湖北省宜昌市葛洲坝中学2025-2026学年高二上学期12月独立作业数学试卷

宜昌市葛洲坝中学高二2025年12月独立作业 数学试题 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 注意事项： 1答卷前，考生务必在答题卡上填写自已的姓名，并粘贴条形码。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色水性笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上 无效。 一、单选题共8小题，每小题5分，共40分) 1.已知直线：ax-y+1=0,l2:x-by-2=0,则“a+b=0”是“112”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.运动员甲、乙进行射击训练，若甲、乙中靶的概率分别为0.7,0.8，则两人都脱靶的概率为() A.0.56 B.0.5 C.0.06 D.0.44 3.设x,y,zeR,a=1,1,1),b=1,y,z)c=k,4,2),且a1c,b11c,则2a+b=() A.2√2 B.√10 C.3 D.3√2 4.已知圆C:x2+y2-6x-4y=0的面积被直线x+y-7=0平分，圆C2:(x+1)2+(y-2)2=1,则圆C与圆C。 的位置关系是() A.相交 B.内切 C.外切 D.相离 5.已知直线：3x-4y-6=0和直线l2y=-1,抛物线x2=4y上一动点P到直线、直线l,的距离之和的最 小值是() A.1 B.2 c.s D.3 6.在正三棱锥P-ABC中，AB=4V3,PB=2√6，D,E分别是棱AB,PC的中点，则异面直线PD与BE所 成角的余弦值是() B.V10 D.vi3 5 又已知双自钱c若 =1(a>0,b>0)的左右焦点分别为耳，至，以线段耳F,为直径的圆交双曲线C的 一条渐近线于点M(M在第一象限内)，若线段M的中点N在双曲线C的另一条渐近线上，且双曲线C 过点(2,3)，双曲线C的实轴长是() A.2 B.1 C.5 D.25 8蒙日是法国若名的数学家，他首先发现椭圆+号-1〔®>b>0)的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是 a2 圆，这个圆被称为蒙日圆，且其方程为+=+b.已知椭圆B:亡+上=1的焦点在x轴上，AB为 m 2 椭圆E上任意两点，动点P在直线x-√3y-8=0上.若∠APB恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为() 42 0,7 二、多选题（每小题6分，共18分） 9.下列说法正确的有（) A.过点(2,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x-2=0; B.斜率为-2，在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x±3； C.已知直线3.x+4y-1=0与直线6x+8y-12=0平行，则两平行线间的距离是1； D.直线1的-个方向向量是(2,3)。则直线1的斜率是号 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，E,F,G,H分别是DD,AB,CD,BC的中点， 则下列说法正确的有() D A.E,F,G,H四点共面 C BBD与EF所成角的大小为名 B C.在线段BD上存在点M,使得MC⊥平面EFG D.在线段AB上任取一点N,三棱锥N-EFG的体积为定值 11.过双曲线C:上=1的右焦点作直线1与该双曲线交于A、8两点，则() 4.5 A.存在四条直线1，使AB=6 B.存在直线L,使弦AB的中点为M(4,1) C,与该双曲线有相同渐近线且过点(8,10)的双曲线的标准方程为少_x =1 2016 D若1。：都在该双线的右支上则直线斜障的取位范出足(。写}怎 三、填空题（每小题5分，共15分） 果椭圆5+1上一点P与焦点R的距离等于2，邦么点P与另个焦点 13.已知P为直线x-y+1=0上一点，过P引圆(x-3)2+y2=1的切线，则切线长的最小值为 14.类比二维平面内的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理：如图，由不共面的三条射线PA,PB,PC 构成的图形称为三面角P-ABC,记∠APC=a,∠BPC=B,∠APB=y,二面角A-PC-B的大小为B, 则cosy=cos a cosB+sin a sin Bcose.已知平行六面体ABCD-ABGD的底面ABCD为菱形，∠BAD=60°， COSZAAD=3 ∠AAC=60°，则二面角A-CC-B的余弦值为 A B D B B 四、解答题（共77分） 15.(13分)某条河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽8米，一条木船宽4米，木船露出水 面上的部分高为0.75米 (①)如图，取拱顶为原点，拱桥的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系，求在该坐标系下拱桥的抛物线方程； (2)当水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船不能通行？ 16.(15分)某中学组织了一次文学常识知识竞赛（满分：100分），并从参赛学生中随机抽取100名学生 的成绩并进行整理，按[50,60)，「60,70)，「70,80)，[80,90)，「90,100分成五组，得到如图所示的频率分 0.035 频率/组距 布直方图 (1)估计这100名学生这次文学常识知识竞赛成绩的众数和平均数； 0.025 (2)现从被抽取的竞赛成绩在[50,70)内的学生中按分层随机抽样的方法抽取 0.010 5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作发言，求抽取的2人恰好 5060708090100竞赛成绩/分 在同一组的概率 17.(15分)已知圆C经过点A(3,2)和B(1,0),且圆心在直线x-y+1=0上. (1)求过(-1,3)且与圆C相切的直线方程； (2)已知点P在直线：x-2y-8=0,M(-2,0),点Q在圆C上，求PM+PQ最小值 18.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD,△PAB是等腰三角形，PA=PB,E是 AB的中点. (1)求证：PE1CD; (2)若底面ABCD是梯形，AD∥BC,AD1AB,AB-BC=2AD=2,PA=√5，求二面角P-CD-A的余弦值： (⑧在2)的条件下，线段4P上是杏存在点e,使得B0/平面D若存在，求出号的值：若不存在 请说明理由 19.17分)已知椭圆C:+y +左-1a>b>0过点P21,离心率e百 (1)求椭圆C的方程， (2)如图，直线1，平行于OP(O为原点)，且与椭圆C交于两点A、B,与直线x=2交于点M(M介于 A、B两点之间)》 (i)当△PAB面积最大时，求l,的方程； P(2,1) (i)求证：|PA4MB=PBMA. M数学参考答案 题号 1 2 3 4 6 6 8 9 10 11 答案 C D A B B D ACD ABD ACD 1.C 【分析】利用两条直线垂直求出α，b的关系，利用充分条件和必要条件求解。 【详解】1：x-y+1=0,l,:x-y-2=0,若41l2,则a+b=0, 故a+b=0”是“⊥2”的充要条件.故选：C. 2.C 【分析】利用相互独立事件概率的运算法则计算求解 【详解】，甲、乙两人射击是相互独立事件，甲、乙中靶的概率分别为0.7,0.8， ∴.甲、乙脱靶的概率为1-0.7=0.3,1-0.8=02， ∴.甲、乙都脱靶的概率P=0.3×0.2=0.06,故C正确.故选：C 3.D 【分析】利用空间向量垂直、平行的坐标表示求出参数，再利用向量运算及模的坐标表示求解 【详解】向量a=1,1,1),b=1,y,z),c=(x,4,2),由a1c,得x-4+2=0,解得x=2, 1 y z 由五16，得24元解得y=-2=1,则6=021,2a+6=60,3) 所以2a+b=V32+02+32=3迈.故选：D 4.A 【分析】先根据圆的面积被直线平分得出直线过圆心，从而求出圆C的参数t,确定圆C的圆心和半径， 再结合已知圆C,的圆心和半径，通过计算圆心距并与两圆半径的和差关系作比较，判断两圆位置关系. 【详解】圆C:x2+y2-6x-4y=0可整理为(x-3)2+(y-2)2=4t+9,其圆心C(3,2) 由题可知，直线x+y-7=0经过圆心C,即3+2t-7=0,解得t=2, 因此圆C:(x-3)2+(0y-4)2=25,圆心C(3,4),片=5.圆C2:(x+1)2+(y-2)=1,圆心(-1,2)，2=1 圆心距dCC2=V3+1+(4-2y=25,11-1,=4,5+3=6, Q片-5Kd<+5,.两圆相交故选：A 5.B 【分析】求出焦点F(0,1),准线12：y=-1,设动点P到直线，的距离分别为4，d,求出点F到直线的距 离为d=2,由抛物线定义得到d+d2=d,+PF≥d 【详解】由题意可得，抛物线x2=4y的焦点F(0,1),准线L2:y=-1 点下到直线的距离为4=Bx042.点P到直线：=-1的距商4-P叫 V32+(-4)2 点P到直线：3x-4y-6=0的距离为d,所以d,+d2=d+Pf≥d=2, 当且仅当点P在点F到直线I的垂线上且P在F与l之间，即P'时（如图），等号成立， 故动点P到直线、直线2的距离之和的最小值是2.故选：B 6.B 【分析】由题意可说明PA1PB,PA⊥PC,PB⊥PC,利用向量法即可求得答案. 【详解】依题意得AB=4V3,PB=2W6,故PA=PB=PC=2√6， 则PA+PB2=AB2=48,则PA⊥PB,同理PA⊥PC,PB⊥PC 而D,B分别是棱AB,PC的中点，则PD=AB=2√店BE=√PF+PE-30, 故D丽-A+丽（行心-丽}A元-A丽+丽c-陌-12。 PD.BE 12 则cos PD,BE 10 PDBE2W3x√30=5， 即异面直线PD与BE所成角的余弦值是10 故选：B 7.A 【分】根据题在可细迟1gEc,,无。合无。求得蒲近线的饭斜角是0 120°，计算即可得出结果 【详辋]根据题在可知1圾bMRc,点s-。=合-支设∠派0-8， 2 则ME,0=∠MOE,=∠F,MO=B,即30=180°，0=60°，可得渐近线的倾斜角是60°，120°， :an60-。b=5a,因此双曲线方程-上 a a23a1, 该曲线又过点(2,3)，解得a=1,所以实轴长为2.故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，考查学生数形结合的能力，属于中档题 8.D【分析】分析可知，直线x-√5y-8=0与圆x2+y2=+2相离，利用直线与圆的位置关系可求出m的 取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆E的离心率。 【详解】由题意可知m>2,圆x+y=m+2即为椭圆E:亡+上=1蒙日圆， m 2 因为A、B为椭圆E上任意两点，动点P满足∠APB恒为锐角，则点P在圆x2+y2=+2外， 又因为动点P在直线x-√5y-8=0上，则直线x-√3y-8=0与圆x2+y2=m+2相离， x-5y-8=0 1-8 =>√+2 所以 1+3j 解得2m<4.则e-1-1品 因此， 42 椭圆E的离心率的取值范围是 故选：D 9.ACD 【分析】根据已知条件直接写出直线的方程，可判断A选项；利用直线的斜截式方程可判断选项B;利用 平行线间的距离公式可判断C选项；利用直线的斜率与方向向量的关系可判断D选项」 【详解】选项A:过点(2,4)并且倾斜角为90°的直线方程为x-2=0,故A对： 选项B:斜率为-2，在y轴上的截距为3的直线方程为y=-2x+3,故B错； 选项C:.直线3x+4y-1=0与直线6x+8y-12=0平行，直线6x+8y-12=0的方程可化为3x+4y-6=0, 这两条平行直线间的距离为d=S-C=上1(6-1，故c对 VA+B2V32+4 选项D:若直线的一个方向向量是(23)，则直线1的斜率是子放D对. 故选：ACD. 10.ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量的共面定理可判断A选项，利用坐标法求异面直线夹角可直接判 断B选项，直接利用向量法即可判断C选项；证明AB/平面EFG,即可判断D选项 【详解】在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，建立如图所示的空间直角坐标系， 2 N M D市 H 则E(0,2,1),F(1,0,2),G(1,2,0),H(2,1,0),EF=(1,-2,1),EG=1,0,-1),EH=(2,-1,-1) 设E五=mEF+nEG,即(2，-1，-1)=(m+m,-2,-), 1u+n=2 m= -2=-1,解得 2 即E豆，EF,EG共面， l-n=-1 n= 2 又E为公共始点，因此E,F,G,H四点共面，A正确： B2,00.D0,20),则BD=(-2,2.0,cosE丽，BD= EF.BD 5 EFBD 2， 因此BD与EF所成角的余弦值为、BD与EP所成角的大小为后B正确： 对于C,假设在线段BD上存在M,可设M(x,2-x,0),0≤x≤2，C(2,2,2), 则MC=(2-x,x,2),EF=1,-2,1),EG=(1,0,-1), C硬=2-x-2x+2=0,得x=1,由MC·BG=2-x-2=0,得x 即MC与EF垂直和MC,与EG垂直不能同时成立，因此MC,与平面EFG不垂直，C错误： A(0,0,2),则AB=(2,0,-2)=2EG,AB/1EG,又EEAB,则ABEG, 又EGc平面EFG,AB丈平面EFG,因此AB/平面EFG, 点N到平面EFG的距离即为点B到平面EFG的距离为定值， 又△EFG的面积为定值，则三棱锥N-EFG的体积为定值，D正确.故选：ABD 11.ACD 【分析】由双曲线的性质，直线与双曲线的位置关系逐项分析即可. 【详解】对于A,通径=2少5<6，实轴2a=4<6故有四条， a 对于B,假设存在直线I,使弦AB的中点为M(4,1), 设直线的方程为y-1=k(x-4),与C:少 =1联立得： 45 (5-4k2)x2+(322-8k)x-64k2+32k-24=0,△>0恒成立.所以x+x,= 8k-32k2 =8 5-4k2 ⅓+为=k化-4)+1+k6-4)+1=k8-32-8+2=10-40k-2, 5-4k2 5-4k2 所以k=5,所以直线方程为y-1=5(x-4),但是由于(3,0)不在直线上，故不存在这样的直线1，故B错误 对于C,设与该双曲线有相同渐近线的双曲线的标准方程为：女上 45 入， 代入点（⑧10）可得入=4，所以该双曲线的标准方程为少 =1,故C正确； 2016 [x2y2 对于D,设直线1方程为：=9+3联立4,1得：（5-4)y广+30w+25=0,△>0恒成立 x=y+3 所以A(x,y),B(x,),则y+y= -30m 25 5r°-4'y4=5m2-4 25 若A、B都在该双曲线的右支上，则y=5一4 <0 故D正确；故选：ACD 12.8 【分析】根据椭圆方程可知a=5,再结合椭圆的定义运算求解即可. 【详解】设椭圆+y=1的长轴长为2a,由题意可知：a=5,且P=2, 25 因为P+PE=2a,可得PF=2a-P=10-2=8,所以点P与另一个焦点F的距离为8.故答案为：8. 13.万 【分析】圆心C(3,0),当CP垂直于直线时，切线长最短，从而可求解 【详解】由题可得圆(x-32+y2=1的圆心C(3,0),半径R=1,设切点为T,则PT=VC-R=CH1, 所以当CP垂直直线时c叫取到最小值3-0+-2万，此时PT有21-=故答案为：万. V12+12 J 14. 3W13 13 【分析】连接AD,A,B,由余弦定理及线面垂直的判定和性质得A在底面ABCD内的投影在直线AC上，根 据已知及定义列方程求二面角的余弦值 【详解】 D A C 因为∠AAC=60,则∠ACC=120°，设二面角A-CC-B为日， 由三面角定理得cos ACB=cos∠ACC cos BCG+sin∠ACC sinBCC co8, 即cos30°=cos120(-cos∠AAD)+sinl20sin∠4ADcose 即5_x5+5 xco6,所以cos9=33 故答案为： 3W13 2242 4 13 13 15.(1)x2=-3.2y;(2)当水面上涨到与抛物线拱顶相距2米及以下时，木船不能通行. 【分析】(1)设所求抛物线方程为x2=-2p少y(p>0),根据其所过的点代入求参数即可得 (2)将点B(2,b)代入抛物线求求参数，结合已知分析木船通过的临界值，即可得结论. 【详解】(1)设所求抛物线方程为x2=-2y(p>0), ………2分 由已知，该抛物线过点(4，-5)，则10p=16,解得p=1.6, …4分 所以，所求抛物线方程为x2=-3.2y; ……6分 (2)因为当木船与抛物线拱接触时，木船开始不能通行， 因为木船宽4米，设B(2,b),如下图， B(2,b) 则-3.2b=4,解得b=-1.25· 6 因此h=OH=|b+0.75=1.25+0.75=2米 …12分 所以，当水面上涨到与抛物线拱顶相距2米及以下时，木船不能通行. ………13分 16④8s.78af 【分析】(1)由小矩形的面积之和为1可以求出a的值； (2)根据频率分布直方图，频率最高的组在[80,90)之间；样本平均数表示为数据与它的频率的乘积之和. (3)先利用频率之比求出[50,60)，[60,70)的两组中应抽的人数，列出所有情况，找出其中符合要求的， 算出概率即可. 【详解】(1)由题意可知10(0.01+a+0.025+0.035+a=1,解得a=0.015. ……3分 频率最高的组是80,90)，所以众数为80+90=35； ………5分 2 平均数x=55×0.1+65×0.15+75×0.25+85×0.35+95×0.15=78, ……8分 (2)[50,60),[60,70)频率之比为2：3， 所以从[50,60)内的学生中抽2人，从[60,70)内的学生中抽3人 ……10分 设[50,60)抽中A,B两人，[60,70)抽中C,D,E三人， 则所有组合有AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE,共10种 ……13分 2人恰好在同一组的有B,CD,C8,DB,共4种，2人恰好在同一组的概率为0- …15分 17.(1)x=-1或3x-4y+15=0(2)V101-2 【分析】(1)假设圆心C(,m+1),利用AC=BC可构造方程求得圆心坐标和半径，由圆心和半径可得 圆C的方程；当直线斜率不存在时，易知其与圆C相切；当直线斜率存在时，假设直线方程，利用圆心到 直线距离等于半径可构造方程求得斜率k,进而得到切线方程； (2)利用将军钦马问题，结合定点到圆上动点的距离问题，从而得解」 【详解】(1)设圆心C(m,m+1),由AC=BC得：（m-3)2+(-1)2=(m-1)2+(m+1)2,解得：m=1, ∴圆心C1,2),半径r=4C=V1-3)+(2-2)=2,圆C的方程为：(x-1)+(y-2)°=4.…3分 当过(-1,3)的直线斜率不存在时，即直线为x=-1时，与圆C为相切关系，符合题意； ………5分 当过(-1,3)的直线斜率存在时，设与圆C相切的直线为y-3=k(x+1),即c-y+k+3=0, > 六圆心C到直线：-y+k+3=0的距商d=2k+=2,解得，女-3 Vk2+1 该切线为y-3-子x+1.即3-4y+15=0: …8分 综上所述：过(-1,3)且与圆C相切的直线方程为：x=-1或3x-4y+15=0. …9分 (2)设点M(-2,0)关于直线x-2y-8=0对称的点坐标为N(a,b) a-2-b-8=0 2 则b (a+22 ,即N(2,-8), ……12分 则IPM1+|PQ|=1PN|+|PQ≥IPNI+IPCI-r≥1CN-2=√1O1-2 …15分 当且仅当N,P,Q,C四点共线，且Q在线段NC上时，等号成立 18.Q①证明见解析2)3V2巴)不存在，理由见解析 29 【分析】(1)由面面垂直的性质定理进行证明： (2)过点E作直线EF∥AD,交DC于点F,建立空间直角坐标系Exyz,求出两个平面的法向量进行向 量运算求解 (3)设AO=入AP,入∈[0,1]，利用空间向量的运算求解 【详解】(I)因为△PAB是等腰三角形，PA=PB,E是AB的中点，所以PE⊥AB 又因为平面PAB⊥平面ABCD,平面PABO平面ABCD=AB,PEC平面PAB, 所以PEI平面ABCD.因为CDc平面ABCD,所以PE 1CD. …4分 (2)过点E作直线EF∥AD,交DC于点F 因为AD∥BC,AD IAB,所以EF LAB,BC⊥AB 又因为PEI平面ABCD,所以PE⊥EF,PE⊥AB, …5分 故如图建立空间直角坐标系E-yz,则P(0,0,2),C(2,1,0),D(1,1,0),A(0,-1,0), 所以DC=(1,2,0),DP=(-1,1,2). DC=0 设平面PcD的法向量i=(x,y,),则 x+2y=0 nDP=0' 即 -x+y+2z=0 令y=-2,则x=4,z=3,于是i=(4,-2,3) …·······9分 平面ACD的法向量m=(0,0,1). 以额 因此，锐二面角P-CD-A的余弦值为3V22 …12分 29 (3)不存在，理由如下： 假设线段AP上存在点P,使得B2∥平面PCD,则设AO=AP,A∈[O,1. ……13分 因为P(0,0,2),A(0,-1,0),B(0,1,0),所B0=BA+A0=(0,-2,0)+A(0,1,2=(0,A-2,2入).…14分 因为B01/平面PCD,所以n1B0,故.BO=0,即-2(A-2)+61=0 …15分 解得入=-1，与入∈[0,1矛盾，所以假设不成立. ……16分 因此线段AP上不存在点Q,使得BQ1/平面PCD. …17分 19)营+号1：@-.国证明见解折 【解析】(1)根据条件求出a,b,即可写出椭圆方程； ②句设直线的方程为+1，联立鞘圆方程，表示出。P1B而积可求出面积录大时1的值即 可得出，的方程；(i)证 AM_S△P4M= PA 即可 BMS△MPB 【详解】(1)由e=5c2361 2a24’a24 由于椭圆过点21山，所以兰+京-1，解得6=2，公=8 所以椭圆的方程为： x2 y2 81 。十 ……3分 日0由据设条件知k,片由超范设直线L的方程为y 1 2+t, 9 设A(x,),B(x2,y2),联立直线l2与椭圆的方程，整理可得x2+2+2t2-4=0, △=4t2-4(2-4>0,即t2<4,x+x2=-2t,xx2=22-4, …5分 所以长1H调一+-4=5-T, ……7分 P到直线AB的距离为：d=2 ……8分 5' 所以4BdaV4F-4PFs4-r-2 ……10分 2 当且仅当=2取等号.由M介于、8之间可得=反。这时直线的方程为分：11分 1 面证明：“4=当) 1-111,同理：女如分是 X-2x-2-2x-2 Γ2x2-21 :k+k。=1+L,+L）-1+s+54=1++-4 (5-2x-2厂(k-2(5-2)1x-2(5+x)+4 将x+x2=-2t,x=22-4,代入可得：kA+kg=1+ t(-2t-4) 2r-4-2-20+40, ………15分 所以直线PA,PB关于直线x=2对称，即PM为∠APB的角平分线， AM_S△PAM sin乙aPM 所以 PA BM SA PBM 即证得：PAB|=PBMA. ……17分 P8lPMs∠BPM PB' 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆的位置关系，考查椭圆中三角形面积问题，属于较难题. o