期末全册复习专题（10大考点39类题型）- 2025-2026学年浙教版八年级数学上册基础知识专项突破讲练

该初中数学讲义以10大考点39类题型构建八上全册知识体系，分基础、培优、压轴三层梳理，通过目录框架呈现考点脉络，按题型分类突出全等三角形、勾股定理等重点，明晰知识内在联系。 讲义亮点是分层练习设计，基础题如“轴对称图形识别”培养几何直观，综合题如“不等式参数问题”发展推理意识，压轴题如“一次函数与几何综合”提升创新意识，各题型附解题思路，助力分层提升，支持教师精准教学与学生自主复习。

期末全册复习专题（10大考点39类题型） 浙教版八上 目录 一.基础篇 2 【考点一】图形的识别 3 【★题型 1】轴对称图形 3 【★题型 2】将军饮马图形 4 【考点二】定义、命题、定理 7 【★题型 3】定义与命题 7 【★题型 4】命题的真假、举反例 9 【★题型 5】定理与证明 11 【考点三】基本性质与定理 14 【★题型 6】三角形三边关系 14 【★题型 7】三角形三条重要线段 16 【★题型 8】三角形内角和与外角性质 18 【★题型 9】全等三角形性质与判定 21 【★题型 10】线段垂直平分线与角平分线性质 23 【★题型 11】利用勾股定理求边长 25 【★题型 12】不等式的基本性质 29 【★题型 13】函数自变量取值范围 31 【★题型 14】一次函数的图象与性质 32 【考点四】尺规作图 34 【★题型 15】画三角形的高 34 【★题型 16】作一个三角形 36 【★题型 17】作垂线或垂直平分线与角平分线 38 【★题型 18】作等腰三形 41 【考点五】基本运算 43 【★题型 19】用勾股定理解直角三形 43 【★题型 20】解一元一次不等式（组） 46 【考点六】利用性质与判定进行基础求值与证明 49 【★题型 21】全等三角形性质与判定综合 49 【★题型 22】等腰三形的性质——等角对等边、三线合一 53 【★题型 23】平面直角坐标系中点的坐标 56 【★题型 24】平面直角坐标系中的平移与对称 58 【★题型 25】一次函数图象与性质简单运用 62 二.培优篇 64 【考点七】综合运算求值与证明 64 【★★题型 26】一元一次不等式的解法 64 【★★题型 27】一元一次不等式的参数问题 68 【★★题型 28】全等三角形性质与判定综合求值证明 70 【★★题型 29】勾股定理与三角形综合求值 75 【★★题型 30】平面直角坐标系与几何综合 80 【★★题型 31】一次函数图象与性质综合 85 【★★题型 32】一次函数图象与几何综合 88 【考点八】运算与性质的综合应用 93 【★★题型 33】勾股定理的应用 93 【★★题型 34】一元一次不等式（组）的应用 96 【★★题型 35】一次函数的简单应用 100 三.压轴篇 105 【考点九】最值问题 105 【★★★题型 36】平面直角坐标系、一次函数、勾股定理综合求最值 105 【考点十】跨章节综合压轴题 109 【★★★题型 37】勾股定理与三角形综合压轴题 109 【★★★题型 38】平面直角坐标系与几何压轴题 116 【★★★题型 39】一次函数与几何压轴题 122 一.基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】图形的识别 【★题型 1】轴对称图形 1．（2025·西藏·中考真题）下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（   ） A．田 B．忌 C．赛 D．马 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形）依次对各选项逐一判断，据此解答即可． 解：A．该图形是轴对称图形，故此选项符合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（2025·湖南·中考真题）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义． 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一分析判断即可． 解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，不合题意； C．是轴对称图形，符合题意； D．不是轴对称图形，不合题意； 故选：C． 4．（2025·新疆·中考真题）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 【解题思路】：紧扣轴对称图形定义，判断图形能否沿某条直线折叠后，直线两侧部分完全重合，逐一分析选项即可。 【★题型 2】将军饮马图形 1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个问题体现的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．到角两边距离相等的点在角平分线上 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称变换和两点之间线段最短的性质，解题的关键是掌握作图以及运用的原理． 解：如下图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于点C，点C即为所求泵站的位置，体现的数学原理是“两点之间，线段最短”， 故选：A． 3．已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN（假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直），下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图作AI∥MN，且AI=MN，连接BI，由两点之间线段最短可知此时从A点到B点的距离最短，所以AM∥BN. 解：如图，作AI∥MN，且AI=MN，连接BI， ∴四边形AMNI为平行四边形， ∴AM∥BN，此时从A点到B点距离最短. 故选C. 【点拨】本题主要考查了最短路径的问题，运用到了两点之间线段最短，平行四边形等知识点，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 4．（23-24七年级下·四川成都·期末）某社区准备在街道（直线l）旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．如图，已知点A关于直线l的对称点为，与直线l相交于点，与直线l相交于点，于点，是的中点，为了能使居民区A，B到奶站的距离之和最短，则奶站应建在的地方为（    ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】B 【分析】本题考查轴对称求最短距离，连接，则，则，根据两点之间线段最短可知，此时点到A、B的距离最小． 解：连接， 有题意可知，， ∴，根据两点之间线段最短可知，此时点到A、B的距离最小， 故选：B． 【解题思路】利用轴对称性质，作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为最短路径的点，原理是 “两点之间线段最短”。 【考点二】定义、命题、定理 【★题型 3】定义与命题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（   ） A．对顶角相等 B．锐角都小于钝角 C．同一平面内不相交的两条直线叫作平行线 D．任何一个三角形一定有直角 【答案】C 【分析】本题考查了定义与性质、公理的异同，根据课本中的定义进行判断即可，解题的关键是需熟记课本中的定义． 解：A、对顶角相等是性质，不是定义，故A不符合题意； B、锐角都小于钝角是性质，不是定义，故B不符合题意； C、同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，是定义，故C符合题意； D、任何一个三角形一定有直角，说法错误，不是定义，故D不符合题意； 故选：C ． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 【答案】D 【分析】本题考查了定义的理解.根据定义的属性进行判断即可．定义是指对某个词语、概念或事物的本质特征进行准确、清晰的描述和解释，确保人们在交流或学术讨论中达成一致理解．掌握定义的属性是解题的关键． 解：A. 两点确定一条直线是确定直线的条件，不是定义，故错误； B. 两直线平行，同位角相等是平行线的性质，不是定义，故错误； C. 等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误； D. 线段是直线上的两点和两点间的部分是线段的定义，正确． 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ （1）两点之间，线段最短． （2）如果，那么是线段的中点． （3）一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 【答案】（1）是命题；（2）是命题；（3）不是命题 【分析】本题考查了命题的定义，即能判断真假的陈述句；解题的关键是准确判断语句是否能判断真假；易错点是对条件和结论不明确的命题判断失误，例如错误地将疑问句或无法确定真假的语句误判为命题；依据命题是能判断真假的陈述句这一定义，逐一分析各语句是否符合定义，若语句是陈述句且可判断真假（真或假），则是命题；否则不是命题． 解：（1）语句“两点之间，线段最短”是一个陈述句，在几何中这是一个公理，可判断为真，因此是真命题． （2）语句“如果，那么是线段的中点”是一个陈述句，但该结论不一定成立，例如当点不共线时，但不是线段的中点，因此可判断为假，是假命题． （3）语句“一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？”是一个疑问句，无法判断真假，因此不是命题． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果 ，那么 ． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】原命题“对顶角相等”中，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等，据此改写成“如果……那么……”形式． 本题考查命题的改写，掌握拆分命题的条件与结论，按如果+条件，那么+结论的结构改写是解题的关键． 解：命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”． 故答案为：两个角是对顶角，这两个角相等． 【解题思路】区分 “定义”“命题” 的概念，定义是对事物本质特征的描述，命题是能判断真假的陈述句，据此判断语句类型；改写命题时，拆分 “条件” 和 “结论”，按 “如果 + 条件，那么 + 结论” 的格式表述。 【★题型 4】命题的真假、举反例 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）下列命题：①无理数都是实数；②无理数是开方开不尽的数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数：⑤实数包括有理数、0和无理数，其中错误的命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了实数．熟练掌握实数的定义，是解题的关键． 根据实数、无理数的定义，结合各选项说法进行判断即可． 解：①∵实数包括无理数和有理数， ∴无理数都是实数， ∴①正确； ②∵π也是无理数， ∴②不正确； ③∵是有理数， ∴③不正确； ④∵是有理数， ∴④不正确； ⑤实数仅分为 “有理数” 和 “无理数” 两类， 0 已包含在有理数中，不应重复列举， ∴⑤不正确； 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，举出一个反例，反例中的可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题与定理，掌握实数的平方、实数的大小比较法则、假命题的概念是解决本题的关键． 要判断命题为假命题，需举出反例，即存在满足条件但结论不成立的值，可以当时，进行求解即可． 解：当时，，满足条件； 但 ，不满足结论， ∴命题是假命题． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 【答案】 1（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了命题与定理、反证法等知识点，掌握判断一个命题是假命题的时候可以举出反例是解题的关键． 根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可解答． 解：当时，， 但， 故答案为：，1． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查假命题的反例判断，关键是确保前提成立但结论不成立． 要证明命题“若，则”是假命题，需找反例，即x满足但． 解：A、时，，且，不符合反例； B、时，，前提不成立，不符合反例； C、时，，且，不符合反例； D、时，，但，即，结论不成立，符合反例， 故选：D． 【解题思路】判断真命题需依据定义、定理推导；判断假命题只需举出一个满足条件但不满足结论的反例，注意反例的合理性。 【★题型 5】定理与证明 1．（25-26八年级上·全国·周测）下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键． 根据定理的概念，逐一进行判定即可． 解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有 （填序号）． 【答案】①②③④⑤⑦ 【分析】本题考查了定理与证明，熟练掌握定理与证明的特性是解题的关键； 先明确推理依据的定义，在逐项分析所给各项是否符合推理依据的要求，最后统计符合条件的个数即可. 解：推理依据是指在数学推理过程中，无需证明即可直接使用的确定事实，包括公认的基本事实、学过的定义、性质、定理、公理以及题目中给出的已知条件等. ①公理：公理是经过人类长期反复实践检验，不需要再加证明的基本命题，是推理依据； ②已学定理：定理是经过证明的真命题，是推理依据； ③定义：定义是对事物本质特征的描述，是明确概念的依据，是推理依据； ④等量代换：等量代换是基本的逻辑规则，即如果两个量相等，那么它们可以互相替换，是推理依据； ⑤不等式的性质： 不等式的性质是经过证明的，如不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变等，是推理依据； ⑥度量结果：度量结果可能因测量工具、方法等因素存在误差，不是确定的已知事实，不能作为推理依据； ⑦已知条件：题目中给出的已知条件是推理的起点，是推理依据； ⑧正确的观察结果： 观察结果可能受主观或客观因素影响，不是绝对可靠的确定事实，不能作为推理依据； ⑨猜测结果：猜测结果没有经过证明，不具有确定性，不能作为推理依据； 故答案为：①②③④⑤⑦ ． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 4．（22-23八年级上·山东聊城·期末）求证：等腰三角形两底角的角平分线相等． 已知： 求证： 证明： 【答案】见分析 【分析】根据命题先设置出题目条件和所需证明的结论，再利用全等三角形的判定与性质作答即可． 解：已知：在中，，，分别是和的角平分线， 求证：． 证明：∵， ∴， ∵，分别是和的角平分线， ∴，， ∴， 在和中 ∴， ∴． 【点拨】本题主要考查了等腰三角形两底角的角平分线相等的证明方法，掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． 【解题思路】定理是经证明的真命题，判断语句是否为定理，需看其是否是公认的结论或经严谨推导；证明题需结合已知条件，利用定义、公理、已学定理，通过逻辑推理得出结论。 【考点三】基本性质与定理 【★题型 6】三角形三边关系 1．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．1,  2,  4 B．2， 3， 6 C．8， 6， 4 D．12， 6， 5 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边的关系：三角形任意两边之和大于第三边．判断时，只需验证两条较短边的和是否大于最长边． 解：A．∵, ∴不能组成三角形． B． ∵, ∴不能组成三角形． C． ∵, ∴能组成三角形． D． ∵, ∴不能组成三角形． 故选C 2．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，将四根长度分别为，，，的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在保持四边形变化过程中，点和点之间的距离可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边的关系的应用． 连接，根据三角形的三边关系，可得的范围，即可求解． 解：连接，    在中，，即， 在中，，即， ∴， ∴只有C选项符合题意． 故选：C． 3．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）已知，a，b，c是的三边长，a，b满足，且c为奇数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的乘方，三角形的三边关系；根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，结合c为奇数确定c的值. 解：∵，且，， ∴，， ∴，． ∴，即， 又∵为奇数， ∴． 故答案为：3. 4．（25-26八年级上·西藏日喀则·期中）若a、b、c为的三边长，且满足，则c的值可以为 【答案】3（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题主要考查了绝对值和算术平方根的非负性，三角形的三边关系，解题的关键是掌握以上性质． 根据绝对值和算术平方根的非负性求出，再根据三角形的三边关系求解即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， c的值可以为3， 故答案为：3． 【解题思路】依据三角形任意两边之和大于第三边，验证时只需判断两条较短边的和是否大于最长边即可；已知两边求第三边范围时，利用 “两边之差小于第三边且小于两边之和” 求解。 【★题型 7】三角形三条重要线段 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的高和中线的意义． 根据和求出，根据是中线即可求解． 解：， ， ∵是中线， ． 故选：A． 2．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，的平分线，相交于点F，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题重点考查三角形内角和定理、角平分线的定义等知识，正确理解和应用“三角形的内角和等于”是解题的关键．由，求得，因为，的平分线，相交于点F，所以，，则，求得，于是得到问题的答案． 解：在中，， ∴， ，的平分线，相交于点F， ，， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线的性质是解答本题的关键．三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分． 解：∵是的中线，E是上的一点 ∴， ∴阴影部分的面积 故选：D. 4．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，是的中线，的周长比的周长大，，则 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了三角形的中线的定义，解题的关键是掌握三角形的一个顶点与对边中点的连线是三角形的中线． 根据中线的定义得出，根据的周长比的周长大，得出，则，即可求解． 解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比的周长大， ∴， 则， ∵， ∴， 故答案为：5． 【解题思路】明确高、中线、角平分线的定义，中线平分对边，角平分线平分内角，高垂直于对边（或对边延长线）；利用中线分三角形面积相等、角平分线性质等解题。 【★题型 8】三角形内角和与外角性质 1．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是直角三角形的性质，熟记直角三角形的两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两锐角互余、同角的余角相等解答． 解：， ， ， ， ， ， 故选：． 2．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是的一个外角，若，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此即可计算． 解：，， ． 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求解即可． 解： ∵，， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是 【答案】/230度 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理可得，再根据，代入计算即可得． 解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【解题思路】内角和为180度，外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合这两个性质进行角度计算与推导。 【★题型 9】全等三角形性质与判定 1．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，点在上，点在上，与相交于点，且，，则判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定（），熟练掌握全等三角形的判定定理（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）是解题的关键． 梳理与的已知角和边，匹配全等三角形的判定定理． 解：在和中， ，，， ， 故选：． 2．（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（    ）去配． A．① B．② C．③ D．①和② 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟记全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法解答． 解：带①去可以根据“角边角”配出全等的三角形． 故选：A． 3．（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 【答案】乙 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．注意：判定两个三角形全等时，必须有边参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可． 解：甲图中只有一边和一角与的对应边、角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 乙图中三角形的三边和三边对应相等，故可以根据判定该三角形和全等； 丙图中只有两角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 丁图中有三角和的对应角相等，不符合证明两三角形全等的条件，故无法判定该三角形和全等； 故答案为：乙． 4．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，请你添加一个条件 ，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法添加即可． 解：已知，， 可添加，证明． 故答案为：（答案不唯一）． 【解题思路】性质是全等三角形对应边、对应角相等；判定需根据已知条件，匹配 SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）中的一种，注意 “边边角” 不能判定全等。 【★题型 10】线段垂直平分线与角平分线性质 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到两端的距离相等． 先根据垂直平分线的性质得出，再根据的周长是，即可求解． 解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵的周长是， ∴， ∴的周长=． 故选：A． 2．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，已知，直线垂直平分交于点D，交于点E，连接，若的周长为14，则的周长为 ． 【答案】22 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．根据线段垂直平分线性质知，的周长，进而求解即可． 解：∵垂直平分， ∴． 又的周长， ∴的周长． 故答案为：22 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是22，，分别平分和，于点，且，则的面积是 ． 【答案】33 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，掌握这一定理是关键．连接，过点P分别作，垂足分别为E，F，则，利用面积关系即可求解． 解：如图，连接，过点P分别作，垂足分别为E，F， ∵，分别平分和，，， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：33． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，为的角平分线，若，，则边上的高线长 cm． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的性质可得，据此解答即可．解题的关键是掌握：角平分线上的点到角两边的距离相等． 解：∵，， ∴， 如图，过点作于点， ∵为的角平分线，即， ∴， 即边上的高线长． 故答案为：． 【解题思路】线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；角平分线上的点到角两边距离相等，反之，到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上，到角两边距离相等的点在角平分线上，利用这两组性质互推。 【★题型 11】利用勾股定理求边长 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将两个直角三角形摆放如图，其中，则长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定， 作，根据“角角边”证明，可得，再根据勾股定理可得，则此题可解． 解：如图所示，过点作于点， ∵， ∴． ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ∴， 解得：（负值舍去）． 故选：B． 2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，是边的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．2.5 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是勾股定理，直角三角形斜边上的中线，熟知在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 先根据勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论． 解：，，， ． ∵是边的中点， ． 故选：C． 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东和南偏东方向出发，他们的速度分别是和，则后他们之间的距离为 m． 【答案】 【分析】本题考查了与方向角有关的计算题，用勾股定理解三角形等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先说明，再分别求出、，然后利用勾股定理求解． 解：， 小明和小华同时从P处分别向北偏东和南偏东方向出发，他们的速度分别是和， 后，，， 他们之间的距离为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折．若点的对称点恰好落在上，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质得，由勾股定理求得，得出，由勾股定理求出，即可得出结果． 解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， 故答案为：5 【解题思路】在直角三角形中，（c为斜边），已知两边求第三边直接代入公式；非直角三角形可通过作高构造直角三角形，再用勾股定理求解。 【★题型 12】不等式的基本性质 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列说法不一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”，熟练掌握不等式的性质是解题关键．根据不等式的性质逐项判断即可得． 解：A、∵，， ∴， ∴（不等式两边除以同一个正数，不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； B、当时，，则， 当时，， ∴若，则（不等式两边乘以同一个正数，不等号的方向不变）， 综上，此项不一定成立，符合题意； C、若，则（不等式两边减去同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； D、若，则（不等式两边加上同一个数（或式子），不等号的方向不变），则此项一定成立，不符合题意； 故选：B． 2．（25-26七年级上·上海·月考）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质，需逐项判断其正确性．选项A、B和D符合不等式性质，正确；选项C存在反例，不正确，从而可得答案． 解：A、两边同时加上2得，，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意； B、两边同时乘以得，，不等号的方向改变，说法正确，故选项不符合题意； C、若，当时，，原说法不正确，假命题，故选项符合题意； D、，两边同时除以2，则，不等号的方向不变，说法正确，故选项不符合题意． 故选：C． 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质是解题关键； 根据不等式的性质，不等式两边除以同一个负数时，不等号的方向改变．由解集的形式可知，两边除以后不等号方向改变，因此为负数． 解：∵不等式的解集是， ∴， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·福建福州·月考）、、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①；②； ③；④．其中正确的有 填上序号． 【答案】①② 【分析】由图可知，，根据上述条件来判断①②③④的正确与否． 本题考查了数轴的知识点，解题的关键是从图中提取已知条件，并以此来逐一判断①②③④的正确与否． 解：由图可知，， 是同号两数相加，取相同的符号，即正号， ，故符合题意； ， ，故符合题意； ， ，故不符合题意； ， ，故不符合题意； 故答案为：①②． 【解题思路】牢记不等式三条性质，尤其是两边乘除负数时不等号方向改变，据此判断变形是否正确，或求解参数范围。 【★题型 13】函数自变量取值范围 1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数的取值范围，通常我们关注 2 个点：分母不为 0 ，二次根式内的式子必须非负． 根据分母不为 0 ，且二次根式内式子非负计算可得． 解：∵函数要有意义， 则， 解得：， 故选：A． 2．（24-25八年级下·江西上饶·月考）已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象，利用时，即对应图象在x轴及其上方，进而求出x的取值范围． 解：如图所示：当时，或． 故选：D． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分式的意义，分母不等于，可以求出的范围． 本题考查了函数自变量的取值范围，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为． 解：函数中， ， 解得， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，找准等量关系是解题关键．根据油箱内余油量油箱中原来的油量每小时耗油量行驶时间，列出函数关系式即可得，再求出行驶时间的取值范围，由此即可得． 解：由题意得：， 当时，，解得， 则油箱内余油量（升）与行驶时间（小时）的关系式为， 故答案为：． 【解题思路】分式函数分母不为 0，二次根式函数被开方数非负，结合实际问题的限制条件，综合求解自变量的取值范围。 【★题型 14】一次函数的图象与性质 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．y随着x的增大而减小 C．图象与y轴交于点 D．图象经过第一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的性质，通过计算点坐标和判断斜率符号来分析各选项，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 解：∵函数，且，， ∴y随着x的增大而减小，图象经过第一、二、四象限，故B正确，D错误； 当时，，即图象与y轴交于点，故C错误； 当时，，图象经过点，故A错误； 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若点和都在一次函数（k为常数）的图象上，且当时，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查一次函数的性质；由题意，当时，，函数y随x的增大而增大，即可得出答案． 解：∵点和都在一次函数（k为常数）的图象上，且当时，， ∴函数y随x的增大而增大， ∴ ， ∴， ∵选项中，仅， ∴ k 的值可能是 3． 故选：D． 3．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知直线经过点．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性判断即可． 解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，， 解得， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知一次函数的图象经过点和，则 ．（填“”、“”或“”） 【答案】< 【分析】本题考查了一次函数的性质，比较一次函数值的大小，根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，进行分析，即可作答． 解：∵一次函数解析式， 得， 即y随x的增大而减小， ∵点和中，， ∴， 故答案为：<． 【解题思路】根据解析式y=kx+b，k决定增减性k>0时递增，k<0时递减，b决定与y轴交点；判断点是否在图象上，代入点的坐标验证即可。 【考点四】尺规作图 【★题型 15】画三角形的高 1．（25-26八年级上·云南红河·期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，掌握三角形的高是三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线、顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 根据三角形的高的定义逐项分析判断即可解答． 解：A选项中线段表示中边上的高． B、C、D选项中线段不能表示任何边上的高． 故选：A ． 2．（25-26八年级上·广西防城港·期中）下列画的边上的高，画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的高，熟练掌握三角形的高的画法是解题的关键； 因此此题可根据三角形高的画法进行选择即可． 解：因为是画的边上的高，所以应过A点向作垂线， 故A、C、D均不符合题意，B符合题意． 故选：B． 3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，在钝角三角形中，下面关于作高的方法描述正确的是（   ） A．找到边中点，连接，则是高 B．作的平分线与边交于点，是高 C．延长线段，过点向延长线作垂线，交点为，线段是高 D．就是边上的高 【答案】C 【分析】本题主要考查了作三角形的高，熟练掌握三角形高线的作法，是解题的关键．根据三角形高线的作法，逐项进行判断即可． 解：A．找到边中点，连接，则是中线，故A不符合题意； B．作的平分线与边交于点，是角平分线，故B不符合题意； C．延长线段，过点向延长线作垂线，交点为，线段是高，故C符合题意； D．因为，所以不是边上的高，故D不符合题意． 故选：C． 4．（25-26八年级上·河南漯河·月考）如图，，，，在中，边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，掌握相关知识是解决问题的关键．三角形的高是指，从三角形顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，据此解答即可． 解：在中，边上的高应该是从向引垂线， ， 边上的高是． 故答案为：． 【解题思路】明确高的定义，从三角形的一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段即为高，钝角三角形的高需延长对边作图。 【★题型 16】作一个三角形 1．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，，，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 解：由作图方法可得，，， ∴， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作三角形，全等三角形的判定，解题的关键是理解作图过程中产生的相等元素，据此得出全等的判定方法． 解：由作图可知，这个作图的依据是：两角夹边对应相等的两个三角形全等，即ASA． 故选C． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 【答案】C 【分析】本题考查尺规作图—作三角形，根据尺规作三角形的步骤，进行判断即可． 解：由题意，作的步骤如下： 作直线，在上截取； 分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； 连接，则为所作的三角形； 故正确的顺序为②①③； 故选C． 4．（25-26八年级上·浙江温州·月考）已知（如图），请你用尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 【答案】见分析 【分析】本题考查作一个与已知三角形全等的三角形，先作线段，再分别以、为圆心，、为半径画弧交于点，此时，，则． 解：使得的如图所示： 【解题思路】根据已知条件（如三边、两边及夹角、两角及夹边），利用尺规作图的基本方法，依次作出对应边和角，拼接成三角形，依据全等判定定理保证作图唯一性。 【★题型 17】作垂线或垂直平分线与角平分线 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． 【答案】见分析 【分析】本题考查了作垂线（尺规作图） ，解题关键是掌握作垂线（尺规作图）． 以P为圆心大到P到的距离为半径作圆弧，交于两点，以这两点为圆心，同样长度为半径，在下方作圆弧，两圆弧交于点C，连线，，以此求解． 解：如图，，直线即为所求作． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，中，，点是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）得到的图中，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了尺规作图—垂直，作出正确的线段是解决本题的关键． （1）以点为圆心，适当半径画弧，交于点，，再以点，为圆心，以为半径画弧，两弧交于点，连接，交于点，交于点，则点，即为所求作； （2）由作图可得，则可证明，进而即可求证． 解：（1）解：如图，即为所求． （2）证明， ， ，， ， ， ， ． 3．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，在直线上任取一点，连接，．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线，及线段垂直平分线的性质，掌握以上知识是关键． 根据作图得到是线段的垂直平分线，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等即可求解． 解：根据作图痕迹知，是线段的垂直平分线， ∴， 故选：D． 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，，用尺规在边上找一点，仔细观察、分析，能使成立的作图是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和作图－复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 由于，则点为的垂直平分线与的交点，然后根据基本作图对各选项进行判断． 解：∵， ∴当时，，即， ∴点为的垂直平分线与的交点． A中，是的角平分线，故该选项不符合题意； B中，点为的垂直平分线与的交点，故该选项符合题意； C中，，故该选项不符合题意； D中，，故，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合作图过程，得平分，是的垂直平分线，则，，又因为，且结合三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答． 解：观察作图痕迹，得出平分， 则， 观察作图痕迹，得出是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 故答案为：． 【解题思路】作垂线用 “过直线外一点作已知直线的垂线” 的尺规方法；作垂直平分线需分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线；作角平分线以角顶点为圆心画弧，再以弧与角两边交点为圆心画弧，两弧交点与顶点连线即为角平分线。 【★题型 18】作等腰三形 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形．如图，已知线段a和h．求作：等腰三角形，使，高． 【答案】见分析 【分析】本题考查了尺规作图－作线段的垂直平分线以及作线段，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作图的步骤． 先作射线，在射线上截取，作线段的垂直平分线，交于点，在上方的垂直平分线上截取，则等腰三角形即为所求． 解：如图，等腰三角形即为所求： 2．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求作一个等腰三角形，使底边长为，底边上的中线为；（保留作图痕迹，不必写出作图方法和步骤）． 【答案】图见分析 【分析】本题考查了作线段、作线段垂直平分线，熟练掌握尺规作图是解题关键．先在射线上截取线段，再作的垂直平分线，交于点，然后在直线上截取，连接，则等腰三角形即为所求． 解：如图，等腰三角形即为所求． ． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）尺规作图：如图，以为顶角，线段a为腰作等腰三角形．（要求写出已知、求作，不写作法和证明，保留作图痕迹） 【答案】见分析． 【分析】本题考查了尺规作图的等腰三角形的画图方法，熟练掌握作图方法是解题关键． 尺规作，再以A为圆心，线段a为半径画弧，交的两边于，连接，即为所求． 解：已知：，线段a． 求作：，使得． 如图，即为所求． 【解题思路】已知底边和底边上的高，先作底边的垂直平分线，再在垂直平分线上截取高的长度，连接顶点与底边两端点；已知顶角和腰长，先作顶角，再以顶点为圆心，腰长为半径画弧，交角两边于两点，连接两点即可。 【考点五】基本运算 【★题型 19】用勾股定理解直角三形 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的面积分别是5和7，则正方形的面积为（   ） A．9 B．12 C．14 D．35 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形判定与性质、勾股定理，解本题的关键在证明． 根据正方形的性质，得出，，，，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据等量代换，得出，再根据“角角边”，得出，再根据全等三角形的性质和勾股定理，结合正方形的面积，求解即可． 解：如图，作以下标记： ∵、、都是正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中， ∴， 又∵，，， ∴， 故选：B． 2．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，且，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，实数与数轴．先根据勾股定理计算出的长，进而得到的长，再根据点A表示，可得点C表示的实数． 解：由勾股定理得， ， 点A表示的数为，点C在点A的右侧， 点C表示的数为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，是的高，是的中线．若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高与中线的定义，勾股定理，掌握三角形的高与中线的定义，勾股定理是解题的关键． 根据条件，得到，利用勾股定理计算出，再通过中线的含义即可得到答案． 解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴． 4．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，于点D，，，．求的长． 【答案】AB的长为25 【分析】本题主要考查的是直角三角形中勾股定理的应用，利用勾股定理求对应边长是解题的关键． 分别在和中，利用勾股定理求出的长，即可求解． 解：因为，所以 在中，由勾股定理，得， 即， 所以 在中，由勾股定理，得， 即， 所以 所以． 【解题思路】在直角三角形中，已知两边求第三边直接用勾股定理；已知一边和一个锐角，结合直角三角形两锐角互余，先求另一锐角，再用勾股定理或三角函数求边长。 【★题型 20】解一元一次不等式（组） 1．（25-26八年级上·浙江台州·月考）解下列不等式（组）： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式与一元一次不等式组的解法．解不等式时要注意不等式两边同时乘以或除以负数时要改变不等号方向，但此处未涉及负数除法，只需按步骤化简即可．对于不等式组，关键在于分别求解后再取公共部分．特别注意端点值的取舍，尤其是严格不等式与非严格不等式的边界情况． （1）先移项整理不等式，再将系数化为1即可； （2）对于每个不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1等代数运算求解其解集．在不等式组中，求出每个不等式的解集后，找出它们的公共部分即为原不等式组的解集． 解：（1）解：， 移项得：， 合并得：， 系数化为1：； （2）解：， 解第一个不等式：，得； 解第二个不等式：，得； ∴该不等式组的解集是：． 2．（25-26八年级上·浙江金华·月考）解不等式（组）： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查一元一次不等式的解法、一元一次不等式组的解法： （1）按照一元一次不等式的求解步骤，先去括号，再通过移项、合并同类项化简，最后将系数化为1（注意不等号方向，本题系数为正，方向不变）． （2）先分别解不等式组中的两个一元一次不等式，得到各自的解集，再根据“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”的原则，确定不等式组的解集． 解：（1） 解： ； （2） 解：解第一个不等式： ； 解第二个不等式： ； ∴不等式组的解集为． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）解一元一次不等式（组）： （1） （2）解不等式组 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 解：（1）解： ， 解得， ∴原不等式的解集为； （2）解： 由①得，； 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 4．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）解下列不等式组： （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组， 分别求出两个不等式的解集，进而得出答案． 解：（1）解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是； （2）解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是． 【解题思路】解一元一次不等式步骤与解方程类似，注意系数化为 1 时若系数为负，不等号方向改变；解不等式组需分别解每个不等式，再取解集的公共部分，遵循 “同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了” 的原则。 【考点六】利用性质与判定进行基础求值与证明 【★题型 21】全等三角形性质与判定综合 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质：通过“角边角（）”判定和全等，利用全等三角形对应边相等的性质得出；再根据三角形面积公式的应用：将的面积拆分为和的面积之和，再根据三角形面积公式进行计算即可解答． 解：∵，， ∴， 在和中：， ∴， 又∵，， ∴，， ∵， ∴ ∴， ， ， ∴． 故答案为：． 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）在中，，直线经过点，且于于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，则有，猜想，有怎样的数量关系，并进行证明； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的猜想是否成立？若成立，写出证明，若不成立，请直接写出正确的结论． 【答案】（1），见分析；（2）不成立， 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，再由，可得，从而得到，证，可得，，即可求证； （2）证明方法同（1）可得，即可求解． 解：（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（1）中的结论不成立，，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在与中，，点D在上，连接． （1） 吗？请说明理由； （2）若，点F在线段上，且，求的长． 【答案】（1）全等，见分析；（2）7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握相关结论即可； （1）推出即可求证； （2）根据，，推出；证，得，即可求解； 解：（1）证明：， 理由：∵， ∴， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴ 【解题思路】先根据已知条件判定三角形全等，再利用全等三角形的对应边、对应角相等，推导其他结论，或结合其他定理（如角平分线、垂直平分线）进行综合计算。 【★题型 22】等腰三形的性质——等角对等边、三线合一 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，根据，是边上的中线，得，故，即可作答． 解：∵，是边上的中线， ∴， 即， 故选：C． 2．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，过点作直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质，掌握“两直线平行，内错角相等”是解题关键．根据等腰三角形的性质和可求得，再根据平行线的性质可求得． 解：， ， ， ， ， ． 故选：． 3．（25-26八年级上·福建南平·期中）已知，在中，垂直平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角等知识点，由题意得，推出，得，；设，则，推出，即可求解； 解：垂直平分， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ． 在中，． 解得． 的度数为． 4．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）证明见分析；（2） 【分析】本题考查了线段垂直平分线、等边对等角、三线合一等知识点，掌握相关结论是解题关键． （1）连接，得，进而得，根据三线合一即可求证； （2）求出，推得，即可求解． 解：（1）证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解题思路】利用 “等边对等角” 求角度，“三线合一”（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）证明线段相等或垂直，结合三角形内角和、外角性质解题。 【★题型 23】平面直角坐标系中点的坐标 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）已知点和点．若直线轴，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查坐标与图形性质，由直线轴，可知点A和点B的横坐标相等，从而求出m的值，再代入坐标计算的长度． 解：∵轴 ∴点A与点B的横坐标相等，即 ∴点，点， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·吉林白山·期中）在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点坐标的特征，掌握相关知识是解决问题的关键．根据点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于其横坐标的绝对值，结合第二象限点的横坐标为负、纵坐标为正，即可求解． 解：设点坐标为， ∵点到轴的距离为3， ∴； ∵点到轴的距离为1， ∴； 又∵点P在第二象限， ∴． ∴． ∴点的坐标为． 故选：C． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标， 点在第一象限的角平分线上，则横坐标与纵坐标相等． 解：由题意，得， 移项得， 解得． 故答案为：3． 4．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）对于边长为的等边三角形，以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，过点作于，由等边三角形的性质和勾股定理可得，，进而即可求解，掌握等边三角形的性质是解题的关键． 解：如图，过点作于，则， ∵是等边三角形，边长为，， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【解题思路】根据点在坐标系中的位置，确定横、纵坐标的符号，或根据坐标确定点的位置；已知点到坐标轴的距离，求坐标时注意多解情况。 【★题型 24】平面直角坐标系中的平移与对称 1．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度后，得到的点关于轴的对称点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，坐标与轴对称，根据点的平移规则，左减右加，求出的坐标，再根据关于轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 解：由题意，，即， 故点关于轴的对称点的坐标是； 故答案为：． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）将点先向左平移3个单位长度，之后又向下平移4个单位长度得到点，则 ， ． 【答案】 6 2 【分析】本题考查了点的平移规律，掌握点向左平移横坐标减对应单位、向下平移纵坐标减对应单位是解题的关键． 根据点的平移规则，向左平移3个单位，横坐标减少3；向下平移4个单位，纵坐标减少4，根据平移后的坐标列方程求解． 解：点M向左平移3个单位后，坐标为，即； 再向下平移4个单位，坐标为，即， 此点与点相同，因此， 解得， 故答案为：，． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点B的坐标为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数． 根据该特征可得点与点的横坐标相等、纵坐标互为相反数，据此求出、的值，进而计算的值． 解：∵点关于轴的对称点的坐标为，关于轴对称的点横坐标不变、纵坐标互为相反数， ∴，， 则． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于水平直线对称的两个点的横坐标相同，纵坐标的和为，据此求解即可． 解：平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的横坐标为，纵坐标为， ∴点关于直线对称的点的坐标是， 故答案为：． 5．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的各点坐标是，，，， （1）在平面直角坐标系中，画出四边形； （2）点是四边形中一点，平移四边形后，点的对应点是，画出平移后的四边形． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查作图平移变换，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）直接描点连线即可． （2）由题意得，四边形向右平移4个单位长度，向下平移5个单位长度得到四边形，结合平移的性质画图即可． 解：（1）解：如图，四边形即为所求． （2）解：点的对应点是，即四边形内的每个点向右平移4个单位长度，向下平移5个单位长度得到四边形，故分别找到平移后的对应点，然后顺次连接即可． 如图，四边形即为所求． 6．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）为轴上一点，使的周长最小，在图中作出点．（保留作图痕迹） 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析 【分析】本题主要考查了轴对称作图，轴对称的应用，解题的关键是作出对应点的位置． （1）作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）写出点的坐标即可； （3）作点B关于y轴的对称点，然后连接交y轴于点P，则点P即为所求． 解：（1）解：如图，为所求作图形． （2）解：根据图形可知，点． （3）解：如图，点P即为所求． 根据对称性可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， ∵为定值， ∴此时的周长最小． 【解题思路】点的平移遵循 “上加下减纵坐标，左减右加横坐标”；关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标相反，关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标相反，关于原点对称的点横、纵坐标均相反。 【★题型 25】一次函数图象与性质简单运用 1．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）正比例函数与一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据一次函数的图象与性质进行排除选项即可． 解：当正比例函数中，，即该函数图象经过第一、三象限， 则有一次函数中，，所以一次函数图象经过第一、二、四象限； 当正比例函数中，，即该函数图象经过第二、四象限， 则有一次函数中，，所以一次函数图象经过第一、三、四象限； ∴符合题意的只有A选项； 故选：A． 2．（25-26八年级上·山西运城·月考）关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若点在该函数图象上，则 D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质， 根据一次函数的性质逐一判断各选项． 解：∵ 对于一次函数 ， 当 时，，故图象不经过点，A错误，不符合题意； ∵ ，， ∴ 图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，B错误，不符合题意； ∵ 当 时，； 当 时，， ∴ ，C错误，不符合题意； ∵ 直线 向下平移1个单位长度得到 ，D正确，符合题意. 故选：D． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】该题考查了一次函数与坐标轴交点，勾股定理，先求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标，再利用两点间距离公式计算的长． 解：对于一次函数， 当时，，所以点的坐标为， 当时，，解得：，所以点的坐标为， 点与点之间的距离公式为． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）直线的图像向右平移1个单位，所得直线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的平移，熟记平移法则“左加右减，上加下减”来直接得到平移后的解析式．根据平移的规则“左加右减”即可得出结论． 解：直线的图像向右平移1个单位，所得直线的函数解析式为，即． 故答案为：． 【解题思路】根据解析式确定图象经过的象限、增减性，或根据图象上的点求解析式，代入点的坐标解方程组即可；结合实际问题时，注意自变量的取值范围对图象的限制。 二.培优篇 【考点七】综合运算求值与证明 【★★题型 26】一元一次不等式的解法 1．（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式：， 并把解集在数轴上表示出来 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1），数轴见分析；（2），数轴见分析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式和不等式组． （1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 解：（1）解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 在数轴上表示为： （2）解：， 解得： 解得：， ∴， 在数轴上表示为： 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）（1）解不等式：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），见分析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式或不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）首先对不等式进行移项，合并同类项，最后系数化为1即可求解； （2）先分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可． 解：（1）， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解不等式，得， 解不等式，得， ∴原不等式组的解集是：， 解集在数轴上表示如图所示： 3．（2025八年级上·重庆·专题练习）解不等式组： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握“分别解不等式、再找公共解集”的步骤是解题关键． （1）先分别求解不等式组中的两个一元一次不等式，再依据“同小取小”的原则，确定两个不等式解集的公共部分，从而得到该不等式组的解集； （2）先分别求解两个不等式的解集，再依据“大小小大中间找”的原则，确定两个解集的公共部分，可得到该不等式组的解集． 解：（1）解： 解①：， ， 解②： ， 的解集为； （2）解： 解①： ， 解②： ， 的解集为． 4．（24-25七年级下·广西梧州·期中）解不等式和不等式组 （1）解不等式； （2）不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式的解集． （1）移项、合并同类项，系数化为1，即可求得答案； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在数轴上表示出来即可． 解：（1）解： （2） 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 则该不等式组的解集为：, 这个不等式组的解集在数轴上表示如图： 【解题思路】熟练掌握解不等式的步骤，注意去分母、去括号时的符号变化，系数化为 1 时的不等号方向；含参数的不等式需根据参数的正负分类讨论，确定解集。 【★★题型 27】一元一次不等式的参数问题 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查解一元一次不等式组的整数解，首先确定不等式组的解集，先利用含m的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于m的不等式，从而求出m的范围． 解：∵不等式组为 ， ∴解集为， ∵整数解共有4个， ∴整数解为3，4，5，6， ∴m的取值范围是， 故选：D． 2．若关于x的不等式组的解集为，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 先分别解两个不等式，得到和，由于解集为，则需满足即可． 解：∵ 不等式组为： 解第一个不等式得 第二个不等式得 ∵不等式组的解集为， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）关于x的分式方程无解，则 ； （2）若（1）中的方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则满足条件的整数a的值之和为 ． 【答案】 5 13 【分析】本题考查分式方程无解问题，根据不等式组的解集求参数的值，熟练掌握解分式方程的步骤，求不等式的解集，是解题的关键： （1）将方程化为整式方程，根据方程无解，得到方程有增根，进行求解即可； （2）求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求出参数的范围，结合方程的解为正数，确定满足条件的整数，再求和即可． 解：（1）， 去分母，得， 解得， ∵方程无解， ∴方程有增根， ∴， ∴， ∴，解得； 故答案为：5； （2）解，得， ∵关于y的不等式组的解集为， ∴， ∴， 由（1）且， ∴且； 综上：且； ∴满足条件的整数为3，4，6， ∴； 故答案为：13． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、分式，熟练掌握解一元一次不等式组的一般步骤是解题的关键．先求解不等式组，得到解集范围，根据有且仅有2个整数解的条件确定的取值范围；再根据分式值为非负数的条件，得到的另一取值范围，求交集后得到整数的值，最后求和． 解： 不等式组的解集为， 有且仅有2个整数解，即整数解为1和2， ， 解得， 整数可为，，，， 又分式，恒成立， ，得， 满足条件的整数为， ， 故答案为：． 【解题思路】根据不等式的解集，反向推导参数的取值范围，关键是对比解集的形式，分析参数对不等号方向和端点值的影响；结合不等式组的整数解个数，确定参数的取值范围。 【★★题型 28】全等三角形性质与判定综合求值证明 1．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，，是的高线，，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1）见分析；（2）30 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先求得，再证明，即可得出结论； （2）根据，得到，求出，，再根据三角形面积公式即可求解． 解：（1）证明：∵是的高， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知，是的边上的高，平分，且交于点E． （1）如图1，若．求证：． （2）如图2，点F是的中点，过A作交的延长线于点G．求证． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识． （1）根据角平分线的定义进一步得出，证明，再利用即可证明； （2）由平行线的性质得出，根据点F是的中点，则，证明，由全等三角形的性质得出，结合（1）可知，最后根据线段的和差进而求出结论． 解：（1）证明：∵平分， ， ∵ ∴， 又∵是的边上的高， ∴， ∴在和中： ∴ （2）证明：∵，F是的中点， ∴，， ∴在和中： ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题主要考查三角形全等的判定和性质， （1）根据角角边判定三角形全等即可； （2）根据三角形全等的性质得到，再根据角边角证出，得到即可求出． 解：（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以， 在和中， ， 所以． （2）由（1）知：，， 所以， 又因为，， 所以，所以， 在和中， ， 所以， 所以． 4．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，已知于点N，于点M，，与相交于点P，连接． （1）求证：点P在的平分线上； （2）求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握这两个定理是解题关键． （1）根据全等三角形的判定和性质得出，再由角平分线的定义即可证明； （2）根据全等三角形的性质可得，再利用证明，进而即可证明． 解：（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， 平分，即点在的平分线上； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ， ∴． 【解题思路】综合运用全等判定定理（SSS、SAS 等）和性质，结合等腰三角形、直角三角形的性质，通过多次全等推导，解决线段相等、角度相等、垂直等问题；注意作辅助线构造全等三角形。 【★★题型 29】勾股定理与三角形综合求值 1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，为的中线，过点A作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点若的面积为13，的面积为4，则的面积为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积、三角形中线的性质等知识，熟练掌握勾股定理和三角形中线的性质是解题的关键． 由三角形中线的性质得出，，再证，然后由勾股定理得出，推出，即可得出答案． 解：的面积为13，的面积为4， ， 为的中线， ，， ，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，点B，C，D在同一条直线上，是的角平分线，过点E作，分别交及的平分线于点G，．若，则的值为 ． 【答案】36 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握勾股定理和等腰三角形的判定是解题的关键． 先证，再由勾股定理得，然后证、，则，即可得出结果． 解：是的角平分线，是的外角的平分线， ，， ， ， 即， ， ， 、， 、， 、， ， ， 故答案为：36 ． 3．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，于D，于E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理，解答时证明三角形全等是关键； （1）根据条件可以得出，进而得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据勾股定理解答即可． 解：（1）证明：， ． ，又， ． 在和中， ， ． ，． ． （2）解：， ， ． ， ， 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，、分别是、边上的高，连接，点、分别是线段、的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长度；（将计算结果化至最简） （3）连接、，若，求证：是等边三角形． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）见分析 【分析】（1）由题意可得，根据是线段的中点，得到，，推出，结合是线段的中点，即可得证； （2）由，，得到，，再根据勾股定理即可求解； （3）由题意可得，进而得到，由，是线段的中点，得到，，推出，，根据三角形的外角性质可得，，进而求出，即可得证． 解：（1）证明：、分别是、边上的高， ， 是线段的中点， ，， ， 是线段的中点， ； （2）解：， ， ，是线段的中点， ， ， ； （3）证明：，、分别是、边上的高， ， ， ，是线段的中点， ，， ，， ，， ， 由（1）得， 是等边三角形． 【点拨】本题考查了等边三角形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角性质，直角三角形的斜边中线定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． 【解题思路】在非直角三角形中作高，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程；结合全等三角形、等腰三角形的性质，求解线段长度或角度，注意方程思想的应用。 【★★题型 30】平面直角坐标系与几何综合 1．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，点的坐标与平面直角坐标系，先通过，结合点的坐标为，可得，即可作答． 解：∵，点的坐标是 ∴ ∴ ∴ 故选：C 2．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定以及坐标与图形，过点作轴于点，过点作轴于点，构造，利用全等三角形的性质得到线段之间的关系，进而求出点的坐标． 解：过点作轴于点，过点作轴于点， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， 轴，轴， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的坐标为， ，轴， ． 故答案为． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在等边三角形中，，点是y轴上的一点，连接． （1）求点A的坐标； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查图形与坐标，等边三角形的性质，勾股定理，掌握等边三角形“三线合一”是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，得到．作出边上的高线，由等边三角形“三线合一”，得到，再根据勾股定理算出，结合图中点A在第二象限，从而得到A点坐标． （2）因为点C在y轴上，所以点C的横坐标为0，得到．将四边形分成等边三角形和直角三角形两部分，各自求出面积后，相加得到结果． 解：（1）过A作轴于E，则在等边三角形中，垂直平分， ∵等边三角形中，， ∴， ∴，， 在直角三角形中，， ∵点A在第二象限， 点A坐标为； （2）∵点C在y轴上， ∴， ∴，点C坐标为， ∴， ， ， ． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图1，点A，B的坐标分别是，，点为x轴正半轴上一点． （1）求证：； （2）如图1，若，过点O作于点D，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，点P为线段的延长线上的一动点，当点P在的延长线上向下运动时，作于点M，于点N，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）不变，其值为 【分析】本题主要考查了坐标与图形、全等三角形的判定与性质、三角形面积公式等知识， （1）结合题意得，，再利用“”证明，即可证明结论； （2）由三角形面积公式可得，代入数值即可获得答案； （3）连接，由三角形面积公式可得，即可获得答案． 解：（1）证明：∵，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ； （2）解：若， ， ∴， ； （3）解：不变，其值为， 如下图，连接， ，，， ， ∵， ． 【解题思路】将几何图形置于坐标系中，利用点的坐标表示线段长度，结合勾股定理、全等三角形、一次函数的性质解题；作辅助线（如垂线），将几何问题转化为坐标计算问题。 【★★题型 31】一次函数图象与性质综合 1．（25-26八年级上·江西抚州·月考）对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而增大 B．图象经过第二、三、四象限 C．图象与正比例函数的图象平行 D．点，都在直线上，则 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象的分布和性质，图象的平移，根据，，逐项分析判断，即可求解． 解：对于一次函数，， ∴随的增大而增大，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，图象与正比例函数的图象平行 ∵ ∴ 故选：B． 2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方，则a的取值范围 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的斜率的正负进行分类讨论，当斜率大于零、小于零时，分别求函数在区间上值大于零的条件，综合得出的取值范围，熟练掌握一次函数的性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 解：一次函数为， 当，即时，一次函数为增函数，最小值为处， 当时，， ∵当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方， ∴， ∴， ∴； 当，即时，一次函数为减函数，最小值为处， 当时，， ∵当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方， ∴， ∴， ∴； 综上，的取值范围为或， 故答案为：或． 3．（25-26七年级上·山东淄博·月考）已知直线． （1）k为何值时，直线过原点； （2）k为何值时，y随x的增大而减小； （3）k为何值时，直线与直线平行． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查的是一次函数的性质及两条直线相交问题， （1）根据一次函数性质，当直线过原点时，则，求出结论即可； （2）根据一次函数性质y随x的增大而减小时，则，求出结论即可； （3）根据两直线平行时，则k的值相等，求出结论即可． 解：（1）解：∵一次函数的图象经过原点， ∴ 解得：； （2）解：∵一次函数中y随x的增大而减小 ∴ ∴； （3）解：∵一次函数的图象平行于直线， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数（k为常数，且）． （1）若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． （2）若当时，函数最大值与最小值的差为4，求此一次函数的表达式． 【答案】（1）①；②P的最大值为7；（2）一次函数解析式为或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征． （1）①把已知点的坐标代入中即可得到k的值； ②用x表示P得到，根据一次函数的性质，时，P的值最大，即可求解； （2）分和两种情况，根据一次函数的增减性求出最大值与最小值，根据函数最大值与最小值的差为4列出方程，求解得到k，从而得到对应的一次函数解析式． 解：（1）解：①∵点在一次函数的图象上 ∴， 解得； ②当时，该一次函数为， ∴， ∴P随x的增大而减小， ∵ ∴当时，P的值最大，为． （2）解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， ∵ ∴当时，y取得最小值，为 当时，y取得最大值，为， ∵函数最大值与最小值的差为4， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， ∵ ∴当时，y取得最大值，为 当时，y取得最小值，为， ∵函数最大值与最小值的差为4， ∴， 解得， 此时一次函数解析式为； 综上所述，一次函数解析式为或． 【解题思路】含参数的一次函数，根据参数的取值分析图象的位置、增减性；结合一次函数与坐标轴的交点，求解三角形面积、线段长度等问题；利用一次函数的增减性求最值。 【★★题型 32】一次函数图象与几何综合 1．（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，以点A为圆心，长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理的应用等．求得的值是解题的关键． 求得A、B的坐标，然后利用勾股定理得出的长，再利用圆的性质得出的长，即可得出C的坐标． 解：在直线中， 令，求得； 令，求得． ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴． ∵以点A为圆心，长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C， ∴， ∴， ∴点C的坐标为：． 故选：B． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）平面直角坐标系中，点和分别在直线和轴上．都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标是 ． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形的性质，一次函数上的点，掌握相关知识是解题的关键． 过点作轴于点过点作轴于点过点作轴于点设点的横坐标为n，根据点，的坐标，结合等腰直角三角形的性质求出，得到点的坐标为，代入直线，即可求解． 解：过点作轴于点过点作轴于点过点作轴于点 ∵ ∴，，，， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， 设点的横坐标为n，则，， ∵是等腰直角三角形，轴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的横坐标为10． 故答案为：10． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点． （1）求线段的长度； （2）若点在直线上，且使得的面积为20，求点的坐标； （3）求直线的表达式． 【答案】（1）；（2）或；（3） 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，勾股定理，三角形的面积； （1）先根据直线求得的坐标，进而根据勾股定理，即可求解； （2）分点在轴的上方和轴下方，根据三角形的面积公式求得点的纵坐标，代入直线的解析式，即可求解． （3）根据垂直平分线的性质可得，，设，根据勾股定理建立方程，求得，进而根据待定系数法求解析式，即可求解． 解：（1）解：直线与轴和轴分别交于点和点， 当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， （2）解：∵，的面积为20， 设的纵坐标为， ∴， 解得：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴的坐标为或， （3）∵线段的垂直平分线交轴于点，则， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴． 设直线的表达式为代入， ∴ 解得： ∴直线的表达式为 4．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，已知直线的图象经过点，，且与轴交于点． （1）求，的值； （2）求的面积． （3）若是轴上的一点，且，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式和一次函数图象上点坐标的特征，勾股定理求两点距离． （1）把代入，得到和值，即可得到结论； （2）令，求得的值，即可求得一次函数图象与轴的交点坐标； （3）设，根据建立方程，即可求解． 解：（1）解：把代入得， ， 解得：，； （2）该一次函数为， 令，则，解得， 该一次函数图象与轴的交点坐标为，； ∴ （3）设， ∵ ∴ 解得： ∴ 【解题思路】先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，结合几何图形（如三角形、四边形）的性质，利用勾股定理、全等三角形、线段垂直平分线等知识，求解线段长度、点的坐标；或根据几何图形的特征，求一次函数的解析式。 【考点八】运算与性质的综合应用 【★★题型 33】勾股定理的应用 1．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题；设，则，根据折叠的性质得到，，由勾股定理求即可． 解：设，则， 长方形中，，，现将其沿对折，使得点与点重合， ， 在中，， ， 解得，即． 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，此时云梯底端离墙是7 米，若云梯顶端下滑4米（即米），则云梯的底部B 在水平方向上滑行的距离是 米． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键． 根据梯子长度不会变这个等量关系，根据勾股定理分别求出米，米，然后根据，计算，即可解题． 解：由题意知米，米，米， 在直角中，为直角边， ∴米， 已知米，则（米）， 在直角中，为直角边， ∴米， ∴（米）． 故答案为：8． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝落地时会砸着小轿车；理由见分析 【分析】本题考查勾股定理，大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 解：树枝落地时不会砸着小轿车；理由如下： 由题意可知，， ∴为直角三角形， 在中，， 由勾股定理得：， ∵，， ∴树枝落地时会砸着小轿车． 4．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】（1）台风中心经过从B点移到D点；（2）A市受到台风影响的时间持续 解：（1）解：由题意可知，，，， ， ， 台风中心经过从B点移到D点； （2）解：在射线上取点E，F，使得， 由得， 在中，， ， ， A市受到台风影响的时间持续． 【解题思路】将实际问题转化为直角三角形模型，明确直角边和斜边，利用勾股定理求解；如梯子滑动、航海距离、折叠问题等，注意分析图形中的不变量和等量关系。 【★★题型 34】一元一次不等式（组）的应用 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 【答案】件 【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，掌握相关知识是解决问题的关键．设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，根据件数关系和总金额限制建立不等式解出解集后，取的最小整数解即可． 解：设购进乙种智能家电 x 件，则甲种智能家电为件，丙种智能家电为 件，由题意得： ； ∵ ∴， ∴， ∵取最小整数解， 故 ． 答：该商场购进的乙种智能家电至少为 件． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． （1）若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ （2）奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 【答案】（1）A种奖品最多买了35件；（2）①；②36 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式以及一元一次不等式组的应用． （1）设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，根据最初购买的奖品总数不超过100件，可列出关于x的一元一次不等式，解之可得出x的取值范围，再将x的最大整数值代入中，即可求出结论； （2）①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，利用颁发A，B两种奖品的总数量=颁发A种奖品的数量+颁发B种奖品的数量，可用含x的代数式表示出颁发A，B两种奖品的总数量； ②根据颁发A，B两种奖品的总数量不低于45件且不超过件，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，结合x，均为正整数，可确定x的值，再将其代入中，即可求出结论． 解：（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， 根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x的最大值为7， ∴（件）． 答：A种奖品最多买了35件； （2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件， ∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）． 故答案为：； ②根据题意得：， 解得：， 即， 又∵x，均为正整数， ∴， ∴． 答：全班有36位同学获得了B种奖品． 3．（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． （1）求毛巾和扫把簸箕套装的单价； （2）如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】（1）毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元；（2）学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元，根据“买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾，分别按两种优惠方案购买，根据“总费用不超过480元，且购进扫把簸箕套装不少于50套”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的值（即购进扫把簸箕套装的数量），再将其代入中，即可求出购进毛巾的数量． 解：（1）解：设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元， 根据题意得：， 解得． 答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元． （2）解：设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾， 按方案1购买时， ，解得， ∴（条）． 按方案2购买时， ， ∵该不等式组无解，∴不能按方案2购买． 答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾． 4．（24-25七年级下·四川资阳·期末）某商场准备购进、两种类型的便携式风扇到嘉家超市出售．已知台型风扇和台型风扇进价共元，台型风扇和台型风扇进价共元． （1）求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？ （2）商场准备购进这两种风扇共台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，商场准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的倍，购进、两种风扇的总金额不超过元．根据以上信息，商场共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】（1）型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元；（2）共有种进货方案，方案：购进型风扇台，型风扇台的费用最低，最低费用为元 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用． （1）设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元，根据题意列出二元一次方程组求解风扇单价； （2）设购进型风扇台，则购进型风扇台，根据题意列出不等式组确定进货方案，并根据单价判断最低费用方案． 解：（1）解：设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元， 依题意，得：， 解得：． 答：型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元． （2）解：设购进型风扇台，则购进型风扇台，依题意， 得， 解得：， 又为正整数， 可以取、、、， 共有种进货方案， 方案：购进型风扇台，型风扇台； 方案：购进型风扇台，型风扇台； 方案：购进型风扇台，型风扇台； 方案：购进型风扇台，型风扇台． 型风扇进货的单价大于型风扇进货的单价， 方案：购进型风扇台，型风扇台的费用最低，最低费用为元． 答：共有种进货方案，方案：购进型风扇台，型风扇台的费用最低，最低费用为元． 【解题思路】根据实际问题中的不等关系（如 “不超过”“不少于”“至少”），设未知数，列出不等式（组），求解后结合实际意义确定整数解；常见类型有方案设计、利润最值、物资分配等。 【★★题型 35】一次函数的简单应用 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元． （1）求每台型电脑和型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑进货量不少于台不多于台，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元．该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每台型电脑的销售利润为元，型电脑的销售利润为元；（2）该商店购进型电脑台、型电脑台，才能使销售总利润最大；最大利润是元 【分析】本题考查二元一次方程组、一次函数的实际应用，读懂题意，准确得到方程组及函数表达式是解决问题的关键． （1）设每台型电脑的销售利润为元，型电脑的销售利润为元，由题中等量关系列方程组求解即可得到答案； （2）设购进型电脑台，则购进型电脑台，得到这台电脑的销售总利润的表达式，再由一次函数图象与性质分析求解即可得到答案． 解：（1）解：设每台型电脑的销售利润为元，型电脑的销售利润为元， 则， 解得， 答：每台型电脑的销售利润为元，型电脑的销售利润为元； （2）解：设购进型电脑台，则购进型电脑台， 则， 型电脑进货量不少于台不多于台， ， ， 一次函数的函数值随着的增大而减小， 即当时，这台电脑的销售总利润有最大值，此时（元）， 则型电脑有（台）， 答：该商店购进型电脑台、型电脑台，才能使销售总利润最大；最大利润是元． 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）共享电动车是一种常用的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有甲、乙两种品牌的共享电动车可选择，这两种品牌的共享电动车收费y（元）与骑行时间x（min）之间的函数图象如图所示． （1）求函数图象与的交点P的坐标，并说明点P表示的实际意义 （2）已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． 【答案】（1）P的坐标为，实际意义：当骑行时间为时，这两种品牌的共享电动车收费都是8元；（2）选择乙种品牌的共享电动车会更省钱 【分析】本题考查了一次函数的实际应用． （1）先求得和的表达式，联立两个表达式，即为交点P的坐标，进而得到其实际意义； （2）先求出王老师从家到骑行到学校所需时间为，再结合函数图象可得当时，，由此即可得解． 解：（1）解：由题意知，经过原点和点，设的表达式为， ∴，解得， ∴， 经过点和点，设的表达式为， ∴，解得， ∴， 联立和，解得， ∴点P的坐标为， 实际意义：当骑行时间为20min时，这两种品牌的共享电动车收费都是8元． （2）解：，， 当时，甲种电动车收费16元，乙种电动车收费12元， ∴王老师选择乙种品牌的共享电动车会更省钱． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）某市园林局计划采购A，B两种树苗绿化城市，已知采购300棵A种树苗和200棵B种树苗需要39000元，一棵A种树苗比一棵B种树苗贵30元． （1）求每棵A种树苗、B种树苗各多少元． （2）若该园林局计划采购这两种树苗共3000棵，且A种树苗的数量不少于B种树苗数量的一半，采购总费用不超过228000元，则共有几种方案？ （3）在（2）的条件下，采用哪种方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】（1）A种树苗每棵90元，B种树苗每棵60元；（2）共有601种方案；（3）采用A种树苗1000棵、B种树苗2000棵的方案可使总费用最低，最低费用是210000元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）利用一次函数的性质，解决最值问题． （1）设每棵A种树苗x元，每棵B种树苗y元，根据“采购300棵A种树苗和200棵B种树苗需要39000元，一棵A种树苗比一棵B种树苗贵30元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设采购A种树苗m棵，则采购B种树苗棵，根据“A种树苗的数量不少于B种树苗数量的一半，采购总费用不超过228000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出采购方案的个数； （3）设采购的总费用为w元，根据总价=单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 解：（1）解：设每棵A种树苗x元，每棵B种树苗y元， 依题意，得：， 解得：． 答：每棵A种树苗90元，每棵B种树苗60元． （2）解：设采购A种树苗m棵，则采购B种树苗棵， 依题意，得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴（种）． 答：共有601种采购方案． （3）解：设采购的总费用为w元， 依题意，得：． ∵， ∴w的值随m值的增大而增大， ∴当时，w取得最小值，最小值为210000． 答：当采购A种树苗1000棵、B种树苗2000棵时，总费用最低，最低费用为210000元． 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元． （1）求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？ （2）该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？ 【答案】（1）修正带进价为8元/个，笔袋进价为10元/个；（2）元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，根据已知信息列式并正确解答是解题的关键． （1）设修正带进价为元／个，笔袋进价为元／个，根据题意，列出二元一次方程组，即可求解． （2）设文具店修正带进货量为个，总利润为元，根据题意，列出w与t之间的函数关系，结合一次函数的性质以及t的取值范围，可知当时，w有最大值． 解：（1）解：设修正带进价为元／个，笔袋进价为元／个， 根据题意，可得，解得． 答：修正带进价为8元／个，笔袋进价为10元／个． （2）解：设文具店修正带进货量为个，总利润为元， 则 ， ， 随着的增大而减少， 又修正带的进货量不低于350个，且不高于450个，即， 当修正带的进货量为350个时，总利润的最大值为3650元． 答：该文具店总利润的最大值是3650元． 【解题思路】根据实际问题中的等量关系，建立一次函数模型，确定自变量的取值范围；利用一次函数的增减性求最值，或结合不等式确定最优方案；常见类型有成本利润、行程问题、资源调配等。 三.压轴篇 【考点九】最值问题 【★★★题型 36】平面直角坐标系、一次函数、勾股定理综合求最值 1．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 取的中点，连接，，，根据直角三角形斜边中线的性质求出，根据勾股定理求出，根据两点之间线段最短得到即可解决问题． 解：如图，取的中点，连接，，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，过点B作直线轴，点P是直线l上的一个动点，以为边作等腰，（点A，P，Q呈逆时针排列），当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．点Q在运动的过程中，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称-最短问题，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，如图，过点作轴于，过点作轴于，利用全等三角形的性质证明是定值，点在直线上运动，原点到直线的距离为，作点关于直线是对称点，连接，，.根据，求出即可． 解：如图，过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ∵ 轴， ， ， ∵， ， ∴点在直线上运动，原点到直线的距离为， 作点关于直线是对称点，连接，，， ， 在中，， ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴，垂足为C，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，先求出两点坐标，进而求出，得到，勾股定理求出的长，证明为等腰直角三角形，得到，进而得到的周长，得到当最小时，的周长最小，根据垂线段最短，结合等积法求出的长即可． 解：在函数中，当时，，当时，， ，， ∴， ∴，， ∵轴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小， ∴当时，最小， 此时：， ∴， ∴， ∴的周长最小为； 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，平面内有一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征和轴对称—最短路径问题，熟练运用一次函数的性质解决问题是本题的关键． 先根据动点，利用参数法求出即点在直线上，再找出点关于直线对称点为，根据根据将军饮马模型可知当A、B、P三点在同一直线上时，取最小值，求出长即可解题． 解：∵设动点为；又因为动点， ∴， ∴，即点在直线上， 如图， 直线与x轴、y轴分别交于、两点， 易得直线与x轴、y轴分别交于、， ∴， ∴关于直线对称点为， 连接，，作轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当A、B、P三点在同一直线上时，取最小值，最小值为． 【解题思路】结合一次函数的增减性和勾股定理，将最值问题转化为线段长度的最值问题；利用轴对称（将军饮马模型）、垂线段最短等原理，确定最值点的位置，再通过坐标计算和勾股定理求解。 【考点十】跨章节综合压轴题 【★★★题型 37】勾股定理与三角形综合压轴题 1．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理的应用，学会分类讨论是解决本题的关键． 根据题意分为三种情况：或或，进行作图求解即可． 解：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时，如图， 在中，，， ∴， ∴P的坐标是； ②以D为圆心，以5为半径画弧交于和点，此时，如图，过作于N，过作于M， 由作图可知四边形和四边形为长方形， ∴，，，， 在中，设，则，，， ∴， 解得， 则的坐标是； 设，则，，， 在中，， 解得， ，， 即的坐标是； ③假设，则由点向OD边作垂线，交点为，如图， 则有， ， 此时的为等边三角形， ∴，，， 代入， 得， ∴排除此种可能． 综上所述，点P的坐标为或或． 故答案为：或或． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，，是边上一点，把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1）是直角三角形．见分析；（2） 【分析】本题考查了三角形折叠的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件，利用勾股定理逆定理即可证明三角形的形状； （2）根据折叠的性质得到，，然后得到的长度，在中根据勾股定理求出的长． 解：（1）解： 是直角三角形．理由如下： ， ． 是直角三角形，且． （2）由（1）得是直角三角形，且． 把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点， ． ． ， ， 解得． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，于，，交与点，垂足为，连接，且． （1）求证：； （2）在中，，，，利用图中阴影部分面积的不同计算方法证明：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理的证明等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质、掌握利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）由、，得到、，进而得到，根据即可证明结论． （2）利用和列关于a、b、c的等式即可证明结论． 解：（1）证明：， ， ， ， ， ， ， 在与中， ， ． （2）证明：； ， ， ． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在锐角中，、分别是、边上的高，连接，点M、N分别是线段、的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长度；（将计算结果化至最简） （3）若，则的度数是________． 【答案】（1）见分析；（2）；（3）60 【分析】本题是三角形综合题，考查了直角三角形斜边上的中线性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理等知识． （1）连接、，由直角三角形斜边上的中线性质得，再由等腰三角形三线合一的性质即可得出结论； （2）由（1）可知，，，再求出，，然后由勾股定理求出的长即可； （3）由等腰三角形的性质得，，再利用三角形内角和定理和平角的定义求出． 解：（1）证明：连接、， ∵、分别是、边上的高， ∴，， ∴， ∵点M是的中点， ∴，， ∴， ∵点N是的中点， ∴； （2）解：由（1）可知，，， ∴， ∵， ∴， ∵，N是线段的中点， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：60． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，点、是线段同侧两点，且，，连接，交于点． （1）求证：； （2）如图2，与关于直线对称，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 【答案】（1）见分析；（2）①，见分析；②7 【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质和判定，勾股定理，恰当地作辅助线是解题的关键． （1）利用证可得，再根据角边关系证得； （2）①根据全等三角形的性质得到，，进而得到，即可证明出； ②如图2，过作于，连接，证明是等边三角形，得，根据等腰三角形三线合一得，最后利用勾股定理可得和的长． 解：（1）证明：（1）与中， ∴（）， ∴， ∴ （2）①由对称得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图2，过作于，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 【解题思路】综合运用勾股定理、全等三角形、等腰三角形、直角三角形的性质，通过作辅助线（如中线、高、角平分线）构造特殊三角形；结合折叠、旋转等变换，分析图形中的等量关系，建立方程求解线段长度或角度；注意分类讨论思想的应用（如等腰三角形的腰不确定时）。 【★★★题型 38】平面直角坐标系与几何压轴题 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是以点C为直角顶点的直角三角形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】过C作轴于点D，于点E，证，得，，结合点A的坐标为，点B的坐标为，四边形矩形，可解决问题． 本题考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质以及等腰直角三角形的性质等知识，证明三角形全等是解题的关键． 解：如图，过C作轴于点D，于点E， 则， ∵，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴， 故点， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点的坐标为，点为轴正半轴上一动点，点C为第一象限的一点，且的延长线交轴于点，当点运动时，请回答： （1）图中有没有全等三角形，若有请找出来并进行证明． （2）求的度数． （3）点的坐标是否也随着变化？若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由． 【答案】（1）有，，证明见分析；（2）；（3）点E的坐标不变，点E的坐标为 【分析】本题主要考查坐标与图形及全等三角形的性质与判定，熟练掌握图形与坐标及全等三角形的性质与判定是解题的关键. （1）由题意易得，然后可得； （2）根据等边对等角及平角的定义计算即可； （3）根据可得，则有，最后问题可求解． 解：（1）解：有，，证明如下： ， ， ． 又，， ； （2）解：， ， ∴； （3）解：点E的坐标不变．理由如下： ∵， ， ， ． 又， ， ， ∴点E的坐标为． 3．（25-26八年级上·江西南昌·月考）在平面直角坐标系中，点，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称． （1）直接写出B，C两点的坐标； （2）如图，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交x轴于点M，连接． ①求出D，E两点的坐标； ②求证：． 【答案】（1），；（2）①，；②见分析 【分析】本题考查了非负数的性质、关于 y 轴对称的点的坐标特征、等腰直角三角形的性质及坐标与图形的综合应用，解题关键是利用非负数性质求出 a、b 的值，结合图形性质分析点的坐标与线段关系． （1）利用绝对值与算术平方根的非负性，由得，，确定；再根据关于轴对称的点的坐标特征（横反纵同），得． （2）①过作轴垂线，利用等腰直角三角形的性质，结合全等三角形，求出的横、纵坐标，得，． ②作辅助线构造等腰直角三角形，通过证明三角形全等，得出对应角相等得，进而推出得，进而利用垂直平分线的判定定理证得． 解：（1）∵，∴，， ∴，， 解得，， ∴点，． ∵点A，C关于y轴对称， ∴点． （2）①过点D作轴，过点E作轴，如图1． ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵点，， ∴，， ∴， ∴点； 同法可得点． ②证明：如图2，作，交x轴于点N，则． ∵点A，C关于y轴对称， ∴y轴是线段的垂直平分线， ∴． ∵与是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∴，． ∵，，且， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 【解题思路】将几何图形与坐标系结合，利用点的坐标表示线段长度和角度，结合全等三角形、勾股定理、线段垂直平分线等知识，证明线段相等、垂直或求解点的坐标；涉及动点问题时，用参数表示动点坐标，分析动点运动过程中的不变量，建立函数或方程模型。 【★★★题型 39】一次函数与几何压轴题 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边． 依据题意，由直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，可得，从而，然后分两种情形分析即可计算得解． 解：由题意，∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴， ∴． 分两种情形， ①当C在x轴负半轴上，如图1，过A作交于D，再过D作轴于E， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． 又∵， ∴（）． ∴． ∴． ∴． 又∵， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴此时直线解析式为； ②当C在x轴正半轴上，如图2，过A作交于D，再过D作轴于E， 同理可得． 又∵， 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴此时直线BC为． 综上，直线为或． 故答案为：或． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，两点分别在轴、轴上，轴，点的坐标为，将沿翻折，点落在点位置，交轴于点．则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用、勾股定理、翻折的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，熟练掌握翻折的性质和三角形全等的判定定理与性质是解题关键． 过点D作轴于点N，证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，进而得到点坐标，等积法求出的长，求出直线的解析式，进而求出点坐标即可． 解：如图，过点D作轴于点N， ∵、两点分别在轴、轴上，轴，，点的坐标为， ∴， ∴， 由翻折的性质得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， ∴点E的坐标为，， ∴，即：， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴， 当时，， ∴； 故答案为：． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）综合与实践 如图，在长方形 中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连接，设点的运动时间为（单位：秒）． （1）当时，的长为______，的长为______． （2）当点不与点重合时，设的面积为，求出与之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围． （3）当时，直接写出的值． 【答案】（1），；（2）；（3）或 【分析】（）由题意可得当时，，即得，再根据线段的和差关系及勾股定理即可求解； （）分三种情况：当点在上，点在上，点在上，根据三角形的面积公式列出函数表达式即可； （）根据（）所得函数解析式解答即可； 本题考查了一次函数的几何应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 解：（1）解：当时，点运动的路程为， 即， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：，； （2）解：当点在上，即时，， ∴； 当点在上，即时，； 当点在上，即时，， ∴； 综上，； （3）解：把代入，得， ∴； 把代入，得， ∴； 综上，当时，的值为或． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点．点是直线与轴的交点． （1）求点的坐标和直线的解析式； （2）判断的形状； （3）若点是直线上一点，当的面积等于面积两倍时，求出点的坐标． 【答案】（1），；（2）等腰直角三角形；（3）或 【分析】（）先求出点坐标，再利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，可得，即得，同理得，即得，即可求解； （）求出点坐标，即得，即得到，设，再分点在轴下方和上方两种情况解答即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的几何应用，等腰直角三角形的判定，掌握一次函数的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 解：（1）解：∵为直线上一点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， 将点代入，得， 解得． ∴直线的解析式为； （2）解：在中，令，得；令，得， ∴， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理在直线：中，可得， ∴ ∴是等腰直角三角形； （3）解：∵直线与轴的交点为， ∴， ∴， ∴， 设， ①当点在轴下方时，， 解得， ∴点的坐标为； ②当点在轴上方时，， 解得， ∴点的坐标为； 综上，当的面积等于面积两倍时，点的坐标为或． 【解题思路】先求出一次函数的解析式，确定其与坐标轴的交点，结合几何图形（如三角形、四边形）的性质，利用勾股定理、全等三角形、相似三角形（后续知识点）等求解；动点问题需分析动点的运动轨迹，分阶段讨论，结合一次函数的增减性和几何图形的特征，求解最值或参数范围。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末全册复习专题（10大考点39类题型） 浙教版八上 目录 一.基础篇 2 【考点一】图形的识别 3 【★题型 1】轴对称图形 3 【★题型 2】将军饮马图形 3 【考点二】定义、命题、定理 5 【★题型 3】定义与命题 5 【★题型 4】命题的真假、举反例 5 【★题型 5】定理与证明 6 【考点三】基本性质与定理 6 【★题型 6】三角形三边关系 6 【★题型 7】三角形三条重要线段 7 【★题型 8】三角形内角和与外角性质 8 【★题型 9】全等三角形性质与判定 9 【★题型 10】线段垂直平分线与角平分线性质 10 【★题型 11】利用勾股定理求边长 11 【★题型 12】不等式的基本性质 12 【★题型 13】函数自变量取值范围 13 【★题型 14】一次函数的图象与性质 13 【考点四】尺规作图 14 【★题型 15】画三角形的高 14 【★题型 16】作一个三角形 15 【★题型 17】作垂线或垂直平分线与角平分线 16 【★题型 18】作等腰三形 17 【考点五】基本运算 18 【★题型 19】用勾股定理解直角三形 18 【★题型 20】解一元一次不等式（组） 19 【考点六】利用性质与判定进行基础求值与证明 19 【★题型 21】全等三角形性质与判定综合 19 【★题型 22】等腰三形的性质——等角对等边、三线合一 20 【★题型 23】平面直角坐标系中点的坐标 21 【★题型 24】平面直角坐标系中的平移与对称 22 【★题型 25】一次函数图象与性质简单运用 23 二.培优篇 24 【考点七】综合运算求值与证明 24 【★★题型 26】一元一次不等式的解法 24 【★★题型 27】一元一次不等式的参数问题 25 【★★题型 28】全等三角形性质与判定综合求值证明 25 【★★题型 29】勾股定理与三角形综合求值 27 【★★题型 30】平面直角坐标系与几何综合 28 【★★题型 31】一次函数图象与性质综合 30 【★★题型 32】一次函数图象与几何综合 30 【考点八】运算与性质的综合应用 32 【★★题型 33】勾股定理的应用 32 【★★题型 34】一元一次不等式（组）的应用 33 【★★题型 35】一次函数的简单应用 34 三.压轴篇 35 【考点九】最值问题 35 【★★★题型 36】平面直角坐标系、一次函数、勾股定理综合求最值 35 【考点十】跨章节综合压轴题 36 【★★★题型 37】勾股定理与三角形综合压轴题 36 【★★★题型 38】平面直角坐标系与几何压轴题 38 【★★★题型 39】一次函数与几何压轴题 39 一.基础篇 【题型】带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【考点一】图形的识别 【★题型 1】轴对称图形 1．（2025·西藏·中考真题）下列美术字中，可以看作轴对称图形的是（   ） A．田 B．忌 C．赛 D．马 2．（2025·湖南·中考真题）武术是我国传统的体育项目．下列武术动作图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏淮安·中考真题）下列交通标志中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·新疆·中考真题）下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】利用紧扣轴对称图形定义，判断图形能否沿某条直线折叠后，直线两侧部分完全重合，逐一分析选项即可。 【★题型 2】将军饮马图形 1．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末），两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·期中）如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个问题体现的数学原理是（　　） A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短 C．到角两边距离相等的点在角平分线上 D．两点确定一条直线 3．已知村庄A和B分别在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN（假定河的两岸彼此平行，且桥与河岸互相垂直），下列示意图中，桥的建造位置能使从村庄A经桥过河到村庄B的路程最短的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·四川成都·期末）某社区准备在街道（直线l）旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶．如图，已知点A关于直线l的对称点为，与直线l相交于点，与直线l相交于点，于点，是的中点，为了能使居民区A，B到奶站的距离之和最短，则奶站应建在的地方为（    ） A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【解题思路】利用轴对称性质，作其中一个点关于直线的对称点，连接对称点与另一个点，与直线的交点即为最短路径的点，原理是 “两点之间线段最短”。 【考点二】定义、命题、定理 【★题型 3】定义与命题 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列语句中，属于定义的是（   ） A．对顶角相等 B．锐角都小于钝角 C．同一平面内不相交的两条直线叫作平行线 D．任何一个三角形一定有直角 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）下列属于定义的是（   ） A．两点确定一条直线 B．两直线平行，同位角相等 C．等角的补角相等 D．线段是直线上的两点和它们之间的部分 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ （1）两点之间，线段最短． （2）如果，那么是线段的中点． （3）一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果 ，那么 ． 【解题思路】区分 “定义”“命题” 的概念，定义是对事物本质特征的描述，命题是能判断真假的陈述句，据此判断语句类型；改写命题时，拆分 “条件” 和 “结论”，按 “如果 + 条件，那么 + 结论” 的格式表述。 【★题型 4】命题的真假、举反例 1．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）下列命题：①无理数都是实数；②无理数是开方开不尽的数；③无限小数都是无理数：④带根号的数都是无理数：⑤实数包括有理数、0和无理数，其中错误的命题的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26八年级上·浙江·期中）判断命题“如果，那么”是假命题，举出一个反例，反例中的可以为 ． 3．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）能说明命题“若，则”是假命题的一组实数a，b的值为 ， ． 4．（25-26八年级上·福建泉州·期中）下列选项中，可以用来说明命题“若，则”是假命题的反例是（   ）． A． B． C． D． 【解题思路】利用判断真命题需依据定义、定理推导；判断假命题只需举出一个满足条件但不满足结论的反例，注意反例的合理性。 【★题型 5】定理与证明 1．（25-26八年级上·全国·周测）下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）有下列各项：①公理；②已学定理；③定义；④等量代换；⑤不等式的性质；⑥度量结果；⑦已知条件；⑧正确的观察结果；⑨猜测结果．其中可以作为推理依据的有 （填序号）． 3．（24-25七年级下·河北邯郸·月考）下列命题可以作定理的有 个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 4．（22-23八年级上·山东聊城·期末）求证：等腰三角形两底角的角平分线相等． 已知： 求证： 证明： 【解题思路】定理是经证明的真命题，判断语句是否为定理，需看其是否是公认的结论或经严谨推导；证明题需结合已知条件，利用定义、公理、已学定理，通过逻辑推理得出结论。 【考点三】基本性质与定理 【★题型 6】三角形三边关系 1．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．1,  2,  4 B．2， 3， 6 C．8， 6， 4 D．12， 6， 5 2．（25-26八年级上·四川德阳·期中）如图，将四根长度分别为，，，的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在保持四边形变化过程中，点和点之间的距离可能是（    ）    A． B． C． D． 3．（2025七年级上·吉林长春·专题练习）已知，a，b，c是的三边长，a，b满足，且c为奇数，则 ． 4．（25-26八年级上·西藏日喀则·期中）若a、b、c为的三边长，且满足，则c的值可以为 【解题思路】依据三角形任意两边之和大于第三边，验证时只需判断两条较短边的和是否大于最长边即可；已知两边求第三边范围时，利用 “两边之差小于第三边且小于两边之和” 求解。 【★题型 7】三角形三条重要线段 1．（25-26八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，是高，是中线，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 2．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，在中，，的平分线，相交于点F，，则等于（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，是的中线，E是上的一点，连接，若的面积为12，则图中阴影部分的面积为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，是的中线，的周长比的周长大，，则 ． 【解题思路】明确高、中线、角平分线的定义，中线平分对边，角平分线平分内角，高垂直于对边（或对边延长线）；利用中线分三角形面积相等、角平分线性质等解题。 【★题型 8】三角形内角和与外角性质 1．（25-26八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在△中，，于点．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·天津滨海新·期中）如图，是的一个外角，若，，则的度数（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在中，，，则 ． 4．（25-26八年级上·贵州黔东南·期中）在如图所示的三角形纸片中剪去得到四边形，若，则的度数是 【解题思路】内角和为180度，外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合这两个性质进行角度计算与推导。 【★题型 9】全等三角形性质与判定 1．（25-26八年级上·黑龙江佳木斯·月考）如图，点在上，点在上，与相交于点，且，，则判定的依据是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川德阳·月考）如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成了三块，现在他要到玻璃店去配一块完全一样形状的玻璃，那么最省事的办法是带（    ）去配． A．① B．② C．③ D．①和② 3．（25-26八年级上·陕西延安·月考）如图，已知的三个角和三条边，则甲、乙、丙、丁四个三角形中，一定和全等的图形是 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 4．（25-26八年级上·甘肃武威·月考）如图，在四边形中，对角线，相交于点，，请你添加一个条件 ，使． 【解题思路】性质是全等三角形对应边、对应角相等；判定需根据已知条件，匹配 SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）中的一种，注意 “边边角” 不能判定全等。 【★题型 10】线段垂直平分线与角平分线性质 1．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在中，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接．若的周长是，，则的周长是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，已知，直线垂直平分交于点D，交于点E，连接，若的周长为14，则的周长为 ． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，已知的周长是22，，分别平分和，于点，且，则的面积是 ． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在中，，为的角平分线，若，，则边上的高线长 cm． 【解题思路】线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；角平分线上的点到角两边距离相等，反之，到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上，到角两边距离相等的点在角平分线上，利用这两组性质互推。 【★题型 11】利用勾股定理求边长 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）将两个直角三角形摆放如图，其中，则长为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，，是边的中点，则的长为（   ） A． B．2 C．2.5 D．3 3．（25-26七年级上·山东泰安·期中）如图，小明和小华同时从P处分别向北偏东和南偏东方向出发，他们的速度分别是和，则后他们之间的距离为 m． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在长方形中，，，为上一点，将沿翻折．若点的对称点恰好落在上，则的长为 ． 【解题思路】在直角三角形中，（c为斜边），已知两边求第三边直接代入公式；非直角三角形可通过作高构造直角三角形，再用勾股定理求解。 【★题型 12】不等式的基本性质 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列说法不一定成立的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26七年级上·上海·月考）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（25-26八年级上·四川成都·月考）如果不等式的解集是，那么a的取值范围是 ． 4．（25-26七年级上·福建福州·月考）、、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子：①；②； ③；④．其中正确的有 填上序号． 【解题思路】牢记不等式三条性质，尤其是两边乘除负数时不等号方向改变，据此判断变形是否正确，或求解参数范围。 【★题型 13】函数自变量取值范围 1．（24-25八年级下·河南信阳·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江西上饶·月考）已知关于的函数图象如图所示，则当时，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）在函数中，自变量的取值范围是 ． 4．（24-25八年级下·广东广州·期中）汽车开始行驶时，油箱中有油40升，如果每小时耗油6升，则油箱内余油量y（升）与行驶时间x（小时）的关系式为 ． 【解题思路】分式函数分母不为 0，二次根式函数被开方数非负，结合实际问题的限制条件，综合求解自变量的取值范围。 【★题型 14】一次函数的图象与性质 1．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）对于函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过点 B．y随着x的增大而减小 C．图象与y轴交于点 D．图象经过第一、二、三象限 2．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）若点和都在一次函数（k为常数）的图象上，且当时，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽亳州·月考）已知直线经过点．若，则的取值范围是 ． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）已知一次函数的图象经过点和，则 ．（填“”、“”或“”） 【解题思路】根据解析式y=kx+b，k决定增减性k>0时递增，k<0时递减，b决定与y轴交点；判断点是否在图象上，代入点的坐标验证即可。 【考点四】尺规作图 【★题型 15】画三角形的高 1．（25-26八年级上·云南红河·期中）下面四个图形中，线段是的高的图形是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·广西防城港·期中）下列画的边上的高，画法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北唐山·期中）如图，在钝角三角形中，下面关于作高的方法描述正确的是（   ） A．找到边中点，连接，则是高 B．作的平分线与边交于点，是高 C．延长线段，过点向延长线作垂线，交点为，线段是高 D．就是边上的高 4．（25-26八年级上·河南漯河·月考）如图，，，，在中，边上的高是 ． 【解题思路】明确高的定义，从三角形的一个顶点向对边（或对边延长线）作垂线，顶点与垂足之间的线段即为高，钝角三角形的高需延长对边作图。 【★题型 16】作一个三角形 1．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 2．（25-26八年级上·河南南阳·期中）我们曾这样“做一做”：如图1，已知、和线段，试作，使，，．我们用尺规作图得到如图2所示的，又发现我们所作的三角形和其他同学所作的三角形能够完全重合，于是得到判定三角形全等的方法是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河北石家庄·月考）已知线段a，b，c，求作，使，下面作法的合理顺序为（   ） ①分别以B，C为圆心，c，b为半径画弧，两弧交于点A； ②作直线，在上截取； ③连接，则为所作的三角形 A．①②③ B．①③② C．②①③ D．②③① 4．（25-26八年级上·浙江温州·月考）已知（如图），请你用尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 【解题思路】根据已知条件（如三边、两边及夹角、两角及夹边），利用尺规作图的基本方法，依次作出对应边和角，拼接成三角形，依据全等判定定理保证作图唯一性。 【★题型 17】作垂线或垂直平分线与角平分线 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知直线及外一点P．求作：经过点P且垂直于的直线． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，中，，点是边延长线上一点． （1）尺规作图：过点作于点，交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）得到的图中，求证：． 3．（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，已知线段，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点和点，作直线交于点，在直线上任取一点，连接，．若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26八年级上·浙江温州·期中）在中，，用尺规在边上找一点，仔细观察、分析，能使成立的作图是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·河南新乡·期中）如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为 ． 【解题思路】作垂线用 “过直线外一点作已知直线的垂线” 的尺规方法；作垂直平分线需分别以线段两端点为圆心，大于线段一半长为半径画弧，两弧交点连线即为垂直平分线；作角平分线以角顶点为圆心画弧，再以弧与角两边交点为圆心画弧，两弧交点与顶点连线即为角平分线。 【★题型 18】作等腰三形 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形．如图，已知线段a和h．求作：等腰三角形，使，高． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·月考）如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求作一个等腰三角形，使底边长为，底边上的中线为；（保留作图痕迹，不必写出作图方法和步骤）． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）尺规作图：如图，以为顶角，线段a为腰作等腰三角形．（要求写出已知、求作，不写作法和证明，保留作图痕迹） 【解题思路】已知底边和底边上的高，先作底边的垂直平分线，再在垂直平分线上截取高的长度，连接顶点与底边两端点；已知顶角和腰长，先作顶角，再以顶点为圆心，腰长为半径画弧，交角两边于两点，连接两点即可。 【考点五】基本运算 【★题型 19】用勾股定理解直角三形 1．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，直线上有三个正方形、、，若正方形、的面积分别是5和7，则正方形的面积为（   ） A．9 B．12 C．14 D．35 2．（25-26八年级上·福建三明·期中）如图，且，以点A为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点C，则点C表示的数为 ． 3．（25-26八年级上·陕西渭南·期中）如图，是的高，是的中线．若，求的长． 4．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，在中，于点D，，，．求的长． 【解题思路】在直角三角形中，已知两边求第三边直接用勾股定理；已知一边和一个锐角，结合直角三角形两锐角互余，先求另一锐角，再用勾股定理或三角函数求边长。 【★题型 20】解一元一次不等式（组） 1．（25-26八年级上·浙江台州·月考）解下列不等式（组）： （1） （2） 2．（25-26八年级上·浙江金华·月考）解不等式（组）： （1）； （2）． 3．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）解一元一次不等式（组）： （1） （2）解不等式组 4．（25-26八年级上·黑龙江大庆·期中）解下列不等式组： （1） （2） 【解题思路】解一元一次不等式步骤与解方程类似，注意系数化为 1 时若系数为负，不等号方向改变；解不等式组需分别解每个不等式，再取解集的公共部分，遵循 “同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了” 的原则。 【考点六】利用性质与判定进行基础求值与证明 【★题型 21】全等三角形性质与判定综合 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，的边与的边相交于点，，过点作，交于点，且，，若，，则的面积是 ． 2．（25-26八年级上·河北唐山·期中）在中，，直线经过点，且于于． （1）当直线绕点旋转到图1的位置时，则有，猜想，有怎样的数量关系，并进行证明； （2）当直线绕点旋转到图2的位置时，（1）中的猜想是否成立？若成立，写出证明，若不成立，请直接写出正确的结论． 3．（24-25七年级上·山东淄博·期中）如图，在与中，，点D在上，连接． （1） 吗？请说明理由； （2）若，点F在线段上，且，求的长． 【解题思路】先根据已知条件判定三角形全等，再利用全等三角形的对应边、对应角相等，推导其他结论，或结合其他定理（如角平分线、垂直平分线）进行综合计算。 【★题型 22】等腰三形的性质——等角对等边、三线合一 1．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在中，，是边上的中线，若，则的度数为（  ）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在中，，过点作直线，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·福建南平·期中）已知，在中，垂直平分，，求的度数． 4．（25-26八年级上·山东临沂·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【解题思路】利用 “等边对等角” 求角度，“三线合一”（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合）证明线段相等或垂直，结合三角形内角和、外角性质解题。 【★题型 23】平面直角坐标系中点的坐标 1．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）已知点和点．若直线轴，则的长是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25七年级下·吉林白山·期中）在平面直角坐标系中，若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为3，到y轴的距离为1，则点P的坐标为（） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点在第一象限的角平分线上，则a的值为 ． 4．（25-26八年级上·辽宁铁岭·月考）对于边长为的等边三角形，以为坐标原点，所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则点的坐标为 ． 【解题思路】根据点在坐标系中的位置，确定横、纵坐标的符号，或根据坐标确定点的位置；已知点到坐标轴的距离，求坐标时注意多解情况。 【★题型 24】平面直角坐标系中的平移与对称 1．（25-26八年级上·安徽铜陵·期中）在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度后，得到的点关于轴的对称点的坐标是 ． 2．（24-25七年级下·全国·课后作业）将点先向左平移3个单位长度，之后又向下平移4个单位长度得到点，则 ， ． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）在平面直角坐标系中，已知点关于x轴的对称点B的坐标为，则的值为 ． 4．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是 ． 5．（25-26八年级上·安徽六安·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形的各点坐标是，，，， （1）在平面直角坐标系中，画出四边形； （2）点是四边形中一点，平移四边形后，点的对应点是，画出平移后的四边形． 6．（25-26八年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）请画出与关于轴对称的； （2）写出点的坐标； （3）为轴上一点，使的周长最小，在图中作出点．（保留作图痕迹） 【解题思路】点的平移遵循 “上加下减纵坐标，左减右加横坐标”；关于x轴对称的点横坐标相同、纵坐标相反，关于y轴对称的点纵坐标相同、横坐标相反，关于原点对称的点横、纵坐标均相反。 【★题型 25】一次函数图象与性质简单运用 1．（25-26八年级上·江苏无锡·月考）正比例函数与一次函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·山西运城·月考）关于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．函数的图象必经过点 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若点在该函数图象上，则 D．直线是由直线沿轴向下平移1个单位长度得到的 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，连接，则的长为 ． 4．（25-26八年级上·江苏徐州·月考）直线的图像向右平移1个单位，所得直线的函数解析式为 ． 【解题思路】根据解析式确定图象经过的象限、增减性，或根据图象上的点求解析式，代入点的坐标解方程组即可；结合实际问题时，注意自变量的取值范围对图象的限制。 二.培优篇 【考点七】综合运算求值与证明 【★★题型 26】一元一次不等式的解法 1．（25-26八年级上·浙江·期末）（1）解不等式：， 并把解集在数轴上表示出来 ． （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 2．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）（1）解不等式：； （2）解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 3．（2025八年级上·重庆·专题练习）解不等式组： （1）； （2）． 4．（24-25七年级下·广西梧州·期中）解不等式和不等式组 （1）解不等式； （2）不等式组：并把解集在数轴上表示出来． 【解题思路】熟练掌握解不等式的步骤，注意去分母、去括号时的符号变化，系数化为 1 时的不等号方向；含参数的不等式需根据参数的正负分类讨论，确定解集。 【★★题型 27】一元一次不等式的参数问题 1．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·江苏南通·月考）若关于x的不等式组的解集为，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河南周口·期末）（1）关于x的分式方程无解，则 ； （2）若（1）中的方程的解为正数，且关于y的不等式组的解集为，则满足条件的整数a的值之和为 ． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）已知关于的不等式组有且仅有2个整数解，且分式的值为非负数，则所有满足条件的整数的和为 ． 【解题思路】根据不等式的解集，反向推导参数的取值范围，关键是对比解集的形式，分析参数对不等号方向和端点值的影响；结合不等式组的整数解个数，确定参数的取值范围。 【★★题型 28】全等三角形性质与判定综合求值证明 1．（25-26八年级上·四川广元·期中）如图，，是的高线，，交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知，是的边上的高，平分，且交于点E． （1）如图1，若．求证：． （2）如图2，点F是的中点，过A作交的延长线于点G．求证． 3．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题情境】 如图，在四边形中，，，连接，点G在边上，连接并延长，交的延长线于点E，交于点F，连接，已知，． 【问题探究】 （1）请说明； 【问题解决】 （2）若，，求的长． 4．（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图，已知于点N，于点M，，与相交于点P，连接． （1）求证：点P在的平分线上； （2）求证：． 【解题思路】综合运用全等判定定理（SSS、SAS 等）和性质，结合等腰三角形、直角三角形的性质，通过多次全等推导，解决线段相等、角度相等、垂直等问题；注意作辅助线构造全等三角形。 【★★题型 29】勾股定理与三角形综合求值 1．（25-26七年级上·山东淄博·期中）如图，为的中线，过点A作的垂线交的延长线于点E，过点B作于点若的面积为13，的面积为4，则的面积为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图，点B，C，D在同一条直线上，是的角平分线，过点E作，分别交及的平分线于点G，．若，则的值为 ． 3．（2025·四川南充·一模）如图，在中，，，于D，于E． （1）求证：； （2）若，，求的长． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，在锐角中，、分别是、边上的高，连接，点、分别是线段、的中点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长度；（将计算结果化至最简） （3）连接、，若，求证：是等边三角形． 【解题思路】在非直角三角形中作高，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程；结合全等三角形、等腰三角形的性质，求解线段长度或角度，注意方程思想的应用。 【★★题型 30】平面直角坐标系与几何综合 1．（25-26八年级上·安徽六安·月考）在如图所示的平面直角坐标系中，，若点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东聊城·期末）如图，在中，，，点C的坐标为，点B的坐标为，则A点的坐标是 ． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在等边三角形中，，点是y轴上的一点，连接． （1）求点A的坐标； （2）求四边形的面积． 4．（25-26八年级上·全国·期末）如图1，点A，B的坐标分别是，，点为x轴正半轴上一点． （1）求证：； （2）如图1，若，过点O作于点D，求的值； （3）如图2，在（2）的条件下，点P为线段的延长线上的一动点，当点P在的延长线上向下运动时，作于点M，于点N，式子的值是否发生变化，若不变，求出其值；若变化，写出其值的取值范围． 【解题思路】将几何图形置于坐标系中，利用点的坐标表示线段长度，结合勾股定理、全等三角形、一次函数的性质解题；作辅助线（如垂线），将几何问题转化为坐标计算问题。 【★★题型 31】一次函数图象与性质综合 1．（25-26八年级上·江西抚州·月考）对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．随的增大而增大 B．图象经过第二、三、四象限 C．图象与正比例函数的图象平行 D．点，都在直线上，则 2．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）当时，一次函数（a为常数），图象在x轴上方，则a的取值范围 ． 3．（25-26七年级上·山东淄博·月考）已知直线． （1）k为何值时，直线过原点； （2）k为何值时，y随x的增大而减小； （3）k为何值时，直线与直线平行． 4．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）一次函数（k为常数，且）． （1）若点在一次函数的图象上， ①求k的值； ②设，则当时，求P的最大值． （2）若当时，函数最大值与最小值的差为4，求此一次函数的表达式． 【解题思路】含参数的一次函数，根据参数的取值分析图象的位置、增减性；结合一次函数与坐标轴的交点，求解三角形面积、线段长度等问题；利用一次函数的增减性求最值。 【★★题型 32】一次函数图象与几何综合 1．（25-26八年级上·山西太原·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，以点A为圆心，长为半径画弧，交x轴的负半轴于点C，则点C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）平面直角坐标系中，点和分别在直线和轴上．都是等腰直角三角形，如果，则点的横坐标是 ． 3．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，直线与轴和轴分别交于点和点，线段的垂直平分线交轴于点，交于点． （1）求线段的长度； （2）若点在直线上，且使得的面积为20，求点的坐标； （3）求直线的表达式． 4．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，已知直线的图象经过点，，且与轴交于点． （1）求，的值； （2）求的面积． （3）若是轴上的一点，且，求点的坐标． 【解题思路】先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，结合几何图形（如三角形、四边形）的性质，利用勾股定理、全等三角形、线段垂直平分线等知识，求解线段长度、点的坐标；或根据几何图形的特征，求一次函数的解析式。 【考点八】运算与性质的综合应用 【★★题型 33】勾股定理的应用 1．（23-24八年级上·河南平顶山·期中）如图所示，长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，此时云梯底端离墙是7 米，若云梯顶端下滑4米（即米），则云梯的底部B 在水平方向上滑行的距离是 米． 3．（25-26八年级上·广东佛山·期中）如图，超强台风“桦加沙”登陆时把一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 4．（25-26八年级上·广东肇庆·期中）广东省月份是台风登陆的高频季节，在这期间，西太平洋和南海海域水温较高，大气不稳定，热带扰动容易发展成台风，且此时副热带高压位置偏北，引导气流使台风更容易向广东沿海移动．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离为． （1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？ （2）如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【解题思路】将实际问题转化为直角三角形模型，明确直角边和斜边，利用勾股定理求解；如梯子滑动、航海距离、折叠问题等，注意分析图形中的不变量和等量关系。 【★★题型 34】一元一次不等式（组）的应用 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）某商场为响应国家“绿色智能家电下乡”的惠农政策，决定采购一批智能家电，优惠销售给农民朋友．商场从厂家直接购进甲、乙、丙三种不同的智能家电共件．其中，甲种智能家电的件数是乙种智能家电件数的2倍，购买三种智能家电的总金额不超过元．已知甲、乙、丙三种智能家电每件的出厂价格分别为元、元和元，那么该商场购进的乙种智能家电至少为多少件？ 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件． （1）若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？ （2）奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和． ①此次须奖，共颁发了两种奖品__________件．（请用含的代数式表示） ②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？ 3．（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． （1）求毛巾和扫把簸箕套装的单价； （2）如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 4．（24-25七年级下·四川资阳·期末）某商场准备购进、两种类型的便携式风扇到嘉家超市出售．已知台型风扇和台型风扇进价共元，台型风扇和台型风扇进价共元． （1）求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？ （2）商场准备购进这两种风扇共台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，商场准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的倍，购进、两种风扇的总金额不超过元．根据以上信息，商场共有几种进货方案？哪种进货方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【解题思路】根据实际问题中的不等关系（如 “不超过”“不少于”“至少”），设未知数，列出不等式（组），求解后结合实际意义确定整数解；常见类型有方案设计、利润最值、物资分配等。 【★★题型 35】一次函数的简单应用 1．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）某商店销售台型和台型电脑的利润为元，销售台型和台型电脑的利润为元． （1）求每台型电脑和型电脑的销售利润； （2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共台，其中型电脑进货量不少于台不多于台，设购进型电脑台，这台电脑的销售总利润为元．该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 2．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）共享电动车是一种常用的交通工具，扫码开锁，循环共享．某天早上王老师想骑共享电动车去学校，有甲、乙两种品牌的共享电动车可选择，这两种品牌的共享电动车收费y（元）与骑行时间x（min）之间的函数图象如图所示． （1）求函数图象与的交点P的坐标，并说明点P表示的实际意义 （2）已知王老师家与学校的距离为，且王老师骑电动车的平均速度为，那么王老师选择哪种品牌的共享电动车会更省钱？请说明理由． 3．（25-26八年级上·黑龙江大庆·月考）某市园林局计划采购A，B两种树苗绿化城市，已知采购300棵A种树苗和200棵B种树苗需要39000元，一棵A种树苗比一棵B种树苗贵30元． （1）求每棵A种树苗、B种树苗各多少元． （2）若该园林局计划采购这两种树苗共3000棵，且A种树苗的数量不少于B种树苗数量的一半，采购总费用不超过228000元，则共有几种方案？ （3）在（2）的条件下，采用哪种方案可使总费用最低？最低费用是多少？ 4．（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）开学季，某文具店为满足学生需求计划购进一批修正带和笔袋．已知购进2个修正带和3个笔袋共需46元；购进1个修正带和2个笔袋共需28元． （1）求修正带和笔袋的进价分别是多少元/个？ （2）该文具店准备购进修正带和笔袋共800个，已知修正带的售价为12元/个，笔袋的售价为15元/个，其中修正带的进货量不低于350个，且不高于450个．在可以全部售出的情况下，求该文具店总利润的最大值是多少？ 【解题思路】根据实际问题中的等量关系，建立一次函数模型，确定自变量的取值范围；利用一次函数的增减性求最值，或结合不等式确定最优方案；常见类型有成本利润、行程问题、资源调配等。 三.压轴篇 【考点九】最值问题 【★★★题型 36】平面直角坐标系、一次函数、勾股定理综合求最值 1．（25-26九年级上·江西南昌·月考）如图，中，，，，是内部的一个动点，且满足，则线段长的最小值为 ． 2．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，，，过点B作直线轴，点P是直线l上的一个动点，以为边作等腰，（点A，P，Q呈逆时针排列），当点P在直线l上运动时，点Q也随之运动．点Q在运动的过程中，的最小值为 ． 3．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P在线段上，轴，垂足为C，则周长的最小值为 ． 4．（24-25八年级上·江苏泰州·月考）已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，平面内有一动点，则的最小值为 ． 【解题思路】结合一次函数的增减性和勾股定理，将最值问题转化为线段长度的最值问题；利用轴对称（将军饮马模型）、垂线段最短等原理，确定最值点的位置，再通过坐标计算和勾股定理求解。 【考点十】跨章节综合压轴题 【★★★题型 37】勾股定理与三角形综合压轴题 1．（25-26八年级上·江西抚州·月考）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形是长方形，点A，C的坐标分别为，，点D是的中点，点P在上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 ． 2．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，，是边上一点，把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点． （1）试判断的形状，并说明理由； （2）求的长． 3．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，于，，交与点，垂足为，连接，且． （1）求证：； （2）在中，，，，利用图中阴影部分面积的不同计算方法证明：． 4．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在锐角中，、分别是、边上的高，连接，点M、N分别是线段、的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的长度；（将计算结果化至最简） （3）若，则的度数是________． 5．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图1，点、是线段同侧两点，且，，连接，交于点． （1）求证：； （2）如图2，与关于直线对称，连接． ①判断与的位置关系，并说明理由； ②若，，，求线段的长． 【解题思路】综合运用勾股定理、全等三角形、等腰三角形、直角三角形的性质，通过作辅助线（如中线、高、角平分线）构造特殊三角形；结合折叠、旋转等变换，分析图形中的等量关系，建立方程求解线段长度或角度；注意分类讨论思想的应用（如等腰三角形的腰不确定时）。 【★★★题型 38】平面直角坐标系与几何压轴题 1．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在平面直角坐标系中，是以点C为直角顶点的直角三角形，且，点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为 ． 2．（25-26八年级上·广东广州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，点的坐标为，点为轴正半轴上一动点，点C为第一象限的一点，且的延长线交轴于点，当点运动时，请回答： （1）图中有没有全等三角形，若有请找出来并进行证明． （2）求的度数． （3）点的坐标是否也随着变化？若不变，求出点的坐标；若变化，请说明理由． 3．（25-26八年级上·江西南昌·月考）在平面直角坐标系中，点，，a，b满足，点C与点A关于y轴对称． （1）直接写出B，C两点的坐标； （2）如图，分别以，为直角边向右侧作等腰和等腰，连接交x轴于点M，连接． ①求出D，E两点的坐标； ②求证：． 【解题思路】将几何图形与坐标系结合，利用点的坐标表示线段长度和角度，结合全等三角形、勾股定理、线段垂直平分线等知识，证明线段相等、垂直或求解点的坐标；涉及动点问题时，用参数表示动点坐标，分析动点运动过程中的不变量，建立函数或方程模型。 【★★★题型 39】一次函数与几何压轴题 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，另一条经过B点的直线交x轴于点C且与直线构成的夹角，则直线的解析式为 ． 2．（25-26八年级上·江苏南京·月考）如图，在平面直角坐标系中，为直角三角形，两点分别在轴、轴上，轴，点的坐标为，将沿翻折，点落在点位置，交轴于点．则点坐标为 ． 3．（25-26八年级上·陕西西安·期中）综合与实践 如图，在长方形 中，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，连接，设点的运动时间为（单位：秒）． （1）当时，的长为______，的长为______． （2）当点不与点重合时，设的面积为，求出与之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围． （3）当时，直接写出的值． 4．（25-26八年级上·安徽安庆·期中）如图，直线与轴、轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点．点是直线与轴的交点． （1）求点的坐标和直线的解析式； （2）判断的形状； （3）若点是直线上一点，当的面积等于面积两倍时，求出点的坐标． 【解题思路】先求出一次函数的解析式，确定其与坐标轴的交点，结合几何图形（如三角形、四边形）的性质，利用勾股定理、全等三角形、相似三角形（后续知识点）等求解；动点问题需分析动点的运动轨迹，分阶段讨论，结合一次函数的增减性和几何图形的特征，求解最值或参数范围。 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $