5.3 一次函数的意义（教学课件）数学新教材浙教版八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数的意义，涵盖定义、与正比例函数关系及待定系数法。通过汽车行程问题导入，结合旧知复习变量常量，借助弹簧伸长表格实例抽象关系式，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接函数概念与一次函数新知。 其亮点是结合弹簧伸长、租车费用等生活实例，发展抽象能力和模型意识，通过三点共线判断等典例培养推理能力。课堂小结结构化呈现核心定义和待定系数法步骤，学生能联系实际理解概念，教师可高效备课提升教学效果。

5.3 一次函数的意义 第5章 一次函数 浙教版2024·八年级上册 章节导读 学 习 目 标 理解一次函数的核心定义 能准确表述形如y=kx+b(k≠0，k，b为常数)，的函数特征，明确自变量、因变量、常量的概念及作用； 掌握一次函数与正比例函数的关系 能区分 “正比例函数是特殊的一次函数” 这一逻辑，准确判断给定函数是否为一次函数（或正比例函数）； 正确应用待定系数法求一次函数解析式 能根据实际情境或已知条件（如两组对应值、特殊点坐标），运用待定系数法求一次函数的表达式； 旧知复习 “我们之前学过变量和常量，谁能举例说明什么是变量？什么是常量？” 你还能列举出哪些例子，同桌交流沟通一下 购买铅笔，单价 1 元，购买数量 x 和总价 y，x 和 y 是变量，1 是常量 “总价 y 和数量 x 之间的关系式是什么？ 课堂导入 小明暑假第一次去北京，汽车驶上A地的高速公路后，小明观察里程碑，发现汽车的速度是95千米/时，已知A地直达北京的高速公路全程为 570千米，小明想知道汽车从A地驶出后，距北京的路程和汽车在高速公路上行驶的时间有什么关系，以便根据时间估计自己距北京的路程。 新知探究 探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)间的关系如表： 所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14.5 (1)补充上面的表格． (2)该表格反映了两个变量之间的关系，自变量是 ， 因变量是 ． 14 15 所挂物体的质量 弹簧的长度 新知探究 探索计算：弹簧挂上物体后会伸长．已知一弹簧的长度(cm)与所挂物体的质量(kg)间的关系如表： 所挂物体的质量/kg 0 1 2 3 4 5 6 弹簧的长度/cm 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 (3)在弹性限度内，如果所挂物体的质量为xkg，弹簧的长度为ycm，根据上表写出y与x的关系式． (4)如果弹簧的最大长度为20cm，那么该弹簧最多能挂质量为多少的物体？ y=0.5x+12 16kg 新知探究 一般地，函数y=kx+b（k，b都是常数，且k≠0）叫做一次函数， 常数k叫作比例系数 特别的：b=0时，一次函数y=kx+b就成为y=kx（k是常数，k≠0），叫作正比例函数， 例如：y=2x，y=-3x等等。 例如：上述所挂物体的质量为xkg，弹簧的长度为ycm之间的关系式：y=0.5x+12 一次函数的定义 做一做 下列y与x之间的函数关系：①y=x；②y=；③y=；④y=-x+10；⑤y=kx+b；⑥y=x（x-1）其中是一次函数有哪些？ 一次函数的判断方法总结： ①一次函数的定义：一次函数是指形如y=kx+b（k≠0）的函数，其中k和b是常数，k不等于0； ②函数形式的判断：要判断一个函数是否为一次函数，首先需要将函数式子进行变形，看它能否化成y=kx+b的形式； ③指数和系数的检查：在化简后的形式中，x的指数必须为1，且k（即x前的系数）不能为0。如果满足这两个条件，则这个函数是一次函数； ④特殊情况的考虑：如果b=0，那么函数y=kx既是正比例函数，也是一次函数。 例1. 下列各题中的y与x之间关系式中，y是x的正比例函数的是( ) A．在时速为80km的匀速(速度不变)运动中，路程y（km）与时间x（h）之间的关系 B．圆柱的体积y（cm3）与它的底面半径x（cm）之间的关系 C．正方形的面积y（cm2）与它的边长x（cm）之间的关系 D．某车站规定旅客可以免费携带不超过20kg的行李，超过部分每千克收取2.5元的行李费用，则旅客需交的行李费y(元)与携带行李质量x(千克)（x＞20）之间的关系 典例分析 变式训练 下列两个变量之间的关系式，是正比例函数的是（ ） A．正方形的面积S(m2)与边长a(m)之间的关系 B．等腰三角形的周长为10cm，底边长y(cm)与腰长x(cm)之间的关系 C．铅笔每支2元，购买铅笔的总价y（元）与购买的数量n（支）之间的关系 D．小明进行100m短跑训练，跑完全程所需时间t(s)与速度v(m/s)之间的关系 例2 某书店开设两种租书方式：一种是零星租书，租书费为每册4元；另一种是会员卡租书，办卡费每月48元，租书费为每册1.6元．小军经常来该店租书，设他每月租书数量为x册，以零星租书方式每月应付的金额为y1元，以会员卡租书方式每月应付的金额为y2元． (1)请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式； (2)当小军租多少本书时，选择两种租书方式的金额相同？ 典例分析 解：(1)y1=4x y2=1.6x+48 (2)由题意得：y1=y2，4x=1.6x+48 解得x=20 ∴当小军租20本书时，选择两种租书方式的金额相同 变式训练 写出下列各题中y与x之间的表达式，并判断y是否为x的一次函数，是否为x的正比例函数． (1)等边三角形的周长y与边长x之间的关系； (2)汽车行驶前，油箱中有油65L，已知汽车每行驶10km耗油2L，油箱的余油量yL与已行驶的距离xkm之间的关系． y=3x，是一次函数也是正比例函数 每千米耗油2÷10=0.2L，y=-0.2x+65，是一次函数 新知探究 已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(-1,-1)和点B(1,5)，求这个一次函数的表达式； 待定系数法求一次函数解析式 解：将点A（-1,1）和点B（1,5）代入y=kx+b 得，解得 所以一次函数的表达式为y=3x+2 新知探究 1.设所求的一次函数表达式为y=kx+b，其中k，b是待确定的常数，k≠0. 2.把两对已知的自变量与对应的函数值分别代入y=kx+b，得到关于k，b的二元一次方程组. 3.解这个关于k、b的二元一次方程组，求出k、b的值. 4.把求得的k，b的值代入y=kx+b，就得到所求的一次函数表达式. 这种求函数表达式的方法叫作待定系数法。 待定系数法求一次函数解析式步骤 例3 已知一次函数的图象经过A(-1,0)，B(1,2)两点． (1)求这个一次函数的关系式； (2)试判断点(2,3)是否在这个一次函数的图象上并说明理由． 典例分析 解：（1）解：设一次函数关系式为y=kx+b 将点A（-1,0）和点B（1,2）代入y=kx+b 得，解得 所以一次函数的表达式为y=x+1 （2）点(2,3)在一次函数y=x+1的图象上，理由如下 当x=2时，y=2+1=3，所以点（2,3）在一次函数y=x+1的图象上 变式训练 已知平面直角坐标系中三点A(-1,-3),B(1,1)，C(4,6)，试判断这三点是否在同一条直线上，并说明理由． 解：A(-1,-3),B(1,1)，C(4,6)三点不在同一条直线上 设直线AB的解析式为y=kx+b 将点A（-1,-3）和点B（1,1）代入y=kx+b 得，解得 所以一次函数的表达式为y=2x-1 在y=2x-1中，当x=4时，y=7， ∴C(4,6)不在直线AB上 ∴A(-1,-3),B(1,1),C(4,6)三点不在同一直线上 例4 某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准．居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示： 典例分析 （1)当0＜x≤5时，y与x的函数解析式 解：设函数解析式为y=kx， 由题意得3.6=5k，解得k=0.72 ∴y=0.72x（0＜x≤5） 例4 某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准．居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示： 典例分析 （2)当x＞5时，y与x的函数解析式； 解：设函数解析式为y=ax+b， 由题意得: 解得: ∴y=0.9x-0.9（x＞5） 例4 某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准．居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，其图象如图所示： 典例分析 （3)若某居民该月用水吨，问应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？ 解：当x=3.5时，y=0.72×3.5=2.52（元） 当y=9时，9=0.9x-0.9 解得x=11 答：居民该月用水3.5吨，应交水费2.52元，若该月交水费9元，则用水11吨。 课堂练习 1．下列属于正比例函数关系的是（ ） A．三角形的底边是常数a时，它的面积S与这条边上的高h B．仓库的粮食总量为常数w，每天的销量m与销售的天数t C．行驶的路程s是常数时，行驶的速度v与时间t D．正方形的面积S与它的边长a 课堂练习 2.一次函数y=-3x+2的图象经过点（ ） A. (0,2) B. (-1,1) C. (2,4) D．以上都正确 3.下列函数：①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（ ）个． A. 5 B. 4 C. 3 D．2 课堂练习 4．中国象棋文化历史悠久．如图所示是某次对弈的残局图，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点(-2,-1)的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数解析式为（ ） A. y=x+1 B. y=x-1 C. y=2x+3 D．y=2x-3 课堂练习 5. 温度是影响声音传播速度的一个关键因素，在大多数情况下，随着温度的升高，声速会增大，实验发现声音在淡水中的传播速度v(m/s)与温度t(℃)之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示，则v与t之间的函数关系式为_____． y=5t+1380 课堂练习 6.（1）正比例函数y=kx，若当x=3时，y=-2，则它的函数表达式为________； （2）已知y+2与x成正比例，当x=1时，y=2，则y与x的函数表达式为________； （3）已知一次函数y=kx+b中，若当x=3时，y=5；当x=-1时，y=-3，则k=________，b=________． y= y=4x-2 2 -1 课堂练习 7.2023年前10月，陕西省新能源汽车产量已达82.9万辆，同比增长40.5%，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题： (1)当0≤x≤150时，求汽车每消耗1千瓦时用电量能行驶的路程； 解：由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时，汽车已行驶了150千米 1千瓦时用电量能行驶的路程为150÷（65-35）=5（千米） 课堂练习 7.2023年前10月，陕西省新能源汽车产量已达82.9万辆，同比增长40.5%，并且全省新能源汽车的“版图”仍在加速扩张中，如图是小明在观察自家购买的某型号新能源纯电动汽车充满电后行驶里程，绘制的蓄电池剩余电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象，根据图象回答下列问题： (2)求当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量． 解：当150≤x≤200时，设函数解析式为y=ax+b， 把点（150,35），（200,10）代入得 解得:∴y=-0.5x+110 当x=160时，y=-0.5×160+110=30 答：当汽车已行驶160千米时，蓄电池的剩余电量为30千瓦时。 课堂小结 核心定义（重点） 一次函数的定义：一般地，形如y=kx+b（k，b是常数，且k≠0）的函数，叫做一次函数。 注意：①自变量x的次数是1（最高次项为一次项） ②比例系数k≠0（若k=0，则函数变为y=b，是常数函数，不是一次函数） ③b是常数项（可正，可负，可为0） ④当b=0时，y=kx+b变为y=kx，此时叫做正比例函数 课堂小结 待定系数法求一次函数解析式 1.设所求的一次函数表达式为y=kx+b，其中k，b是待确定的常数，k≠0. 2.把两对已知的自变量与对应的函数值分别代入y=kx+b，得到关于k，b的二元一次方程组. 3.解这个关于k、b的二元一次方程组，求出k、b的值. 4.把求得的k，b的值代入y=kx+b，就得到所求的一次函数表达式. 这种求函数表达式的方法叫作待定系数法。 感谢聆听! 高效备课·轻松学习 初 中 数 学 $