精品解析：山东省淄博市临淄区遄台中学2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（12月）

【2025.12】初四上月考数学试卷一临淄遄台中学 一、单选题 1. 如图，将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点，的读数分别为，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，熟练掌握同圆中同弧所对圆周角的度数等于它所对的圆心角度数的一半，是解题的关键．设量角器的圆心为，连接，，可得，根据圆周角定理可得． 【详解】解：如图，设量角器的圆心为，连接，， 则， . 故选：A． 2. 如图，，，是上的点，，，则圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．连接，，过点作于点，根据正切值及圆周角定理求出，，解直角三角形求出，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接，，过点作于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 圆的半径为． 故选：B． 3. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查圆周角定理和圆内接四边形的性质．根据圆周角等于同弧所对圆心角的一半求出的度数，再根据圆内接四边形的性质及平角的定义即可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ∵， ． 故选：A． 4. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的内切圆、外切圆、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 如图：连接相交于O，由正方形的内切圆的半径是2，，，再运用勾股定理可得，则，最后根据圆的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：连接相交于O， ∵正方形的内切圆的半径是2， ∴，， ∴，， ∴图中阴影部分的面积是． 故选D． 5. 如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键． 【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种， ∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝， ∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是， 故选：． 6. 如图所示，已知，切于A，B两点，C是上一动点，过点C作的切线交于点M，交于点N，连接，，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． 根据三角形内角和定理求出的度数，根据补角的概念求出，根据切线长定理得到，根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∵、是的切线， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，将圆形纸片沿弦折叠使经过圆心，过点作直径于点，，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查垂径定理与勾股定理，弧长公式，等边三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作图是关键． 如图所示，连接，根据折叠，垂径定理，勾股定理，可证是等边三角形，，则，结合弧长公式即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴， 由折叠可得，则， ∵， ∴，， 在中，设，则，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， ∴是等边三角形， ∴，则， ∴的长为， 故选：D． 8. 如图，点O是的外心，点I是的内心，连接、、，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、三角形的外心与内心、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，根据三角形内心的定义可得，则，再由等边对等角以及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点O是的外心， ∴， ∵点I是的内心，， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴， 故选：C． 9. 如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧展开图圆心角的大小是解题关键． 由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． ∵，， ∴， 故最短路径长是． 故选：C． 10. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线解析式可求得点A（-4,0），B（4,0），故O点为AB的中点，又Q是AP上的中点可知OQ=BP，故OQ最大即为BP最大，即连接BC并延长BC交圆于点P时BP最大，进而即可求得OQ的最大值． 【详解】解：连结BP， ∵抛物线与轴交于A、两点， 当y=0时，， 解得， ∴A（-4,0），B（4,0），即OA=4， 在直角△COB中， BC=， ∵Q是AP上的中点，O是AB的中点， ∴OQ为△ABP中位线，即OQ=BP， 又∵P在圆C上，且半径为2， ∴当B、C、P共线时BP最大，即OQ最大， 此时BP=BC+CP=5+2=7， OQ=BP=． 故选择C． 【点睛】本题考查了勾股定理求长度，二次函数解析式求点的坐标及线段长度，中位线，点到圆上最长的距离，解本题的关键是将求OQ最大转化为求BP最长时的情况． 二、填空题 11. 已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 【答案】2或4 【解析】 【分析】本题主要考查了点和圆的位置关系，掌握分类讨论思想是解题的关键． 分点P在圆外和圆内两种情况讨论，分别利用距离关系列方程求解即可． 【详解】解：设的半径为r，点P到圆心O的距离为d． 若点P在外，则最大距离为，最小距离为． 若点P在外， 由题意得：两式相减，解得：． 若点P在内，则最大距离为，最小距离为． 由题意得：，解得：． 综上，的半径为2或4． 故答案为：2或4． 12. 一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．通过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在、，则估计箱子里蓝球有 ___________个． 【答案】15 【解析】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率和由概率求数量，用球的总个数乘以摸到蓝球的频率的稳定值即可． 【详解】解：估计箱子里蓝球有（个）， 故答案为：15． 13. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________． 【答案】97 【解析】 【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：97． 14. 如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于点，．已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OM、ON、OA，易证得∠MON=60º，即∠MOE+∠NOF=120º，，再由弧长公式求得半径OM，然后证得Rt△AMO≌Rt△ANO，即∠AOM=30º，进而解得AM，则可得，代入相关数值即可解得阴影面积· 【详解】如图，连接OM、ON、OA，设半圆分别交BC于点E，F， 则OM⊥AB，ON⊥AC， ∴∠AMO=∠ANO=90º， ∵∠BAC=120º， ∴∠MON=60º， ∵的长为， ∴， ∴OM=3， ∵在Rt△AMO和Rt△ANO中， ， ∴Rt△AMO≌Rt△ANO(HL)， ∴∠AOM=∠AON=∠MON=30º， ∴AM=OM·tan30º=， ∴， ∵∠MON=60º， ∴∠MOE+∠NOF=120º， ∴， ∴图中阴影面积为 = =， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质定理、弧长公式、HL定理、锐角的三角函数定义、扇形面积的计算等知识，解答的关键是熟练掌握基本图形的性质，会根据图形和公式进行推理、计算． 15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为_________． 【答案】－1 【解析】 【详解】如图所示： 在△ABC中，，AC=BC=1 又∵∠PAB=∠PBC ∴∠APB=135° ∴点P在以AB为弦的⊙O上, ∵∠APB=135° ∴∠AOB=90° ∴四边形ACBO为矩形 四边形AOBC为正方形 当点O、P、C在一条直线上时，PC有最小值 PC的最小值=OC-OP=-1． 故答案为：-1． 三、解答题 16. 如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，，点、点、点的坐标分别为，，． （1）该圆弧所在圆的圆心坐标为______． （2）求的长．（结果保留） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算、坐标与图形性质、勾股定理及垂径定理，熟知弧长的计算公式及根据图形得出圆心的位置是解题的关键． （1）分别作出弦和的垂直平分线，得出交点即为圆心，据此求出圆心坐标即可； （2）先用勾股定理求出圆的半径，再结合弧长的计算公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：如图所示，分别作出弦和的垂直平分线，交于点，点即为所在圆的圆心， 所以圆心的坐标为． 故答案为：． 【小问2详解】 如图，连接，， ∵点、点、点的坐标分别为，，， ∴小正方形网格的边长为1． 由勾股定理得，． 由网格可知，， 则的长为：． 17. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】（1） （2） 解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 略 18. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球的个数是白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个红球的概率是． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）取走5个黄球5个白球，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 【答案】（1）红球有30个； （2）摸出一个球是白球的概率为； （3）从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为． 【解析】 【分析】（1）用三种颜色的球的总个数乘以摸出红球的概率即可； （2）设白球有x个，根据题意列方程求出白球的个数，再利用概率公式计算即可； （3）先求出取走5个黄球5个白球后，还剩的球的个数，再利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：100×＝30（个）， 答：红球有30个； 【小问2详解】 设白球有x个，则黄球有（2x−5）个， 根据题意得：x＋2x−5＝100−30， 解得：x＝25， 所以摸出一个球是白球的概率为：； 【小问3详解】 因为取走5个黄球5个白球后，还剩90个球，其中红球的个数没有变化， 所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为：． 【点睛】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝． 19. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E． （1）求证：； （2）求证：为的切线； （3）点F是与的交点，若，求． 【答案】（1） 证明：是的直径， ， ， ； （2） 证明：连接，   ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 为的切线； （3） 【解析】 【分析】（1）根据半圆（直径）所对的圆周角是直角，得到，再结合等腰三角形“三线合一”，即可证明； （2）连接，结合等腰三角形性质证明，进而推出，再结合切线判定定理，即可证明为的切线； （3）过点作于点，利用勾股定理与等面积法求出，再根据等腰三角形性质，角平分线性质得到，连接交于点，证明四边形为矩形，推出，结合垂径定理得到，利用勾股定理求出，最后根据求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作于点， ，， ，， ， 即， 解得， ，，， ， 连接交于点， 是的直径， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了半圆（直径）所对的圆周角是直角，等腰三角形性质，切线判定定理，勾股定理，角平分线性质，矩形的性质与判定，垂径定理，解题的关键在于灵活运用相关知识． 20. 如图，是的直径，是上的一点，连接，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）点是的中点，连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的值． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆周角定理得，又由等腰三角形的性质及已知可得，即得，进而即可求证； （2）连接，由得，即得，，即得到，设，则，由勾股定理得，解得，再证明，得，即得，进而由得，代入计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴, ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 21. 如图，点I是的内心，的延长线与相交于点F，与的外接圆相交于点D，，连接． （1）求证：； （2）求的长； （3）取弦的中点E，连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵点I是的内心， ∴平分，平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的内心、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据三角形的内心的性质以及角平分线的性质可得，由圆周角定理可得，则，根据角的和差以及等量代换可得，最后根据等角对等边即可证明结论； （2）先说明，然后证明，再根据相似三角形的性质列比例式求解即可； （3）如图：延长到M，使得，连接，易得点I，C，M在以点D为圆心，5为半径的圆上，由圆周角定理可得，根据勾股定理可得，再根据、线段的和差以及等量代换即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 ∴，解得：． 【小问3详解】 解：如图：延长到M，使得，连接， ∵， ∴， ∴点I，C，M在以点D为圆心，5为半径的圆上， ∴是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，在 中，， ，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接． （1）如图1，当点D移动到使时， ①连接DE，求证： ． ②求的值． （2）如图2，当点D到移动到使时，求证：． 【答案】（1） ①∵， ， ∴， ∵，CD是的直径， ∴， ∴， ∵CD是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ② （2） 证明：如图，连接， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴， ∵由（1）知 ， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（1）①由，得，再由垂径定理得，再证明， 从而即可证明结论成立；②先由勾股定理 ，进而得，于是即可得解； （2）连接，先证明，进而由勾股定理得，再证明是等边三角形得，再证明得 ， 从而证明结论成立． 【小问1详解】 解：①略． ②∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理、直角三角形的两锐角互余以及等边三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理及垂径定理是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 【2025.12】初四上月考数学试卷一临淄遄台中学 一、单选题 1. 如图，将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点在半圆上，点，的读数分别为，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，，，是上的点，，，则圆的半径为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 在中国古代文化中，玉璧寓意宇宙的广阔与秩序，也经常被视为君子修身齐家的象征．下图是某玉璧的平面示意图，由一个正方形的内切圆和外接圆组成．已知内切圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，已知，切于A，B两点，C是上一动点，过点C作的切线交于点M，交于点N，连接，，已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将圆形纸片沿弦折叠使经过圆心，过点作直径于点，，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点O是的外心，点I是的内心，连接、、，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从B点爬到的中点D，最短路径长是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点（0,3）为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结.则线段的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知P点到的最大距离是6，最小距离是2，则的半径是______． 12. 一个不透明的箱子里装有红球、蓝球、黄球共20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．通过大量摸球试验，小明发现摸到红球、黄球的频率分别稳定在、，则估计箱子里蓝球有 ___________个． 13. 如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时，___________． 14. 如图，在中，为边上的一点，以为圆心的半圆分别与，相切于点，．已知，，的长为，则图中阴影部分的面积为__________． 15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝1，P为△ABC内一个动点，∠PAB＝∠PBC，则CP的最小值为_________． 三、解答题 16. 如图，平面直角坐标系中一条圆弧经过网格点，，，点、点、点的坐标分别为，，． （1）该圆弧所在圆的圆心坐标为______． （2）求的长．（结果保留） 17. 学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． （1）小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； （2）请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 18. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共100个，它们除颜色外都相同，其中黄球的个数是白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个红球的概率是． （1）求袋中红球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是白球的概率； （3）取走5个黄球5个白球，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 19. 如图，已知是的直径，是的弦，延长到点C，使，过点D作，垂足为E． （1）求证：； （2）求证：为的切线； （3）点F是与的交点，若，求． 20. 如图，是的直径，是上的一点，连接，延长至点，连接，使． （1）求证：是的切线． （2）点是的中点，连接，交于点，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的值． 21. 如图，点I是的内心，的延长线与相交于点F，与的外接圆相交于点D，，连接． （1）求证：； （2）求的长； （3）取弦的中点E，连接，若，求的长． 22. 如图，在 中，， ，D是上一动点，连接，以为直径的交于点E，连接并延长交于点F，交于点G，连接． （1）如图1，当点D移动到使时， ①连接DE，求证： ． ②求的值． （2）如图2，当点D到移动到使时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $