空间向量在立体几何中的三种考法 专项训练-2026届高三数学一轮复习

空间向量在立体几何中的三种考法 一、空间角的向量求法 1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O,且PO⊥平面ABCD, PO=2,F,G分别是PB,PD的中点，E是PA上一点，且AP=3AE. P E D ○ B A (I)求证：BD/亿平面EFG; (2)若∠DAB=2I ,求直线PA与平面EFG所成角的余弦值 2.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中点， PA=AB=2. B (I)求证：PB/平面AEC; (2)求平面PAC与平面AEC所成角的余弦值. 3.已知图1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE组成的一个平面图形，其中菱形边长为4，∠A=90° ,∠D=60°.将三角形ABE沿BE折起，使得平面A1BE⊥平面BCDE(如图2). A B 图1 图2 (1)求证：AC⊥CD: (2)求二面角B-A,C-D的正弦值. 4.如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD,AD⊥AB,AB=AP=2DC=4, PB=2AD=42,PD=26,MN分别是PD,PB的中点. D M (I)求证：直线MN∥平面ABCD: (2)求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值. 5.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD=V2AB,点M是 PD的中点. (1)证明：AM⊥PC: (2)设AC的中点为O,点N在棱PC上（异于点P,CC,且ON=OA,求直线AN与平面ACM所成角的正 弦值. 6.已知三棱台A,B,C,-ABC,AA上面ABC,4A,B,=AB=AC=4,c0s∠BAC=-子D是线段 A1A中点，且BD⊥DC. A1 C D A B (1)证明：BD⊥B1C: (2)请选择合适的基底向量，求直线BC与AA所成角的余弦值. 7.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC,AB1=B1C. A C B B (1)证明：AC⊥B,B: (2)若AB=BB1=2,AB1=6,∠ABC=120°，求二面角A-BB1-C的余弦值. 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,ABI∥CD,PA=AD=CD=1, AB=2,点M是PB的中点 D M B (I)证明：PB=2CM; (2)求直线DM与平面ACM所成的角的正弦值. 9.如图，平行六面体ABCD-AB,C1D,的体积为6，截面ACC1A的面积为6. D A B D C B (1)求点B到平面ACC1A,的距离； (2)若AB=AD=2,∠BAD=60°，AA1=6,求直线BD1与平面CC1D1D所成角的正弦值. 10.如图所示，在多面体ABCGFE中，底面BCFE为矩形，且AE⊥底面BCFE,AG∥ EF,AG=AE=BE=EF=2,BF0CE=O. A B (1)证明：AO∥平面GCF, (2)求平面ABO与平面GCF夹角的余弦值， I,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面4BCD是矩形，PA⊥平面BCD,PA=AD=AB=1,E,M 分别为线段AB,PC的中点，连接CE,延长CE并与DA的延长线交于点F,连接PE,PF p M B (1)求证：ME/(平面PFD. (2)求平面APE与平面PEF所成角的正弦值. 12.如图1，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CD⊥DE,CD=DE,如图2，将△ABE沿 BE折起，使得A至A1处，且AB⊥A,D. 图1 图2 (I)证明：DE⊥平面ABE: (2)求二面角C-A,E-D的余弦值. 13.如图，在斜三棱柱ABC-A1B,C,中，AA1=AB,AB1⊥A,C,AB,的中点为O,BC的中点为D ⊙ D (1)证明：OD∥平面ACC1A1: (2)若∠ACB=90°，AB1=B,C,AC=2BC=4,求平面ACC1A,与平面ABC所成角的大小. 14.如图，在底面为正方形的四棱台ABCD-A1B1C1D1中，已知AD=2,DD1=1,BD1=V7,A到 平面BDD,的距离为221 7 A 0 业1 B D C (1)求D1到平面ABCD的距离： ，求直线CC,与平面ABD,所成角的正弦值 2)若AA,=3 15.如图，多面体A1B1D1-ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB/iA1B1, AB=2A1B1=4,AD/iA1D1,AD=2A1D1,AA1⊥平面ABCD,A1C⊥AB1 D (1)求AA1: (2)求二面角D1-CA1-D的正弦值. 二、已知空间角求其他量 16.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D、E、N分别为棱PA、PC、BC的 中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2. E M A B (1)求证：MN/平面BDE: (2)己知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为 7 21 求线段AH的长. 17.己知正方体ABCD-A1B1C1D,点E为A1D1中点，直线BC交平面CDE于点F. D C ② M A B D B ()证明：点F为BC1的中点； (2)若点M为棱AB,上一点，且直线MF与平面CDE所成角的正弦值为65， AM 25,求A,B 的值 18.在三棱柱ABC-AB,C,中，平面AB,BA上平面ABC,侧面A,B,BA为菱形，∠ABB,=号 AB1⊥AC,AB=AC=2,E是AC的中点. A C B B (1)求证：A1B⊥平面AB,C ②y确定在线段A,E上是否存在一点P,使得P与平面A,B,E所成角为号若存在，求出E升的值：若不 EP 存，说明理由。 19.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD是矩形，PA=AD=4,点 M,N分别为棱PB,PD的中点，点E在棱AD上，AD=3AE. D M -:D B (I)求证：直线AM/元平面BNE: (2)从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立， ①平面PAB与平面PCD的交线1与直线BE所成角的余弦值为310。 10 ②二面角N-BE-D的余弦值为 V11 11 注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分 20.在底面ABCD为梯形的多面体中.ABCD,BC⊥CD,AB=2CD=2V2,∠CBD=45°，BC=AE= DE,且四边形BDEN为矩形. (I)求证：BD⊥AE: (2)线段EW上是否存在点Q,使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由.若存在， 确定点Q的位置并加以证明. 21.如图1所示，在四边形ABCD中，BC⊥CD,E为BC上一点，AE=BE=AD=2CD=2,CE=3, 将四边形AECD沿AE折起，使得BC=3,得到如图2所示的四棱锥. C E B D A 图1 图2 (I)若平面BCDn平面ABE=I,证明：CD∥I; V22、EF (2)点F是棱BE上一动点，且直线BD与平面ADF所成角的正弦值为 求 11 EB 22.如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A,B的点，PC⊥平面ABC,AC=V3,PC=2BC=2, E,F分别为PA,PC的中点，平面BEF与平面ABC的交线为BD,D在圆O上.空间向量在立体几何中的三种考法 一。 空间角的向量求法 题目1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O,且PO⊥平 面ABCD,PO=2,F,G分别是PB,PD的中点，E是PA上一点，且AP=3AE. D G A (I)求证：BD∥平面EFG; (2)若∠DAB= 2如，求直线PA与平面EFG所成角的余弦值. 3 【答案】(1)证明见解析 2晴 【分析】(1)通过证明BD∥GF即可证明结论： (2)以O为原点建立空间直角坐标系，由选择条件可得相应点坐标，可得向量PA坐标与平面 EFG法向量坐标，即可得线面夹角正弦值，从而可得答案， 【详解】(1)证明：G,F分别为PD,PB中点，.GF∥DB, 又BD□平面GEF,GFC平面GEF, .BD∥平面EFG: (2)底面ABCD是边长为2的菱形，所以AC⊥BD,又PO⊥平面ABCD,OA,OBC平面 ABCD. 所以PO⊥OA,PO⊥OB 如图所示，以O为原点，以OA,OB,OP所在直线为，必，z轴，建立空间直角坐标系， ◆Z G E B :∠DAB=答，底面ABCD光边长为2的菱形，0A=10OD=0B=5, 则A1,0.0.B0.3,0.D0,-3.0,P00.2,G0.-51,r0.51 2 PA=(1,0,-2),AF=(-1,0,2,O=（1,0,0), 又Ap=3AE,A0=子0,0呢=0A+号0=（号0号》， 3 号号，匹=-号9)6=（子-9》 设平面EFG的一个法向量为元=（如，y,z), 则 ∫元：录=-子+y+2=0jg=0 a:G=-号-9y+2=02=2 ,令x=1,所以元=(1,0,2， 设直线PA与平面EFG所成角为0.0∈(0引 PA元 -3 则sin0 三=3，故有cos0=V1-sin0= PA √555， 5 所以直线PA与平面EFG所成角的余弦值 5 题目2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中 点，PA=AB=2. B (1)求证：PB∥平面AEC; (2)求平面PAC与平面AFC所成角的余弦值 【答案】(1)证明见解析 (2)6 3 【分析】(1)建系，求平面AEC的法向量，利用空间向量证明线面平行： (2)求平面PAC的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,且AB,ADC平面ABCD,则PA⊥AB,PA⊥AD, 即AB,AD,AP两两互相垂直， 如图，以A为原点，以AB,AD,AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A一xyz, 则A(0,0,0),P0,0,2),B(2,0,0),C(2,2,0),E(0,1,1) 可得PB=(2,0,-2),AC=(2,2,0),AE=(0,1,1). 设平面AEC的法向量为元=(c,y,z), 则AC:元=2m+2刘=0，取2=1，可得y=-1,g=1, AE·元=y+z=0 所以平面AEC的一个法向量为元=(1，-1,1)， 2 可知PB.i=2×1+0-2×1=0,即PB⊥元， 又因为PB寸平面AEC,所以PB∥平面AEC, (2)由(1)可知：AC=(2,2,0),AP=(0,0,2), 设平面PAC的法向量为元=(a,b,c), 则C元=2a+2b=0,取a=1,可得b=1.c=0, AP.n=2c=0 则平面PAC的一个法向量为元=(1，-1,0)， 可得c08<元.市>-元元=1+1+0-6 杭·√3×√2 3 所以平面PAC与平面AEC所成角的余弦值为6 3 题目3]已知图1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE组成的一个平面图形，其中菱形边长为 4,∠A=90°，∠D=60°.将三角形ABE沿BE折起，使得平面ABE⊥平面BCDE(如图2). A E 图1 图2 (1)求证：AC⊥CD: (2)求二面角B-AC-D的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)v② 7 【分析】(1)取BE的中点O,连接AO,OC,则AO⊥BE,再结合已知面面垂直可得A1O⊥平面 BCDE,则A1O⊥CD,而OC⊥CD,再由线面垂直的判定可得CD⊥面AOC,从而可证得AC ⊥CD, (2)以OB,OC,OA1所在的直线分别为心轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解。 【详解】(1)证明：取BE的中点O,连接A1O,OC. AB=AE,∴.A1O⊥BE. 又.·平面A,BEL平面BCDE,且平面A1BE∩平面BCDE=BE,AOC平面ABE, .AO⊥平面BCDE. :CDC平面BCDE,AO⊥CD 在菱形BCDE中，∠D=60°，∴.△BCE为等边三角形， :BE的中点为O,∴.OC⊥BE, :BE∥CD,∴.OC⊥CD :AO∩OC=O,AO,OCc平面AOC, .CD⊥平面AOC,:ACC平面A1OC,.CD⊥AC. 3 (2)由(1)AO⊥平面BCDE,:OB,OCC平面BCDE,.A1O⊥OB,AO⊥OC :OC⊥BE .如图，以OB,OC,OA1所在的直线分别为D轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则 B(2,0,0),C(0,2√3,0)，D(-4,2√3,0)，A(0,0,2), ∴.A1C=(0,23,-2),BC=(-2,25,0),C元=(-4,0,0). ZA 设平面BAC的法向量为n=(,,z),则 A ∫元·A=2√3y-2z=0 元1·BC=-2x+2W3y= ,不坊设y=1,则元=(W5,1W3) E 设平面DAC的法向量为72=(a,b,c),则 元AC=23b-2c=0,令c=V3,则=(0.1,5)， 元2·CD=-4a=0 设二面角B-AC-D的大小为6，由图可知（为钝角， ∴.lcos0= 元·n 2W7 元.7 √3+1+3X√1+3 7 ,.'Sin= √21 7 ·二面角B-A,C-D的正弦值为√ 7 题目4如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD,AD⊥AB,AB=AP= 2DC=4,PB=2AD=42,PD=2W6,M,N分别是PD,PB的中点. (I)求证：直线N∥平面ABCD: (2)求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2)27 7 【分析】(1)由M,N分别是PD,PB的中点可得MN∥BD,进而可证直线MIN∥平面ABCD: (2)以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求平面MCN与平面ABCD得法向量，进而求出 cosAP,i,则平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值可得 【详解】(I)连接BD,:M,N分别是PD,PB的中，点。 ∴.MN∥BD 又：MN4平面ABCD,BDC平面ABCD .直线MN∥平面ABCD (2)AB=AP=2DC=4,PB=2AD=4V2,PD=2V6 .AB'+AP2=PB2,AD+AP2=PD .AB⊥AP,AD⊥AP .AB,AD,AP两两之间互相垂直 以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系 A(0,0,0),B(0,4,0),C（2W2,2,0),D(2√2,0,0)，P(0,0,4) 又：M,N分别是PD,PB的中点 ∴.M√2,0,2)，N(0,2,2 .C=(-√2，-2,2)，C=(-22,0,2),AP=(0,0,4】 设平面MCN的法向量为元=(，，z) C元=0可得 -√2x-2y+2z=0 CN=0 -2W2x+2z=0 解得= ”令x=2可得法向量元=(2，W2,2W2 (z=√2x ·AB⊥AP,AD⊥AP,AD∩AB=A ∴，AP⊥平面ABCD .AP为平面ABCD得法向量 cosAP,= APi8√2 2√7 A平 4×W14 7 令平面MCN与平面ABCD夹角为B且为锐角 ∴.cos0= ICOsAP.=2v7 7 ·.平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值为2 7 题目5如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD= √2AB,点M是PD的中点 D (1)证明：AM⊥PC: (2)设AC的中点为O,点N在棱PC上（异于点P,C),且ON=OA,求直线AN与平面ACM所 成角的正弦值 【答案】(1)证明见解析 a晋 【分析】(1)由等腰三角形的性质可得AM⊥PD,由面面垂直的性质可得CD⊥平面PAD,则CD ⊥AM,所以由线面垂直的判定可得AM⊥平面PCD,从而可得结论： (2)以AB,AD,AP所在直线分别为x,,z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可， 【详解】(1)证明：因为PA=AD,点M是PD的中点，所以AM⊥PD 5 因为PA⊥平面ABCD,PAC平面PAD,所以平面PAD⊥平面ABCD, 因为四边形ABCD为矩形，所以CD⊥AD, 因为平面PAD∩平面ABCD=AD,CDC平面ABCD, 所以CD⊥平面PAD,所以CD⊥AM, 因为PD∩CD=D,PD,CDC平面PCD, 所以AM⊥平面PCD, 因为PCC平面PCD,所以AM⊥PC (2)解：由题意可得AB,AD,AP两两垂直， 设AB=1,如图，以AB,AD,AP所在直线分别为x,,z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0),B(1,0,0),C1,√2,0)，D(0,√2,0)，P(0,0√2)， 因为点M是PD的中点，所以Ma号号) 所以=(0号号)a0=红20， 设平面ACM的法向量为元=(c,y,z),则 A元=9+号2=0 AC:元=x+√2y=0 令y=-1可得x=√2，z=1,所以平面ACM的一个法向量元= (W2,-1,1). PC=(1,√2，-√2)，设N(cw,w,zw),P=AP乙=(，√21，-√2A)(0<入<1)， 即(xw,,zw-√2)=(1，W2λ，-√2)，所以N(a,21,V2-√2A) 又o号20，oN=0A=9 2 所以(a-号+1-号+-2星 化简得52-71+2=0，解得1=2或1=1（舍去）。 5 所以AN=(22W23W2 5,5,5 设直线AN与平面ACM所成的角为6，则 元.A 3w2 sin= 5 15 杭·A 2+1+1×√房+务+爱 10 所以直线AW与平面ACM所成角的正弦值为V西 10 题目6已知三棱台A,B,C-ABC,AA⊥面ABC,4A,B=AB=AC=4,cOS∠BAC=-1,D 4 是线段A1A中点，且BD⊥DC 6 A C D B (1)证明：BD⊥BC: (2)请选择合适的基底向量，求直线BC与AA1所成角的余弦值 【答案】(1)证明见解析 a+ 【分析】(1)根据条件结合余弦定理先求出A1A的长度，然后再证明△BAD与△∠DAB相似，从 而可证明， (2)选取基底AB,AC,AA},分别表示出BC,求出模长和对应的数量积，由向量法可得出答案 【详解】(1)证明：连接B,D.设A1A=a,在△ABC中，由余弦定理得 BC=VP+-2x4x4x(1)=2W而， 又DB=D0=√年+16，因为RDLnC,,所以2号+16)=0，解得a=4 由子A8=2招，且∠BAD=∠D4B,所以△BAD一△DAA周 所以∠ADB=∠ABD,所以∠BDB=90°，即BD⊥BD, 又因为BD∩DC=D,所以BD⊥面BDC,又因为BCC面BDC,所以BD⊥BC (2)选取基底AB,AC,AA}, BC=BA+AA+AC=-1.AB+AC-AA, A C B BC2=(-·店+A0-网=1+16+16+2×(-士 ABAC=35 D BCAA=(-·A店+4AC-AA)AA=-16, 4 cosBC.AA=--16 =4w35 4W35 35 所以直线B,C与A4所成角的余弦值为35 35 题目7如图，在三棱柱ABC-ABC中，AB=BC,AB=BC B ⊙ (1)证明：AC⊥BB: (2)若AB=BB=2,AB=√6，∠ABC=120°，求二面角A-BB,-C的余弦值， 【答案】(1)证明见解析 2-是 【分析】(1)取AC的中点D,连接BD,BD,即可证明AC⊥平面BBD,从而得证： (2)证明BD⊥平面ABC,以D为坐标原点，分别以DB、DC、DB所在直线为x、少、z轴建立空 间直角坐标系，再由空间向量求解 【详解】(1)取AC的中点D,连接BD,BD, C :AB=BC,AB=BC,∴AC⊥BD,AC⊥BD, 又BD∩BD=D,BD,BDC平面BBD,∴.AC⊥平面BBD B 而BBC平面BBD, .AC⊥BB: (2)在△ABC中，AB=BC=2,∠ABC=120°， 可得BD=1AB=1,AC=2AD=23, 在△ABC中，AB=BC=√6，AC=2W5,可得BD=√6-3=√3 在△BBD中，BD=1,BD=√3，BB=2, 可得BD+BD=BB2,即BD⊥BD 由(1)知，AC⊥平面BBD,ACC平面ABC,所以平面ABC⊥平面BB,D, 又平面ABC∩平面BBD=BD,BDC平面BBD, ∴.BD⊥平面ABC,以D为坐标原点，分别以DB、DC、DB1所在直线为D、y、z轴建立空间直角 坐标系， 则B(1,0,0),A(0,-√3,0)，C(0√5,0)，B(0,0,3), BA=(-1,-√3,0)，BB1=(-1,0W3),BC=（-1,W5,0) 设平面ABB1与平面CBB1的一个法向量分别为元=(c,,),7=(,2,), 由元BV5=0,取=5，得=W,-1,, 元·BB=-m+√5z1=0 由元：8B =-十520，取=3，得元=(8,11 i·BC=-x2十√3y2=0 .c0s元，元 元元3-1+1_3 杭同5×5=5 由图可知，二面角A-BB-C的平面角为钝角， 8 “二面角A-BB-C的余弦位为-是 题目8如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB∥CD,PA=AD= CD=1,AB=2,点M是PB的中点 D A (1)证明：PB=2CM; (2)求直线DM与平面ACM所成的角的正弦值， 【答案】(1)证明见解析 (2)v6 9 【分析】(1)取AB中点F,证明得到四边形AFCD是正方形，进而得到BC⊥平面PAC,所以BC ⊥PC,根据直角三角形相关性质可得到PB=2CM: (2)先建立空间直角坐标系，结合线段长度写出坐标，求平面ACM的一个法向量，再结合线面角计 算公式求出答案 【详解】(1)取AB中点F,连接CF,则AF=CD=1, 又因为AF∥CD,所以四边形AFCD是平行四边形， 因为AD⊥CD,AD=CD,所以四边形AFCD是正方形， 所以AB⊥CF,即△ABC是等腰三角形，则AC=BC= W2, 所以AC2+BC2=4=AB,即AC⊥BC, 因为PA⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以PA⊥ BC, 又因为PA,ACC平面PAC,PA∩AC=A, 所以BC⊥平面PAC, 因为PCC平面PAC,所以BC⊥PC, 又因为点M是PB的中点，所以由直角三角形性质易得PB=2CM (2)因为PA⊥平面ABCD,AD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AD,PA⊥AB, 又因为四边形AFCD是正方形，所以AD⊥AB. 如图，以AD,AB,A为正交基底建立空间直角坐标系A一心2， 则A00.0.C1.10.D1,0.0).0,1号》 所以D=(-1.12)AC=(1,1.0).A=(0.1.号)， 设平面ACM的一个法向量为元=(x,,z) M 01-- 9 设直线DM与平面AC1所成的角为0,0≤0≤5， 元D7 所以sin0= cosn,DM 1 V6 成D √6×√ 9 所以直线DM与平面ACM所成的角的正弦值为 9 题目9如图，平行六面体ABCD-ABCD1的体积为6，截面ACCA1的面积为6. D D B (1)求点B到平面ACCA1的距离； (2)若AB=AD=2,∠BAD=60°，AA1=√6，求直线BD,与平面CC1DD所成角的正弦值. 【答案】(1)1 (2)V6 5 【分析】(1)应用等体积法求出点到平面距离： (2)空间向量法求线面角的正弦值即可 【详解】(1)在平行六面体ABCD-AB,CD中，ABC-AB,C是三棱柱， VB-ACCA 2VABC-ABC3 3 VABOD-ABCD=2, 设点B到平面ACCA的距离为d,则VB-ACCA= 3SxccA'd=1 ×6d=2,所以d=1, 即点B到平面ACCA的距离为1. (2)在□ABCD中，AB=AD=2,∠BAD=60°，所以ABCD是菱形，连接BD交AC于O,则BO =1, 由(1)知点B到平面ACCA1的距离为1，所以BO⊥平面ACCA1: 设点A在直线AC上射影为点H,SDACCA=AC·AH=2W5AH=6, 则AH=V3,且B0⊥AH,AH=√AA-AH=√/√62-W32=√3 所以O和H重合，即AO⊥AO. 以O为坐标原，点，OA,OB,OA分别为c轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则B(0,1,0),A(√5,0,0)，D(0,-1,0),A(0,0,√3)， 根据AA=DD=(-√，0，√3，AB=DC=(-5,1,0),则D(-√5，-1，√3)， BD=（-√5，-2，√3)，设平面CCDD的一法向量为元=(，，z), DD:元=-3x十z=0,取0=1，则元=(1，W3,1 则 DC,i=-√3x+y=0 设直线BD,与平面CCD,D所成角为a,则sina=cosBD, BD·元 -√5-2W5+√5 BD √10×√5 10 空间向量在立体几何中的三种考法 一、空间角的向量求法 1．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，且平面，，，分别是，的中点，是上一点，且.    (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）通过证明即可证明结论； （2）以为原点建立空间直角坐标系，由选择条件可得相应点坐标，可得向量坐标与平面法向量坐标，即可得线面夹角正弦值，从而可得答案． 【详解】（1）证明：，分别为，中点，， 又平面，平面， 平面； （2）底面是边长为2的菱形，所以，又平面，平面， 所以， 如图所示，以为原点，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，    ，底面是边长为2的菱形， ， 则，，． ， 又， ， ， ，， 设平面的一个法向量为， 则，令，所以， 设直线与平面所成角为． 则，故有， 所以直线与平面所成角的余弦值. 2．如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面ABCD，E为PD的中点，.    (1)求证：PB平面AEC； (2)求平面PAC与平面AEC所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建系，求平面AEC的法向量，利用空间向量证明线面平行； （2）求平面PAC的法向量，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）因为平面ABCD，且平面ABCD，则， 即AB，AD，AP两两互相垂直， 如图，以A为原点，以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得，，. 设平面AEC的法向量为， 则，取，可得， 所以平面AEC的一个法向量为， 可知，即， 又因为平面AEC，所以PB//平面AEC，    （2）由（1）可知：， 设平面PAC的法向量为， 则，取，可得， 则平面PAC的一个法向量为， 可得， 所以平面PAC与平面AEC所成角的余弦值为. 3．已知图1是由等腰直角三角形和菱形组成的一个平面图形，其中菱形边长为4，，．将三角形沿折起，使得平面平面（如图2）．    (1)求证：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，则，再结合已知面面垂直可得平面，则，而，再由线面垂直的判定可得面，从而可证得， （2）以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，． ∵，∴． 又∵平面平面，且平面平面，平面， ∴平面． ∵平面，∴． ∵在菱形中，， ∴为等边三角形， ∵的中点为，∴， ∵∥，∴ ∵，平面， ∴平面，∵平面，∴． （2）由（1）平面，∵平面，∴， ∵， ∴如图,以，，所在的直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则 ， ∴，，． 设平面的法向量为，则 ，不妨设，则． 设平面的法向量为，则 ，令，则， 设二面角的大小为，由图可知为钝角， ∴，∴． ∴二面角的正弦值为．    4．如图，四棱锥中，四边形为梯形，∥，，，，，M，N分别是PD，PB的中点．      (1)求证：直线∥平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由M，N分别是PD，PB的中点可得∥，进而可证直线∥平面； （2）以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，求平面与平面得法向量，进而求出，则平面与平面夹角的余弦值可得. 【详解】（1）连接BD，M，N分别是PD，PB的中点． ∥ 又 平面， 平面 直线∥平面 （2） ，， , , 两两之间互相垂直 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系        ,,,, 又M，N分别是PD，PB的中点． ， ,， 设平面的法向量为 可得 解得令可得法向量 ,， 平面 为平面得法向量 令平面与平面夹角为且为锐角 平面与平面夹角的余弦值为. 5．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，点是的中点.    (1)证明：； (2)设的中点为，点在棱上（异于点，，且，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，由面面垂直的性质可得平面，则，所以由线面垂直的判定可得平面，从而可得结论； （2）以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：因为，点是的中点，所以. 因为平面平面，所以平面平面， 因为四边形为矩形，所以， 因为平面平面，平面， 所以平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以. （2）解：由题意可得两两垂直， 设，如图，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，    因为点是的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令可得，所以平面的一个法向量. ，设， 即，所以. 又， 所以， 化简得，解得或（舍去）. 所以， 设直线与平面所成的角为，则 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 6．已知三棱台，面，，，D是线段中点，且.    (1)证明：； (2)请选择合适的基底向量，求直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据条件结合余弦定理先求出的长度，然后再证明与相似，从而可证明. （2）选取基底，分别表示出，求出模长和对应的数量积，由向量法可得出答案. 【详解】（1）证明：连接. 设，在中，由余弦定理得 ， 又，因为，所以，解得， 由于，且，所以， 所以，所以，即， 又因为，所以面，又因为面，所以.    （2）选取基底， ， ， ， ， 所以直线与所成角的余弦值为. 7．如图，在三棱柱中，，．    (1)证明：； (2)若，，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明平面，从而得证； （2）证明平面，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，再由空间向量求解． 【详解】（1）取的中点，连接，， ，，，， 又，平面，平面， 而平面， ；    （2）在中，，， 可得，， 在中，，，可得， 在中，，，， 可得，即， 由（1）知，平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，平面， 平面，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 设平面与平面的一个法向量分别为，， 由，取，得， 由，取，得． ． 由图可知，二面角的平面角为钝角， 二面角的余弦值为． 8．如图，在四棱锥中，平面，，，，，点是的中点.    (1)证明：； (2)求直线与平面所成的角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，证明得到四边形是正方形，进而得到平面，所以，根据直角三角形相关性质可得到； （2）先建立空间直角坐标系，结合线段长度写出坐标，求平面的一个法向量，再结合线面角计算公式求出答案. 【详解】（1）取中点，连接，则，    又因为，所以四边形是平行四边形， 因为，，所以四边形是正方形， 所以，即是等腰三角形，则， 所以，即， 因为平面，平面，所以， 又因为平面，， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为点是的中点，所以由直角三角形性质易得 （2）因为平面，平面，所以，， 又因为四边形是正方形，所以， 如图，以为正交基底建立空间直角坐标系，    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设直线与平面所成的角为， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为. 9．如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．    (1)求点到平面的距离； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）应用等体积法求出点到平面距离； （2）空间向量法求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）在平行六面体中，是三棱柱， ， 设点到平面的距离为，则，所以， 即点到平面的距离为1． （2）在中，，所以是菱形，连接交于，则， 由（1）知点到平面的距离为1，所以平面． 设点在直线上射影为点， 则，且， 所以和重合，即． 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 根据，则， ，设平面的一法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角正弦值为．    10．如图所示，在多面体中，底面为矩形，且底面∥.    (1)证明：∥平面. (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取线段的中点，连接，则利用三角形中位线定理结合已知条件可得四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题意可得，所以以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解即可. 【详解】（1）证明：取线段的中点，连接， 因为四边形是矩形，且， 所以且 因为且且， 所以且， 所以且 所以四边形是平行四边形，则， 因为平面平面，所以平面 （2）因为底面平面，所以， 因为 所以以为坐标原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，. 设平面的法向量为，则 ，令，则， 故平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 由，取，则， 故平面的一个法向量， 则. 设平面与平面的夹角为，则. 11．如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，，E，M分别为线段AB，PC的中点，连接CE，延长CE并与DA的延长线交于点F，连接PE，PF.    (1)求证：平面PFD. (2)求平面APE与平面PEF所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) . 【分析】（1）要证平面PFD，只需证明即可； （2）建立空间直角坐标系，用向量法求解即可. 【详解】（1）∵，且， ∴为的中位线， ∴ME为的中位线，∴. 又∵平面PFD，平面PFD，∴平面PFD. （2）以A为坐标原点，分别以，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则由已知可得，，， ∵x轴⊥平面PEA，∴设平面PEA的一个法向量为，平面PEF的法向量为，∵，， ∴，令，得，，∴， ∴，∴平面APE与平面PEF所成角的正弦值为 .    12．如图1，在五边形中，四边形为正方形，，，如图2，将沿折起，使得A至处，且．    (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知易得，即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，用坐标公式法求解即可． 【详解】（1）由题意得，，， 因为，则， 又，面，所以面， 又面，则， 又，，平面，平面， 所以平面． （2）取的中点，可知， 由，且可得， 所以四边形是平行四边形，所以，则平面， 设，以点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 设平面的一个法向量为， 则，即，取，则， 所以， 由图可知，二面角为锐角， 所以面角的余弦值为 ． 13．如图，在斜三棱柱中，，，的中点为，的中点为.    (1)证明：OD∥平面； (2)若，，，求平面与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）连接，则为的中点，然后由三角形中位定理可得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得平面，所以以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）连接，因为四边形为平行四边形， 所以为的中点， 因为为的中点， 所以∥， 又平面，平面， 所以∥平面.    （2）因为，又，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以， 又，，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 取的中点， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，， 建立如图所示空间直角坐标系，，    由得，则， 设平面的法向量为， 则， 令，所以 ， 因为平面，所以可取平面的法向量为. 设平面与平面所成角为，由图可知为锐角， 则， 故平面与平面所成角为. 14．如图，在底面为正方形的四棱台中，已知，，，A到平面的距离为.    (1)求到平面的距离； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判定BD1⊥DD1，再根据等体积法计算即可； （2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量求线面角即可. 【详解】（1）在正方形中，，则， 在中，由条件可知，即， 所以， 因为A到平面的距离为，所以， 因为，记到平面的距离为， 所以由，得， 即到平面的距离为； （2）在四棱台中，∥平面， 则到平面的距离即为到平面的距离， 假设不垂直于平面，则，与矛盾， 所以平面， 又因为平面 平面，所以平面， 由平面， 所以在直角梯形中，如图所示，过D1作D1M⊥AD于M点，    则， 以A为原点，方向为轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，    则 ，， 设是平面的一个法向量， 由，取，则，所以， 设直线与平面所成角为，则. 15．如图，多面体中，四边形是菱形，，，，，，平面，.    (1)求； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）取的中点，连接，由已知可得出.进而根据线面垂直的判定定理、性质定理，可得出四边形是正方形.即可得出答案； （2）取的中点，连接.先证明两两相互垂直.以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面与平面的法向量，根据向量法求出夹角的余弦值，进而即可得出答案. 【详解】（1）（1）取的中点，连接.    在菱形中，，， 所以是正三角形. 又是的中点，所以. 平面，平面， . ，平面， 平面. 平面，. ，，平面，平面， 平面. 平面，. ，，， 四边形是正方形. ，. （2）取的中点，连接.    由（1）知，是正三角形. 又为的中点，所以，，且. 因为平面， 所以两两相互垂直. 如图2，以A为坐标原点，，，的方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，即，令，则. 设平面的法向量为， 则，即，令，则. 所以，， 所以，二面角的正弦值为. 二、已知空间角求其他量 16．如图，在三棱锥中，底面，.点、、分别为棱、、的中点，是线段的中点，，.    (1)求证：平面； (2)已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）以点为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可证得平面； （2）设，则，利用空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得出结论. 【详解】（1）证明：因为底面，， 如图，以点为原点，以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、、、， ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得， 又因为，则，所以，， 又因为平面，所以，平面. （2）解：依题意，设，则， 所以，，， 由已知，得， 整理可得，解得或， 所以，线段的长为或. 17．已知正方体，点为中点，直线交平面于点.    (1)证明：点为的中点； (2)若点为棱上一点，且直线与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析. (2). 【详解】（1）在正方体中，，又平面，且平面， 则平面，而交平面于点，即平面， 又平面，有平面，因此平面平面， 于是，而为中点， 所以为的中点. （2）以为坐标原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，    不妨设正方体的棱长为3，设， 则, 从而， 设平面的一个法向量为，则 ,即,不妨取,则,即， 设直线与平面所成角为， 又直线与平面所成角的正弦值为， 因此，解得， 所以. 18．在三棱柱中，平面平面，侧面为菱形，，，，E是AC的中点.    (1)求证：平面 (2)确定在线段上是否存在一点P，使得AP与平面所成角为，若存在，求出的值;若不存，说明理由. 【答案】(1)证明见解析； (2)存在，或0. 【详解】（1）因为侧面为菱形，，则是等边三角形，取中点O，连接，于是有， 又平面⊥平面，且平面，平面∩平面，于是⊥平面， 又平面，即有， 又，且，因此平面，而平面，则， 由四边形为菱形，得，又平面，， 所以平面. （2）由（1）可知，，平面，且平面，有，    取中点D，连结，有，， 以O为原点，为空间正交基底建立直角坐标系， 则，， 设平面的一个法向量为，则，令z=1，得， 令，则，， 依题意，， 整理得，，解得或， 所以存在满足条件的点P，的值或0. 19．如图，在四棱锥中，侧棱平面ABCD，底面四边形ABCD是矩形，，点M，N分别为棱PB，PD的中点，点E在棱AD上，.    (1)求证：直线平面BNE； (2)从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立. ①平面PAB与平面PCD的交线l与直线BE所成角的余弦值为； ②二面角的余弦值为. 注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）由线面平行的判定定理即可证明； （2）若选①作为已知条件，由线面平行的性质定理可证得，l与直线BE所成角即为，由题意可得，建立如图所示的空间直角坐标系，由二面角公式代入即可证得；若选②为已知条件：建立如图所示的空间直角坐标系，设，由二面角公式代入求出，由线面平行的性质定理可证得，l与直线BE所成角即为，求解即可证明. 【详解】（1）如图，连接MD，交BN于点F，连接EF， 因为M，N分别为棱PB，PD的中点， 所以F为的重心，则， 又在中，，所以， 又因为平面BNE，平面BNE， 所以平面BNE.    （2）若选①作为已知条件： 在矩形ABCD中，，平面PCD， 平面PCD，所以平面PCD. 又平面PAB，平面平面，所以. 所以l与直线BE所成角即为. 在直角三角形ABE中，，， 所以由可得， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，所以，. 设平面BNE的法向量为， 则，取，可得. 又为平面BDE的一个法向量， 所以. 由图可知，二面角的余弦值为. 若选②为已知条件： 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，设，则，，， 则，. 设平面BNE的法向量为， 则，取，可得. 又为平面BDE的一个法向量，且二面角的余弦值为， 所以，解得. 在矩形ABCD中，，平面PCD，平面PCD，所以平面PCD. 又平面PAB，平面平面，所以. 所以l与直线BE所成角即为. 在直角三角形ABE中，，，，可得， 所以平面PAB与平面PCD的交线l与直线BE所成角的余弦值为. 20．在底面ABCD为梯形的多面体中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．    (1)求证：BD⊥AE； (2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)点Q为线段EN的中点或在线段EN上距离点E的处，证明见解析 【分析】（1）根据已知条件及勾股定理和逆定理，利用矩形的性质及线面垂直的的判定定理，结合线面垂直的性质定理即可求解； （2）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的共线定理，求出点的坐标，分别求出直线BE的方向向量和平面QAD的法向量，再利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解. 【详解】（1）由题意知，，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE， 故有，易得，BD＝2，， 在△ABD中，∵，∴BD⊥AD． 因为四边形BDEN为矩形，则BD⊥DE， 又，平面ADE，平面ADE， 故BD⊥平面ADE． 因为平面ADE， 所以BD⊥AE． （2）存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°，此时点Q为线段EN的中点或在线段EN上距离点E的处． 证明如下：以点D为坐标原点，建立的空间直角坐标系，如图所示，    则，，，， 所以，， 设，其中，解得， 故， 设平面QAD的法向量为， 则 即令y＝1，则，z＝－2λ， 故， 因为直线BE与平面QAD所成的角为60°， 所以，解得或， 故存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°，此时点Q为线段EN的中点或在线段EN上距离点E的处． 21．如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．      (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）先证明，根据线线平行判定定理平面，再由线面平行性质定理证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，设点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的法向量公式计算即可求解. 【详解】（1）在图1中，因为，，， 所以，，又， 所以， 因为，， 所以，故，    在图2中，因为，平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面 平面，所以； （2）由（1）知，，， ，平面，平面, 所以平面， 又平面，所以平面 平面， 故以为坐标原点，分别为轴， 在平面内过点作的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， 因为，平面AEB平面BCE，且， 所以点在平面的射影为中点，故，， 设，则，，， 设平面的法向量为， 则，即， 不妨令，则，， 所以为平面的一个法向量． 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 整理得，解得或（舍）， 所以为中点，所以. 22．如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，平面，，，，分别为，的中点，平面与平面的交线为，在圆上.    (1)在图中作出交线（说明画法，不必证明），并求三棱锥的体积； (2)若点满足，且与平面所成角的正弦值为，求的值. 【答案】(1)答案见解析， (2)或 【分析】（1）由线线平行即可找到直线，由等体积法即可求解体积， （2）建立空间直角坐标系，利用向量夹角即可求解线面角，进而可求解. 【详解】（1）过点作交圆于点，（ ，分别为，的中点，所以,又，所以,故为平面与平面的交线） 因为是圆的直径，所以，， 所以，所以四边形为矩形， 因为，，所以， 因为平面，为的中点， 所以点到平面的距离为， 所以 （2）以为坐标原点，分别以，，的方向作为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，， 所以，，， ， 设平面的法向量为，则 即，不妨取，得 因为与平面所成角的正弦值为， 所以 所以，所以或 23．如图，已知直角梯形与，，，，AD⊥AB，，G是线段上一点. (1)平面⊥平面ABF (2)若平面⊥平面，设平面与平面所成角为，是否存在点G，使得，若存在确定G点位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点G为BF中点 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证AD⊥平面ABF，再由面面垂直的判定证结论； （2）由题设构建空间直角坐标系，求出平面与平面法向量，结合已知夹角的余弦值求参数，进而确定点的存在性. 【详解】（1）因为，，，AF、AB平面ABF， 所以AD⊥平面ABF，又AD平面ABCD， 所以平面⊥平面ABF. （2）由面⊥面，，面面，面， 所以平面，AB在面ABCD内，则，结合已知建立如下空间直角坐标系， 则，设，得， 平面的法向量为，又， 设平面的法向量为，则， 取，则， 故=，解得=，（舍）， 所以点G的坐标为，故存在点G为BF中点时使得. 24．如图，在正方体中，E是棱上的点（点E与点C，不重合）．    (1)在图中作出平面与平面ABCD的交线，并说明理由； (2)若正方体的棱长为1，平面与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为，求线段CE的长． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）分别延长，交于点，连接.根据点线面的位置关系基本事实，可判定平面，平面，即可得出说明； （2）设，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面与平面ABCD的法向量，根据已知得出关于的方程，求解即可得出答案. 【详解】（1）   如图1，分别延长，交于点，连接，则即为所求交线. 因为，平面，平面， 所以，平面，平面. 又平面，平面， 所以平面，平面， 所以，平面平面. （2）   如图2，以点为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，. 则，，，， 所以，，，. 根据正方体的性质可知，平面， 所以即为平面的一个法向量. 设是平面的一个法向量， 所以，，即， 令，则，， 所以，是平面的一个法向量. 由已知可得，， 即，即， 整理可得，，解得或（舍去）， 所以，，即. 25．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面是边长为的正三角形，平面平面，．    (1)求证：平行四边形为矩形； (2)若为侧棱的中点，且平面与平面所成角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，由正三角形、面面垂直的性质易得面，再由线面垂直的性质及判定证，即可得结论； （2）构建空间直角坐标系，设并求面、面的法向量，结合面面角的余弦值求参数，应用向量法求点面距. 【详解】（1）取中点，连接，为正三角形，则， 面面，面面，面，则面，    面，故，又，面，， 所以面，面，故，则平行四边形为矩形. （2）如下图，以为原点，为轴，为轴建立坐标系，设， 则，，，，， 所以，，    设面的法向量为，则，令，则， 设面的法向量为，则，令，则， 由，解得， 则面的法向量为，， 点到平面的距离. 26．如图，菱形的边长为，，将沿向上翻折，得到如图所示得三棱锥.    (1)证明：； (2)若，在线段上是否存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，或 【分析】（1）取中点，利用等腰三角形三线合一性质，结合线面垂直的判定可得平面，由线面垂直性质可证得结论； （2）利用余弦定理可求得，作，以为坐标原点建立空间直角坐标系，设，由面面角的向量求法可构造方程求得的值，由此可得结果. 【详解】（1）取中点，连接，    四边形为菱形，，，，， ，平面，平面， 平面，. （2），， ，解得：； ，，； 在平面中，作，交于点， 则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，    假设在线段上存在点，使得平面与平面所成角的余弦值为， ，，， 又，，， ，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ，解得：， 当时，；当时，； 当或时，平面与平面所成角的余弦值为. 27．如图，在四棱锥中，，，，.    (1)证明：平面平面； (2)已知，，.若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，然后利用夹角余弦值建立方程求解即可. 【详解】（1）如图，取的中点分别为，连接BE，AF，EF，CF， 所以，且， 又，，所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为，，所以， 因为，，所以， 又，所以， 所以，即. 又，，平面， 所以平面，所以平面. 又平面，所以平面平面.    （2）由（1）知，平面，因为，平面， 所以，，所以. 在Rt中，，， 则，则. 因为，，所以， 所以，，两两垂直， 以为坐标原点，向量，，的方向分别为轴的正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， ，，. 由，， 得. 设平面的法向量为，则，即， 取，则，得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，即， 取，则，，所以， 设平面与平面的夹角为， 则 ， 解得，故的值为. 28．已知在直三棱柱中，其中为的中点，点是上靠近的四等分点，与底面所成角的余弦值为．    (1)求证：平面平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，若存在，确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点是线段上靠近的三等分点 【分析】（1）根据与底面所成角的余弦值为，推出是边长为的等边三角形，取的中点，的中点，连，再以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系：利用两个平面的法向量垂直可证两个平面垂直； （2）根据二面角的向量公式可求出结果. 【详解】（1）取的中点，连，因为为的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为与底面所成角的余弦值为，所以与底面所成角的余弦值为， 因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，所以是与底面所成角，所以，所以，所以， 又，所以是边长为的等边三角形， 取的中点，的中点，连，则，，平面， 以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 则，得，令，得，， ，令，得，，， 因为，所以， 所以平面平面. （2）设 ，则 ， 设平面的一个法向量为， 则， 若，则有，则，取，则， 此时 ，不合题意； 所以，令，得，， 则， 所以 ， 整理得，解得. 所以在线段上存在一点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，点是线段上靠近的三等分点.    29．直三棱柱中，，为的中点，点在上，.    (1)证明：平面； (2)若二面角大小为，求以为顶点的四面体体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据直棱柱的性质得到平面，即可得到，从而证明平面，则，再由，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法得到方程，求出，再根据锥体的体积公式计算可得. 【详解】（1）∵三棱柱为直三棱柱，∴平面，平面， ∴. 又，，平面， ∴平面，平面， ∴，又平面，平面，∴， ，平面， ∴平面. （2）因为，为的中点，，所以，    ∴为正三角形，如图建立空间坐标系，由（1）易知平面的一个法向量， 设，∵，， 设平面的法向量为， 则，即，取， 由，解得或（舍去）， ∵，点到平面距离为， ∴以为顶点的四面体体积为. 30．如图1，在中，为的中点，为上一点，且.将沿翻折到的位置，如图2.    (1)当时，证明：平面平面； (2)已知二面角的大小为，棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，点为中点 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面，再由面面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】（1）由已知，有，且， 平面，所以平面， 因为平面，所以. 在Rt中，， 所以. 因为，所以. 且，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）由（1）， 所以为二面角的平面角，， 因为为的中点， 所以，， ，，， 如图，以为坐标原点，分别以为轴､轴正方向建立空间直角坐标系.    则. 设， 则,. 设平面的一个法向量， 由，得， 令，则，所以. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得或（舍）. 因此，当点为中点时，直线与平面所成角的正弦值为. 三、空间距离的向量求法 31．如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，从下列三个条件中任选一个作为已知条件，并解答问题（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）. ①与平面所成角相等；②三棱锥体积为；③    (1)平面平面； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）若选①，则作面，证明和重合从而得到面，从而得到面面垂直；若选②，计算得到到面的距离，得到面，从而得到面面垂直；若选③，通过余弦定理计算得到，再通过面，从而得到面面垂直； （2）通过建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，结合二面角计算公式计算即可； （3）通过点面距离的计算公式直接计算即可. 【详解】（1）选①，连接，作面，垂足为.    与平面所成角相等， ， 在的中垂线上， 在平面内，, 和重合， 面， 又面， 面面 若选②，设到面的距离为， ，得， 即为到面的距离，即面， 又面， 面面. 若选③，由余弦定理得，， ，又面 面， 又面 面面 （2）因为面，面， 所以， 取中点，则， 所以，又因为， 所以建立如下图所示空间直角坐标系，    ， ， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，则， ， ， 由图可知二面角是钝角， 所以二面角的大小为. （3）， 平面的一个法向量为， 点到平面的距离. 32．如图所示，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，平面，，是棱上的动点.      (1)当是棱的中点时，求证：平面； (2)若，，求点到平面距离的范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面平行的性质推导出，取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）取的中点，连接，证明出平面，，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可求得点到平面距离的范围. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，且平面平面，所以. 取的中点，连接、， 因为是棱的中点，所以，且， 因为且，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面，所以平面. （2）解：取的中点，连接. 因为是正三角形，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以，平面， 因为，，为的中点，所以，且， 所以，四边形为平行四边形，则， 因为，则， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、，所以， 设，其中， 则， 设平面的法向量， 所以， 令，得， 设点到平面距离为，. 当时，； 当时，，则， 当且仅当时等号成立. 综上，点到平面距离的取值范围是. 33．在如图所示的圆锥中，已知为圆锥的顶点，为底面的圆心，其母线长为6，边长为的等边内接于圆锥底面，且.      (1)证明：平面平面； (2)若为中点，射线与底面圆周交于点，当二面角的余弦值为时，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证BC⊥DO，BC⊥AO，可得BC⊥面DAO，即由线线垂直得线面垂直得两面垂直； （2）建立合适的空间直角坐标系，含参表示相关向量，利用空间向量求二面角得出，再根据空间向量求点面距离即可. 【详解】（1）因为为圆锥的顶点，为底面的圆心，所以面. 又因为面，所以，即. 因为为外接圆圆心，且为正三角形，所以. 又因为且，面，所以面， 因为面，所以面面. （2）作交于，取中点为. 因为，，所以. 因为面，，面，所以，. 如图，以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系. 因为，，所以，， 所以，，，，. 由，得，，， ，. 设面的法向量为，则， 取，则，，所以. 设面的法向量为，则, 取，则，，所以. 由，且， 解得，所以，. 又因为，所以， 所以到面的距离.    34．在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．    (1)若为AB的中点，求证：直线平面； (2)若点在棱上且，求点C到平面的距离． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明； （2）根据题意可证平面，平面，建系，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】（1）连接，设，由题意可得为的中点，连接， 因为分别为的中点，则//， 平面，平面， 所以直线平面.    （2）由题意可得：，，平面， 所以平面， 取的中点，连接， 因为△ABC是正三角形，则， 又因为平面，平面，则， ，平面， 所以平面， 如图，以为坐标原点，为轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，即， 所以点C到平面的距离.    35．如图，该几何体是由等高的半个圆柱和个圆柱拼接而成，点为弧的中点，且，，，四点共面.    (1)证明：平面平面； (2)若平面与平面所成二面角的余弦值为，且线段长度为2，求点到直线的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过作，交底面弧于，连接，有为平行四边形，根据题设可得，即，再由线面垂直的性质可得 ，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论. （2）构建如下图示空间直角坐标系，令半圆柱半径为，高为，确定相关点坐标，进而求平面、平面的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得，即可求出点到直线的距离. 【详解】（1）过作，交底面弧于，连接，易知：为平行四边形， 所以，又为弧的中点，则是弧的中点， 所以，而由题设知：，则， 所以，即，由底面，平面，则，又，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面. （2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系， 令半圆柱半径为，高为，则，，，， 所以，，，， 若是面的一个法向量，则，令，则， 若是面的一个法向量，则，令，则， 所以， 整理可得，则，又， 由题设可知，此时点，，， 则，， 所以点到直线的距离.   . 36．如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，O为BD的中点.    (1)证明：. (2)若是等腰直角三角形，，，点E在棱AD上（与A，D不重合），若二面角的大小为，求点D到面BCE的距离. 【答案】(1)证明见解析. (2)1. 【分析】（1）根据给定条件证明，再根据面面垂直性质定理及线面垂直性质定理推理出结论； （2）建立空间直角坐标系，利用给定二面角确定E点坐标，在借助空间向量求出点到平面距离. 【详解】（1）证明：因为，O为BD的中点， 所以， 又因为平面平面BCD，平面平面，平面ABD， 所以平面BCD． 又因为平面BCD， 所以. （2）设BC的中点为F，则，又因为，所以. 以O为坐标原点，以OF，OD，OA所在直线为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.    因为是等腰直角三角形，，，所以， 又因为，O为BD的中点，根据直角三角形性质可得，， 则，，，，， 设，则. 由题意可知是平面BCD的一个法向量，， 设平面BCE的一个法向量为，，， 则有，即，令，则，， 则平面BCE的一个法向量为. 根据二面角的大小为可得，， 解得，即，又因为， 所以点D到平面BCE的距离. 37．斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.    (1)在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)存在， (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，假设在棱（含端点）存在一点使，利用，结合向量垂直的坐标表示即可求得答案. （2）求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）因为点在下底面的投影为的中点，故平面， 连接，由题意为正三角形，故, 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：    则，， 设，可得， ， 假设在棱（含端点）上存在一点使， 则， 则； （2）由（1）知， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则， 又， 则到平面的距离为， 即点到平面距离为. 38．在直角梯形中，，，，现将沿着对角线折起，使点D到达点P位置，此时二面角为．    (1)求异面直线，所成角的余弦值； (2)求点A到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作出辅助线，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，得到异面直线的夹角； （2）利用点到平面距离的向量公式进行求解. 【详解】（1）过点D做交于O，连接， 以O点为原点，以为x轴，在平面内，过点O垂直于的线为y轴， 过点O垂直于平面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示．    因为，所以， 所以为二面角的平面角．所以， 又因为，所以点， 又因为，，由等边三角形可得， 所以，， 所以， 所以与夹角的余弦值为． （2），， 设为平面的一个法向量， 则， 令，则， 故， 所以点A到平面的距离为． 39．如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且边长为，点在母线上，且.    (1)求证：直线平面； (2)求证：平面平面； (3)若点为线段上的动点．当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）设交于点，连接，利用三角形相似证得，从而证得，进而证得直线平面； （2）通过平面，证得平面，所以平面平面； （3）建立空间直角坐标系，设，通过向量和平面的法向量建立直线与平面所成角的正弦值的关系式，并利用基本不等式，即可求最值. 【详解】（1）如图，设交于点，连接，易知底面， ，所以， 又是底面圆的内接正三角形，由，可得，. 又，，所以，即， 又，所以， 所以，即， 又平面，直线平面，平面， 所以直线平面. .   （2）因为平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （3）易知，以点为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以，，，，    设平面的法向量为， 则，即，令，则， 设，可得， 设直线与平面所成的角为， 则， 即， 令， 则 ， 当且仅当时，等号成立，所以当时，有最大值4， 即当时，的最大值为1，此时点， 所以， 所以点到平面的距离， 故当直线与平面所成角的正弦值最大时，点到平面的距离为. 40．已知直三棱柱中，，，，D,E分别为的中点，F为CD的中点.    (1)求证：//平面ABC； (2)求平面CED与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，证明垂直平面的法向量即可； （2）利用空间向量求出两个平面的法向量，然后用夹角公式计算； （3）利用点到面距离的向量的公式计算. 【详解】（1）   在直三棱柱中，平面，且， 以点B为坐标原点，BC，BA，所在直线分别为x，y，z轴建立如下图所示的空间直角坐标系. 则，，，，. 易知平面ABC的一个法向量为，则，故，又因为平面，故//平面 （2）， 设平面CED的法向量为，则， 不妨设，因为， 设平面CED的法向量为，则，不妨设 则 因此，平面CED与平面夹角的余弦值为. （3）因为，根据点到平面的距离公式， 则 即点到平面CED的距离为. 学科网（北京）股份有限公司 $空间向量在立体几何中的三种考法 空间角的向量求法 题目1如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD=O,且PO⊥平 面ABCD,PO=2,F,G分别是PB,PD的中点，E是PA上一点，且AP=3AE. G A (I)求证：BD∥平面EFG: (2)若∠DAB= 匹，求直线PA与平面EFG所成角的余弦值. 3 题目2如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD,E为PD的中 点，PA=AB=2. P (1)求证：PB∥平面AEC: (2)求平面PAC与平面AEC所成角的余弦值 题目3已知图1是由等腰直角三角形ABE和菱形BCDE组成的一个平面图形，其中菱形边长为 4,∠A=90°，∠D=60°.将三角形ABE沿BE折起，使得平面ABE⊥平面BCDE(如图2). A D 图1 图2 (1)求证：AC⊥CD: (2)求二面角B-A1C-D的正弦值. 题目4如图，四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为梯形，AB∥CD,AD⊥AB,AB=AP= 2DC=4,PB=2AD=4W2,PD=26,M,N分别是PD,PB的中点. M D (I)求证：直线MN∥平面ABCD; (2)求平面MCN与平面ABCD夹角的余弦值. 2 题目5如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD= √2AB,点M是PD的中点. D B (1)证明：AM⊥PC; (2)设AC的中点为O,点N在棱PC上（异于点P,C),且ON=OA,求直线AN与平面ACM所 成角的正弦值. 题目司已知三棱台AB.C-ABC,AAL面ABC,4AB=AB=AC=4,cos/BAC=-子，D 是线段AA中点，且BD⊥DC A B D B (1)证明：BD⊥BC: (2)请选择合适的基底向量，求直线BC与AA所成角的余弦值. 3 题目7如图，在三棱柱ABC-AB,C中，AB=BC,AB,=B,C. A C B (1)证明：AC⊥BB: (2)若AB=BB=2,AB=√6，∠ABC=120°，求二面角A-BB1-C的余弦值， 题目8如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AB∥CD,PA=AD= CD=1,AB=2,点M是PB的中点. p M C (1)证明：PB=2C1M; (2)求直线DM与平面ACM所成的角的正弦值. 4 题目9如图，平行六面体ABCD-ABCD,的体积为6，截面ACC1A的面积为6. D A C B --------yC B (1)求点B到平面ACCA1的距离： (2)若AB=AD=2,∠BAD=60°，AA1=√6，求直线BD与平面CCDD所成角的正弦值， 题目10如图所示，在多面体ABCGFE中，底面BCFE为矩形，且AE⊥底面BCFE,AG∥EF, AG=AD=BD-3DP-2.BFnC阳-0， G B (1)证明：AO∥平面GCF (2)求平面ABO与平面GCF夹角的余弦值 5 题目11如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,PA=AD= 号AB=1,E,M分别为线段AB,PC的中点，连接CE,延长CE并与DA的延长线交于点，连 接PE,PF M D A B (I)求证：ME∥平面PFD (2)求平面APE与平面PEF所成角的正弦值 题目12如图1，在五边形ABCDE中，四边形ABCE为正方形，CD⊥DE,CD=DE,如图2，将 △ABE沿BE折起，使得A至A1处，且A1B⊥AD. 图1 图2 (1)证明：DE⊥平面ABE: (2)求二面角C-AE-D的余弦值. 6 题目13如图，在斜三棱柱ABC-ABC中，AA1=AB,AB1⊥A1C,AB,的中点为O,BC的中 点为D. A1下 C B C D (1)证明：OD∥平面ACCA1: (2)若∠ACB=90°，AB=BC,AC=2BC=4,求平面ACCA1与平面ABC所成角的大小 题目14)如图，在底面为正方形的四棱台ABCD-A1BCD,中，已知AD=2,DD,=1,BD=√7， A到平面BDD,的距离为2W2豇 7 A B D B D C (1)求D到平面ABCD的距离； (2)若AA,=5,求直线CC,与平面ABD,所成角的正弦值 2 7 题目15如图，多面体ABD,-ABCD中，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，AB∥AB,AB= 2AB1=4,AD∥A1D1,AD=2AD,AA1⊥平面ABCD,A1C⊥AB1 A 0 B C (1)求AA1: (2)求二面角D-CA1-D的正弦值. 二、 已知空间角求其他量 题目1如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC,∠BAC=90°.点D、E、N分别为棱PA、 PC、BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4,AB=2. D ,'M A (I)求证：MN∥平面BDE; (2)己知点H在棱PA上，且直线H与直线BE所成角的余弦值为气，求线段AI的长」 21 8 题目2]已知正方体ABCD-AB,C1D,点E为AD,中点，直线B,C1交平面CDE于点F: A 6 D (1)证明：点F为BC的中点； (2)若点M为棱AB,上一点，且直线MF与平面CDE所成角的正弦值为65，求AM 的值 25 AB 题目3在三棱柱ABC-AB,C中，平面ABBA⊥平面ABC,侧面A1BBA为菱形，∠ABB,= 吾ALAC,A5=AC=2,E是AC的中点 A B B (1)求证：AB⊥平面ABC (②)确定在线段AE上是否存在一点P,使得AP与平面ABE所成角为行，若存在，求出歌的 EA 值；若不存，说明理由. 9 题目4如图，在四棱锥P一ABCD中，侧棱PA⊥平面ABCD,底面四边形ABCD是矩形，PA= AD=4,点M,N分别为棱PB,PD的中点，点E在棱AD上，AD=3AE. D M D C (I)求证：直线AM∥平面BNE: (2)从下面①②两个条件中选取一个作为已知，证明另外一个成立. ①平面PAB与平面PCD的交线1与直线BD所成角的余弦值为3V0 10 ②二面角N-BE-D的余弦值为厘 11 注：若选择不同的组合分别作答，则按第一个解答计分. 题目5在底面ABCD为梯形的多面体中，AB∥CD,BC⊥CD,AB=2CD=2√2，∠CBD=45°， BC=AD=DE,且四边形BDEN为矩形. E A (1)求证：BD⊥AE: (2)线段EN上是否存在点Q,使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由， 若存在，确定点Q的位置并加以证明. 10