精品解析：甘肃省天水市清水县第五中学2025-2026学年九年级上学期期末学业水平监测数学试卷

2025-2026学年度第一学期期末学业水平监测 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的方程没有实数根，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. 3 C. 9 D. 10 3. 如图，直角中，，，且，，则（ ） A. 6 B. C. D. 4. 如图，，，，则的长是（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 20 5. 如图，在中，，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点为位似中心，设计“”中字母“M”美术字的一种方法．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在平行四边形中，，则为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是边长为的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，是边的中点，于点，连接，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 12. 计算：______． 13. 若，则式子的值为______． 14. 关于的一元二次方程的常数项为，则的值是______． 15. “双11”购物节，某电商平台的一款智能电饭煲经过了两次降价，售价由原来的元降到元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为________． 16. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交边于点，若，则______度． 三、解答题（共46分） 17. 计算：． 18. 用适当的方法解下面的方程： （1） （2） 19. 如图，在中，，，、分别是边、上的点，且，求的长． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上． （1）画出关于x轴对称的，并写出三个顶点的坐标； （2）以点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的，且与的位似比为2． 21. 我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了三条研学线路供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，B韩国钧故居，C烈士陵园，每名学生只能任意选择一条线路． （1）小强选择线路A的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小强和小丽选择同一线路的概率． 22. 某校数学综合实践小组开展了测量某大厦楼体大屏广告牌高度的实活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告．报告的部分内容如下表． 综合实践活动报告 课题 利用直角三角形的边角关系测量物体高度 测量工具 测倾器、皮尺等测量工具 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①该小组使用皮尺，测得 ②选择在点处安置测倾器，在点处测得广告牌顶部点的仰角．在点处测得广告牌底部点的仰角．（点，，在同一条直线上） … … 根据以上信息，请你帮助数学综合实践小组求出广告牌的高度．（结果精确到） （参考数据：，，） 四、解答题（共50分） 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团想把一张长，宽的矩形硬纸板（如图），制作成一个高为，容积为的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（硬纸板的厚度忽略不计）． 方案 将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图）． 问题解决 方案中，当时，求的值． 24. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 25. 如图，在中，，点分别是边上的点，且． （1）求证：； （2）若，，当时，求的长． 26. 【项目学习】配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中并结合非负数的意义解决某些问题． 例1：把代数式进行配方． 解：原式 ． 例2：求代数式的最大值． 解：原式 ． ， ． ． 代数式的最大值为． 【问题解决】 （1）若，，满足，求的值． （2）若的三边长，，均为整数，，，满足，求的周长． 【迁移应用】 （3）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积； ②运用“配方法”求的最大值． 27. 如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 （1）当秒时，的值是多少？ （2）写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； （3）若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末学业水平监测 九年级数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数（即不含平方因子）；②被开方数不含分母，逐一分析各选项即可确定答案． 【详解】解： A. ， 被开方数3是无平方因数，是最简二次根式； B. ， 分母有根号，可化简为，不是最简二次根式； C. , 被开方数有平方因数9, 不是最简二次根式； D. = = = , 被开方数有平方因数25, 不是最简二次根式． 故选：A． 2. 若关于的方程没有实数根，则实数的值可以是（ ） A. 0 B. 3 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，利用一元二次方程根的判别式，当时方程无实数根，求解m的取值范围． 【详解】解：∵方程没有实数根， ∴判别式， 解得 ， ∴m的值可以是10． 故选：D 3. 如图，直角中，，，且，，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半，是解题关键．根据含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：D． 4. 如图，，，，则的长是（　　） A. 6 B. 8 C. 12 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．由平行线分线段成比例定理得，即可得出结论． 【详解】， ， 即， 解得：， 故选择：B 5. 如图，在中，，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用，解题的关键是熟练掌握在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】解：∵， A、 ，∴，故A错误； B、 ，∴，故B错误； C、，∴，故C正确； D、，∴，故D错误． 故选：C． 6. 如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，是的中点，连接，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握这些性质是解题的关键； 根据题意可得O是的中点，利用三角形的中位线的性质即可求解． 【详解】因为四边形是平行四边形， 所以对角线、互相平分， 即O是的中点， 又是的中点， 所以是中位线， 所以， 所以． 故选：B． 7. 利用位似可以设计有立体感的美术字．如图，是某同学以点为位似中心，设计“”中字母“M”美术字的一种方法．若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查位似图形，根据位似图形一定是相似图形，利用相似图形的性质，进行求解即可． 【详解】解：由题意，前后两个位置的图形相似， ∴； 故选B． 8. 在平行四边形中，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积关系，首先根据四边形是平行四边形，可知，所以可得：，根据，可得，当和分别以、为底边时，它们的高相同，可知它们的面积比等于底边的比，从而可求结果． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 9. 如图是边长为的的正方形网格，已知的三个顶点均在正方形格点上，则边上的高是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理求出AC的长，再由矩形的面积减去三个直角三角形的面积得出△ABC的面积，即可得出AC边上的高． 【详解】∵AC=，△ABC的面积=3×3-×2×3-×2×1-×3×1=， ∴则AC边上的高= ； 故选：C． 【点睛】此题考查勾股定理，三角形面积的计算方法，熟练掌握勾股定理，求出△ABC的面积是解题的关键． 10. 如图，在矩形中，是边的中点，于点，连接，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，交于点，①根据矩形的性质可得，结合，即可得到；②根据是边的中点，，得到，根据相似三角形的性质即可判断；③证明四边形是平行四边形，得到，推出，，根据线段垂直平分线的性质即可判断；④根据得到与的比值，以及与的比值，据此求出，，可得，即可判断． 【详解】解：如图，过点作交于点，交于点， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ，故①正确； 是边的中点，， ， ， ， ， ，故②正确； ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ，， ， 垂直平分， ，故③不正确； ， ， ，，，即， 又， ，， ， ， ，故④正确； 故选：B． 【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用相关知识是解题的关键． 11. 在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围，二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质，被开方数必须大于或等于零，再进一步求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：． 故答案为： 12. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的减法． 根据运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 若，则式子的值为______． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题考查的是代数式求值，二次根式的运算，熟知二次根式运算的法则是解题的关键． 把代数式化为的形式，再把的值代入进行计算即可． 【详解】解：， ． 故答案为：2024． 14. 关于的一元二次方程的常数项为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的概念，由题意常数项为0，可得，根据一元二次方程的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵的一元二次方程的常数项为， ∴且， ∴ 故答案为：． 15. “双11”购物节，某电商平台的一款智能电饭煲经过了两次降价，售价由原来的元降到元，设平均每次降价的百分率为，那么可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的知识，解题的关键是根据题意，设平均每次降价的百分率为，列出方程，即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，射线交边于点，若，则______度． 【答案】30 【解析】 【分析】证明∠CAB=2∠B，根据直角三角形两锐角互余，构建方程求解即可． 【详解】解：由作图可知，AD平分∠CAB， ∴∠CAD=∠DAB， ∵△DAC∽△ABC， ∴∠CAD=∠B， ∴∠CAB=2∠B， ∵∠CAB+∠B=90°， ∴3∠B=90°， ∴∠B=30°， 故答案为：30． 【点睛】本题考查作图-基本作图，相似三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 三、解答题（共46分） 17. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】根据负整数指数幂，特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值的化简计算即可． 【详解】 ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数，算术平方根，绝对值的化简，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. 用适当的方法解下面的方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程： （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ∴ ∴，； 【小问2详解】 解： 或 ，. 19. 如图，在中，，，、分别是边、上的点，且，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质． 先证明，可得，进而可求解的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴ ∴AE的长为4． 20. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上． （1）画出关于x轴对称的，并写出三个顶点的坐标； （2）以点O为位似中心，在第一象限内画出与位似的，且与的位似比为2． 【答案】（1） 如图，即为所作， （2） 如图，即为所作， 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）分别作出，，关于轴的对称点，，再顺次连接，再写出三个顶点的坐标即可； （2）延长到使得，同法作出，即可解决问题； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 我市某校组织九年级学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因”为主题的研学活动，策划了三条研学线路供学生选择：A苏中七战七捷纪念馆，B韩国钧故居，C烈士陵园，每名学生只能任意选择一条线路． （1）小强选择线路A的概率为__________； （2）请用画树状图或列表的方法，求小强和小丽选择同一线路的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）直接利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及小强和小丽选择同一线路的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，小强选择线路A的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中小强和小丽选择同一线路的结果有3种， ∴小强和小丽选择同一线路的概率为． 22. 某校数学综合实践小组开展了测量某大厦楼体大屏广告牌高度的实活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告．报告的部分内容如下表． 综合实践活动报告 课题 利用直角三角形的边角关系测量物体高度 测量工具 测倾器、皮尺等测量工具 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： ①该小组使用皮尺，测得 ②选择在点处安置测倾器，在点处测得广告牌顶部点的仰角．在点处测得广告牌底部点的仰角．（点，，在同一条直线上） … … 根据以上信息，请你帮助数学综合实践小组求出广告牌的高度．（结果精确到） （参考数据：，，） 【答案】广告牌的高度为 【解析】 【分析】根据题意在中，，在中，根据三角函数关系得出，根据，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， 在中， ∴． 答：广告牌的高度为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 四、解答题（共50分） 23. 根据以下素材，探索完成任务． 如何改造硬纸板制作无盖纸盒？ 背景 学校手工社团想把一张长，宽的矩形硬纸板（如图），制作成一个高为，容积为的无盖长方体纸盒，且纸盒的长不小于（硬纸板的厚度忽略不计）． 方案 将矩形硬纸板竖着裁剪，横着裁剪（阴影部分），剩余纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形（如图）． 问题解决 方案中，当时，求的值． 【答案】的值为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程，求出的值，再进行验证即可，解题的关键是根据等量关系列出方程． 【详解】解：当时，根据题意得： ，解得：，， 当时，盒子的长为，符合题意； 当时，盒子的长为，不符合题意，应舍去； ∴的值为． 24. 已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． （1）如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； （3）如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【答案】（1）解：等腰三角形，理由如下： 把代入方程得：， ∴， ∴为等腰三角形； （2） 解：直角三角形，理由如下： 根据题意得， 即， 所以为直角三角形； （3）， 【解析】 【分析】（1）把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状； （2）根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状； （3）利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：为等边三角形， ， 方程化为， 解得，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根；一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，勾股定理逆定理等知识． 25. 如图，在中，，点分别是边上的点，且． （1）求证：； （2）若，，当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴且， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，根据角的和差计算可得，结合相似三角形的判定和性质即可求证； （2）根据相似三角形的性质可得，由，得到，则有，可得，由此即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 26. 【项目学习】配方法是数学中一种常见的解题方法，利用配方法可求一元二次方程的根，所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，其实这种方法还经常被用到代数式的变形中并结合非负数的意义解决某些问题． 例1：把代数式进行配方． 解：原式 ． 例2：求代数式的最大值． 解：原式 ． ， ． ． 代数式的最大值为． 【问题解决】 （1）若，，满足，求的值． （2）若的三边长，，均为整数，，，满足，求的周长． 【迁移应用】 （3）如图，有一块锐角三角形余料，它的边厘米，高厘米．现要用它裁出一个矩形工件，使矩形的一边在上，其余的两个顶点分别在、上． ①设，试用含的代数式表示矩形工件的面积； ②运用“配方法”求的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3）①；②最大面积为平方厘米 【解析】 【分析】（1）将所给式子配方求出，的值，即可求解； （2）将所给式子通过配方得到，利用非负数的性质求出、，即可求解； （3）①设的长度是厘米，的长度是厘米，根据矩形的性质可证明，根据相似三角形的性质求出与之间的函数关系式为，最后根据矩形的面积公式求解即可；②将配方，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1） ， ，， ； （2）， ， ， ，， ，， ， ， 即的周长为； （3）①设的长度是厘米，的长度是厘米， 四边形为矩形， ， ， ， ， 与之间的函数关系式为， 矩形面积； ② ， 故当的长度是厘米时，矩形零件的面积最大，最大面积为平方厘米． 【点睛】本题考查了配方法的应用，二次函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，非负数的性质，掌握相关知识是解题的关键． 27. 如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 （1）当秒时，的值是多少？ （2）写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； （3）若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． 【答案】（1）24 （2） （3）为或，理由如下： 如图： ， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，当为或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 【解析】 【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的性质，函数关系式； （1）当秒时，，，，根据，，可得，，，，即可得； （2）分两种情况：①当在上，即时，；②当在上时，由解得，故此时，； （3）由，知以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或，当时，，得，当时，，得． 【小问1详解】 解：当秒时，，，， 矩形中，，， ，，，， ， ， ， ， 的值是24； 【小问2详解】 解：①当在上，即时，如图： ，，， ，，， ； ②当在上时，由解得， 追上所用时间是， 此时， 如图： ，， ， ， 综上所述，； 【小问3详解】 解：略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $