精品解析：广东省深圳市富源学校2025--2026学年八年级上学期月考数学试卷

2025-2026学年第一学期12月份学情调研 八年级数学 一、选择题（每题3分，共8小题） 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数． 2. 根据下列表述，能确定准确位置的是（ ） A. 华艺影城3号厅2排 B. 解放路中段 C. 南偏东 D. 东经，北纬 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标确定位置，理解坐标的定义是解题的关键． 【详解】解：A．华艺影城3号厅2排，不能确定位置，故本选项错误，不符合题意； B．解放路中段，不能确定位置，故本选项错误，不符合题意； C．南偏东，不能确定位置，故本选项错误，不符合题意； D．东经，北纬，能确定位置，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 3. 已知点到轴的距离是2和5，若点在第四象限，则点的坐标是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，可得答案． 【详解】解：点P到x，y轴的距离分别是2和5，得 |y|=2，|x|=5， 若点P在第四象限， y=-2，x=5． 则点P的坐标是（5，-2）， 故选C． 【点睛】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）． 4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加． 【详解】∵=>=， ∴从甲和丙中选择一人参加比赛， ∵=<<， ∴选择甲参赛， 故选A． 【点睛】此题主要考查了平均数和方差的应用，解题关键是明确平均数越高，成绩越高，方差越小，成绩越稳定. 5. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 数轴上的点表示的数都是有理数 C. 一个三角形的最大内角不会小于 D. 同旁内角互补 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判断命题的真假．根据无理数的定义，实数与数轴，三角形的内角和，平行线的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、无理数一定是无限小数，但是无限小数不一定是无理数，选项为假命题，不符合题意； B、实数与数轴上的点一一对应，数轴上的点表示的数不一定是有理数，选项为假命题，不符合题意； C、一个三角形的最大内角不会小于，选项为真命题，符合题意； D、两直线平行，同旁内角互补，选项为假命题，不符合题意． 故选C． 6. 一次函数与正比例函数为常数且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得a、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； 故选：B． 7. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，找到关于x、y的两组等式关系，即可列出对应的二元一次方程组． 【详解】解：由每三人共乘一车，最终剩余2辆车可得：． 由每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘可得：． 该二元一次方程组为：． 故选：C． 【点睛】本题主要是考查了列二元一次方程组，熟练根据题意找到等式关系，这是求解该题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点在轴上，以为边作正方形，点的坐标在一次函数上，一次函数与轴交于点，与轴交于点，将正方形沿轴向右平移个单位长度后，点刚好落在直线上，则a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标是解题的关键． 由点C的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出k值，进而可得出直线的函数解析式，过作轴于，过作轴于，则及，利用全等三角形的性质，可求出点D的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点D平移后的横坐标，结合平移前点D的横坐标，即可求出结论． 【详解】将代入中 直线得函数解析式为 过作轴于，过作轴于 如图所示：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， 点A的坐标为，点B的坐标为， 同理可证 ，， ， 平移后 将代入中 故选：D 二、填空题（每题3分，共5小题） 9. 的平方根是__________． 【答案】± 【解析】 【详解】分析：根据平方运算，可得平方根、算术平方根． 详解：的平方根是±． 故答案为． 点睛：本题考查了算术平方根．平方运算是求平方根的关键． 10. 点和点是一次函数图象上两点，当时，有，则______．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质，当时，有，可得随的增大而减小，即可得出，即可求解． 【详解】解：∵当时，有，可得随的增大而减小， ∴， 故答案为：． 11. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程(组)，熟知一次函数与二元一次方程组之间的关系是解题的关键．先求出点P的坐标，再根据二元一次方程组与一次函数之间的关系即可解决问题． 【详解】解∶将代入得，． 解得． 点P的坐标为． 方程组的解可看成函数与函数图象的交点坐标， 此方程组的解为 12. 如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E．若，，则的面积为___________． 【答案】10 【解析】 【分析】设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，然后根据三角形面积公式求解． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则， 则． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 13. 如图，，，点在直线上，且，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，联立解析式构造方程组求交点坐标，熟练掌握全等三角形的判定和性质，待定系数法求解析式，联立解析式构造方程组求交点坐标是解题的关键．将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点B作轴，过点D作轴，二线交于点F，证明，确定点D的坐标，连接交于点K，证明点K是的中点，确定直线的解析式，联立求交点坐标即可． 【详解】将线段绕点顺时针旋转得到线段 过点B作轴，过点D作轴，二线交于点F，交x轴于点G， ∴，，四边形是矩形， ∵， ∴， ∴，四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴K为的中点， ∴， 故直线与直线的交点即为点． 设直线的解析式为， 把和的坐标代入得： ， 解得： 则直线的解析式是 由， 解得：， ∴点坐标为． 故答案为：． 三、解答题（共7小题，61分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及平方差公式． （1）先将化简，再利用平方差公式计算，最后将两部分结果相加； （2）利用乘法分配律展开式子，然后分别计算各项二次根式的乘法． 【小问1详解】 【小问2详解】 15. 解下列方程组 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）①代入②求得，再把代入①得，从而可求出方程组的解； （2）可求出，把代入①可求出，从而可求出方程组的解． 【小问1详解】 将①代入②，得： ， 解得，， 把代入①得：， ∴方程组的解为：； 【小问2详解】 ，得：， 解得，， 把代入①，得：， 解得：， ∴方程组的解为 【点睛】本题考查了解二元一次方程组：首先利用代入法或加减法，把二元一次方程组转化为一元一次方程．然后通过解一元一次方程即可．解方程组要结合具体题目灵活选择方法． 16. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点分别为，，． （1）在图中作，使和关于y轴对称； （2）直接写出点B关于x轴对称的点的坐标______； （3）在x轴上存在一点Q，使得的值最小，的最小值为______；请直接写出点Q的坐标______． 【答案】（1） 解：即为所求； （2） （3）； 【解析】 【分析】本题主要考查坐标与图形，熟练掌握关于坐标轴对称图形的画法，关于坐标轴对称的两点坐标关系，两点之间线段最短和勾股定理是解题的关键． （1）分别找出关于y轴时称的点，画出图形即可； （2）根据x轴对称的点的坐标写出答案即可； （3）作点关于x轴对称的点的坐标，连接，的值最小值为的长；设的解析式为：，求出解析式，令，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：x轴对称的点的坐标横坐标不变，纵坐标变成相反数， 故点B关于x轴对称的点的坐标为； 【小问3详解】 解：作点关于x轴对称的点的坐标，连接， 故的值最小值为的长， ，故的最小值为， ，， 设的解析式为：， 故， 解得， 的解析式为：， 令，故， 点Q的坐标为． 17. 【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，__________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，__________，可以看出，__________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________环，②处应填__________环，③处应填__________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数__________选手射击成绩的中位数（填，或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 【作出决策】 （3）如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，现在从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？说明理由． 【答案】（1）9；；；； （2）；9；10；； （3）选择选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为，两名选手的中位数相等，但选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强． 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、方差，正确理解题意是解题的关键． （1）根据平均数和方差计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、中位数以及下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴的成绩略高； ， ∴， ∴的射击水平发挥更稳定， 故答案为：9；；；； （2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 则下四分位数为，即； 则中位数为，即， 选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为， 可以发现选手射击成绩的中位数选手射击成绩的中位数， 故答案为：；9；10；； （3）略 18. 淄博烧烤凭实力火爆出圈，“进淄赶烤”成为今年五一黄金周期间旅游的新热潮，更推动了当地其他旅游行业的经济发展．某旅游纪念品商店销售，两种伴手礼，已知销售一件种伴手礼和两件种伴手礼可获利220元，销售三件种伴手礼和一件种伴手礼可获利260元． （1）求每销售一件种伴手礼和一件种伴手礼各获利多少元？ （2）该旅游纪念品商店计划一次性购进，两种伴手礼共40件，其中种伴手礼不少于10件，将其全部销售完可获总利润为元．设购进种伴手礼件． ①求与的函数关系式； ②当购进种伴手礼多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元 （2）①（）；②当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元 【解析】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及一次函数的实际应用： （1）设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，根据“销售一件种伴手礼和两件种伴手礼可获利220元，销售三件种伴手礼和一件种伴手礼可获利260元”列方程组求解即或； （2）①根据“总利润等于两种商品利润和”列出函数关系式即可；②根据题意求出①中函数最大值即可． 【小问1详解】 解：设销售每件种伴手礼可获利元，每件种伴手礼可获利元，依题意得： 解得： 答：种伴手礼每件获利60元，种伴手礼每件可获利80元． 【小问2详解】 ①由题意得： ∴（） ②由题意得：，由①可知，， ∵， ∴随的减小而增大， ∵， ∴当时，有最大值 ∴； 答：当购进种伴手礼10件时，该商店可获利最大，最大利润是3000元． 19. 小颖根据学习函数的经验，想对函数的图象和性质进行探究．通过查阅资料，小颖了解到该函数的含义是：当时，；当时，，请你帮她继续完成探究． （1）在自变量x的取值范围内，x与y的几组对应值如下表：其中______． x 0 1 2 3 4 5 6 7 … y 2 1 0 1 2 3 m 5 … （2）在平面直角坐标系中，已知函数y的部分图象如图所示，请补全函数y的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：____________； （3）已知函数的图象与函数y的图象关于y轴对称． ①请在图中画出函数的图象； ②把函数与函数y的图象合称为图象w，若点与点均在图象w上，则a的值为______． 【答案】（1） （2） 补全函数图象如下所示： 当时，随的增大而增大 （3） ①画出函数的图象如下所示： ②：或或； 【解析】 【分析】（1）将代入中即可； （2）直接根据表格描点连线画出图象，根据图象分析出性质即可； （3）①根据找出原图上点的对称点，连接即可；②根据与都在图象上，可知，的纵坐标相等，分三种情况讨论：①，关于y轴对称；②，关于轴对称；③，关于轴对称． 【小问1详解】 解：当时，（）， ∴， ∴， 故答案为：4； 【小问2详解】 解：根据图象分析可知：当时，随的增大而增大； 【小问3详解】 解：∵与都在图象上， ，的纵坐标相等， 则分三种情况： ①，关于y轴对称， ∴， ∴， ②，关于轴对称， ∴， ∴， ③，关于轴对称， ∴， ∴， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象，分段函数，轴对称，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 20. 已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线与轴相交于点E． （1）直线的函数表达式为：__________；（直接写出结果） （2）点Q为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①或；②存在，或 【解析】 【分析】（1）先求出点D坐标，再利用待定系数法求解； （2）①当时，，当时，，结合点D和点E的坐标，即可求解；②分“点D落在x正半轴上”和“点D落在y轴的负半轴上”两种情况，根据轴对称的性质分别求解即可． 【小问1详解】 解：点D的横坐标为4，点D在一次函数的图象上， 将代入，得， ， 将，代入， 得：， 解得， 直线的函数表达式为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①将代入，得， ， 将的面积分为两部分时，有两种情况： 当时，， ， ，， 点Q的横坐标为，纵坐标为； ； 当时，， ， ，， 点Q的横坐标为，纵坐标为； ， 综上可知，点Q的坐标为或； ②存在，点Q的坐标为或．求解过程如下： 一次函数与y轴的交点坐标为，即， 当点D落在x正半轴上(记为点)时，如图，作轴于点H，连接， ，， ，， ， 由轴对称的性质得，， 在和中，， ， ， ， ， 轴， 点Q的纵坐标为3， 将代入，得，解得， 点Q的坐标为； 当点D落在y轴的负半轴上（记作)时，如图，过点Q作于M，于N， 由轴对称的性质得，， 平分， ， ，，， ，，， ， ， 解得， ∴点Q的横坐标为． 将代入，得， 点Q的坐标为， 综上可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、角平分线的性质定理、轴对称的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期12月份学情调研 八年级数学 一、选择题（每题3分，共8小题） 1. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（ ） A. B. C. D. 2. 根据下列表述，能确定准确位置的是（ ） A. 华艺影城3号厅2排 B. 解放路中段 C. 南偏东 D. 东经，北纬 3. 已知点到轴的距离是2和5，若点在第四象限，则点的坐标是 A. B. C. D. 4. 如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（cm） 185 180 185 180 方差 3.6 3.6 7.4 8.1 根据表数据，从中选择一名成绩好且发挥稳定的参加比赛，应该选择（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 5. 下列命题中是真命题的是（ ） A. 无限小数都是无理数 B. 数轴上的点表示的数都是有理数 C. 一个三角形的最大内角不会小于 D. 同旁内角互补 6. 一次函数与正比例函数为常数且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？设共有人，辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点在轴上，以为边作正方形，点的坐标在一次函数上，一次函数与轴交于点，与轴交于点，将正方形沿轴向右平移个单位长度后，点刚好落在直线上，则a的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共5小题） 9. 的平方根是__________． 10. 点和点是一次函数图象上两点，当时，有，则______．（填“”或“”） 11. 如图，直线与直线相交于点，则方程组的解是________． 12. 如图，将长方形沿着对角线折叠，使点C落在处，交于点E．若，，则的面积为___________． 13. 如图，，，点在直线上，且，则点的坐标为___________． 三、解答题（共7小题，61分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 解下列方程组 （1） （2） 16. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点分别为，，． （1）在图中作，使和关于y轴对称； （2）直接写出点B关于x轴对称的点的坐标______； （3）在x轴上存在一点Q，使得的值最小，的最小值为______；请直接写出点Q的坐标______． 17. 【数据收集】 某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】 如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，__________环，可以看出，__________（填A或B）的平均成绩略高；通过计算方差，，__________，可以看出，__________（填A或B）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 A 6 ① ② 10 B 8 8 9 ③ 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填__________环，②处应填__________环，③处应填__________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手射击成绩的中位数__________选手射击成绩的中位数（填，或），且选手的射击成绩明显比选手的射击成绩波动大． 【作出决策】 （3）如果你是教练员，从平均数和方差的角度考虑，现在从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，你会选择谁？说明理由． 18. 淄博烧烤凭实力火爆出圈，“进淄赶烤”成为今年五一黄金周期间旅游的新热潮，更推动了当地其他旅游行业的经济发展．某旅游纪念品商店销售，两种伴手礼，已知销售一件种伴手礼和两件种伴手礼可获利220元，销售三件种伴手礼和一件种伴手礼可获利260元． （1）求每销售一件种伴手礼和一件种伴手礼各获利多少元？ （2）该旅游纪念品商店计划一次性购进，两种伴手礼共40件，其中种伴手礼不少于10件，将其全部销售完可获总利润为元．设购进种伴手礼件． ①求与的函数关系式； ②当购进种伴手礼多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 19. 小颖根据学习函数的经验，想对函数的图象和性质进行探究．通过查阅资料，小颖了解到该函数的含义是：当时，；当时，，请你帮她继续完成探究． （1）在自变量x的取值范围内，x与y的几组对应值如下表：其中______． x 0 1 2 3 4 5 6 7 … y 2 1 0 1 2 3 m 5 … （2）在平面直角坐标系中，已知函数y的部分图象如图所示，请补全函数y的图象，并根据图象写出该函数的一条性质：____________； （3）已知函数的图象与函数y的图象关于y轴对称． ①请在图中画出函数的图象； ②把函数与函数y的图象合称为图象w，若点与点均在图象w上，则a的值为______． 20. 已知：如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴相交于点A、B，且与经过点的一次函数的图象相交于点D．点D的横坐标为4，直线与轴相交于点E． （1）直线的函数表达式为：__________；（直接写出结果） （2）点Q为线段上的一个动点，连接． ①若直线将的面积分为两部分，试求点Q的坐标； ②点Q是否存在某个位置，将沿着直线翻折，使得点D恰好落在直线下方的坐标轴上？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $