精品解析：贵州省遵义市第一中学2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

遵义市第一中学2023-2024学年高一年级第二学期第二次月考试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题前，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. D. 1 2. 在中，已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 3 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（ ） A. 重心，内心，外心 B. 重心，外心，垂心 C. 垂心，内心，重心 D. 外心，重心，内心 5. 在中，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 6. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的对称轴为 B. 的对称中心为 C. 的递减区间为 D. 当时，有最小值 7. （ ） A B. C. D. 2 8. 的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意的复数，下列说法正确的是（ ） A 若，则 B. 若，则复数在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 若是纯虚数，则 10. 已知，则（ ） A. B. C D. 11. 已知函数，且在单调递增，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 2 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，且，则__________. 13. 我国《物权法》规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光.已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为50米，依据规定，该小区内住宅楼的楼间距应不小于52米.若该小区内某居民在距离楼底30米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶处的仰角与楼底处的俯角之和为，则该小区的住宅楼的楼间距实际为__________米 14. 在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边长分别为. （1）求 （2）当，求的面积 16. 已知为坐标原点，点，，记函数，函数的对称中心到相邻对称轴的距离为. （1）求解析式及函数的单调递增区间； （2）将函数图像上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，就可得到的图像，当，求函数的值域. 17. 在中，角所对的边长分别为，且. （1）求角的大小 （2）若为边上一点，，且是的平分线，求的周长 18. 如图所示，在中，为边的中点，平面上一点E满足. （1）若，求线段的长度； （2）若为钝角，求线段长度的取值范围. 19. 两角和与差的正､余弦公式是进行三角恒等变换的基本公式，它还有其他的一些变形公式能有效地帮助我们进行三角函数式的化简，例如： 已知：，① ② 由①+②可得，对比形式即可得和差化积公式. （1）求的值 （2）请证明： （i） （ii） （3）已知在中，角是的内角，且满足，若，求 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义市第一中学2023-2024学年高一年级第二学期第二次月考试题 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题前，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将答题卡交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，且，则实数（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，即，解得. 故选：B. 2. 在中，已知，则（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理直接计算求解即可. 【详解】在中，由余弦定理可得， 所以，即， 解得或（舍去）， 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先展开，然后平方，最后用二倍角公式化简计算可得出答案. 【详解】解： 即， 等式两边平方得， 继续展开， 化简得 所以 故选：C 4. 已知在所在平面内，满足，，则点依次是的（ ） A. 重心，内心，外心 B. 重心，外心，垂心 C. 垂心，内心，重心 D. 外心，重心，内心 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量数量积的运算，线性运算及三角形四心的性质即可判断. 【详解】因为，所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即为的中线上的点，且， 所以为的重心； 因为，所以，所以是的外心； 因为，所以，即， 所以，同理可得，，所以是的垂心. 故选：B 5. 在中，，则（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求出角的度数，再根据三角形内角和定理求出角的度数. 【详解】在中，根据正弦定理得，即， 所以，又，所以或， 当时， ，符合题意， 当时， ，符合题意； 所以的两个解均成立. 根据三角形内角和定理， 所以或. 故选：A 6. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的对称轴为 B. 对称中心为 C. 的递减区间为 D. 当时，有最小值 【答案】D 【解析】 【分析】根据的图象与性质，逐一判断即可. 【详解】对于A：令，解得，故A错误； 对于B：令，得， 故的对称中心为，故B错误； 对于C：令，解得，故C错误； 对于D：若，则，则， 则，即此时有最小值，故D正确. 故选：D. 7. （ ） A B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】化切为弦，然后利用二倍角的正弦公式、逆用两角和的正弦公式和诱导公式即可化简求值. 【详解】 . 故选：C 8. 的三个内角对应的三条边分别为，且为的中点，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理及二倍角公式求出，再利用数量积的运算律，结合基本不等式求出范围. 【详解】在中，由及正弦定理，得， 而，则，即， 由，得，因此，，则， 由是的中点，得，两边平方得， 而，则，当且仅当时取等号， 因此，，，解得， 所以的取值范围为. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意的复数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则复数在复平面内对应的点在第四象限 C. D. 若是纯虚数，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，结合复数的运算以及几何意义逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，，，故A错误， 对于B，，对应坐标为，在第四象限，故B正确, 对于C，设 ，则 ，， 当时，，故C错误， 对于D，若是纯虚数， 则实数部分应该为0，即，解得 当时，复数为纯虚数，故D正确. 故选：BD. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据，根据二倍角公式及范围求，，对于A，由，结合商的关系求即可判断，对于B，利用二倍角公式求，根据平方关系求，再由结合两角和正弦公式求即可判断，对于C，由，结合余弦函数的有界性即可判断，对于D，先求，再由结合两角和正切公式求即可判断. 【详解】因为，所以，， 又，所以，，故，， 对于A选项，因为，，所以，故A正确； 对于B选项，因为，，所以， 因为，所以，又， 所以，， 所以，B错误， 对于C选项，因为，，故，C错误， 对于D选项，因为，，所以， 又，所以，故D正确， 故选：AD 11. 已知函数，且在单调递增，则的可能取值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据两角和差与倍角的三角函数公式对进行化简，然后根据正弦函数的性质进行判断即可. 【详解】函数， 当时，函数单调递增， 此时化简得， 由于在单调递增，所以，化简得， 因为，所以解得. 令，则，所以选项A,B,C均符合题意， 当时，函数的单调递增区间为， 经验证此时在不单调递增，不符合题意， 故选：ABC. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由条件结合任意角的三角函数的定义可得求解. 【详解】因为已知角α终边经过点，且， 所以，显然， 解得，（舍去）， 故答案为： 13. 我国《物权法》规定：建造建筑物，不得妨碍相邻建筑物的通风和采光.已知某小区的住宅楼的底部均在同一水平面上，且楼高均为50米，依据规定，该小区内住宅楼的楼间距应不小于52米.若该小区内某居民在距离楼底30米高处的某阳台观测点，测得该小区内正对面住宅楼楼顶处的仰角与楼底处的俯角之和为，则该小区的住宅楼的楼间距实际为__________米 【答案】60 【解析】 【分析】设该小区的住宅楼的楼间距为米，利用两角和正切公式建立等量关系，即可得到结果. 【详解】如图，作于，设该小区的住宅楼的楼间距米，则米，米，， 在中，， 在中，， 所以， 即 ，解得或（舍去）. 故答案为：60 14. 在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由向量定义可知，在的角平分线上，结合条件可得是边长为2的等边三角形，再由向量数量积的定义计算即可． 【详解】设，则在的角平分线上， ， ，即， 又为角平分线，所以， ， 即是边长为2的等边三角形，设为中点， 是外接圆的圆心， 在的角平分线上，且， ，， ． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角所对的边长分别为. （1）求 （2）当，求的面积 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系直接计算即可； （2）根据，可得，再求，进而由即可求解． 【小问1详解】 ，则， ； 【小问2详解】 ， 解得， 又， ， ． 16. 已知为坐标原点，点，，记函数，函数的对称中心到相邻对称轴的距离为. （1）求的解析式及函数的单调递增区间； （2）将函数图像上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，就可得到的图像，当，求函数的值域. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算，结合三角恒等变形，可得，再利用周期性求得，即可得解析式，再利用正弦型函数的单调性求出递增区间即可； （2）利用平移和伸缩变换可得，再利用定义域，结合正弦函数性质即可求得值域. 【小问1详解】 由题意得： ， 因为函数的对称中心到相邻对称轴的距离为，所以函数的周期为， 即，所以， 当时，解得， 即的单调递增区间是； 【小问2详解】 若将函数图像上所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的，则， 再向右平移个单位，就可得到的图像，即， 当时，，所以， 即， 故函数的值域为. 17. 在中，角所对的边长分别为，且. （1）求角的大小 （2）若为边上一点，，且是的平分线，求的周长 【答案】（1）； （2）6. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角公式及辅助角公式化简即得. （2）利用三角形面积公式及余弦定理列式计算即得. 【小问1详解】 在中，由，得，则， 即，而，即，则， 所以. 【小问2详解】 由为边上一点，且是的平分线，得， 则，而，， 因此，即，由及余弦定理，得， 则，即，而，解得， 所以的周长为. 18. 如图所示，在中，为边的中点，平面上一点E满足. （1）若，求线段的长度； （2）若为钝角，求线段长度的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，运用勾股定理表示出，再根据在中的表示，与在中的余弦定理表示，建立方程，即可得解； （2）设，，，则，根据为钝角，得到，再运用在与中的两种余弦定理表达建立方程，可得，又因为三角形的两边之和大于第三边，故有，综合以上条件，解关于的不等式即可. 【小问1详解】 取中点，连接，，. 设，则， 因为，故. 因为，故，则. 在中，由余弦定理可知，， 因此有，解得， 故. 【小问2详解】 设，则，设， 设，则，. 由，得，得 因为钝角，故， 可得. 由余弦定理可知，在中，， 在中，， 因此有，整理得，得，， 故，解得，即. 同时，在中，有两边之和大于第三边： 故有：，即，因为，故恒成立； ，即，因为，故恒成立； ，即，即，，两边平方后，整理得. 综上所述，. 19. 两角和与差的正､余弦公式是进行三角恒等变换的基本公式，它还有其他的一些变形公式能有效地帮助我们进行三角函数式的化简，例如： 已知：，① ② 由①+②可得，对比形式即可得和差化积公式. （1）求的值 （2）请证明： （i） （ii） （3）已知在中，角是的内角，且满足，若，求 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦的和差化积公式即可求值； （2）（i）利用拆角，再用两角和差的余弦公式即可证明；（ii）可将等式右边利用正弦两角和差公式展开，再利用平方差公式及同角三角函数基本关系式进行证明即可； （3）利用和差化积公式和积化和差公式，把等式转化为，再利用余弦二倍角公式来求解即可. 【小问1详解】 根据公式可得： ； 【小问2详解】 (i)证明： 即得证； (ii)证明： 即得证； 【小问3详解】 因为，又，所以， 由题干可知：， 所以 ， 去分母得：， 令，则， 解得或（舍去），则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $