第1部分 第5章 一次函数-【期末·寒假大串联】2025-2026学年八年级数学（浙教版·新教材）

期末·寒假大串联 第5章一次函数 》知识结构网络 建立数学模型 变化的世界 函数 图像 一次函数 应用 再 性质 设 二元一次方程 重点、难点精析 第 一 1.一次函数和正比例函数的概念 部 一般地，函数 叫做一次函数，特别地，当 时，称y是x的正比例函数。 分 2.一次函数的性质 (1)k的正负决定直线的倾斜方向，当 时，y的值随x的增大而增大；当 时，y的值随x 温 的增大而减小； 故 (2)k|的大小决定直线的倾斜程度，即|越大，直线与x轴相交的锐角度数越大（直线越陡）；k|越 知 小，直线与x轴相交的锐角度数越小（直线越缓）： 新 (3)b的正、负决定直线与y轴交点的位置，当b 时，直线与y轴交于正半轴上；当b 时，直线与y轴交于负半轴上；当时，直线经过原点，是正比例函数； (4)由于k,b的符号不同，直线所经过的象限也不同， (1) ①如图(1)，当k>0,b>0时，直线经过第 象限； ②如图(2)，当 时，直线经过第一、三、四象限； ③如图(3)，当 时，直线经过第一、二、四象限； ④如图(4)，当 时，直线经过第二、三、四象限； ⑤当>0，b=0时，图像只经过第 象限，当k<0,b=0时，图像只经过第 象限 3.由于决定直线与x轴相交的锐角的大小，k相同，说明这两个锐角的大小相等，且它们是同位角， 因此，它们是平行的.另外，从平移的角度也可以分析，例如：直线y=x十1可以看作是正比例函数y=x向 上平移 得到的. 33 期末·寒假大串联 丽田 典例赏析 考点一 函数的概念 例1下列图形中的曲线不能表示y是x的函数的是 () 分析：从函数的概念出发，即在某一变化过程中，对于自变量每一个确定的值，函数值是唯一确定的，由 此可看出只有C不符合函数的定义， 解：选C 点评：根据图像判断两个变量是否符合某一函数关系是一类常见题型，只要理解了对于确定的自变量 的值，函数值是唯一确定的这一特征，这类题就迎刃而解了， 第 考点二一次函数的图像 一 例2小亮每天从家去学校上学行走的路程为900m,某天他从家去上学时以30m/min的速度行走了 部 450m,为了不迟到，他加快了速度，以45m/min的速度走完剩下的路程，则小亮行走过的路程s(m)与他行 分 走的时间t(min)之间的函数关系用图像表示正确的是 () 温 s/m s/m s/m ◆S/m 900 900 900--- 900-- 故 450 450 450 知 新 05101520251/分05101520251/分0510152025i/分0510152025t/分 A B 0 分析：由于图像表示的是小亮行走过的路程5与行走的时间t之间的函数关系，故离家距离、是逐渐增 加的，可以排除A和B;又由于后450m是加快了速度，表现在图像上是后一段路程的图像与x轴形成的角 度应比前一段路程所形成的角度大 解：选D. 点评：考查物体运动所形成的分段函数的图像一直是中考的热点，解决此类问题我们不妨从一次函数 的图像与x轴所形成的角度大小去考虑.一般来说，直线与x轴所形成的角度越大表示物体的速度越快. 考点三一次函数的应用 例3某地举办乒乓球此赛的费用y(元)包括两部分：一部分是租用比赛场地等固定不变的费用 b(元)，另一部分与参加比赛的人数x(人)成正比例，当x=20时，y=1600;当x=30时，y=2000, (1)求y与x之间的函数解析式； (2)如果有50名运动员参加比赛，且全部费用由运动员分摊，那么每名运动员需要支付多少元？ 分析：本题是一次函数的简单应用，首先要求出一次函数解析式，设举办乒乓球比赛的费用y(元)与租 用比赛场地等固定不变的费用b(元)和参加比赛的人数x(人)的函数关系式为y=kx十b(k≠0).把x= 20,y=1600;x=30,y=2000代入函数解析式，求出，b的值，就可确定函数解析式.当x=50时，求出y 期末·寒假大串联 的值，再求得y÷50的值即可. 解：(1)设y=k.x十b,则当x=20时，y=1600;当x=30时，y=2000, ,1600=20k十b,k=40, 解得 (2000=30k+b, b=800. 故y与x之间的函数解析式为y=40x十800(x>0). (2)当x=50时，y=40X50十800=2800（元）.∴.每名运动员需支付2800÷50=56（元）. 点评：待定系数法是求一次函数解析式常用的方法，一般是先设出函数解析式，再列出关于待定系数的 二元一次方程组，然后求出，b,最后确定函数解析式. 易错点制析 典例一对一次函数的性质掌握不牢固而致错 例1已知点(-4，)，(2y)都在直线y=一2x十2上，则1y的大小关系是 A.y1>y2 B.y=y2 C.y<y2 D.不能比较 第 错解：-4<2，y1<y2.故选C 部 分析：此题没有考虑函数的增减性而出错.由一次函数性质可知：当k>0时，y随x的增大而增大；当 分 <0时，y将随x的增大而减小 正解表=一<0y随x的增大石减小”-42yy.故选A 温 故 典例二忽视正比例函数是特殊的一次函数而致错 知 例2一次函数y=kx十b不经过第三象限，则下列判断正确的是 ( ) 新 A.k<0,b>0 B.k<0,b<0 C.k<0,b≤0 D.k<0,b≥0 错解：由于一次函数y=kx十b不经过第三象限，则它必经过一、二、四象限，故<0，b>0,故选A 分析：由于正比例函数是特殊的一次函数，因而y=x十b不经过第三象限，则它可能经过一、二、四象 限，也可能经过二、四象限 正解：由题意，得k<0,b≥0，故选D. 典例三忽视一次函数图像的增减性致错 例3一次函数y=kx十b的自变量的取值范围是一3≤x≤6，相应函数值的取值范围是一5≤y≤一2， 求这个函数的解析式. 错解：把x=-3,y=-5和x=6,y=一2分别代入y=kx十b中，得到 -5=-3k十b -2=6k+b 解得3，所以一次函数的解析式为y= 3x-4. b=一4 分析：错解只考虑了函数y=kx十b中k>0的情况，而忽视了k<0的情况. 正解：(1)当>0时，解法如上；(2)当<0时，把x=一3，y=一2和x=6,y=一5分别代入y=kx十 35 期末·寒假大串联 b中，解得=一 6=一3，所以一次画数的解析式为y=一弓x-3综上所迷，一次函款的解析式为 1 心=3x-4或y=、 1 3x3. 典例四 忽视隐含条件 例4小明等同学在探究弹簧的长度跟外力的变化关系时，得到下表一组数据： 砝码的质量x(克) 0 100 200 300 400 500 弹簧的长度y(厘米) 6 7.5 7.5 7.5 根据表格中数据信息画出相应的一次函数图像. :根据表格信息可得y二50工十2，从表格中，当x≥300时，y都等于7.5，所以所画的函数图像女 1所示. 1(厘米) 厘米) 7.5 7.5 第 一 300 x(克) 275 x(克 部 图1 图2 分 分析：根据表格信息可知，当x=0时，y=2,当x=100时，y=4,所以可求得)y=0x十2，而当)y=7.5 1 温 时可求得x=275,也就是当x=275时，弹簧已达到最大长度，而不是当x=300时才达到最大长度，错解忽 故 视了这一隐含条件， 知 正解：设y=虹+b,将x=0,y=2和x=10,y=4代入，可得= 1 新 50b=2,所以y=0x十2，当y= 7.5时，x=275. 所以所画的函数图像如图2所示 36