精品解析：河北省唐山市第二十六中学2025-2026学年上学期九年级12月月考数学试卷

唐山市第二十六中学2025—2026学年度第一学期 阶段成果验收九年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共3页，总分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必将班级、姓名、考场、考号填写在试卷相应位置上． 一、选择题（本大题共14个小题，每小题2分，共28分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将分别标有“利”“川”“凉”“城”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，摸出的球上的汉字是“川”的概率是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，AB是⊙O的直径，若∠BDC=40°，则∠BOC的度数为（ ） A. 40° B. 80° C. 14° D. 无法确定 5. 如图，已知，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 6. 如图，交于点E，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 如果将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大，则m的值为（　　） A. 1 B. 4 C. 7 D. 10 9. 已知的直径是10，点P到圆心O的距离是10，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 点P在圆心 10. 若的每条边长增加各自的得，则的度数与其对应角的度数相比（ ） A. 增加了 B. 减少了 C. 增加了 D. 没有改变 11. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A. B. C. D. 6 12. 如图，与位似，点为位似中心，，若的周长是，则的周长是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 13. 设，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 1 5 13 23 根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位，m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为，其中．有下列结论： ①当时，小球运动到最大高度； ②当小球的运动高度为时，运动时间为或； ③小球运动中的最大高度为； ④小球从抛出到落地需要； 其中正确的结论有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 卷Ⅱ（非选择题，共72分） 注意事项：答卷Ⅱ时，将答案用黑色钢笔或圆珠笔直接写在答题纸上 二、填空题（本大题共4个小题；每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 15. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是________． 16. 如图，直线过点，则________． 17. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则铅球推出的距离________． 18. 如图，F是△ABC内一点，BF平分∠ABC且AF⊥BF，E是AC中点，AB=6，BC=8，则EF的长等于____． 三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程：． （2）计算： 20. 一个不透明的箱子里放有2个白球，1个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同.箱子里摸出1个球后不放回，摇匀后再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率。(请用列表或画树状图等方法) 21. 如图，，，点D在上，，，，．求的度数． 22. 如图，在中，，过A点交于点D，切于点C，半径的长为2． （1）求边的长； （2）求弧的长（结果保留）． 23. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 24. 如图，在中，，，． （1）求的长． （2）嘉琪认为：如果本题去掉“如图”两个字，那的长还有另外一个值，请同学们直接写出另外一个值． 25. 如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． （1）求y与的函数表达式； （2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山市第二十六中学2025—2026学年度第一学期 阶段成果验收九年级数学试卷 注意事项：1．本试卷共3页，总分100分，考试时间90分钟． 2．答题前，考生务必将班级、姓名、考场、考号填写在试卷相应位置上． 一、选择题（本大题共14个小题，每小题2分，共28分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 将分别标有“利”“川”“凉”“城”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别，摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，摸出的球上的汉字是“川”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】汉字是“川”的个数除以所有汉字的总个数即为所求的概率． 【详解】1÷4=， 答：摸出的球上的汉字是“川”的概率是． 故选：B． 【点睛】本题主要考查概率公式，掌握概率=所求情况数÷总情况数，是解题的关键． 2. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查比例的基本性质，两外项之积等于两内项之积，根据性质解题即可． 【详解】解：．，即，故本选项不符合题意； ．，即，故本选项不符合题意； ．，即，故本选项符合题意； ．，即，故本选项不符合题意． 故选：C． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求抛物线的顶点坐标；把解析式配方即可． 【详解】解：， 即抛物线的顶点坐标为； 故选：D． 4. 如图，AB是⊙O的直径，若∠BDC=40°，则∠BOC的度数为（ ） A. 40° B. 80° C. 14° D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即可求解. 【详解】. 故选：. 【点睛】此题考查圆周角定理：等弧或同弧所对的圆周角是圆心角的. 5. 如图，已知，若，，则的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，得到，再根据进行等量代换，即可解题． 【详解】解：， ， ， ，即， ， ， ， ， 故选：B． 6. 如图，交于点E，，且，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，则可得这两个三角形面积的比，再由，可得，从而可求解． 【详解】， ， ， ， ，， ； ， 即， ， 即， ； 故选：A． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等高的三角形面积的比等于底的比，掌握这两点是关键． 7. 如果将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减直接按要求平移即可得到答案． 【详解】解：将抛物线先向下平移1个单位，再向左平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是，即， 故选：B． 【点睛】本题考查函数图像的平移，熟练掌握函数图像平移法则：左加右减、上加下减是解决问题的关键． 8. 已知二次函数，当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大，则m的值为（　　） A. 1 B. 4 C. 7 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，用m表示出二次函数的对称轴，然后根据题意列出m的一元一次方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴， ∵当时，y随着x的增大而减小；当时，y随着x的增大而增大， ∴， ∴． 故选：C． 9. 已知的直径是10，点P到圆心O的距离是10，则点P与的位置关系是（ ） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 点P在圆心 【答案】C 【解析】 【分析】根据的半径为r和点P到圆心的距离的大小关系判断即可． 【详解】解：∵的直径是10， ∴的半径为5， ∵点P到圆心O的距离为10，而， ∴点P在外， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，熟练掌握若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内是解题的关键． 10. 若的每条边长增加各自的得，则的度数与其对应角的度数相比（ ） A. 增加了 B. 减少了 C. 增加了 D. 没有改变 【答案】D 【解析】 【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答． 【详解】解：∵△ABC的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′， ∴△ABC与△A′B′C′的三边对应成比例， ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴∠B′=∠B． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 11. 汽车刹车后行驶的距离s（单位：m）关于行驶的时间t（单位：s）的函数解析式是，汽车刹车后行驶的最远距离为，则a的值为（　　） A. B. C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了求二次函数的最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．把二次函数化成顶点式，求最值即可． 【详解】解：∵，且汽车刹车后行驶的最远距离为， ∴ ∴ 故选：C． 12. 如图，与位似，点为位似中心，，若的周长是，则的周长是（ ） A. 10 B. 15 C. 20 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似变换的概念得到，，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵与位似，， ∴，， ∴， ∴， ∴的周长：的周长， ∵的周长是， ∴的周长是． 故选：B． 【点睛】本题考查位似变换，相似三角形的判定和性质．掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 13. 设，下表列出了与的6对对应值： 0 1 2 3 4 1 5 13 23 根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与方程的解，熟练掌握方程的解是对应二次函数与轴的交点坐标是解题的关键．根据二次函数的增减性，可得答案． 【详解】解：根据，可得对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，，当，， 的一个解的大致范围是， 故选：B． 14. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位，m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系为，其中．有下列结论： ①当时，小球运动到最大高度； ②当小球的运动高度为时，运动时间为或； ③小球运动中的最大高度为； ④小球从抛出到落地需要； 其中正确的结论有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】该题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，掌握二次函数的性质； 根据二次函数的图像和性质解答即可； 【详解】 当时，小球运动到最大高度，最大高度为，故①③错误； 当小球的运动高度为时，有，解得或，故②正确； 小球从抛出到落地需要，故④正确． 故选：B． 卷Ⅱ（非选择题，共72分） 注意事项：答卷Ⅱ时，将答案用黑色钢笔或圆珠笔直接写在答题纸上 二、填空题（本大题共4个小题；每小题3分，共12分．把答案写在题中横线上） 15. 若反比例函数的图象经过点，则k的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点代入，即可求出k的值． 【详解】解：将点代入得， ， 解得． 故答案为：． 16. 如图，直线过点，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】作轴，在中根据三角函数的定义求解即可； 【详解】解：如图，作轴； 在中， 故答案为： 【点睛】本题考查了锐角三角函数、点的坐标与坐标轴的关系；根据点的坐标构造直角三角形是解题关键． 17. 如图，一名学生推铅球，铅球行进高度（单位：）与水平距离（单位：）之间的关系是，则铅球推出的距离________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，理解题意、数形结合是解本题的关键．令，则，然后解方程，结合函数图像可得答案． 【详解】解：令， 则， 解：，， ， 故答案为：． 18. 如图，F是△ABC内一点，BF平分∠ABC且AF⊥BF，E是AC中点，AB=6，BC=8，则EF的长等于____． 【答案】1. 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=4且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=4，由EF=DE-DF可得答案． 【详解】∵AF⊥BF， ∴∠AFB=90°， ∵AB=6，D为AB中点， ∴DF=AB=AD=BD=3， ∴∠ABF=∠BFD， 又∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠CBF=∠DFB， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴，即 解得：DE=4， ∴EF=DE-DF=1， 故答案为1． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质和相似三角形的判定与性质，熟练运用其判定与性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共7个小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. （1）解方程：． （2）计算： 【答案】（1），；（2）1 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程和实数的混合运算，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）求解配方法求解此方程即可； （2）先将特殊角三角函数值代入，再根据二次根式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ∴，； （2） 20. 一个不透明的箱子里放有2个白球，1个黑球和1个红球，它们除颜色外其余都相同.箱子里摸出1个球后不放回，摇匀后再摸出1个球，求两次摸到的球都是白球的概率。(请用列表或画树状图等方法) 【答案】 【解析】 【分析】画出树形图，即可求出两次摸到的球都是白球的概率． 【详解】解：画树状图如下： ∴摸得两次白球的概率= 【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 21. 如图，，，点D在上，，，，．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练证明相似三角形是解题的关键． 根据两边对应成比例夹角相等证明，可得，进而求得，进而求得的度数． 【详解】解：∵，，点D在上， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ， ， ． 22. 如图，在中，，过A点交于点D，切于点C，半径的长为2． （1）求边的长； （2）求弧的长（结果保留）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、解直角三角形、三角形的外角的性质、等腰三角形的性质、求弧长： （1）根据切线的性质得，根据等腰三角形的性质得，进而可得，在中，解直角三角形即可求解； （2）利用弧长公式即可求解； 熟练掌握相关性质及弧长公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：连接，如图： 切于点， ， ， ，， ， ， 在中，，，， ，即：， ． 【小问2详解】 由（1）得：， ， 弧的长． 23. 如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点B是反比例函数图象上一点，轴于点C，交一次函数的图象于点D，连接． （1）求反比例函数与一次函数的表达式； （2）当时，求的面积． 【答案】（1）反比例函数为：，一次函数的解析式为： （2）14 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）分别将点坐标代入两个函数解析式求出、值即可得到两个函数解析式； （2）将分别代入两个函数解析式得到点、的坐标求出长，根据三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴反比例函数为：，一次函数的解析式为：． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵轴于点C，交一次函数的图象于点D， ∴点B的横坐标为8．点D的横坐标为8． ∴，， ∴，， ∴， 过点A作轴交于点E，则， ∴， ∴ 24. 如图，在中，，，． （1）求的长． （2）嘉琪认为：如果本题去掉“如图”两个字，那的长还有另外一个值，请同学们直接写出另外一个值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作，交的延长线于点．在中，，，，即可得，，在中，利用勾股定理可得，问题得解； （2）当点O为钝角时，如图，过B点作，交的延长线于点．在中，，，，，设，则，，即有， 在中，利用，可得，解方程即可求解． 【小问1详解】 过点作，交的延长线于点． 在中，，，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 当点O为钝角时，如图，过B点作，交的延长线于点． 在中，，，，， 设，则，， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 解得：， 当时，，不合题意舍去， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的知识，正确的作出图形，灵活运用三角函数，是解答本题的关键． 25. 如图平面直角坐标系中，运动员通过助滑道后在点A处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．从起跳到着陆的过程中，运动员到地面的竖直距离y（单位：m）与他在水平方向上移动的距离（单位：m）近似满足二次函数关系，已知，，落点到的水平距离是，到地面的竖直高度是． （1）求y与的函数表达式； （2）进一步研究发现，运动员在空中飞行过程中，其水平方向移动的距离（m）与飞行时间t（秒）具备一次函数关系，当他在起跳点腾空时，，；当他在点着陆时，飞行时间为5秒． ①求与t的函数表达式； ②当运动员与着陆坡在竖直方向上的距离达到最大时，求出此时他飞行时间t的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）将，代入，得，计算求解即可； （2）①设，将，代入，得，计算求解，然后作答即可； ②设直线的解析式为，将代入得，，计算求解可确定直线的解析式为，设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点，设，则，则，由，可得当时，最大，根据，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得过点，， 将，代入，得， 解得， ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 ①解：设， 将，代入，得， 解得， ∴； ②解：由题意得 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设运动员飞行过程中的某一位置为，如图，过作轴交于点， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式等知识．熟练掌握二次函数的应用，一次函数的应用，二次函数的最值，一次函数解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $