2025-2026学年人教版九年级数学上册期末卷 02

2025-2026学年人教版九年级上册期末卷 02 一、单选题 1 ．一元二次方程x (x +1) = 0 的解是 ( ) A ． —1 B ．0 C ．0 或 —1 D ．0 或 1 2 ．下列运算正确的是 ( ) A ． (a2 )3 = a5 B ． (a +1)2 = a2 +1 C ． a2 . a3 = a5 D ． (3a )2 = 6a2 3 ．将二次函数y x2 的图象向上平移2 个单位，则平移后的二次函数的表达式为 ( ) 4 ．某市 2023 年底已有绿化面积 300 公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到 2025 年底增加到 432 公顷．设绿化面积平均每年的增长率为 x ，由题意所列方程正确的是 ( ) A ． 300(1+ x ) = 432 B ． 300(1 + x)2 = 432 C ． 300(1 + 2 x ) = 432 D ． 432(1— x )2 = 300 5 ．下列关于抛物线y = —x2 — 9 的说法，正确的是 ( ) A ．抛物线开口向上 B ．抛物线的对称轴是直线x = 0 C ．向右平移 3 个单位得到y = — (x + 3)2 — 9 D ．抛物线与x 轴有两个交点 6 ．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是 ( ) A ．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B ．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C ．暗箱中有 1 个红球和2 个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D ．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是 4 试卷第 1页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 7 ．已知等腰三角形的边长分别是a 、b 、1 ，且a 、b 是关于x 的一元二次方程x2 — 4x + n +1 = 0 的两根，则n 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．2 或 3 D ．2 或 4 8 ．如图，在Rt△ABC 中， 上C = 90O ， ΘO 是 △ABC 的内切圆，三个切点分别为D ， E ，F ，若BF = 4 ， AF = 6 ，则 △ABC 的面积是 ( ) A ． 24 B ． 28 C ． 32 D ． 36 9 ．函数y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的图象与 x 轴交于点(2，0) ，顶点坐标为(—1，n) ，其中n > 0 ． ①当0 < c < 1时，则 a < 0 ； ②若方程ax2 + bx + c — n —k = 0 有两根，则k < 0 ； ③点P1 (x1 ，y1 ) ，P2 (x2 ，y2 ) 是抛物线上不同于 A ，B 的两个点，当| x1 +1|>| x2 +1|> 3 时，y1＜y2； ④函数y = kx +1 的图象与y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数图象总有两个不同交点．以上结论正确的有 ( ) A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．②④ 10．如图，在矩形 ABCD 中，AB = 2 ，BC = 4 ，点P 是线段BC 上的动点，连结PA ，将线段PA 绕点P 顺时针旋转90O得到线段PE ，连结CE ．点P 从点B 向点C 运动的过程中，线段CE 的最小值为 ( ) A ． 1 B ． ·、 C ． ·、 D ． 2 二、填空题 11．若 x1 ， x2 是方程x2 — 5x = 0 的两个根，则x1 . x2 的值为 ． 12 ．已知代数式 m2 + (2a —1)mn + 9n2 是一个完全平方式，则实数 a 的值为 ． 13 ．如图， AB 是半圆O 的直径，弦 AD , BC 相交于点P, 上DPB = 60O, D 是BC (一) 的中点，则 = ． 试卷第 2页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 14 ．已知二次函数y = x2 — 2x (—1 ≤ x ≤ t —1) ，当x = —1 时，函数取得最大值；当x =1 时，函数取得最小值，则t 的取值范围是 ． 15 ．如图，在正方形 ABCD 中，AB = a ，点 E ，F 在对角线BD 上，且上ECF = 上ABD ，将 △BCE 绕点 C 旋转一定角度后，得到△DCG ，连接FG ．则下列结论： ① 上FCG = 上CDG ；② BE2 + DF2 = EF2 ；③ FC 平分上BFG ；④△CEF 的面积等于 a2 ；其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题 16 ．解决下面问题． (1)解方程组： (2)解不等式组： 1 ． 17 ．已知抛物线的解析式为y = —x2 — 2x + 3 ． (1)将拋物线解析式写成y= a (x —h )2 + n 的形式，并写出这条抛物线的顶点坐标； (2)在给定的坐标系中画出这个抛物线，并根据图象直接写出不等式 —x2 — 2x + 3 > 0 的解集． 18 ．如图， OA = OB，AB 交ΘO 于点C, D, OE 是半径，且OE 丄 AB 于点 F． (1)求证： AC = BD ；(2)若CD = 10，EF = 3 ，求ΘO 的半径． 试卷第3页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 19 ．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀” ，“良好” ，“一般” ，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合 统计图中的信息，回答下列问题： (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整； (2)如果学校初三年级共有340 名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人； (3)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 20 ．已知平行四边形 ABCD 的两边 AB、AD 的长是关于 x 的一元二次方程x2 - 8x + m = 0的两个实数根． (1)若AB 的长为 6 ，求 m 的值；(2)m 为何值时，平行四边形 ABCD 是菱形？求出此时菱形的边长． 21．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点P 距离地面高度为 4 米．宽度 OM 为 8 米．现以点 O 为原点， OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图 1 所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为 2 米，该双车道能否同时并行两辆宽1.8 米、高1.5 米的车辆？请通过计算说明； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD ．使点A ，D 在抛物线上，点B ， C 在地面 OM 线上（如图2 所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆 AB ， AD ， DC 的长度之和的最大值是多少？ 试卷第 4页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 22 ．如图，四边形 ABCD 内接于ΘO ， 上BCD = 90o ，P 为DA 延长线上一点，且 上APB = 上ACD ． (1)求 上PAB 的度数； (2)探究BP 与ΘO 的位置关系，并证明 (3)若AD = CD = 6 ， AB = 3 ，求 AC 的长． 23 ．问题情境 CD 是等边△ABC 的中线，点 P 在线段CD 上运动（不包括端点 C，D），将线段PA 绕点 P 顺时针旋转，点 A 的对应点 E 落在射线BC 上，探究上APE的大小．记上CAP = α . 问题探究 （1）如图 1 ，将问题特殊化，当 α = 30o 时，直接写出上APE的大小； （2）如图 2 ，将问题一般化，当0o < a < 30o 时，求证： 是定值． 问题拓展 （3）当30o < α < 60o 时，若PC EC ，直接写出 的值． 试卷第5页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 24 ．如图所示，抛物线y = ax2 + bx + c 与x 轴相交于 A(—1, 0) ， B (3, 0) 与y 轴相交于点c0, − 3 ，点M 为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点 M 的坐标； (2)如图 2 ，若点 N 是第四象限内抛物线上的一个动点，过点 N 作 x 轴的垂线，垂足为 D ，并与直线BC 交于点 Q，连接BN 、 CN ．求△BCN 面积的最大值及此时点 N 的坐标； (3)若点 P 在抛物线对称轴上，平面内存在点 Q ，使以点 B 、C、P ，Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出P 点的坐标． 试卷第6页，共 6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版九年级上册期末卷 02 一、单选题 1．一元二次方程的解是（     ） A． B．0 C．0或 D．0或1 【答案】C 【分析】本题主要考查了解一元二次方程．利用因式分解法解答，即可求解． 【详解】解：， ∴， 解得：． 故选：C． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，解题的关键是掌握有关运算法则以及公式．运用相关运算法则逐项判断即可得解； 【详解】解：A、，此选项错误；不符合题意， B、，此选项错误；不符合题意， C、，此选项正确；符合题意， D、，此选项错误．不符合题意， 故选：C 3．将二次函数的图象向上平移个单位，则平移后的二次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移，首先根据二次函数的解析式写出平移前抛物线的顶点坐标，根据平移的方向和距离写出平移后的顶点坐标，根据平移后的顶点坐标写出平移后的二次函数表达式． 【详解】解：二次函数的顶点为， 把图象向上平移个单位后的顶点坐标为， 平移后的二次函数的表达式为． 故选：A． 4．某市2023年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2025年底增加到432公顷．设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用—增长率问题．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为，据此列方程即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故选．B． 5．下列关于抛物线的说法，正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．向右平移3个单位得到 D．抛物线与轴有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A．∵抛物线，，即开口向下，故该选项不正确，不符合题意； B．，对称轴是直线，故该选项正确，符合题意； C．向右平移3个单位得到，故该选项不正确，不符合题意； D．当时，，， ∴抛物线与轴无交点，故该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 6．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率公式等知识点，掌握大量反复试验下频率稳定值即概率． 根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即符合题意． 【详解】解：A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故本选项不符合题意； B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，故本选项不符合题意； C．暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故本选项不符合题意； D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为，故本选项符合题意． 故选：D． 7．已知等腰三角形的边长分别是、、1，且、是关于的一元二次方程的两根，则的值为（　　） A．2 B．3 C．2或3 D．2或4 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、三角形的三边关系，根据，结合“等腰三角形的边长分别是、、1”，根据三角形的三边关系进行分类讨论，求出、，即可作答． 【详解】解：∵、是关于的一元二次方程的两根， ∴ ∵等腰三角形的边长分别是、、1 ∴当时，则，， 解得；， 此时等腰三角形的边长分别是，不满足三边关系，故舍去； 当时，同理可得，不能满足三边关系，故舍去； 当时，则 解得； 此时等腰三角形的边长分别是，满足三边关系，符合题意； 故选：B 8．如图，在中， ，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内切圆与切线长定理的应用，根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：连接，， 是的内切圆，切点分别为，，， ，，，， 又， 四边形是矩形， 又， 矩形是正方形，设，则， 在中 ， 解得：， ，， ． 故选：A． 9．函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，其中． ①当时，则； ②若方程有两根，则； ③点是抛物线上不同于A，B的两个点，当时，y1＜y2； ④函数的图象与的函数图象总有两个不同交点． 以上结论正确的有（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，一次函数的性质，二次函数图象与系数的关系等知识，能根据图象确定与系数有关的式子的符号是解题的关键． 由对称轴为直线和点，推出，代入，即可判断①；由抛物线与直线有两个交点，可判断②；根据横坐标距离对称轴越近，函数值越大，距离对称轴越远，函数值越小，可判断③；联立，利用根的判别式，即可判断④． 【详解】解：依题意，画出图形如下： ①∵顶点坐标为， ∴对称轴为直线，则， 将点代入抛物线得， 解得， ∵， ∴ 即， ∴， 故①正确； ∵方程有两根， ∴抛物线与直线有两个交点， ∵顶点坐标为， ∴， 即， 故②不正确； 观察图象可知：横坐标距离对称轴越近，函数值越大，距离对称轴越远，函数值越小． ∵对称轴为直线，且， ∴点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大， ∴； 故③正确； ∵顶点为， ∴抛物线解析式为；， 联立方程组可得：，可得， ∴， ∵无法判断△是否大于0， ∴无法判断函数的图象与的函数图象的交点个数， 故④错误； 综上，①③正确， 故选：B 10．如图，在矩形中，，，点是线段上的动点，连结，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连结．点从点向点运动的过程中，线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先说明当为中点，点在上运动，时，有最小值，利用等腰直角三角形的性质，勾股定理求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接 ∵将线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴ 又∵，， ∴ ∴当点位于点处时，点位于点处， 当点在上时，如图所示，过点作于点， 根据旋转可得， ∵， ∴， 又 ∴ ∴， ∴ ∴ ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴在线段上运动， ∴当时，最小， ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰直角三角形的性质等知识，理解相关知识是解答关键． 二、填空题 11．若，是方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，程的两根分别为和，则根据根与系数的关系直接计算即可． 【详解】解：∵中，，，是方程的两个根， ∴的值为， 故答案为：． 12．已知代数式是一个完全平方式，则实数a的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式的运用．直接利用完全平方公式求解． 【详解】解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 13．如图，是半圆的直径，弦相交于点是的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了圆周角定理、含角的直角三角形的性质等知识．由是半圆的直径得到，由得到，求出，由是的中点得到，则，得到，，根据含角的直角三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：是半圆的直径， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，对称轴上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵，且时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值， ∴， ∴． 故答案为：． 15．如图，在正方形中，，点E，F在对角线上，且，将绕点C旋转一定角度后，得到，连接．则下列结论： ①；②；③平分；④的面积等于； 其中正确的结论是 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②③ 【分析】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，由正方形的性质可得，，由旋转的性质可得，，，，由可证，可得，，，即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， 将绕点旋转一定角度后，得到， ，，，， ， ，故①正确， ，，， ∴ ，，， 平分，故③正确， ， ， ，故②正确， ， ， ∴， ∴的面积，故④错误； 故答案为：①②③． 三、解答题 16．解决下面问题． (1)解方程组：； (2)解不等式组：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，一元一次不等式组，掌握加减消元法解二元一次方程组，不等式组取值方法是解题的关键． （1）根据与的关系，将第一个方程乘以，运用加减消元法先求出的值，再代入第一个方程即可求解的值，由此可得方程组的解； （2）根据不等式的性质，运用去括号，移项合并同类项求第一个不等式的解集，再运用去分母，移项合并同类项求出第二个不等式的解集，根据不等式组的取值方法“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解”即可确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： ①②得，， 解得，， 把代入①得，， 解得，， ∴原方程组的解为； （2）解： ①去括号得，， 移项合并同类项得，； ②去分母得，， 移项合并同类项得，， ∴原不等式组的解集为． 17．已知抛物线的解析式为． (1)将拋物线解析式写成的形式，并写出这条抛物线的顶点坐标； (2)在给定的坐标系中画出这个抛物线，并根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1)， (2)见解析， 【分析】（1）根据配方法，得，确定顶点坐标解答即可； （2）根据列表描点连线，画出图象，利用数形结合思想，确定的解集即可． 本题考查了画图象，配方法求顶点坐标，抛物线与不等式解集，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得， 故抛物线的顶点坐标为． （2）解：根据题意，画图象如下： ， 结合图象，得的解集为． 18．如图，交于点是半径，且于点F． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)的半径是 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明是等腰三角形，再结合于点F，得出因为是的半径，得出，即可作答． （2）由垂径定理得再运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵ ∴是等腰三角形， ∵于点F， ∴ 又∵是的半径， ∴， ∴ ∴； （2）解：如图，连接， ∵为的弦， ∴ ∴ 设的半径是r， ∴， 解得， ∴的半径是 19．初三年级“黄金分割项目活动”展示，为了解全体初三年级同学的活动成绩，抽取了部分参加活动同学的成绩进行统计后，分为“优秀”，“良好”，“一般”，“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如图两个不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题： 初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩条形统计图      初三年级“黄金分割项目学习”展示成绩扇形统计图    (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为______度，并将条形统计图补充完整； (2)如果学校初三年级共有名学生，则参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有______人； (3)此次活动中有四名同学获得满分，分别是甲，乙，丙，丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加校外举行的“黄金分割项目活动”展示，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率． 【答案】(1)，条形统计图补充见解析； (2)； (3)选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为． 【分析】（）由乘以“优秀”所对应的扇形的百分数，得出“优秀”所对应的扇形的圆心角度数；求出全年级总人数，得出“良好”的人数，补全统计图即可； （）根据比赛成绩良好的占比乘以即可求解； （）画出树状图，由概率公式即可得出答案； 本题主要考查了列表法与树状图法，以及扇形统计图、条形统计图的应用，样本估计总体，解题的关键是从统计图表中获取信息． 【详解】（1）解：， 故答案为：； 参加活动的总人数为（人），“良好”的人数为（人）， 将条形统计图补充完整，如图所示：    （2）解：参加“黄金分割项目活动”比赛成绩良好的学生有：（人）， 故答案为：； （3）解：画树状图，如图所示，    共有种等可能的结果，选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有个， ∴选中的两名同学恰好是甲、丁的概率为． 20．已知平行四边形的两边的长是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)若的长为6，求m的值； (2)m为何值时，平行四边形是菱形？求出此时菱形的边长． 【答案】(1)12 (2)，平行四边形是菱形，菱形的边长是4 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根的判别式，菱形的判定与性质，熟练掌握根的判别式和菱形的判定与性质是解题的关键． （1）将代入原方程可求出的值； （2）根据菱形的性质可得出，结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长． 【详解】（1）解：的长是关于的一元二次方程的两个实数根，的长为6， 把代入， 得：， 解得：； （2）解：平行四边形是菱形， ， 方程有两个相等的实数根， ， ， 此时方程为， ， ，即菱形的边长为4； 答：，平行四边形是菱形，菱形的边长是4． 21．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其最高点距离地面高度为4米．宽度为8米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）． (1)求出这条抛物线的函数解析式； (2)隧道下的公路是单向双车道，车辆并行时，安全平行间距为2米，该双车道能否同时并行两辆宽米、高米的车辆？请通过计算说明； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”．使点，在抛物线上，点，在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需测算“脚手架”三根钢杆，，的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下． 【答案】(1) (2)能同时并行两辆宽米、高米的车辆，见解析 (3)米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．读懂题意并掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意，可得点及抛物线顶点的坐标，待定系数法求解析式即可求解； （2）由题知，当时，，即可得出结论； （3）设，则，根据矩形的性质得 设，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）为8米，最高点距离地面高度为4米， 点，顶点即， 设抛物线的解析式为． 把代入，得， 解得： ∴这条抛物线的函数解析式为 （2）能； 当时， ∴能同时并行两辆宽米、高米的车辆． （3）∵四边形是矩形， ∴， 设，则， 设， 则 ∵ ∴当时， w有最大值，为米 答：三根木杆，，的长度和的最大值是米． 22．如图，四边形内接于，，P为延长线上一点，且． (1)求的度数； (2)探究与的位置关系，并证明 (3)若，，求的长． 【答案】(1) (2)相切，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据圆周角定理和平角的定义即可得到结论； （2）根据圆周角定理和切线的判定定理即可得到结论； （3）设与交于，根据垂径定理得到垂直平分，求得，，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）连接， ， 是的直径， ， ； （2）与相切； 证明：， ， ，， ， ， ， 是的直径， 与相切； （3）设与交于， ， ， 是的直径， 垂直平分， ，， ，，， ， ， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了切线的判断，圆周角定理，勾股定理，三角形的面积，垂径定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 23．问题情境  是等边的中线，点P在线段上运动（不包括端点C，D），将线段绕点P顺时针旋转，点A的对应点E落在射线上，探究的大小．记． 问题探究   （1）如图1，将问题特殊化，当时，直接写出的大小； （2）如图2，将问题一般化，当时，求证：是定值． 问题拓展 （3）当时，若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）三线合一，得到，三角形的内角和定理，求出的度数即可； （2）连接，过点P作于H，三线合一得到是的垂直平分线，得到，，旋转得到，进而得到，再跟三线合一，得到，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，根据，即可得出结论； （3）连接，过点P作于H，同（2），利用含30度角的直角三角形，结合勾股定理分别求出，，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵是等边三角形， ∴， ∵是等边的中线， ∴平分， ∴， ∴． （2）连接，过点P作于H． ∵是等边的高， ∴是的垂直平分线， ∴，； ∵线段绕点P顺时针旋转得到， ∴， ∴． ∴垂直平分，即． 在中，， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）连接，过点P作于H． 同（2）可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 24．如图所示，抛物线与轴相交于，与y轴相交于点，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的解析式及顶点M的坐标； (2)如图2，若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，过点N作x轴的垂线，垂足为D，并与直线交于点Q，连接、．求面积的最大值及此时点N的坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，平面内存在点Q，使以点B、C、P，Q为顶点的四边形为矩形，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1)，顶点坐标为： (2)最大值为，的坐标为 (3)点坐标为，，， 【分析】（1）把点、点和点的坐标代入抛物线解析式，求出，b，即可得出抛物线的解析式，再求出顶点坐标即可； （2）由（1）可得到直线的解析式，设点，则，进而表达三角形的面积，利用二次函数的最值问题可得； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点和点，点， 代入抛物线， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为：； ∵， ∴； （2）解：由（1）知抛物线的顶点为， 设直线的解析式为令，将代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为：， 设点，则 ∴ ∴面积， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 此时； （3）解：∵抛物线的对称轴为：直线， 设点坐标为， ∵， ∴， ， ， ①当时，即， ∴， 解得， ∴点的坐标为； ②当时，即， ∴， 解得：， ∴点的坐标为，； ③当时，， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上，点坐标为，，，． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求解析式，勾股定理，二次函数的性质等，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会分类讨论． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $