2025-2026学年人教版九年级上册数学期末卷 03

2025-2026学年人教版九年级上册期末卷 03 一、单选题 1．最近较火的一款软件ChatGPT横空出世，仅2024年2月9日当天，其下载量达到了次的峰值，用科学记数法可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：B． 2．若一元二次方程的两个不相等的实数根为，，则的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的两个关系式即可解题． 【详解】解：∵一元二次方程的两个不相等的实数根为， ∴， 故选：B． 3．将标有“探”“月”“工”“程”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则两次摸到的球上的汉字可以组成“探月”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查且列表法或树状图计算等可能情形下的概率，先根据题意求出所有等可能的结果及两次摸到的球上的汉字可以组成“探月”的可能结果，再利用概率公式进行计算即可． 【详解】解： 列表格为： 第一次第二次 探 月 工 程 探 （探，探） （月，探） （工，探） （程，探） 月 （探，月） （月，月） （工，月） （程，月） 工 （探，工） （月，工） （工，工） （程，工） 程 （探，程） （月，程） （工，程） （程，程） 从不透明的口袋中随机摸出两个球，共有16种等可能的结果，其中摸到的球上的汉字可以组成“探月”的结果有2种， ∴摸到的球上的汉字可以组成“探月”的概率是， 故选：D． 4．对于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象的对称轴是直线 C．图象与轴有两个交点 D．图象与轴交点坐标是 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，分别求出图象开口方向，图象的对称轴，与轴交点，与y轴的交点坐标，逐一判断即可． 【详解】解：由题意知，二次函数，即，，其图象开口向下，故选项A错误； 图象的对称轴是直线，故选项B错误； 图象与轴有两个交点，分别为，故选项C正确； 当时， ，所以图象与y轴的交点坐标是，故选项D错误， 故选：C． 5．如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当在一条直线上时，三角板的旋转角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，解答的关键是掌握对应点与旋转中心的连线所成的夹角就是旋转角．根据对应点与旋转中心的连线所成的夹角就是旋转角即可解答． 【详解】解：∵， ∴三角板的旋转角度为． 故选A． 6．在某次足球联赛中，参赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛56场．若本次联赛共有个队参加比赛，根据题意，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于得到比赛总场数的等量关系. 共有x个队参加比赛，则每队参加场比赛，参赛的每两队之间都进行两场比赛，根据共要比赛56场，列方程即可． 【详解】解：共有x个队参赛，根据题意，可列方程为： ， 故选：C． 7．圆锥的底面圆半径是1，母线长是3，它的侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的侧面展开图、弧长公式，熟记弧长公式是解题关键．圆锥的侧面展开图是一个扇形，利用弧长公式进行计算即可得． 【详解】解：设这个圆锥的侧面展开图的圆心角是， 由题意得：， 解得， 则这个圆锥的侧面展开图的圆心角是， 故选：B． 8．如图，的顶点，都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点顺时针旋转，每次旋转，第次旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，等腰三角形的性质及点的坐标变化规律，全等三角形的判定与性质，先求出点的坐标，再由旋转可知，每旋转四次，点对应点的坐标循环出现，据此可解决问题，熟知图形的性质及根据所给旋转方式发现每旋转四次，点对应点的坐标循环出现是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 在中，， ∵，且轴， ∴点的坐标为， ∵， ∴每旋转四次，点对应点的坐标循环出现， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， 将绕点顺时针旋转，如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，由旋转可知， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． 9．如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于两点，若，则下列四个结论：①；②；③；④．正确结论的个数为（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系及抛物线与轴的交点，能根据所给函数图象得出，，的正负，再利用抛物线的对称性和增减性是解题的关键．根据所给函数图象中抛物线的对称轴可得出，之间的等量关系，再结合抛物线与轴的交点情况及点横坐标的取值范围即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，两点关于直线对称， 又， 且，， 所以． 故①正确． 由抛物线的对称轴是直线得， ， 则． 所以， 又， 所以． 故②错误． 因为抛物线与轴有两个交点， 所以， 又当时，函数值小于0， 即， 所以， 又， 所以． 所以， 即． 故③正确． 由函数图象可知， ，，， 又，且， 所以， 即， 所以， 所以． 故④错误． 所以正确的结论有2个． 故选：B． 10．如图，边长为的正方形，对角线相交于点，点为边上一动点（不与点，点重合），交于点，点为中点．给出如下四个结论：①；②点在运动过程中，面积不变化；③周长的最小值为；④点在运动过程中，当时，．其中正确的结论是（   ） A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④ 【答案】D 【分析】①易证得，则可证得结论①正确；②由的值随着点E在运动，长度变化，根据三角形面积公式即可判断选项②错误；③先求得，设，则，利用勾股定理得到，利用非负数的性质求得的最小值，即可求得选项③正确；④利用直角三角形斜边中线的性质，即可得出选项④正确． 【详解】解：①∵四边形是正方形，相交于点O， ∴，， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形； ∴，故①正确； ②∵的值随着点E从到运动，长度发生变化， ∴面积发生变化；故②错误； ③∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为， ∴周长的最小值为；故③正确； ④如图，连接， ∵，G为中点． ∴， 当， 则，是等边三角形， ∴ ，故④正确； 综上，①③④正确， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边的中线以及等腰直角三角形的性质，二次函数的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 二、填空题 11．已知是关于的一元二次方程的一个根，则方程的另一个根 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，则由根与系数的关系得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵和是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∴， 故答案为：． 12．若，则的值为 ． 【答案】19 【分析】本题考查代数式求值，完全平方公式．根据完全平方公式，将变形为是解题的关键． 将变形为，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：19． 13．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单概率的计算，熟练掌握概率公式是解题的关键；根据概率公式计算即可． 【详解】解：∵一个不透明的盒子中装有2个黑色棋子和4个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，一共有6种等可能性，4个白色棋子，有4种等可能性， ∴摸到白色棋子的概率是， 故答案为：． 14．如图，抛物线与轴相交于，两点．过点的直线交抛物线于点．点在抛物线上，横坐标为，将点绕点旋转，恰好落在直线上，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，分和两种情况解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当时，过点作轴于，过点作轴于，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∵点恰好落在直线上， ∴， 解得（不合舍去），， ∴； 故答案为： ． 15．如图，已知点是直线外一点，于点，且，点B，C均在直线上，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．作△的外接圆，连接、、，过点作于点，先由圆周角定理和垂径定理得，，则，，设，则，，再由，即可解决问题． 【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过点作于点，则，，， ， ， 设， 则，， ，， ， 解得：， ， 最小值为， 故答案为：． 三、解答题 16．解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，灵活选用合适的方法是解题的关键． （1）运用配方法求解即可； （2）运用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ，． （2）解： 或 ， 17．在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标． 【答案】(1) (2)对称轴为直线，顶点为 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及顶点坐标和对称轴，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）配方成即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过和两点， ， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：， ∴对称轴为直线，顶点为． 18．如图，在中，，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E落在上． (1)若，，求的长； (2)连接，在中，添加与角相关的一个条件，使是等边三角形．（不需要说明理由） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是旋转的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定； （1）由勾股定理求解，证明，可得，从而可得答案； （2）添加，结合有一个角为的三角形是等边三角形可得答案． 【详解】（1）解：在中，，， ∴． ∵由旋转得到 ∴， ∴， ∴． （2）解：添加：（或），理由如下： 由旋转可得：， ∵， ∴为等边三角形． 19．先化简代数式，再从四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 【答案】， 【分析】此题考查了分式的化简求值．先计算括号的减法，再计算除法，得到化简结果，根据分式有意义的条件选择合适的值代入求值即可． 【详解】解： ∵当时分式无意义， ∴， 当时， 原式 20．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩x分（满分分）分为4个等级：A等级，B等级，C等级，等级．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： (1)本次抽取的学生共有__________人，他们成绩的中位数落在__________等级； (2)补全频数分布直方图，扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为__________； (3)若竞赛成绩为优秀，估计全校名学生中成绩达到优秀的人数． (4)九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1) (2)补图见解析， (3)人 (4) 【分析】（1）由题意知，本次抽取的学生共有（人），然后求出B等级、A等级的人数，最后根据中位数是第个数据的平均数，求解作答即可； （2）直接补图即可；根据扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为，计算求解即可； （3）根据，计算求解即可； （4）根据题意画树状图，然后求概率即可． 【详解】（1）解：由题意知，本次抽取的学生共有（人）， ∴B等级人数为（人），A等级人数为（人）， ∵成绩的中位数是第个数据的平均数，而这两个数据落在B等级， ∴他们成绩的中位数落在B等级， 故答案为：、B； （2）解：补图如下； ∵， ∴扇形统计图中D等级所对应的圆心角的度数为； （3）解：∵， ∴估计全校名学生中成绩达到优秀的人数为人； （4）解：由题意画树状图如下； 共有种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， ∵， ∴恰好抽到一名男生和一名女生的概率为． 【点睛】本题考查了扇形统计图，条形统计图，中位数，扇形统计图中扇形的圆心角，用样本估计总体，列举法求概率等知识．熟练掌握扇形统计图，条形统计图，中位数，用样本估计总体，列举法求概率是解题的关键． 21．如图所示，是的的直径，是弦，于点E． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求出，推出，即可得出结论； （2）由垂径定理得，由三角形中位线的性质可得，设，再由直角三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）证明：为的直径， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 设， ， ， 【点睛】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，三角形中位线的性质，直角三角形的性质．解决本题的关键是熟练掌握圆周角定理，垂径定理，三角形中位线的性质，直角三角形的性质． 22．自今年4月底以来，惠水县好花红乡村旅游区的桔香花海山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为的长方形精品花售卖区（如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为的栅栏围成，边留有宽的门． (1)若售卖区垂直于墙的边的长为，则边的长为 ． (2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？ (3)当围成的售卖区只有一种围法时，求墙长a的取值范围． 【答案】(1) (2)售卖区的长为，宽为或长为，宽为． (3)． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设垂直于墙的边长为，可得平行于墙的边长为，整理即可； （2）根据矩形的面积公式结合养鸡场的面积为，列出一元二次方程，解之即可得出结论； （3）根据（1）的结论可分、及三种情况，找出题目解的个数，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵售卖区垂直于墙的边的长为， ∴边的长为． （2）解：依题意，得， 整理，得， 解得，． 当时，；当时，． 答：售卖区的长为，宽为或长为，宽为． （3）解：结合（2）可得：当时，不能围成售卖区，题目无解； 当时，围成的售卖区只有一种围法，题目只有一个解； 当时，围成的售卖区有两种围法，题目有两个解． 综上所述，当时，围成的售卖区只有一种围法， 即的取值范围是． 23．如图①，在等腰中，，点在斜边上，，将绕点逆时针旋转至，连接． (1)①求证：； ②请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，在等腰中，，，求的长． 【答案】(1)①证明见解析；②，理由见解析 (2) 【分析】（1）①先判断出，，再判断出，即可得出结论； ②先求出，进而判断出，进而用勾股定理，即可得出结论； （2）将绕点逆时针旋转至，连接，同（1）的方法判断出，再判断出，过点作于，在中，求出，，在中，，即可得出结论． 【详解】（1）①证明：将绕点逆时针旋转至， ， ，， 由旋转性质可知， ， ， 在和中， ， ； ②结论：； 理由如下： 在中，，， ， 由旋转性质可知，， ， 由勾股定理得， 由①知， ， ； （2）解：将绕点逆时针旋转至，连接，如图所示： ， ，，， 由旋转性质可知， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，，， ， 由旋转性质可知， ， 过点作于，如图所示： 在中，，，， ，则由勾股定理可得， 在中，，由勾股定理得， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，由旋转性质构造出直角三角形是解本题的关键． 24．已知抛物线经过． (1)若，求m的值； (2)在（1）的条件下，抛物线的顶点坐标为，N为抛物线上一动点，是否存在一点N，使得以O，N，M为顶点的三角形为等腰三角形．若存在，求出点N的纵坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，把抛物线向右平移3个单位长度．若与都在平移后的抛物线上（点S，Q不重合），且，求代数式的值． 【答案】(1) (2)，，， (3) 【分析】（1）将代入，可得，结合，即可求解， （2）由顶点坐标为，，，求出，，设，根据两点距离公式，分情况讨论，列出等量关系式，求出的值，即可求解， （3）将，向右平移3个单位长度得：，由与都在平移后的抛物线上，得到，， 结合，得到，由点S，Q不重合，得到，进而得到，代入，即可求解． 本题考查了二次函数的综合，解题的关键是：根据题意列出等量关系． 【详解】（1）解：∵经过， ∴， ∵， ∴，解得：， （2）解：∵顶点坐标为， ∴，，即：， ∵，， ∴，，， ∴， 设， ，， 当是底边时，，即：，解得：， ∴， 当是底边时，，即：，解得：或， ∴（舍）或， 当是底边时，，即：，解得：或， ∴或， 综上所述，点N的纵坐标为：，，，， （3）解：将，向右平移3个单位长度得：， ∵与都在平移后的抛物线上， ∴，， ∵， ∴，即：， ∵点S，Q不重合， ∴， ∴，即：， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版九年级上册期末卷 03 一、单选题 1 ．最近较火的一款软件 ChatGPT 横空出世，仅 2024 年 2 月 9 日当天，其下载量达到了286000 次的峰值，286000用科学记数法可表示为 ( ) A ． 28.6 × 104 B ． 2.86 × 105 C ． 0.286 × 106 D ． 286 × 103 2 ．若一元二次方程x2 — 4x — 3 = 0的两个不相等的实数根为 x1 ， x2 ，则x1 + x2 的值是 ( ) A ． —4 B ． 4 C ． 2 D ． —2 3 ．将标有“探”“月”“工”“程”的四个小球装在一个不透明的口袋中（每个小球上仅标一个汉字），这些小球除所标汉字不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，放回后再随机摸出一个球，则两次摸到的球上的汉字可以组成“探月”的概率是 ( ) A ． B ． C ． D ． 4 ．对于二次函数y = —2(x —1)(x + 3) ，下列说法正确的是 ( ) A ．图象的开口向上 B ．图象的对称轴是直线x = 1 C ．图象与x 轴有两个交点 D ．图象与y 轴交点坐标是(0, —6) 5 ．如图，一块含30O 角的直角三角板ABC 绕点 C 顺时针旋转到△A’B’C ，当B, C, A’ 在一条直线上时，三角板ABC的旋转角度为 ( ) A ．150O B ． 120O C ． 60O D ． 30O 6 ．在某次足球联赛中，参赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛 56 场．若本次联赛共有x 个队参加比赛，根据题意，可列方程为 ( ) C ． x (x —1) = 56 D ． x (x +1) = 56 7 ．圆锥的底面圆半径是 1 ，母线长是 3 ，它的侧面展开图的圆心角是 ( ) A ．90。 B ． 120O C ． 100O D ． 150O 8 ．如图， △ABC 的顶点B ，C 都在坐标轴上，已知B(0, 2) ，C (1, 0) ，AB = BC ，且AB Ⅱx 轴，将 △ABC 绕点C 顺时针旋转，每次旋转90O ，第2025 次旋转后，点A 的对应点 A2025 的坐标是 ( ) 试卷第 1页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 A ． (3, +1) B ． ( + 2, 2 ) C ． (—1, — —1) D ． (2, + 2) 9 ．如图，二次函数y = ax2 + bx + c 的图象关于直线x = 1 对称，与 x 轴交于A(x1, 0), B (x2, 0) 两点，若—2 < x1 < —1，则下列四个结论：①3 < x2 < 4 ；②3a + 2b > 0 ；③ b2 > a + c + 4ac ；④ a > c > b ．正确结论的个数为 () A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 10．如图，边长为2 的正方形 ABCD ，对角线 AC, BD 相交于点O ，点E 为BC 边上一动点（不与点B ，点C 重合）， OF 丄 OE 交CD 于点F ，点G 为EF 中点．给出如下四个结论：① 上OEF = 45O ；②点E 在运动过程中， △OEF 面积不变化；③△CEF 周长的最小值为2 + 2·、 ；④点E 在运动过程中，当OG = FC 时，上EFC = 60O ．其中正确的结论是 ( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．①③④ 二、填空题 11．已知x1 = 1 是关于x 的一元二次方程x2 + kx — 6 = 0 的一个根，则方程的另一个根x2 = ． 12 ．若x —y = 5,xy = 6 ，则x2 — 3xy + y2 的值为 ． 13 ．围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有 2 个黑色棋子和 4 个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到白色棋子的概率是 ． 14 ．如图，抛物线y=x2 — 2x — 3 与x 轴相交于A ，B 两点．过点B 的直线y 交抛物线于点C ．点M 在抛物线上，横坐标为m (0 < m <1) ，将点M 绕点 O 旋转 90。，恰好落在直线BC 上，则点M 的坐标为 ． 试卷第 2页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 15 ．如图，已知点A 是直线l 外一点，AD 丄 l 于点D ，且 AD ，点 B ，C 均在直线l 上，上BAC = 45O ，则BC的最小值为 ． 三、解答题 16 ．解方程：(1) x2 — 6x + 6 = 0 (2) x (2x — 5) = 4x —10 17 ．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = x2 + bx + c 经过A(0, 3) 和B(1, 0) 两点． (1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的对称轴和顶点坐标． 18 ．如图，在Rt△ABC 中， 上C = 90O ，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转得到△ADE ，点 C 的对应点 E 落在 AB 上． (1)若AC = 6 ， BC = 8 ，求BE 的长； (2)连接BD ，在 △ABC 中，添加与角相关的一个条件，使△ABD 是等边三角形．（不需要说明理由） 试卷第3页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 19 ．先化简代数式 再从2, -2, 1, -1 四个数中选择一个你喜欢的数代入求值． 20 ．某校举行以“学宪法，讲宪法”为主题的宣传教育活动，并举办了宪法知识竞赛．据统计：所有学生的成绩均及格，竞赛成绩 x 分（满分100 分）分为 4 个等级：A 等级90 ≤ x ≤ 100 ，B 等级80 ≤ x < 90 ，C 等级70 ≤ x < 80 ，D 等级60 ≤ x < 70 ．为了解学生的成绩分布情况，教务处随机抽取了部分学生的成绩，并绘制成如图两幅不完整的统计图： (1)本次抽取的学生共有___________人，他们成绩的中位数落在___________等级； (2)补全频数分布直方图，扇形统计图中D 等级所对应的圆心角的度数为___________； (3)若竞赛成绩x ≥ 90 为优秀，估计全校 1000 名学生中成绩达到优秀的人数． (4)九（1）班满分的学生为两名男生和两名女生，班主任将从中随机抽取两名学生向全校宣传宪法，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到一名男生和一名女生的概率． 21 ．如图所示， AB 是ΘO 的的直径， AD 是弦， 上DBC = 上A, OC 丄 BD 于点 E． (1)求证： 上OBC = 90O ；(2)若EC = 10, 上DBC = 60O ，求 AD 的长度． 试卷第 4页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 22 ．自今年 4 月底以来，惠水县好花红乡村旅游区的桔香花海山体公园成为了网红打卡点．现在公园管理者要修建一个面积为150m2 的长方形精品花售卖区ABCD （如图）．为了节省材料，售卖区的一边利用原有的一道墙，另三边用总长为33m的栅栏围成， BC 边留有2m宽的门EF ． (1)若售卖区垂直于墙的边 AB 的长为xm ，则边AD 的长为 m ． (2)若墙足够长，则售卖区的长和宽各为多少米？ (3)当围成的售卖区只有一种围法时，求墙长 a 的取值范围． 23．如图① , 在等腰Rt△ABC 中，AB = AC, 上BAC = 90O ，点D, E 在斜边BC 上，∠DAE = 45O ，将△ABD 绕点A 逆时针旋转90O 至△ACF ，连接EF ． (1)①求证： △ADE≌△AFE ； ②请写出线段BD, DE, EC 之间的数量关系，并说明理由； (2)如图② , 在等腰△ABC 中， AB = AC, 上BAC = 120O, 上DAE = 60O ， BD = 4, CE = 6 ，求DE 的长． 试卷第5页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 24 ．已知抛物线y = ax2 + bx + c 经过(1, -1) ． (1)若m3 = a + b + c ，求 m 的值； (2)在（1）的条件下，抛物线y = ax2 + bx + c 的顶点坐标为M(0, 2m) ，N 为抛物线上一动点，是否存在一点 N，使 得以 O ，N，M 为顶点的三角形为等腰三角形．若存在，求出点 N 的纵坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，把抛物线y = ax2 + bx + c 向右平移 3 个单位长度．若S(x1,y1) 与Q(x1+ t,y2) 都在平移后的抛物 线上（点 S，Q 不重合），且y1 - y2 = 0 ，求代数式8x1 (2) +12x1t + 4t2 -12t +1952 的值． 试卷第6页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 $