精品解析：广东省湛江市湛江第一中学　2025-2026学年上学期八年级数学12月月考试题

广东省湛江一中2025−2026学年度八年级（上） 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可． 【详解】点关于轴对称的点的坐标为（3，-2）， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键． 2. 人体中红细胞的直径约为，将数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将数用科学记数法表示为． 故选：C． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握其法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方，解答即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定，能熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：， ， ， ， 则需要添加的条件是， 故选：． 5. 若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，则a2﹣b2的值是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. 6 D. ﹣6 【答案】D 【解析】 【分析】由非负数的性质得出a-b=2，a+b=-3，求出a，b的值，再代入a2-b2进行计算即可． 【详解】∵（a-b-2）2+|a+b+3|=0， ∴a-b=2，a+b=-3， ∴a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-3）=-6； 故选D． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，由非负数的性质求a，b的值是解题的关键． 6. 已知的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A. B. C. ，， D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．可判断A、C选项；根据三角形内角和定理可判断B、D选项． 【详解】解：A.∵， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B.∵ 设，则，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； C.∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D.∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 7. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，等量关系式：绫布出售一尺共收入罗布出售一尺共收入文，据此列方程，即可求解；找出等量关系式是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 故选：B． 8. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 【答案】A 【解析】 【详解】分析:根据多边形内角和公式和正五边形每个内角都相等可得∠ABC=108°,再根据等腰三角形和三角形内角和公式可得∠BAC=36°. 详解:因为正五边形 ABCDE, 所以∠ABC=108°, 因为三角形ABC是等腰三角形, 所以∠BAC=36°, 故选A. 点睛:本题主要考查正五边形的性质和等腰三角形的性质,解决本题的关键是要熟练运用正五边形和等腰三角形的性质. 9. 如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，由角平分线的性质可以判断；证明可以判断；由同角的余角相等可以判断；由，根据全等三角形的性质可以判断；利用三角形面积和角平分线的性质可以判断；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分，， ∴，故正确； 由得， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； 由得：， ∴， ∴平分，故正确； 由， ∵， ∴， ∴，故正确， 综上正确，共个， 故选：A． 10. 已知，则的值是（ ） A. 4 B. 18 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了换元法，完全平方公式以及平方差公式，先整理得，再令，则，，解出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 令， ∴， 则， 即， ∴， ∴， 则， 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，共15分． 11. 若分式有意义，则字母x满足的条件是________． 【答案】x≠-1 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】由题意得，， 解得x≠-1， 故答案为：x≠-1． 【点睛】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键． 12. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式完成二次分解即可． 【详解】解：． 13. 如图，在中，，是的平分线，，垂足为E．若，，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据角平分线的性质求得，则可求出AD的长度 【详解】解：∵是的平分线，， ∴ 故答案为：3 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角两边距离相等，解题的关键是熟知性质及对应的模型． 14. 已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为____________． 【答案】且 【解析】 【分析】将原方程去分母得，整理得，再根据题意列得关于m的不等式，解不等式即可．本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 原方程的解为负数， 且， 解得：且， 故答案为：且 15. 在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路径问题，在上取点，使得，可知，得，可知，利用转化思想和线段的和差是解题的关键． 【详解】解：∵点是边的中点， ∴， 在上取点，使得， ∵的角平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2）已知：，，求：的值． 【答案】（1）2； （2）10． 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式变形求值． (1)先计算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，再加减计算； (2)根据完全平方公式变形求值即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ∵，， ∴． 17. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，先计算括号内的减法，再计算除法，结果化为最简分式．掌握相应的运算法则、公式和运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程转化为整式方程是解题的关键． 先对分母因式分解，找到最简公分母，将分式方程转化为整式方程，解出方程，最后检验是否为增根． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 化系数为得：， 检验：当时，最简公分母． 是原分式方程的解． 故答案为：． 19. 某图书馆计划选购甲、乙两种图书，已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的1.5倍，用900元单独购买甲图书比用900元单独购买乙图书要少30本． (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元? (2)如果该图书馆计划购买甲乙两种图书共80本，且用于购买图书的总经费不超过900元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲图书? 【答案】（1）甲图书每本价格为15元，乙图书每本价格为10元；（2）该图书馆最多可以购买20本甲图书． 【解析】 【分析】（1）设乙图书每本价格为x元，从而可得甲图书每本价格为元，再根据“用900元单独购买甲图书比用900元单独购买乙图书要少30本”建立分式方程，然后解方程即可得； （2）设购买甲图书的数量为a本，从而可得购买乙图书的数量为本，再根据“用于购买图书的总经费不超过900元”建立关于a的不等式，然后解不等式求出a的取值范围，最后根据a的整数性即可得． 【详解】（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：甲图书每本价格为15元，乙图书每本价格为10元； （2）设购买甲图书的数量为a本，则购买乙图书的数量为本， 由题意得：， 解得， 因为a为正整数， 所以该图书馆最多可以购买20本甲图书． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，依据题意，正确建立分式方程和不等式是解题关键． 20. （1）如图1，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后剩余部分刚好拼成一个长方形（图2），上述操作所能验证的公式是_______． （2）已知,，，求的值； （3）如图3，长方形由三个正方形，两个长方形组成（两个正方形X，和两个长方形Z分别全等）．若正方形X的边长为5，长方形Z的面积为12，求长方形的面积． 【答案】（1）；（2）（3）87 【解析】 【分析】（1）根据面积法可得； （2）根据已知条件求出的值，进而可得的值； （3）由“长方形Z的面积为12”可得 ，再根据正方形Y的边长可以表示为，也可以表示为，可得，进而可得．最后根据，展开之后，将，整体代入求值即可． 本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，掌握数形结合法，利用面积相等或边长相等得出和是解题的关键． 【详解】解：（1）图1中， 图2中， ∴上述操作所能验证的公式是， 故答案为：． （2）∵，， ， ， ， ． （3）∵长方形Z的面积为12， ， ∵正方形Y的边长， ， ． 21. 数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形．先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值； （3）当a，b为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 【答案】（1）； （2）时，多项式有最大值为20； （3），时，多项式有最小值为13． 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、非负数的性质、配方法等知识点，熟练掌握配方法、因式分解的方法是解本题的关键． （1）根据阅读材料，先将变形为，再根据完全平方公式写成，然后利用平方差公式分解即可解答； （2）利用分解因式将多项式转化为，然后利用非负数的性质即可解答； （3）利用分解因式将多项式转化为，然后利用非负数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ∵， ， ， ∵， ∴当时，多项式有最大值为20； 【小问3详解】 ， ， ， ， ， ∵， ∴当，时，多项式有最小值为13 22. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是 ． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 【答案】（1）B； （2）C； （3）证明：如图2，延长到，使，连接， 是中线， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力． （1）根据，，推出和全等即可； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可； （3）延长到，使，连接，根据证，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可． 【详解】（1）解：∵为边上的中线， ∴， 在和中 ， ， 故选B； （2）解：由（1）知：， ，， 在中，，由三角形三边关系定理得：， 即 ， 故选C； （3） 略 23. 综合与实践： 如图，在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形交轴于点，斜边交轴于点． 问题解决：（1）如图①，，点的坐标为，求点的坐标 变式探索：（2）如图②，若将沿着折叠，点恰好落在轴的点处，求证：点是的中点． 拓展与应用：（3）如图③，点在轴负半轴上且，分别以为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度． 【答案】（1） （2）证明: ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵将沿着折叠, ∴， ∴， ∴， ， 又 ，， ， ， ∴点是的中点； （3）的长度不变， 【解析】 【分析】（1）由“”可证, 可得，可求解； （2）由折叠的性质可得 ，由“”可证，可得，可得结论； （3）由“”可证，可得，由可证 ，可得 【详解】（1）如图， 过点作轴于点， ∵点的坐标为， ， ∵， ∴， 轴于点， ， ∴， ， ∴， ∴， 在和中, ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∴点的坐标为； （2）略 （3）的长度不会改变，理由如下： 过点作轴于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形的性质，全等三角形的判和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省湛江一中2025−2026学年度八年级（上） 数学 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 人体中红细胞的直径约为，将数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，若用 “”判定和全等，则需要添加的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，则a2﹣b2的值是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. 6 D. ﹣6 6. 已知的三条边分别为，，，下列条件不能判断是直角三角形的是（     ） A. B. C. ，， D. 7. 元代数学家朱世杰于1303年编著的《四元玉鉴》中有这样一道题目：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为现在有绫布和罗布，布长共3丈（1丈=10尺），已知绫布和罗布分别全部出售后均能收入896文，绫布和罗布各出售一尺共收入120文．问两种布每尺各多少钱？若设绫布有尺，则下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 用一条宽相等的足够长的纸条,打一个结,如下图1所示,然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形 ABCDE,则∠BAC的度数是（ ） A. 36° B. 30° C. 45° D. 40° 9. 如图，在中，，平分，于，有下列结论：；；；平分；，其中正确的有（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 10. 已知，则的值是（ ） A. 4 B. 18 C. 12 D. 16 二、填空题：本题共5小题，共15分． 11. 若分式有意义，则字母x满足的条件是________． 12. 因式分解：__________． 13. 如图，在中，，是的平分线，，垂足为E．若，，则的长为________． 14. 已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为____________． 15. 在中，，，，点E是边的中点，的角平分线交于点D．作直线，在直线上有一点P，连结、，则的最大值是___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1） （2）已知：，，求：的值． 17. 化简：． 18. 解方程：． 19. 某图书馆计划选购甲、乙两种图书，已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的1.5倍，用900元单独购买甲图书比用900元单独购买乙图书要少30本． (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元? (2)如果该图书馆计划购买甲乙两种图书共80本，且用于购买图书的总经费不超过900元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲图书? 20. （1）如图1，从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，然后剩余部分刚好拼成一个长方形（图2），上述操作所能验证的公式是_______． （2）已知,，，求的值； （3）如图3，长方形由三个正方形，两个长方形组成（两个正方形X，和两个长方形Z分别全等）．若正方形X的边长为5，长方形Z的面积为12，求长方形的面积． 21. 数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形．先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式； 例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料，利用配方法解决下列问题： （1）分解因式：； （2）当a为何值时，多项式有最值，并求出这个最值； （3）当a，b为何值时，多项式有最值，并求出这个最值． 22. 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1， 中，若 ，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使 ，请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A． B． C． D． （2）求得的取值范围是 ． A． B． C． D． 【感悟】 解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图2，是 的中线，交于E，交于F，且 ，求证： ． 23. 综合与实践： 如图，在平面直角坐标系中，点分别是轴、轴上的两个动点，以为直角边作等腰直角三角形交轴于点，斜边交轴于点． 问题解决：（1）如图①，，点的坐标为，求点的坐标 变式探索：（2）如图②，若将沿着折叠，点恰好落在轴的点处，求证：点是的中点． 拓展与应用：（3）如图③，点在轴负半轴上且，分别以为直角边在第二、一象限作等腰直角三角形和，且，连接交轴于点．当点在轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由．若不变化，请求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $