上单调递增，且，又，，，进而可得结果. 【详解】因为函数为奇函数，所以，即， 所以，且函数的图象关于点对称. 因为函数为偶函数，所以， 则函数的图象关于直线对称，且， 所以，则，所以，所以的周期为8. 因为函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增， 又函数关于点对称，所以函数在区间上单调递增. 因为， 即，，， 所以，所以. 故选：D. 7. 已知函数（）的图象上存在点，函数的图象上存在点，且、关于轴对称，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，由题意可知在上有零点，利用导数法研究函数的零点即可求解 【详解】令，，， 因为上存在关于轴对称的点， 所以，则， 令，要使有对称点，则在上有零点， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 又， ， 所以， 要使在上有零点，则， 即，解得， 故选：C 8. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的焦点在轴上，为椭圆上任意两点，动点在直线上.若恒为锐角，根据蒙日圆的相关知识得椭圆的离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据为锐角可知直线与蒙日圆相离，根据直线与圆位置关系可求得范围，进而得到离心率的取值范围. 【详解】椭圆的焦点在轴上，， 直线，与椭圆都相切， ，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 为椭圆上任意两个动点，动点满足为锐角， 点在圆外，又动点在直线上，直线与圆相离，，解得：， 又，； 椭圆离心率，，. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 记等差数列的前项和为，若，则（ ） A. 的公差为2 B. C. 的最大值为36 D. 使得的的最大值为11 【答案】BCD 【解析】 【分析】由题意得，可得，进而得，依此逐项判断即可. 【详解】设数列的公差为，由题意得，解得， 所以 对于A，公差，故A错误； 对于B，，则，故B正确； 对于C，，故的最大值为，故C正确； 对于D，由，解得，又因为，所以使得的最大值为11，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，四棱锥的底面是梯形，，，，，平面平面，，分别为线段，的中点，点是底面内包括边界的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. B. 三棱锥外接球的体积为 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 若直线与平面所成的角为，则点的轨迹长度为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面平面，得到平面,可判断A，B选项；异面直线与所成角的余弦值在中由余弦定理，可判断C选项；若直线与平面所成的角为，点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆可判断D选项. 【详解】 易证四边形为菱形，所以， 连接，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，所以平面又平面，所以，故A正确； 易证为等腰直角三角形，为等边三角形，且平面平面， 所以三棱锥外接球的球心为等边三角形的中心，所以三棱锥外接球的半径为， 所以三棱锥外接球的体积为，故B错误； 因为，所以为异面直线与所成的角或其补角， 因为，所以， 在中，由余弦定理，得，故C正确； 因为平面，所以为在平面内的射影， 若直线与平面所成的角为，则， 因为，所以，故点的轨迹为以为圆心，为半径的半圆， 所以点的轨迹长度为，故D错误． 故选：． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数的最小正周期是 C. 函数的图象关于直线对称 D. 若，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇偶性、周期性和对称性的概念判断ABC，利用导函数求出在的单调性，结合对称性画出函数的大致函数图象，由题意可得当时，，，根据图象列不等式组求解即可. 【详解】对于A，因为，所以是奇函数，故A正确； 对于B，当时，；当时，． 又因为， 结合选项D中的函数图象可知，所以的最小正周期是，故B错误． 对于C，因为，所以函数的图象关于直线对称，故C正确； 对于D，当时，， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 结合对称性，得到函数的部分图象如图所示： 当时，， 由题意可得，当时，.， 结合函数的图象可得：，解得， 则的取值范围是，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知非零向量，若向量在向量上的投影向量为，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由数量积的运算律结合投影向量的定义代入计算，即可得到结果. 【详解】， ， 由题意得，即， 解得. 故答案：. 13. 已知函数，若直线与曲线相切，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】设切点为，求得，得到，再由函数为增函数，结合，求得切点为，进而求得的值. 【详解】由函数，可得， 设切点，则， 因为直线与曲线相切， 可得，即， 又因为函数和在上都是增函数， 所以函数在上是增函数，且， 所以由，可得唯一解，所以切点为， 则，解得. 故答案为：. 14. 如图所示，三棱锥中，，，则三棱锥体积的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】过作于，连结，则.过作于.得到，利用分析法，要使三棱锥的体积最大，只需要的面积最大，只需最大，计算最值代入即可. 【详解】因为，所以. 因为，所以， 又，所以. 过作于，连结，则.过作于. 因为，所以，而，所以为的中点. 因为，所以面. 所以. 要使三棱锥的体积最大，只需要的面积最大，而，只需最大. 因为，所以只需最大. 在中，，所以在以D、B为焦点的椭圆上，如图示： 因为，由椭圆的几何性质可得，要使最大，只需为短轴顶点， 即AF为短轴的一半.此时， 所以. 所以，所以， 所以，即三棱锥体积的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边分别为，且 （1）求角A； （2）若为边上一点，为的平分线，且，求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解； （2）根据面积关系可得，再结合余弦定理解得，进而可得面积. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 且， 即， 整理可得， 且，则，可得， 又因为，则，可得，所以. 【小问2详解】 因为为的平分线，则， 因为，则， 即，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理可得，解得或（舍去）， 所以的面积. 16. 为了宣传航空科普知识，某校组织了航空知识竞赛活动．活动规定初赛需要从8道备选题中随机抽取4道题目进行作答．假设在8道备选题中，小明正确完成每道题的概率都是且每道题正确完成与否互不影响，小宇能正确完成其中6道题且另外2道题不能完成． （1）求小明至少正确完成其中3道题的概率； （2）设随机变量X表示小宇正确完成题目的个数，求X的分布列及数学期望； （3）现规定至少完成其中3道题才能进入决赛，请你根据所学概率知识，判断小明和小宇两人中选择谁去参加市级比赛（活动规则不变）会更好，并说明理由． 【答案】（1） （2）分布列见解析，3 （3）选择小宇，理由见解析 【解析】 【分析】（1）小明至少正确完成其中3道题包含两种情况：一是小明正确完成3道题，二是小明正确完成4道题，然后由互斥事件的概率公式求解即可； （2）由题意得X的可能取值为2，3，4，然后求各自对应的概率，从而可求出X的分布列及数学期望； （3）分别计算出他们两人至少完成其中3道题的概率，通过比较概率的大小可得答案. 【小问1详解】 记“小明至少正确完成其中3道题”为事件A，则 ． 【小问2详解】 X的可能取值为2，3，4 ， ， ， X的分布列为； X 2 3 4 P 数学期望． 【小问3详解】 由（1）知，小明进入决赛的概率为； 记“小宇至少正确完成其中3道题”为事件B，则； 因为，故小宇进决赛的可能性更大， 所以应选择小宇去参加比赛． 17. 如图，在五面体中，平面平面，且，. （1）求证：平面平面； （2）已知是线段上一点，且满足，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）如图，设中点为，可证及平面，故可证平面，再根据面面垂直的判定定理可证平面平面； （2）利用向量法可求平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 证明：如图，设中点为，过作， 令交于，连接，所以，且. 由已知，且，所以，且 所以四边形为平行四边形，所以. 因为中，，所以为等腰三角形， 而，则有，平面， 又平面平面，平面平面， 所以平面，所以平面 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 由（1）知Ox、OB、OD三条直线两两垂直，如图建立空间直角坐标系， 依题意可得， 设平面的法向量，则有， 取， 由得，则， 设平面的法向量，则有取. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）若有两个极值点分别为，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）最小值为. 【解析】 【分析】（1）先求解出，然后分类讨论确定单调性，再求最小值，然后解不等式即可； （2）根据是的两个极值点可求得的值，再利用的值将化简成，然后通过构造新函数并分析其定义域结合单调性求解出其最小值. 【详解】（1）因为， 所以， 由得或. ①当时，因为，不满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 于是，解得， 所以的取值范围为. （2）函数，定义域为，， 因为，是函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等正根， 则有，，， 得，对称轴，故，. 且有，， . 令，则， ，， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以， 所以的最小值为. 思路点睛：导数中求解双变量问题的一般步骤： （1）先根据已知条件确定出变量满足的条件； （2）将待求的问题转化为关于的函数问题，同时注意将双变量转化为单变量，具体有两种可行的方法：①通过将所有涉及的式子转化为关于的式子，将问题转化为关于自变量（亦可）的函数问题；②通过的乘积关系，用表示（用表示亦可），将双变量问题替换为（或）的单变量问题； （3）构造关于或或的新函数，同时根据已知条件确定出或或的范围即为新函数定义域，借助新函数的单调性和值域完成问题的分析求解. 19. 在平面直角坐标系中，对于点、直线，我们称为点到直线的方向距离. （1）设双曲线上的任意一点到直线，的方向距离分别为，求的值； （2）设点、到直线的方向距离分别为，试问是否存在实数，对任意的都有成立？说明理由； （3）已知直线和椭圆，设椭圆的两个焦点到直线的方向距离分别为满足，且直线与轴的交点为、与轴的交点为，试比较的长与的大小. 【答案】(1)；(2)，理由见详解；(3)，证明见详解. 【解析】 【分析】(1)根据定义表示出，然后结合点在双曲线上计算出的值； (2)假设存在满足条件，计算出的值，令，即可求解出满足条件的的值； (3)根据新定义得到的结果，根据条件得到的范围，将的范围代入到中利用基本不等式即可比较出与的大小，即可比较出与的大小. 【详解】(1)由题设可知：设，所以， 所以， 又因为，所以； (2) 假设存在实数满足条件，因为， ， 所以，所以，所以， 故存在满足条件； (3)因为，所以， 所以，所以， 又因为，所以， 所以，取等号时， 所以，所以. 【点睛】本题考查新定义背景下的圆锥曲线的综合应用，难度较难.(1)存在性问题，先假设成立，然后再探究成立的条件；(2)新定义问题，首先要理解定义，其次才是利用所学知识解答问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $