精品解析：甘肃省金昌市2024--2025学年九年级上学期期中诊断测试数学试卷（一）

甘肃省金昌市2024--2025学年九年级上学期期中诊断测试数学试卷（一） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项. 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数是二次函数，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 6 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 5. 在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是 A. B. C. D. 6. 如果一元二次方程的两根为、，则的值等于（ ） A. -6 B. 6 C. -5 D. 5 7. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转得到，连接．若，则的度数（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 二次函数的图象如图所示，则下列结论：①②③④⑤中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 11. 在平面直角坐标系内，若点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，则a+b的值为_____． 12. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ___． 13. 如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °． 14. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝120t﹣2.5t2．在飞机从开始滑行到最后停止一共滑行的距离是____m． 15. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 16. 若，，是抛物线上的三点．则，，的大小关系为______． 17. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为______． 18. 如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为________． 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） ； （3）． 20. 如图，已知的顶点的坐标分别是，，． （1）作出关于原点中心对称的； （2）将绕原点按顺时针方向旋转后得到，画出，并写出点的坐标为 ． 21. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根为3，求k的值及方程的另一根． 22. 如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为点、点（点在点的左侧）． （1）求、两点的坐标； （2）利用函数图像，直接写出当取何值时，函数值？ （3）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （4）当取何值时，随的增大而减小？ 23. 为培养学生的阅读兴趣，学校开展了课外阅读活动，计划将学生人均阅读量从七年级第一学期的70万字增加到八年级第一学期的100.8万字． （1）如果每学期学生人均阅读量的平均增长率相同，求这个增长率； （2）按照（1）中的阅读量增长率，学校期望八年级第二学期的人均阅读量达到120万字，请通过计算说明他们的目标能否实现． 24. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件. （1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？ （2）如果你是该商场经理，你将如何决策？使商场平均每天能获得最大盈利是多少？ 25. 如图，点O是等边三角形内的一点，，将绕点C顺时针旋转得到，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长 26. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 甘肃省金昌市2024--2025学年九年级上学期期中诊断测试数学试卷（一） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项. 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形” 根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形. 故选：B. 2. 已知函数是二次函数，则等于（ ） A. B. 2 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．（a、b、c是常数，）也叫做二次函数的一般形式．根据二次函数的定义，令且，即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵是二次函数， ∴且， 且， ． 故选：B． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数顶点坐标，掌握顶点式的顶点坐标是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选C． 4. 把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象，则新图象所表示的二次函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，熟练掌握“上加下减，左加右减”解题即可． 【详解】解：把二次函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后得到一个新图象是， 故选：A． 5. 在二次函数的图像中，若随的增大而增大，则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵二次函数的开口向下， ∴在对称轴的左侧y随x的增大而增大． ∵二次函数的对称轴是， ∴x<1． 故选：A． 6. 如果一元二次方程的两根为、，则的值等于（ ） A. -6 B. 6 C. -5 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先根据根与系数的关系求出x1＋x2和x1x2的值，再把它们的值代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为、， ∴x1＋x2＝2，x1x2＝−3， ∴＝−3×2＝−6． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式的变形相结合是一种经常使用的解题方法． 7. 若一次函数的图象经过第二、三、四象限，则二次函数的图象只可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图像及性质，二次函数的图像及性质．根据一次函数的图像经过的象限确定，，进而根据二次函数的图像的开口方向及对称轴，即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ，， ∴二次函数的图像开口向下，， ∴对称轴在y轴左侧，则符合题意的选项为C． 故选：C． 8. 如图，将绕直角顶点C顺时针旋转得到，连接．若，则的度数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 根据旋转的性质可得，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，即可求出，即可得结果． 【详解】解：∵绕直角顶点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ∴， 故选：C． 9. 如图，在宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽．如果设小路宽为，根据题意，所列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清等量关系是解题关键．将原来的道路等价为十字形道路，或是等价为草坪外围的形道路，即可得出草坪的长为 ，宽为，根据矩形的面积公式即可列出方程． 【详解】解：如下图， 则草坪的长为 ，宽为 ， 根据题意得 ． 故答案为：A． 10. 二次函数的图象如图所示，则下列结论：①②③④⑤中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线的图像与二次函数各项系数之间的关系，根据抛物线的图像与二次函数系数之间的关系解答即可． 【详解】解：① ∵由图像可知：图像开口向下，于轴交于正半轴，对称轴为， ∴，，． ∴， ∴，此结论正确． ② ∵由图像可知：当时，， 把代入解析式得：， ∴，此结论错误． ③， ∵由图像可知：图像开口向下，于轴交于正半轴，对称轴为， ∴，，． ∴， ∴，此结论正确． ④ ∵由图像可知：图像开口向下，于轴交于正半轴，对称轴为， ∴． ∴． ∴，此结论正确． ⑤ ∵时，（最大值）时，， ∵， ∴， ∴，故此选项错误． ∴①③④正确． 故选∶C． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分. 11. 在平面直角坐标系内，若点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称，则a+b的值为_____． 【答案】1 【解析】 【详解】试题分析：根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得a+b的值． 解：∵点A（a，﹣3）与点B（2，b）关于原点对称， ∴a=﹣2，b=3， ∴a+b=1． 故答案为1． 考点：关于原点对称的点的坐标． 12. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ___． 【答案】且 【解析】 【分析】根据根的判别式得出△=（-4）2-4（k-1）×（-1）＞0且k-1≠0，求出k的取值即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根， ∴△=（-4）2-4（k-1）×（-1）＞0，且， 解得：且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式及一元一次不等式，准确计算是解题的关键． 13. 如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB= °． 【答案】70 【解析】 【详解】∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1， ∴∠A1OA=100°． 又∵∠AOB=30°，∴∠A1OB=∠A1OA－∠AOB=70°． 14. 飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y＝120t﹣2.5t2．在飞机从开始滑行到最后停止一共滑行的距离是____m． 【答案】 【解析】 【分析】先将解析式化为顶点式，利用二次函数的性质求出飞机滑行24s停止，此时滑行距离为1440m，即可求得 【详解】 y＝120t﹣2.5t2 飞机滑行24s停止 在飞机从开始滑行到最后停止一共滑行的距离是1440m． 故答案为：1440 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，求得飞机从开始滑行到停止所用的时间是解题的关键． 15. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，抛物线与x轴交于，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与x轴交于点， 将代入，得， ∴， ∴原方程为， 解得：，． 故答案为：，． 16. 若，，是抛物线上的三点．则，，的大小关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出抛物线的对称轴为直线，再根据点到对称轴的距离从小到大为，，，依据抛物线开口向上，则点到对称轴的距离越小，对应的y值越小，即可得到、、的大小关系． 【详解】解： 抛物线对称轴为直线 ，， 到对称轴的距离从小到大为，C， 抛物线开口向上 到对称轴的距离越小，对应的y值越小 、、的大小关系为 故答案为：． 17. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为______． 【答案】7或8 【解析】 【分析】求出一元二次方程的解，得出三角形的边长，用三角形存在的条件分类讨论边长，即可得出答案． 【详解】解： （x－2）（x－3）=0 解得：x=2或x=3， 当等腰三角形的三边为2，2，3时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为7； 当等腰三角形的三边为2，3，3时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，周长为8， 所以三角形的周长为7或8， 故填：7或8． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，解一元二次方程，能求出方程的解并能够判断三角形三边存在的条件是解此题的关键． 18. 如图①，在AOB中，∠AOB＝90º，OA＝3，OB＝4．将AOB沿x轴依次以点A、B、O为旋转中心顺时针旋转，分别得到图②、图③、…，则旋转得到的图⑩的直角顶点的坐标为________． 【答案】（36，0） 【解析】 【详解】根据勾股定理得AB=.根据旋转的规律可得：（1）图①、③④、⑥⑦、⑨⑩中的直角顶点在x轴上；（2）△AOB的旋转三次完成一个循环，所以第九次完成后，直角三角形完成了3个循环，每个循环中，直角三角形向前移动12个单位长度.所以图⑨中的直角顶点的坐标为（36,0）.又因为图⑩中的直角顶点与图⑨中的直角顶点是同一个，所以图⑩的直角顶点的坐标为（36,0） 三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2） ； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查利用因式分解法解方程． （1）直接用因式分解法解方程即可． （2）直接用因式分解法解方程即可． （3）去括号整理，利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： ，． 【小问2详解】 ，． 【小问3详解】 ，． 20. 如图，已知的顶点的坐标分别是，，． （1）作出关于原点中心对称的； （2）将绕原点按顺时针方向旋转后得到，画出，并写出点的坐标为 ． 【答案】（1） ； （2） ，． 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换，中心对称，熟练掌握旋转的性质，中心对称的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可； （2）根据旋转的性质作图即可． 【小问1详解】 解：∵三点的坐标分别是，，， ∴三点的坐标关于原点对称的坐标是，，， 依次连接三点，得到，如图： ∴就是所求的三角形． 【小问2详解】 解：∵三点的坐标分别是，，， ∴三点的坐标绕原点按顺时针方向旋转后的坐标是，，， 依次连接三点，得到，如图： ∴就是所求的三角形，的坐标是． 故答案为： 21. 已知关于x的一元二次方程 （1）求证：无论k为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的一根为3，求k的值及方程的另一根． 【答案】（1） 证明：∵ ∴无论为何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为3，方程的另一根为1 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式，结合完全平方公式的非负性分析求证； （2）把一根为3代入一元二次方程求出k的值，再解方程求出另一根． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当时，， 解得：， 把代入原方程：，（舍去） 故的值为3，方程的另一根为1． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握当方程有两个不相等的实数根时Δ＞0是解题的关键． 22. 如图，已知抛物线与轴的两个交点分别为点、点（点在点的左侧）． （1）求、两点的坐标； （2）利用函数图像，直接写出当取何值时，函数值？ （3）求抛物线的顶点坐标和对称轴； （4）当取何值时，随的增大而减小？ 【答案】（1）， （2） （3）， （4） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图像和性质，根据其性质解题即可． （1）令代入即可求出x的值，x的值分别是A、B两点的横坐标． （2）根据图像可知∶是指x轴下方的图像，根据 A、B两点的坐标即可求出x的范围． （3）根据顶点坐标公式求解即可． （4）把抛物线化为顶点式就可以求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴的两个交点分别为点、点（点在点的左侧）． ∴，即， ∴，， ∴，． 【小问2详解】 根据函数图像，结合（1）得到的点A，点B的坐标， 故当时，． 【小问3详解】 由抛物线得出：，，， ∴ ，， ∴抛物线的顶点为：，对称轴为：． 【小问4详解】 ∵， ∴对称轴为： ∵， ∴抛物线开口向上． ∴当，随的增大而减小． 23. 为培养学生的阅读兴趣，学校开展了课外阅读活动，计划将学生人均阅读量从七年级第一学期的70万字增加到八年级第一学期的100.8万字． （1）如果每学期学生人均阅读量的平均增长率相同，求这个增长率； （2）按照（1）中的阅读量增长率，学校期望八年级第二学期的人均阅读量达到120万字，请通过计算说明他们的目标能否实现． 【答案】（1）每学期学生人均阅读量的平均增长率为20%； （2）他们的目标能实现． 100.8×（1+20%）=120.96（万字）． ∵120.96＞120， ∴他们的目标能实现． 【解析】 【分析】（1）设每学期学生人均阅读量的平均增长率为x，根据八年级第一学期人均阅读量=七年级第一学期人均阅读量×（1+增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）利用八年级第二学期的人均阅读量=八年级第一学期人均阅读量×（1+增长率），可求出八年级第二学期的人均阅读量，将其与120万字比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设每学期学生人均阅读量的平均增长率为x， 依题意得：70（1+x）2=100.8， 解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：每学期学生人均阅读量的平均增长率为20%； （2略 ） 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 24. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利44元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出5件. （1）若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价多少元？ （2）如果你是该商场经理，你将如何决策？使商场平均每天能获得最大盈利是多少？ 【答案】（1）元 （2）每件衬衫降价元时，可使商场平均每天能获得最大盈利，最大利润为元 【解析】 【分析】（1）设每件衬衫应降价元，根据题意可列一元二次方程求解； （2）设商场平均每天获得的利润为元，可得出与的函数关系式，根据函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：设每件衬衫应降价元，由题意得： 解得： ∵要尽快减少库存 ∴ 答：若商场平均每天要盈利1600元，每件衬衫应降价元 【小问2详解】 解：设商场平均每天获得的利润为元， 则 ∵ ∴每件衬衫降价元时，可使商场平均每天能获得最大盈利，最大利润为元 【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在实际问题中的应用．根据题意列出正确的方程和函数关系式是解题关键． 25. 如图，点O是等边三角形内的一点，，将绕点C顺时针旋转得到，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键； （1）由旋转的性质、等边三角形的判定与性质即可求解； （2）由旋转的性质得，，从而得；由是等边三角形，得，在中，由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，． 26. 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数关系式； (2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标； (3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝-x2+2x+3．（2）P的坐标(1，2)．（3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． 【解析】 【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可． （2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点． （3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、③AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解 【详解】（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c， ∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）． 又∵C(0，3) 经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=-1． ∴抛物线的解析式为y＝-（x+1）（x-3），即y＝-x2+2x+3． （2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P． 则此时的点P，使△PAC的周长最小． 设直线BC的解析式为y＝kx＋b， 将B(3，0)，C(0，3)代入，得： ，解得：． ∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3． 当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)． （3）存在．点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． ∵抛物线的对称轴为： x=1， ∴设M(1，m)． ∵A(－1，0)、C(0，3)， ∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10． 若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1． ②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±． ③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6， 当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去． 综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)． 【点睛】本题考查了二次函数的几何应用，等腰三角形的存在性问题，需要数形结合、分类讨论，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $