第2部分 1 巧用全等解题&2 关注三角形的外角-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（浙教版·新教材）

期末·寒假大串联 第二部分 融汇跃升 巧用全等解题 三角形全等的用处很多，如何应用全等解决问题呢？下面就一起看看吧. 一、找线段的关系 例1如图所示，△ABC与△BDE都是等边三角形，连接AE,CD,AE与CD 的大小关系为 A.AE=CD B.AE>CD C.AE<CD D.无法确定 分析：比较线段的大小可以根据长度去比较，但很显然不能求出AE与CD的长 度；而且还知道“等角对等边”，很明显AE与CD不在同一个三角形中. 从图中可以看出AE是△ABE和△ADE的边，CD是△CBD和△ACD的边，可以从全等去考虑“全 等三角形的对应边相等”.显然，△ABE和△ACD不全等，故考虑△ABE和△CBD全等. △ABC与△BDE都是等边三角形，AB=BC,BE=BD,欲说明它们全等还缺一个条件，可考虑它们的 第 夹角∠ABE和∠CBD是否相等，而∠ABC和∠DBE=60°，所以∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠DBE十 二 ∠CBE=∠CBD,从而可得△ABE≌△CBD,故AE=CD. 部 解：选A 分 点评：全等三角形的对应边相等、对应角相等，这些性质是说明线段相等或角相等的依据。 二、分割三角形 融 例2如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD平分∠BAC,试把 汇 △ABD分割成两个和△ACD全等的三角形. 跃 分析：由已知条件可以求出∠CAB=60°，又因为AD平分∠BAC,所以 ∠CAD=∠DAB=30°.根据等腰三角形的判定方法“等角对等边”可知，△ABD 升 是等腰三角形.作等腰三角形底边上的高线（或是顶角平分线或是底边中线），可以 把等腰三角形分割成两个全等的三角形.再进一步利用全等可以很容易得出这两个三角形和△ACD都是 全等的 解：过点D作DE⊥AB,垂足为点E,如图. 则DE即为满足条件的分割线，△ADC和△ADE和△BDE全等. 点评：本题是全等三角形、等腰三角形及角平分线等知识的综合运用.除了上 面的方法，还可以从轴对称的角度考虑，试一试，你一定能行. 42 期末·寒假大串联 关注三角形的外角 三角形的角有内外之分，我们知道三角形的内角和等于180°，而三角形的外角具有什么样的性质呢？ 下面就和同学们一起学习它吧 一、性质解读 1.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 2.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. 温馨提示：(1)这是三角形内角和定理的推论，推论可以当做定理使用； (2)两个推论中的关键字是“不相邻”，推论中指的是外角与不相邻的内角的关系，对于和外角相邻的内 角则是外角的补角。 二、性质证明 已知：如图，在△ABC中，∠ABD是△ABC的一个外角 求证：(1)∠ABD=∠A+∠C;(2)∠ABD>∠A,∠ABD>∠C 证明：(1).∠A+∠C十∠ABC=180°（三角形三个内角的和等于180）， .∠A+∠C=180°-∠ABC(等式的性质). ,∠ABD+∠ABC=180(1平角等于180)， 第 ∠ABD=180°-∠ABC(等式的性质). ∴.∠ABD=∠A十∠C(等量代换). 部 (2).∠ABD=∠A+∠C(已证)， 分 ∴.∠ABD>∠A,∠ABD>∠C(不等式的性质). 三、性质应用 融 例已知：如图，在△ABC中，∠B=40°，∠BAC=32°，BC边上的高为AD.求 ∠CAD的度数. 汇跃 解：：∠ACD是△ABC的一个外角（外角的定义）， ∴.∠ACD=∠B十∠BAC(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的 升 和). ,∠B=40°，∠BAC=32(已知)， .∠ACD=40°+32°=72°（等量代换）. BC⊥AD(已知)， .∠ADC=90°（垂直的定义）， ,∠ACD+∠CAD十∠ADC=180°（三角形三个内角的和等于180）， ∴.∠ACD+∠CAD=90(等量代换)， ∴.∠CAD=90°-∠ACD=18°. 点评：本题应用了“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”证明角的相等关系，还可以应 用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”证明角的不等关系. 1用 43