精品解析：广东省梅州市梅县区2024-2025学年上学期期中统考九年级数学试题

2024-2025学年第一学期九年级数学科中段试题 （满分120分 考试用时120分钟） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，即可解答． 【详解】解：A、，不是一元二次方程，故不符合题意； B、，是分式方程，故不符合题意； C、，是二元二次方程，故不符合题意； D、，是一元二次方程，故符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常数且），特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点． 2. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形和矩形的性质进行判断即可． 【详解】解：A. 对边平行且相等，菱形和矩形都具有，故该选项不符合题意； B. 对角线互相平分，菱形和矩形都具有，故该选项不符合题意； C. 对角线相等，矩形具有而菱形不具有，故该选项不符合题意； D. 对角线互相垂直，菱形具有而矩形不一定具有，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的性质，解题关键是熟练掌握矩形和菱形的性质定理． 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，将1移到方程的右边，然后方程两边都加上4即可得出答案． 【详解】解： ， 故选：A． 4. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．根据相似三角形的判定方法：两个角分别相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似；即可求出答案． 【详解】A、当时，没有夹角相等，无法得出，符合题意； B、， ∴，能判定相似，不符合题意； C、， ∴，能判定相似，不符合题意； D、， ∴，能判定相似，不符合题意； 故选：A． 5. 甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外其他都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是根据题意正确完成树状图或列表．画出树状图，用取出的两个球都是红球的情况数除以所有等可能发生的情况数即可． 【详解】解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，取出的两个球都是红的有1种情况， ∴取出的两个球都是红的概率为：． 故选A． 6. 若两个相似三角形的面积之比为，则它们的边长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方计算． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比为， ∴两个相似三角形的相似比为， ∴两个相似三角形的边长比两个相似三角形的相似比为. 故选：B． 7. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：设另一个根为x，则 x+2＝﹣5， 解得x＝﹣7． 故选：A． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根与系数的关系是解题关键． 8. 如图，在中，，点、、分别是三边的中点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得BC，再根据三角形的中位线性质求得DE即可． 【详解】解：∵在中，，点F为BC的中点，， ∴BC=2AF=10cm， ∵点D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC=5cm， 故选：D． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质是解答的关键． 9. 在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，掌握“A”字形三角形相似的判定和性质为解题关键．由折叠的特点可知，，又，则由同位角相等两直线平行易证，故，又为的中点可得，由相似的性质可得求解即可． 【详解】解：沿折叠，使点A落在点处， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又为的中点，， ∴， ， 即， ． 故选：B． 10. 如图，在菱形中，，点是边上任意两点（不与端点重合），为上一点（不与端点重合），连接线段，，下列结论： ； 若，则； 若菱形边长为4，是的中点，连接，则线段； 当为中点时，； 其中正确的结论是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角对应相等两三角形相似判断①；利用相似三角形的性质求出可判定②；构造直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质及勾股定理可判断③；作交的延长线于，根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解可判断③；根据相似三角形的性质和中点定义得到，可利用相似三角形的判定判断④，进而可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，故①正确， ∴， ， ， ，故②错误， 作，交的延长线于． 在中， ，，， ∴， ，，则， ，故③正确； ∵为中点时， ∴， ∵， ∴， ∴，又， ∴，故④正确， 故正确的结论是， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、菱形的性质、勾股定理、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，其中，那么____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了比例的基本性质．根据比例的基本性质，变形计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 12. 在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有_______个 ． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是熟练掌握用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 设袋中红球有x个，根据题意用黄球数除以红球和黄球的总数等于黄球的频率列出等式即可求出答案． 【详解】解：设袋中红球有x个，根据题意，得： ， 解得：． 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 所以袋中红球有4个． 故答案为∶4． 13. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中CA＝2,OB＝3,则菱形ABCD的面积为___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解:∵在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,OB＝3, ∴BD=6, ∵CA＝2, ∴菱形ABCD的面积为 , 故答案为:6． 【点睛】本题主要考查了菱形的面积的求解方法,解题的关键是熟记菱形的面积等于对角线乘积的一半． 14. 如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为______m． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查相似三角形性质的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答． 【详解】解：根据题意，,, ． 即 故； 那么该古城墙的高度是， 故答案为：16． 15. 如图，在矩形中，，点E，G分别在边上，且，点F在边上，连接，若，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接，作关于的对称点，连接交于，连接，证明四边形为平行四边形，可得，当，，三点共线时，，此时最小，过作于，则四边形为矩形，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，作关于的对称点，连接交于，连接， 由轴对称的性质可得：，，， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时， ，此时最小， 过作于，则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 三、解答题一（3小题，共21分） 16. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ， 或 解得：，； 【小问2详解】 解：， ， ， ， 解得：， ，． 17. 如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，相似比是． （1）请画出； （2）请直接写出各顶点的坐标； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． 【答案】（1） 如图，即为所求． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形变换—位似，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键； （1）找到点A，B，C的对应点，即可求解； （2）直接根据（1）中图形解答即可； （3）根据位似图形的性质解答，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可得， 【小问3详解】 解：∵内部一点M的坐标为，在y轴右侧，且与位似，相似比是， ∴点M的对应点的坐标是． 故答案为： 18. 河南烩面是一道河南特色的传统美食，在安阳市一家烩面馆考察得知，一份烩面的成本价为8元，若每份卖18元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为320元． （1）每份烩面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天1360元的净利润？ （2）面馆能实现每天1800元的净利润吗？说明理由． 【答案】（1）20元或22元 （2） 解：不能，理由如下： 根据题意得：， 整理得：， ∵， ∴方程无解， ∴面馆不能实现每天1800元的净利润． 【解析】 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用，理解销售中的数量关系，列出方程是解题的关键． （1）设当每份烩面提高x元时，每天的销量为份，每份的利润为元，根据“每份的利润×总销量-各种费用=净利润”列出方程并解答求得x的值；然后由销售价格求得答案； （2）根据题意得：，整理得，根据一元二次方程根的判别式即可得出答案 【小问1详解】 解：设当每份烩面提高x元时，每天的销量为份，每份的利润为元， 由题意，得， 解得，． 所以或22． 答：每份烩面的价格是20元或22元时，该面馆才能实现每天1360元的净利润． 【小问2详解】 略 四、解答题二（3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是矩形对角线的交点，，． 求证：四边形是菱形． 若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； （2）6. 【解析】 【详解】分析：（1）根据矩形的性质得出AC=2CO，BD=2DO，AC=BD，推出DO=CO，先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的判定求出即可； （2）根据矩形的性质得出AO=CO，∠ADC=90°，求出△ADC的面积为6，即可求出S△ADO=S△DCO=S△ADC=3，证△DCE≌△COD，得出S△DCE=S△COD=3，即可求出四边形OCED的面积． 详解： 略 解：∵四边形是矩形， ∵，， ∵，， ∴的面积为， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形的面积是． 点睛： 20. 新学期伊始，某校运用今年流行的“：龙行龘龘（da），：前程朤朤（lāng），：德行垚垚（yáo），：身体骉骉（biāo）”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取__________人； （2）将条形统计图补充完整； （3）学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 【答案】（1）； （2） 补全的条形统计图如图所示： （3）． 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，条形统计图与扇形统计图，掌握统计的基本知识是解题的关键． （1）利用选项的人数除以其百分比，即可求解； （2）先计算的数据，再画条形图； （3）先列表，再根据简单事件的概率求解． 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 （人） 【小问3详解】 列表如下： 由表可知，一共存在种等可能性结果，其中抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的可能性有种， 抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率为． 21. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 【答案】（1）k≤3；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴△≥0，即≥0， 解得：k≤3， 故k的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得， 由可得， 代入x1＋x2和x1x2的值，可得： 解得：，（舍去）， 经检验，是原方程的根， 故． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 五、解答题三（2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，在中，，是边上的高，是边上的一个动点（不与，重合），，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 【答案】（1） 证明：是边上的高， ， ， ， 在和中， ，， ， ； （2） 解：与垂直， 证明：， 四边形为矩形， ， 由（1）知， ， 中， ， ， ， ， ， ， 又， ， 即， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质． 根据垂直的定义可知，又因为，可证，根据相似三角形的性质可证结论成立； 根据，可证四边形为矩形，可得：，根据同角或等角的余角相等，可证：，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形对应角相等，可证：，从而可证，即可证明与垂直． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F． （1）求证：ABF≌BCE； （2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值． 【答案】（1） 证明：∵BF⊥CE， ∴∠CGB＝90°， ∴∠GCB＋∠CBG＝90， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CBE＝90°＝∠A，BC＝AB， ∴∠FBA＋∠CBG＝90， ∴∠GCB＝∠FBA． 在和中， ， ∴； （2） 证明：如下图，过点D作DH⊥CE于H， 设AB＝CD＝BC＝2a， ∵点E是AB的中点， ∴， ∴， 在Rt△CEB中，根据面积相等，得BG•CE＝CB•EB， ∴， ∴． ∵∠DCE＋∠BCE＝90°，∠CBF＋∠BCE＝90°， ∴∠DCE＝∠CBF． ∵CD＝BC，∠CQD＝∠CGB＝90°， ∴△CQD≌△BGC（AAS）， ∴， ∴． ∵DQ＝DQ，∠CQD＝∠GQD＝90°， ∴△DGQ≌△CDQ（SAS）， ∴CD＝GD； （3） 【解析】 【分析】（1）用同角的余角相等判断出，再利用AAS定理判定三角形全等； （2）先证出，进而得出PD是CG的垂直平分线，即可得出结论； （3）先证出，进而得到，得出，再证明，得出，再判断出，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如下图，过点D作DH⊥CE于H， ， ∴， 在Rt△CHD中，CD＝2a， ∴． ∵∠MDH＋∠HDC＝90°，∠HCD＋∠HDC＝90°， ∴∠MDH＝∠HCD， ∴△CHD∽△DHM， ∴， ∴， 在Rt△CHG中，，， ∴． ∵∠MGH＋∠CGH＝90°，∠HCG＋∠CGH＝90°， ∴∠QGH＝∠HCG， ∴△QGH∽△GCH， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，线段的中垂线定理，三角形的中位线定理，构造出相似三角形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期九年级数学科中段试题 （满分120分 考试用时120分钟） 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲口袋中有1个红球和1个黄球，乙口袋中有1个红球、1个黄球和1个绿球，这些球除颜色外其他都相同．从两个口袋中各随机取一个球，取出的两个球都是红球的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 若两个相似三角形的面积之比为，则它们的边长之比为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（　　） A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 8. 如图，在中，，点、、分别是三边的中点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，分别在上，将沿折叠，使点落在处，若为的中点，则折痕的长为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 5 10. 如图，在菱形中，，点是边上任意两点（不与端点重合），为上一点（不与端点重合），连接线段，，下列结论： ； 若，则； 若菱形边长为4，是的中点，连接，则线段； 当为中点时，； 其中正确的结论是（    ） A. B. C. D. 二、填空题（5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，其中，那么____． 12. 在一个不透明的袋子里装有若干个红球和12个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同， 每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的 频率稳定在，则袋中红球有_______个 ． 13. 如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,其中CA＝2,OB＝3,则菱形ABCD的面积为___． 14. 如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦的顶端C处，已知，，且测得，，，那么该大厦的高度约为______m． 15. 如图，在矩形中，，点E，G分别在边上，且，点F在边上，连接，若，则的最小值为_______. 三、解答题一（3小题，共21分） 16. 解方程： （1）； （2） 17. 如图在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，在y轴右侧，以原点O为位似中心画一个，使它与位似，相似比是． （1）请画出； （2）请直接写出各顶点的坐标； （3）若内部一点M的坐标为，则点M的对应点的坐标是 ． 18. 河南烩面是一道河南特色的传统美食，在安阳市一家烩面馆考察得知，一份烩面的成本价为8元，若每份卖18元，平均每天将销售160份，若价格每提高1元，则平均每天少销售10份，每天面馆内所需其他各种费用为320元． （1）每份烩面的价格是多少元时，该面馆才能实现每天1360元的净利润？ （2）面馆能实现每天1800元的净利润吗？说明理由． 四、解答题二（3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，是矩形对角线的交点，，． 求证：四边形是菱形． 若，，求四边形的面积． 20. 新学期伊始，某校运用今年流行的“：龙行龘龘（da），：前程朤朤（lāng），：德行垚垚（yáo），：身体骉骉（biāo）”等祝福热词制作贺卡开展“龙年送祝福”活动，为了解学生对这四个热词的喜爱程度，随机对部分学生进行调查，要求每名学生从中选择自己最喜欢的一个，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中所给信息解答下列问题： （1）这次抽样调查共抽取__________人； （2）将条形统计图补充完整； （3）学校要从，，，四个词制作的四张贺卡中，随机抽出两张送给九（1）班的同学，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两张贺卡恰好是“前程朤朤”和“身体骉骉”的概率． 21. 已知关于x的方程有两实数根． （1）求k的取值范围； （2）设方程两实数根分别为、，且，求实数k的值． 五、解答题三（2小题，22题13分，23题14分，共27分） 22. 如图，在中，，是边上的高，是边上的一个动点（不与，重合），，，垂足分别为，． （1）求证：； （2）与是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 23. 如图1，在正方形ABCD中，点E是AB边上的一个动点（点E与点A，B不重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于点G，交AD于点F． （1）求证：ABF≌BCE； （2）如图2，当点E运动到AB中点时，连接DG，求证：DC＝DG； （3）如图3，在（2）的条件下，过点C作CM⊥DG于点H，分别交AD，BF于点M，N，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $