6.7利用画树状图和列表计算概率同步练习2025-2026学年青岛版数学九年级下册

利用画树状图和列表计算概率 一、单选题 1.假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2 只雏鸟都是雄鸟的概率是() A.月 B C. D.4 2.小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个 作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取 两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是() A. B C. 3.“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶，现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球 从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，现有两个音乐小球从A处先后进入小洞， 发出“商”音，再发出“羽”音的概率是() 商 羽 A 角 微 A·25 C. 10 D 4.一天，读初一的小明看见隔壁读小学的小亮在选衣服，小亮告诉小明，他有三件上衣， 分别是红色、白色和棕色，有两条裤子，分别是白色和黄色，他随机拿出一件上衣和一条裤 子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是() B. c.5 D.d 5.某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的 转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停 止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以 答案第1页，共2页 获得一袋橘子.转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是() 一袋苹果 012 一袋 橘子 A.2 B.5 C. 3 D 6.小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们 约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮 获胜，这个游戏() A.无法确定对谁有利 B.对小亮有利 C.对小明有利 D.游戏公平 7.某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球.甲从袋中任意摸出一个 球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜， 要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是() A.3 B.4 C.1 D.2 8.在一个不透明的袋子里有一双红手套和一双黑手套，除颜色外都相同，李红随手拿出两 只手套，恰好能配成一双的概率是（) A:3 B C. D. 9.某农场追踪研究5棵苹果树的产量，其中3棵产量较高，2棵产量较低，现随机选取其中 2棵苹果树的数据送往农科所进行进一步研究，则选取的2棵苹果树恰好是1棵产量较高，1 棵产量较低的概率是() B.1 2 5 C. 5 D.3 10.成语是汉语中的精华，简洁、准确、生动，在无差别的四张卡片上分别写有4个成语： ①缘木求鱼；②画饼充饥；③瓮中捉鳖；④守株待兔，将卡片置于暗箱摇匀，随机抽取的两 答案第1页，共2页 张，则抽取的两张卡片上的成语描述的事件均为不可能事件的概率为() 1 A. 3 B.2 C.3 D. 6 二、填空题 11.把英文单词“PE0PLE”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中 的1个字母.然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是 l2.英文中瓷器“china”与中国“china”同为一词.瓷器是中国的名片，中国是瓷器的故乡， 历史实践课上，某小组的同学制作了中国瓷器宋代五大名窑的卡片（卡片的背面完全相同）， 小文从中一次性随机抽取两张卡片，抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是 汝窑 官窑 哥窑 钧窑 定窑 13.如图，一个转盘被分为了A,B,C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指 针指向A区域的概率是 14.某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门 票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质 地、大小均相同的2x个红球与3x个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红 球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座.则该办法 (填“公 平”或“不公平”). 15.在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各1个，每个小球除 颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， 摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率 后摸者赢的概率.（填“>“<”或“=”) 答案第1页，共2页 16.中国古代四大名著《西游记》《三国演义》《红楼梦》《水浒传》是四部古典章回体小说， 是中国古代汉语文学的瑰宝，小华要从这四部著作中随机抽取两本借给朋友，则抽取的两本 恰好是《三国演义》和《水浒传》的概率是」 三、解答题 17.小亮与同学组队玩寻宝游戏，在某个环节，小亮面前有A,B两组箱子（如图），A组 有3个箱子，其中1个箱子中装有重要线索；B组有2个箱子，其中1个箱子中装有重要线 索.小亮要从A,B两组箱子中各选一个箱子去获得线索. A组 B组 (1)小亮选中的箱子均来自B组是事件（填“随机“必然”或“不可能”）； (②)请用列表或画树状图的方法求小亮一条线索都没有得到的概率. 18.在淮安市首届马拉松体育比赛中，我校师生踊跃报名，积极参赛，并取得了非常优秀的 成绩，共有1名男学生，2名女学生获奖，另有2名男老师和2名女老师获奖。 (1)要从获奖的7人中随机选取1人参加颁奖大会，选中的人性别是女的概率是一： 答案第1页，共2页 (②)如果从获奖的7人中随机选取一名学生和一名老师参加颁奖大会，用列表或树状图求选 取的两人刚好是一男一女的概率. 19.在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1,2,3,4，随机地 一次摸取两张纸牌，甲、乙两人进行游戏，如果两次摸取纸牌上数字之和为奇数，则甲胜： 如果两次摸取纸牌上数字之和为偶数，则乙胜.这是个公平的游戏吗？请用列表或画树状图 的方法说明理由. 20.小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有1,2,3 答案第1页，共2页 ,4,5,6个小圆点的小正方体)，小亮有3个小球，小球上分别标有数字2、3、5（小球 除数字不同外其余均相同)，将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀. ② ③ 图1 图2 ()小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了 10次小球，其中有3次摸出的小球上的数字是2，则摸出的小球上的数字是2的频率是_； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个 小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜.这个游戏规则对两人公平吗？ 请利用列表或画树状图的方法进行说明. 答案第1页，共2页 利用画树状图和列表计算概率 一、单选题 1．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是（   ） A． B． C． D． 2．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是（ ） A． B． C． D． 3．“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶，现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，现有两个音乐小球从A处先后进入小洞，发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（　　） “ A． B． C． D． 4．一天，读初一的小明看见隔壁读小学的小亮在选衣服，小亮告诉小明，他有三件上衣，分别是红色、白色和棕色，有两条裤子，分别是白色和黄色，他随机拿出一件上衣和一条裤子穿上，恰好是白色上衣和白色裤子的概率是（   ） A． B． C． D． 5．某水果超市为了吸引顾客来店购物，设立了一个如图所示的可以自由转动的质地均匀的转盘，开展有奖购物活动，顾客购买商品满200元就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在“一袋苹果”的区域就可以获得一袋苹果；指针落在“一袋橘子”的区域就可以获得一袋橘子．转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是（   ） A． B． C． D． 6．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个正整数，然后都拿给对方看，他们约定，若两个人所写的数的和是偶数，则小明获胜，若两个人所写的数字和是奇数，则小亮获胜，这个游戏（    ） A．无法确定对谁有利 B．对小亮有利 C．对小明有利 D．游戏公平 7．某口袋中有10个球，其中白球x个，绿球2x个，其余为黑球．甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则甲获胜，甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则乙获胜，要使游戏对甲、乙双方公平，则x应该是（    ） A．3 B．4 C．1 D．2 8．在一个不透明的袋子里有一双红手套和一双黑手套，除颜色外都相同，李红随手拿出两只手套，恰好能配成一双的概率是（ ） A． B． C． D． 9．某农场追踪研究棵苹果树的产量，其中棵产量较高，棵产量较低，现随机选取其中棵苹果树的数据送往农科所进行进一步研究，则选取的棵苹果树恰好是棵产量较高，棵产量较低的概率是（  ） A． B． C． D． 10．成语是汉语中的精华，简洁、准确、生动，在无差别的四张卡片上分别写有4个成语：①缘木求鱼；②画饼充饥；③瓮中捉鳖；④守株待兔，将卡片置于暗箱摇匀，随机抽取的两张，则抽取的两张卡片上的成语描述的事件均为不可能事件的概率为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 11．把英文单词“”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上，每张卡片上只写其中的1个字母．然后将卡片洗匀，从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡的概率是 ． 12．英文中瓷器“”与中国“”同为一词．瓷器是中国的名片，中国是瓷器的故乡，历史实践课上，某小组的同学制作了中国瓷器宋代五大名窑的卡片（卡片的背面完全相同），小文从中一次性随机抽取两张卡片，抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是 ． 13．如图，一个转盘被分为了A，B，C三个区域，自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是 ． 14．某市准备为青少年举行一次网球知识讲座，小明和妹妹都是网球球迷，要求爸爸去买门票，但爸爸只买回一张门票，为了确定谁去听讲座，小明想了一个办法：他拿出一个装有质地、大小均相同的个红球与个白球的袋子，让爸爸从中摸出一个球，如果摸出的是红球，那么妹妹去听讲座，如果摸出的是白球，那么小明去听讲座．则该办法 （填“公平”或“不公平”）． 15．在一个不透明的纸盒中放入颜色分别为白色、红色、绿色的小球各 1个，每个小球除颜色不同外其他均相同，三人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回，摸出白球者赢，则这个游戏中先摸者赢的概率 后摸者赢的概率．（填“>”“<”或“=”） 16．中国古代四大名著《西游记》《三国演义》《红楼梦》《水浒传》是四部古典章回体小说，是中国古代汉语文学的瑰宝，小华要从这四部著作中随机抽取两本借给朋友，则抽取的两本恰好是《三国演义》和《水浒传》的概率是 ． 三、解答题 17．小亮与同学组队玩寻宝游戏，在某个环节，小亮面前有A，B两组箱子（如图），A组有3个箱子，其中1个箱子中装有重要线索；B组有2个箱子，其中1个箱子中装有重要线索．小亮要从A，B两组箱子中各选一个箱子去获得线索． (1)小亮选中的箱子均来自B组是_______事件（填“随机”“必然”或“不可能”）； (2)请用列表或画树状图的方法求小亮一条线索都没有得到的概率． 18．在淮安市首届马拉松体育比赛中，我校师生踊跃报名，积极参赛，并取得了非常优秀的成绩，共有1名男学生，2名女学生获奖，另有2名男老师和2名女老师获奖． (1)要从获奖的7人中随机选取1人参加颁奖大会，选中的人性别是女的概率是 ； (2)如果从获奖的7人中随机选取一名学生和一名老师参加颁奖大会，用列表或树状图求选取的两人刚好是一男一女的概率． 19．在一个不透明的口袋中装有4张相同的纸牌，它们分别标有数字1，2，3，4，随机地一次摸取两张纸牌，甲、乙两人进行游戏，如果两次摸取纸牌上数字之和为奇数，则甲胜；如果两次摸取纸牌上数字之和为偶数，则乙胜．这是个公平的游戏吗？请用列表或画树状图的方法说明理由． 20．小明和小亮玩游戏，小明有一个质地均匀的骰子（如图1，六个面上分别刻有，，，，，个小圆点的小正方体），小亮有个小球，小球上分别标有数字、、（小球除数字不同外其余均相同），将其放入一个不透明的布袋中（如图2）搅匀． (1)小亮从布袋中随机摸出一个小球，记下数字后再将小球放回布袋中搅匀，这样重复摸了次小球，其中有次摸出的小球上的数字是，则摸出的小球上的数字是的频率是 ； (2)小明掷一次骰子，骰子朝上一面的点数记作小明掷出的数，小亮从布袋中随机摸出一个小球，小球上的数字记作小亮摸出的数，谁的数大，谁就获胜．这个游戏规则对两人公平吗？请利用列表或画树状图的方法进行说明． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D A D D D D B D D 1．D 【分析】本题考查了列举法求概率；设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，列举出所有可能的结果数，2只雏鸟都是雄鸟的结果数，利用概率公式即可计算． 【详解】解：设2枚鸟卵全部成功孵化为A、B两只雏鸟，所有可能的结果为：AB两只雏鸟都是雄鸟，两只雏鸟都是雌鸟，A雏鸟是雄鸟B雏鸟是雌鸟，A雏鸟是雌鸟B雏鸟是雄鸟，共有4种等可能结果，其中2只雏鸟都是雄鸟有一种结果，则2只雏鸟都是雄鸟的概率为； 故选：D． 2．D 【分析】根据题意先画出树状图得出所有情况数和到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的情况数，再根据概率公式即可得出答案． 此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：根据题意画图如下： 共有种情况数，抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的有种情况， 则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是； 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答关键．先画出树状图可得到所有等可能的结果数以及发出“商”音，再发出“羽”音的结果数，再利用概率公式求解． 【详解】解：把宫商角徵羽五个基本音阶分别记为1，2，3，5，6， 画树状图如下： 共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种， ∴发出“商”音，再发出“羽”音的概率是． 故答案为：A． 4．D 【分析】本题考查了列表法与树状图法，解题关键是掌握概率公式． 列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：列表如下： 上衣 裤子 红色 白色 棕色 白色 （白色，红色） （白色，白色） （白色，棕色） 黄色 （黄色，红色） （黄色，白色） （黄色，棕色） 由表知，共有种等可能结果，其中恰好是白色上衣和白色裤子的结果有1种， 所以恰好是白色上衣和白色裤子的概率为， 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图进而可得答案． 【详解】解：转动转盘1次，获得一袋橘子的概率为，获得一袋苹果的概率为，可以看成有2袋苹果，1袋橘子，画树状图如下： ∴转动转盘2次，共9种情况，其中苹果和橘子都获得的有4种情况， ∴转动转盘2次，苹果和橘子都获得的概率是， 故选：D． 6．D 【分析】本题主要考查了游戏的公平性，根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇，而和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种，则和为偶数的概率和和为奇数的概率相同，故游戏公平，据此可得答案． 【详解】解：根据游戏规则，总结果有4种，分别是奇偶，偶奇，偶偶，奇奇； ∵奇数与奇数的和为偶数，偶数与偶数的和为偶数，奇数与偶数的和为奇数， ∴和为偶数的情况和和为奇数的情况都为两种， ∴和为偶数的概率和和为奇数的概率相同， ∴这个游戏是公平的， 故选：D． 7．D 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方获胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等即可． 【详解】解：由题意甲从袋中任意摸出一个球，若为绿球则获胜；甲摸出的球放回袋中，乙从袋中摸出一个球，若为黑球则获胜可知， 绿球与黑球的个数应相等，也为2x个， 列方程可得x+2x+2x=10， 解得x=2， 故选：D． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 8．B 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中找出符合事件的结果数目，然后根据概率公式计算事件发生的概率．首先根据题意画树状图展示所有种等可能的结果，再找出随手拿出两只，恰好能配成一双的结果数，然后根据概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中随手拿出两只，恰好能配成一双的结果数为， 所以随手拿出两只，恰好能配成一双的概率为． 故选：B． 9．D 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及选取的棵苹果树恰好是棵产量较高，棵产量较低的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将棵产量较高的苹果树分别记为，，，将棵产量较低的苹果树分别记为，， 列表如下： 共有种等可能的结果，其中选取的棵苹果树恰好是棵产量较高，棵产量较低的结果有：，，，，，，，，，，，，共种， 选取的棵苹果树恰好是棵产量较高，棵产量较低的概率为． 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了画树状图法求概率；先画树状图展示所有12种等可能的结果，再根据不可能事件的定义找出抽取的两张卡片上的成语描述的事件均为不可能事件的结果数，然后根据概率公式计算． 【详解】解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上的成语描述的事件均为不可能事件的结果数为2种， 所以抽取的两张卡片上的成语描述的事件均为不可能事件的概率为： 故选：D． 11． 【分析】本题主要考查了列表法与树状图法、概率公式，解题时要熟练掌握并能根据题意画出树状图是关键． 依据题意，画出树状图，从而可得随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种，进而可以计算概率求解． 【详解】根据题意，画出树状图如下： 从中随机抽取2张共有30种等可能性，其中恰好是字母相同的两张卡片有4种， 从中随机抽取2张，恰好是字母相同的两张卡片的概率为． 故答案为：． 12． 【分析】此题主要考查了列表求概率．设五大名窑的卡片分别为，根据列表法求得所有等可能结果，进而根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解： 设五大名窑的卡片分别为，列表如下， 共有20种等可能的结果，其中他抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的结果有种， ∴抽到的两张卡片恰好是“汝窑”和“定窑”的概率是， 故答案为：． 13． 【分析】根据概率的求法，找准两点： ①全部情况的总数； ②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．依此即可求解． 【详解】解：∵A区域扇形的圆心角为90°， ∴自由转动转盘一次，当转盘停止时，指针指向A区域的概率是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）． 14．不公平 【分析】此题考查了概率公式和游戏公平性问题，根据概率公式分别求得妹妹与小明去听讲座的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：红球有个，白球有个， ，， ， 这个办法不公平． 故答案为：不公平． 15． 【分析】本题考查了概率的意义理解，根据每次摸球的条件相同，可得到概率相同，准确理解概率的意义是解题的关键． 【详解】解：∵不透明的纸盒中放有白色，红色，绿色的小球各1个，三个人先后去摸球，一人摸一次，一次摸出一个小球，摸出后放回， ∴三个人摸到每个球的概率均相等， 即这个游戏中先摸者赢的概率等于后摸者赢的概率， 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查了画树状图或列表法求等可能事件的概率，掌握相应方法是解题的关键．用画树状图或列表法列举出所有等可能的结果，从中找出恰好是《三国演义》和《水浒传》的可能结果，再利用概率公式求出即可． 【详解】解：记《西游记》《三国演义》《红楼梦》《水浒传》分别为、、、，根据题意，画树状图如下： 由树状图可知：共有12种等可能的结果，其中抽取的两本恰好是《三国演义》和《水浒传》的结果有种， 抽取的两本恰好是《三国演义》和《水浒传》的概率是． 故答案为：． 17．(1)不可能 (2) 【分析】本题主要考查了事件的分类，利用树状图或者列表法进行求概率，解题的关键是熟练掌握以上定义和方法． （1）根据事件的分类进行判断即可； （2）利用列表法进行求解即可． 【详解】（1）解：∵小亮要从A，B两组箱子中各选一个箱子去获得线索 ∴小亮选中的箱子均来自B组是不可能事件． 故答案为：不可能； （2）解：将A组的3个箱子分别记为A₁，A₂，A₃(假设A₁中有线索)，B组的2个箱子分别记为B₁，B₂(假设B₁中有线索)，列表如下： A₁ A₂ A₃ B₁ (A₁，B₁) (A₂，B₁) (A₃，B₁) B₂ (A₁，B₂) (A₂，B₂) (A₃，B₂) 由表格可知，共有6种等可能的情况，其中小亮一条线索都没有得到的情况有2种，故所求概率为． 18．(1) (2) 【分析】本题考查概率的计算，具体涉及古典概型概率问题，掌握古典概型概率公式：“（是总结果数，是事件包含的结果数）”是解题关键． （1）需先确定获奖总人数以及女性获奖人数，再根据古典概型概率公式计算； （2）通过列表或画树状图的方法，列出所有选取一名学生和一名老师的可能结果，再找出“一男一女”的结果数，最后用概率公式计算即可． 【详解】（1）从获奖的7人中随机选取1人参加颁奖大会， 选中的人性别是女的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中选取的两人刚好是一男一女的结果有6种， 选取的两人刚好是一男一女的概率为． 19．不公平，理由见解析 【分析】本题考查树状图法求概率，利用概率解决游戏公平性问题，画出树状图，利用概率公式求出甲，乙两人获胜的概率，进行判断即可． 【详解】解：不公平，理由如下，画出树状图如下： 随机地一次摸取两张纸牌，共有12种情况，其中两次摸取纸牌上数字之和为奇数的情况有8种，两次摸取纸牌上数字之和为偶数的情况有4种， ∴甲胜的概率为，甲胜的概率为， ， ∴游戏不公平． 20．(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了求频率，画树状图求概率，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据频率等于频数除以总数，即可求解； （2）画出树状图或列表可知共有种情况，分别算出两个人获胜的概率，如果相等则说明游戏公平，不相等，说明不公平． 【详解】（1）解：小亮随机摸球次，其中次摸出的小球上的数字是， 故摸出的小球上的数字是的频率是． 故答案为：． （2）解：画树状图如下： 由上图可知共有种等可能的结果，其中小明获胜的结果数有种，小亮获胜的结果数有种， 故小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：， ∵， ∴这个游戏规则对两人不公平． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $