精品解析：甘肃省天水市张家川回族自治县木河乡木河中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025－2026学年度第一学期期末考试卷 八年级数学（I卷） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 在实数范围内，下列判断正确的是( ) A. 若|x|＝|y|，则x＝y B. 若x＞y，则x2＞y2 C. 若，则x＝y D. ，则x＝y 2. 已知，则用含、的式子可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的值为（ ） A. 23 B. 25 C. 27 D. 29 4. 对于任何整数，多项式都能（ ） A. 被8整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 5. 如图，直线过正方形的顶点，点到直线的距离分别是和，则正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，点在线段上，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，若，则的周长等于（ ） A. B. C. 12 D. 10 9. 已知一直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为（ ） A. 2.4 B. 4.8 C. 5 D. 6 10. 已知数据，﹣7，2.5，π， ，其中分数出现的频率是（ ） A. 20% B. 40% C. 60% D. 80% 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 已知，，则_____． 12. 若，则_____． 13. 计算_____． 14. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 15. 如图，与相交于点O，且，，则与的位置关系是_____． 16. 如果等腰三角形的周长是20，腰长为，底边为，那么用含的代数式表示_____，x的取值范围_____． 17. 如图所示，已知，、的平分线交于点O，于点E，且，则两平行线、之间的距离为______． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=___________． 三、解答题（共28分） 19. 如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.） 20. 如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF，请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你的理由． 21. 如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD． 22. 如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ B卷（50分） 23. 已知与的积与是同类项．求的值． 24. 已知，求的值． 25. 如图，分别以的边，为边向形外作等边三角形和等边三角形，连，．求证：． 26. 如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF． 27. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求： （1）△ABC的周长； （2）△ABC是否是直角三角形？为什么？ 28. 某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书，为此，此校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计，结果如图： 请你根据统计图中的信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，并计算扇形统计图中空白数据． （2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？ （3）该校计划购买新书共600本，若按扇形统计图中的百分比来计算，各类图书分别购买多少本？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度第一学期期末考试卷 八年级数学（I卷） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 在实数范围内，下列判断正确的是( ) A. 若|x|＝|y|，则x＝y B. 若x＞y，则x2＞y2 C. 若，则x＝y D. ，则x＝y 【答案】D 【解析】 【详解】A项中，若|x|＝|y|，则x、y相等或者互为相反数；B项可列举反例，x＝2，y＝－2；C项中，若，则x、y相等或者互为相反数(y≥0)． 2. 已知，则用含、的式子可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂乘法逆用，利用已知条件，将分解为 ，再应用指数法则转化为含和的表达式即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：C． 3. 已知，则的值为（ ） A. 23 B. 25 C. 27 D. 29 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式变形求值，利用完全平方公式进行推导求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：A． 4. 对于任何整数，多项式都能（ ） A. 被8整除 B. 被整除 C. 被整除 D. 被整除 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的应用，通过因式分解判断整除性． 利用平方差公式将多项式分解因式，并化简，根据结果判断整除性． 【详解】解：原式 因为是整数，所以和也是整数． 因此，原式一定能被整除． 故选：A． 5. 如图，直线过正方形的顶点，点到直线的距离分别是和，则正方形的边长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明，得到，由勾股定理即可求出正方形的边长，证明得到是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵直线，直线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：． 6. 如图，四边形是正方形，是等边三角形，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查正方形、等腰三角形的性质以及等边三角形的性质．根据题意知是等腰三角形，，根据三角形内角和定理及等腰三角形性质求底角即可． 【详解】解：四边形是正方形，是等边三角形， ；，， ， 同理， ∴， 故选：B． 7. 如图，，点在线段上，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得出∠D=∠CED=70°，根据三角形内角和定理求得∠C=40°，然后根据平行线的性质即可求得结论． 【详解】∵CD=CE， ∴∠D=∠CED， ∵∠D=70°， ∴∠C=180°-2×70°=40°， ∵AB∥CD， ∴∠B=∠C=40°， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 8. 如图，在中，，，是的角平分线，，垂足为，若，则的周长等于（ ） A. B. C. 12 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质． 由角平分线的性质，可得，证明，可得，等量代换，可得，即可得的周长． 【详解】解：∵是的角平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的周长等于． 故选：D． 9. 已知一直角三角形的两直角边的长分别为6和8，则斜边上的高为（ ） A. 2.4 B. 4.8 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，与三角形的高相关的计算． 先由勾股定理求斜边长，再利用等积法求斜边上的高． 【详解】解：∵ 直角边分别为6和8， ∴ 斜边长为 设斜边上的高为，则， 解得, ∴斜边上的高为． 故选：B． 10. 已知数据，﹣7，2.5，π， ，其中分数出现的频率是（ ） A. 20% B. 40% C. 60% D. 80% 【答案】B 【解析】 【分析】在这5个数中，其中分数有，2.5两个，即可得． 【详解】解：在这5个数中，其中分数有，2.5两个， 所以其中分数出现的频率是， 故选B． 【点睛】本题考查了频率，解题的关键是掌握频率公式“频率=频数÷总数”． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 已知，，则_____． 【答案】 48 【解析】 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用， 幂的乘方的逆用． 将分解为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：48． 12. 若，则_____． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，积的乘方公式逆用，利用平方差公式将已知条件变形，再逆用积的乘方公式求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ． 故答案为：25． 13. 计算_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了有理数乘方运算，同底数幂乘法逆用，根据有理数乘方运算法则，逆用同底数幂乘法运算法则，进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 14. 将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 【答案】 ①. 两个角是对顶角 ②. 这两个角相等 【解析】 【分析】把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． 15. 如图，与相交于点O，且，，则与的位置关系是_____． 【答案】平行 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得与的关系，根据平行线的判定，可得答案． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：平行． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定．全等三角形的判定定理有正确选择判定方法是解题的关键． 16. 如果等腰三角形的周长是20，腰长为，底边为，那么用含的代数式表示_____，x的取值范围_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了求函数解析式，一元一次不等式组的应用，三角形三边关系应用，根据等腰三角形的周长公式可得x，y的关系式，再根据三角形的三边关系确定x的取值范围即可． 【详解】解：∵等腰三角形的周长是20，腰长为，底边为， ∴， ∴， 根据三角形三边关系得：， 解得：． 故答案为：；． 17. 如图所示，已知，、的平分线交于点O，于点E，且，则两平行线、之间的距离为______． 【答案】4 【解析】 【分析】过点O作于点M，交于点N，根据，得出，求出，根据角平分线的性质得出，，即可得出结论． 【详解】解：过点O作于点M，交于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∵、分别平分，， ∵， ∴，， ∴， ∴两平行线、之间的距离为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握角平分线上点到角的两边距离相等． 18. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD=___________． 【答案】2 【解析】 【详解】试题解析：∵AC=6，BC=8， ∴AB=， ∵以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D， ∴AD=AC， ∴AD=6， ∴BD=AB-AD=10-6=4． 三、解答题（共28分） 19. 如图，两条公路OA和OB相交于O点，在∠AOB的内部有工厂C和D，现要修建一个货站P，使货站P到两条公路OA、OB的距离相等，且到两工厂C、D的距离相等，用尺规作出货站P的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出结论.） 【答案】 如图所示，点P即为所求． 【解析】 【分析】根据点P到∠AOB两边距离相等，到点C、D的距离也相等，点P既在∠AOB的角平分线上，又在CD垂直平分线上，即∠AOB的角平分线和CD垂直平分线的交点处即为点P． 【详解】作CD的垂直平分线，∠AOB的角平分线的交点P即为所求． 20. 如图，已知BE⊥AD，CF⊥AD，且BE=CF，请你判断AD是△ABC的中线还是角平分线？请说明你的理由． 【答案】中线，理由见试题解析． 【解析】 【分析】我们可以通过证明△BDE和△CDF全等来确定其为中线． 【详解】解：AD是△ABC的中线．理由如下： ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在△BDE和△CDF中， ∵∠BED=∠CFD，∠BDE=∠CDF，BE=CF， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴BD=CD． ∴AD是△ABC的中线． 【点睛】本题考查了1．直角三角形全等的判定；2．全等三角形的性质，解决此题的关键是一定会证明三角形全等． 21. 如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：AB=AD． 【答案】 证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC． ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC． ∴∠ABD=∠ADB．∴AB=AD． 【解析】 【分析】根据AD∥BC，可求证∠ADB=∠DBC，利用BD平分∠ABC和等量代换可求证∠ABD=∠ADB，然后即可得出结论． 【详解】略 22. 如图所示，一艘轮船以的速度离开港口O点，向东南方向航行，另一艘轮船同时以的速度向西南方向航行，它们航行两小时后，相距有多远？ 【答案】它们航行两小时后，相距． 【解析】 【分析】本题考查解决航海问题（勾股定理的应用）． 根据题意可得，，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ∴， ∴它们航行两小时后，相距． B卷（50分） 23. 已知与的积与是同类项．求的值． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，解二元一次方程组，同类项的定义，熟练掌握同类项的定义是解题的关键． 首先利用单项式乘单项式先进行化简，再根据同类项的定义列出二元一次方程组，求解m，n的值，最后计算的值即可． 【详解】解：， ∵与是同类项， ∴，解得：， ∴． 24. 已知，求的值． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，平方差公式应用，直接利用非负数的性质求出,，再利用平方差公式变形，整体代入计算得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴,， ∴ ． 25. 如图，分别以的边，为边向形外作等边三角形和等边三角形，连，．求证：． 【答案】 证明：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定等知识点，掌握“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”是解题的关键． 由等边三角形的性质可得，进而得到，然后证明，最后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】略 26. 如图所示，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，连接EF，EF与AD交于点G，求证：AD垂直平分EF． 【答案】 证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴DE＝DF，∠AED＝∠AFD＝90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中 ， ∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE＝AF， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴AD垂直平分EF． 【解析】 【分析】根据角平分线的性质定理可得DE＝DF，可证得Rt△AED≌Rt△AFD，从而得到AE＝AF，再根据等腰三角形的性质，即可求证． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握角平分线的性质定理，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 27. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AD＝12，BD＝16，CD＝5，求： （1）△ABC的周长； （2）△ABC是否是直角三角形？为什么？ 【答案】（1）54；（2）△ABC不是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）运用勾股定理求得AB、AC的长，然后根据三角形周长的定义解答即可； （2）运用勾股定理逆定理判定即可． 【详解】解：（1）∵AD⊥BC，AD＝12，BD＝16 ∴AB= 同理：AC= ∴△ABC的周长为AC+BC+AB=AC+BD+DC+AB=13+16+5+20=54； （2）∵BC2=（BD+DC）2=212=441, AB2=202=400,AC2=132=169 ∴BC2≠AB2+ AC2 ∴△ABC不是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键． 28. 某校为了满足学生借阅图书的需求，计划购买一批新书，为此，此校图书管理员对一周内本校学生从图书馆借出各类图书的数量进行了统计，结果如图： 请你根据统计图中的信息，回答下列问题： （1）补全条形统计图，并计算扇形统计图中空白数据． （2）该校学生最喜欢借阅哪类图书？ （3）该校计划购买新书共600本，若按扇形统计图中的百分比来计算，各类图书分别购买多少本？ 【答案】（1） 补全条形统计图如下： 科普类所占百分比为，漫画类所占百分比为； （2）该学校学生最喜欢借阅漫画类图书； （3）购买漫画类240本，科普类210本，文学类60本，其他类90本． 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． （1）根据借出的文学类的本数除以所占的百分比求出借出的总本数，然后求出其它类的本数，再用总本数减去另外三类的本数即可求出漫画书的本数；根据百分比的求解方法列式计算即可求出科普类与漫画类所占的百分比； （2）通过比较借阅各类图书的数量，即可得该校学生最喜欢借阅的图书； （3）用总本数600乘以各部分所占的百分比，进行计算即可． 【小问1详解】 解：借出图书的总本数为：（本）， 其他类：（本）， 文学类：（本）， 科普类所占百分比：， 漫画类所占百分比：． 【小问2详解】 解：∵， ∴该学校学生最喜欢借阅漫画类图书． 【小问3详解】 解：漫画类：（本）， 科普类：（本）， 文学类：（本）， 其他类：（本）． ∴购买漫画类240本，科普类210本，文学类60本，其他类90本． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $