重庆市南开中学校2025-2026学年高二上学期数学周测十六（1.4）

重庆南开中学高2027级高二（上)数学练习（十六)1.4 本试卷分第卷选择题)和第Ⅱ卷非选择题)两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.等差数列{a}中，a4+a。=46,a,=28,则a2=（) A.35 B.40 C.55 D.53 2.下列说法正确的是（) A.f'(x)与[f(x)门'表示的意义不同 B.曲线的切线与曲线只有一个公共点 1C.函数在x=x处的导数反映了函数在区间[x,x,+△x]上变化的快慢程度 D.与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线 3.己知函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示，则该函数的图象可能是() 4.函数y=(3-x2)e的单调递增区间是（) A.（-oo,0) B.(0,+∞） C.（-0,-3)和(1，+∞) D.（-3,) 5.已知函数f(x)=ax2+b血x在点(L,f()处的切线方程为y=x+2,则a+b=() A.-2 B.-1 C.1 D.2 6.等差数列{an}的前n项和为Sn,有a1>0且S=S2,当Sn取最大值时，n=（) A.8 B.9 C.10 D.8或9 试卷第1页，共4页 7.函数f(x)=e*(2x2-4x-4)在区间(k-1,k+1)上不单调，实数k的范围是() A.k≤-3或-1≤k≤1或k≥3 B.-3≤k<-1或1<k<3 C.-2<k<2 D.不存在这样的实数 8.已知函数y=f(x)(x∈R)是偶函数，y=f(x)是函数y±(x)(xER)的导函数， f(1)=1,若x≥0时，3f(x)+f(x)>0,则使得不等式(x-2022)3f(x-2022)>1成立的 x的取值范围是() A.2021,+∞)B.(-0,2021) C.(2823,+∞) D.(-0,2023) 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知a>b>0,则() A a2>b C.alna>blnb D.e4-e>a-b 10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为：x=-1,A,B为抛物线上两点， M(2,)为线段AB的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的有() A.p=2 B.=2 C.OA⊥OB D.若点P为抛物线上一点，则△PMF周长的最小值为3+√2 11.设函数y=f(x)、y=g(x)在R上的导函数存在，且f'(x)<g'(x),则当x∈(a,b) 时，下列选项可能正确的是() A.f(x)<g(x) B.f(x)>g(x) C.f(x)+g(a)<g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)<g(x)+f(b) 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相应 位置（只填结果，不写过程）· 2已圆维验线后+若-1的离心率为2，则 13.已知曲线f(x)=e*和g(x)=血x+a存在一条过(0,0)的公切线，则实数a= 试卷第2页，共4页 14.如图，是一个由正整数组成的三角形数阵，该三角形数阵的“两腰”分别是一个公差为 1的等差数列和一个公差为2的等差数列，每一行是一个公差为1的等差数列.我们把这个 -数阵的所有数从上到下，从左到右依次构成一个数列{423,3,4,5,4,5,6,7，…，记{an}的 前n项和为Sn,则22在{a}中出现了 次，S1o= 23 345 4567 nt1..2n-22n-1 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的 文字说明、演算步骤或推理过程) l5.已知函数f(x)=x2+alnx(a∈R) (若y=f在点，f》处的切线与直线3x+y+1=0平行求Jy=f树在点0f0)处 的切线方程； (2)求函数f(x)的单调区间. 16.如图多边形MBCDA中，四边形BCD是矩形，BC=MB=M=5AB=2,沿 直线AB将△MAB进行翻折，将点M折至点P的位置使得△PCD是正三角形. (I)求证：平面PAB⊥平面ABCD; (2)求直线PC与平面PAD所成角的正弦值， 试卷第3页，共4页 17.已知函数f(x)=(x-1)e-ax2+b,其中a,b是参数，讨论y=f(x)的单调区间. 18.设数列{a,}的前n项和为Sa,满足2Sn=a1-2+1(n∈N),且a,a2+5,4 成等差数列. (1)求a的值； (2)求数列{an}的通项公式； (3)证明：对一切正整数n,有 1+1++1<名 4142 a。2 19.已如双鱼线c:若-茶=0>06>0的离心率为石，焦E为4 (1)求双曲线C的标准方程； (2)过双曲线C的左焦点F的直线1与双曲线C交于D,E两点，DE的中点为M,点M的 轨迹为曲线C1· (i)求C的方程； ()已知点A,B在曲线C1上，点A在y轴的右侧，点B在y轴的左侧，O为坐标原点，直 线OA,OB,AB与直线x=-1分别交于点R,S,T.求证：TRTS=OT 试卷第4页，共4页 重庆南开中学高2027级高二（上)数学练习（十六)1.4 参考答案 题 1 ny 3 6 7 8 9 10 11 号 答 D A B D D B C BD ABD ABC 案 12.2 13.3 14.11；1345 14.11;1345 因为第n行最后一个数为2n-1,该数为奇数，由2n-2=22,可得n=12, 所以，22第一次是出现在第12行倒数第2个，在第12行至第22行，22在每行中各出现一 次，故22在{an}中出现了11次 1+2+3+…+13+14=105,且1+2+3+…+13=91， 故am在第14行第9个，设第n行的数字之和为6，则6-+21-1严_3加-严， 2 2 故S10=b+b2+b+…+b3+14+15+16+…+22 3+22++132-(1+2+3++13)（14+22)×9 2 =1345: 15.(Df-2x+号由题意，/[) =1+2a=-3,即a=-2, 所以f'()=2-2=0,f(1)=1-2血1=1，所以(1，f》处的切点为(1,1) 所以y=f(x)在点(L,fI)处的切线方程为y=1, (2)函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 当a≥0时，'(x)>0恒成立，此时f(x)单调递增区间为(0，+o),无单调减区间； 当a<0时，令f'(x)>0,解得x> V2 令7(<0，解得0<x侵 此时f单调递墙区间为（受+o,单调减区间为@受 答案第1页，共4页 16.(1)因为△PCD是正三角形， 所以PC=PD=CD=2N2,又PB=BC=2, 所以PB2+BC2=PC2, 即CB⊥PB,又CB⊥AB,AB,PB为平面PAB内两条相交直线， 所以CB⊥平面PAB,又CB在平面ABCD内， 所以平面PAB⊥平面ABCD; (2)取AB的中点O,CD的中点E, PO⊥AB,又PO在平面PAB内，AB为平面PAB,平面ABCD的交线， 由(1)可知P0⊥平面ABCD,连接OE, AB,OE在平面ABCD内，可知PO,AB,OE两两垂直，如图建系， 则P(0,0,2)A-20,0,D(-22,0,C(V22,0), 则Pc=(（2,2-2),PA=(-2,0,-2,PD=(-2,2,-2), 设平面PAD的法向量为i=(x,y,z, 元pa=(x,z)(-2,0,-2)=-2x-2z=0 则 P西=(xyz)-22,-2)=√2x+2y-2z=0 设z=1,得x=-1,y=0,即i=(-1,0,1),设直线PC与平面P4D所成角为0， 则sin=cos(pc,= PC.n 22 2 PC网 2W2×√2 即所求是巨 17.由题意，得f'(x)=xe-2a).对实数a的值分情况讨论： (i)当a≤0时，e-a>0恒成立，即f'(x)>0台x>0、f'(x)<0台x<0 即y=f(x)的单调递减区间是(-∞，0)，单调递增区间是(0，+∞)： (i)当0<a<时，f()=0台x=0或x=h(2a,而n(2a<inl=0. 故当x∈(-o,h(2a)时，f'(x)>0,y=f(x)单调递增： 当x∈(n(2a),0)时，f'(x)<0,y=f(x)单调递减： 当x∈(0，+∞)时，f'(x)>0,y=f(x)单调递增。 答案第2页，共4页 (i)当a=号时，f'()=x(e-1）,f(y)=09x=0. 当x∈(-o,0)时，f'(x)>0,y=f(x)单调递增：当x∈(0，+o)时，f'(x)>0, y=f(x)单调递增.此时y=f(x)在R上单调递增 (w)当a>2时，f()=0x=0或x=h(2a),而a(2a)>h1=0. 故当x∈(-oo,0)时，f'(x)>0,y=f(x)单调递增： 当x∈(0，n(2a)时，f'(x)<0,y=f(x)单调递减： 当x∈(n(2a),+∞)时，f'(x)>0,y=f()单调递增. 18.(1)因为2S=an1-21+1,2Su1=a2-22+1,两式相减得a+2=3aH+2, 则2a1=2S1=42-3,即a2=24+3,43=3a2+4=6a1+13 由41,42+5,43成等差数列→41+a=2(a2+5)→a=1. (2)由4=1，a2=5得，a1=3a,+2”对n∈N均成立，即a1+21=3(a,+2),故数列 {an+2”}是以3为首项，3为公比的等比数列，故an+2”=33=3”，所以an=3”-2。 .1 3)由于3”-3=23222=2，所以3-2”23，所以。 - 41a2 a 3 1-“ 19.①由双自线C号-长-1e>06>0的离心率为5，焦距为4 得半焦距c=2,g=2,则a=2,b=c2-a=V2, 所以双曲线C的标准方程为号-上=1， 22 (2)(i)F(-2,0),当直线1不垂直于y轴时，设1：x=y-2,D(x,)，E(x2,y2), m2-1≠0 由{2通去x得m-r-4m+2=0,A=0>0'设M(G,山， 则6=片+2=2m 2=21’6=y%-2=m2-12m2, 于是m=,代入上式得%-川=2，整理得+2-心=0， 答案第3页，共4页 当直线1垂直于y轴时，由对称性不妨令D(-√2,0)，E(W2,0),则M(0,0),其坐标满足 x+2x。-y=0,所以C1的方程为x2-y2+2x=0 (ii)设直线AB的方程为y=a+t,t≠0，A(x3,3),B(x4,y4),x4<0<x3, [1-k2≠0 y=kx+t 由-y+2x=0消去y得0-2-a-2r-f=0, -1<k<1, (270 击书宽避+=德2，o-么m72 t2 XA 则R(-1,-a),S(-1,-),T(-1t-), X3 XA 1RH点+i-kH二应+H5+马，IS以+， 2t-21 所以小S卡21+名++卡1E中1上足 —=1+(t-)20T. X3XA 1-k2