9.9图形的位似（教学课件）数学鲁教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦“利用位似放缩图形”，涵盖位似多边形的定义、性质、坐标表示及作图方法。通过生活中宣传海报缩放等情境引入，结合相似多边形、图形变换等旧知回顾，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察生活实例，通过猜想验证、坐标变换等任务设计发展推理意识，用坐标语言精准表达位似规律。实例丰富如网格作图、坐标计算，助力学生提升几何直观与空间观念，也为教师提供清晰的教学路径。

9.9利用位似放缩图形 第九章 图形的相似 学 习 目 标 1.理解位似多边形的定义和核心性质，能在平面直角坐标系中，熟练应用位似图形的坐标变换规律，掌握以指定点为位似中心、按给定相似比画位似图形的方法；（重点） 2.位似图形的判定，当相似比 k 为负数时，位似图形的位置特征及准确画图，同时区分位似与相似的联系与区别.（难点） 知识回顾 2. 图形变换的核心特征. 对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形 1.你还记得相似多边形的定义吗？ ①平移：位置平移，形状大小不变 ②轴对称：关于对称轴对称，形状大小不变 ③旋转：绕点旋转，形状大小不变 3.已知线段 AB=6，点 C 将 AB 分为 AC:CB=2:1，求 AC 的长度 已知线段AB=6，且AC∶CB=2∶1，即AB总共分成了3份 先求每份的长度：6÷3=2 再求AC的长度（AC占2份）：2×2=4. 情境引入 这些场景中的图形，形状和大小有什么关系？ 任选一组对应点，连接直线后，你发现了什么特殊位置关系？ 下面，让我们通过本节课的学习，尝试解决以上问题！ 新知探究 探究一：位似图形的概念探究 任务一：生活中的“形状相同” 1.观察上图（宣传海报的缩放图片），可以发现： （1）图片①与②相似，即形状相同，大小不同 （2）在图片①上任取一点A，在图片②上找到其对应点A'，连接AA'，观察直线AA'经过镜头中心点O. （3）测量并计算的值，多取几组对应点重复操作，发现比值相等. 新知探究 任务二：类比迁移：从特殊到一般的几何特征 观察下图（两个相似五边形），已知五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'，直线AA'与BB'相交于点O （1）猜想：直线CC'、DD'、EE'是否也经过点O？（动手画图验证） 直线CC'、DD'、EE'都经过点O （2）计算、、的值，它们之间有什么关系？ 新知探究 任务三：抽象位似图形的本质属性 结合任务1和任务2的发现，尝试用自己的语言描述“位似图形”的共同特征 ① 两个图形形状相同（相似） ② 所有对应顶点的连线都经过同一点O（位似中心）； ③ 对应顶点到点O的距离之比等于同一个常数k（位似比） 新知探究 任务四：位似与相似的关系及位似中心的多样性 ① 两个图形形状相同（相似） ② 所有对应顶点的连线都经过同一点O（位似中心）； ③ 对应顶点到点O的距离之比等于同一个常数k（位似比） 1.位似图形一定是相似图形吗？相似图形一定是位似图形吗？ 2.结合下图思考：位似中心的位置是否唯一？ （1）由上图可知，位似中心的位置不唯一 （2）位似中心可以在两个图形外部；可以在两个图形内部；也可以在其中一个图形的顶点处；但对于给定的两个位似图形，它们的位似中心是唯一的. 新知探究 位似多边形： 知识归纳 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P'所在的直线都经过同一点O，且OP'=k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心，k就是相似比 新知探究 （1）位似图形一定是相似图形.（ ） （2）相似图形一定是位似图形.（ ） （3）两个位似图形的位似中心只有一个.（ ） （4）位似比为1的两个图形是全等图形.（ ） √ × √ √ 新知探究 探究二：坐标与变换——位似图形的坐标表示 任务一：正数位似比下的坐标变换 （1）探究相似四边形的周长比 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，， 1.将，，三点的横、纵坐标都乘2，得到新顶点，，。 在坐标系中画出，判断它与是否位似？若位似，指出位似中心和位似比 新知探究 ①由所画图形课判断：它们是位似图形 ②位似中心：原点 ③位似比：，，故位似比为 （2）若将横、纵坐标都乘，得到的新图形与原图形是否位似？位似比是多少？ ①新顶点坐标：，， ②它们是位似图形 ③位似中心：原点 ④位似比：，位似比为 新知探究 任务二：负数位似比下的坐标变换 在探究一中，若将各顶点的横、纵坐标都乘，得到新顶点，， 1.画出，观察它与的位置关系（是否关于原点对称？） ； 由图可知与关于原点对称（对应点横、纵坐标互为相反数） 新知探究 （2）判断与是否位似？位似比是多少？横、纵坐标乘与乘的区别是什么？ 与是位似图形；位似中心是原点；位似比是（位似比为绝对值，故为） ②区别：横、纵坐标乘（）时，图形与原图形同向（对应点在原点同侧）； 乘（）时，图形与原图形反向（对应点在原点异侧，关于原点对称） 新知探究 任务三：四边形位似变换的坐标与性质分析. 四边形ABCD顶点坐标为A(4,2)、B(8,6)、C(6,10)、D(-2,6)，请将各顶点横、纵坐标分别乘和，计算新坐标、画图后判断是否位似，确定位似中心和相似比. ①坐标乘后：A'(2,1)、B'(4,3)、C'(3,5)、D'(-1,3)； ②乘后：A''(-2,-1)、B''(-4,-3)、C''(-3,-5)、D''(1,-3) 新知探究 将新坐标画图，得到如图 ③由图可知：两种变换下，新四边形与原四边形位似，位似中心为坐标原点，位似比均为； ④区别在于：乘时图形与原图形同向，乘时图形与原图形反向 新知探究 位似图形的坐标表示： 知识归纳 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 新知探究 （1）在平面直角坐标系中，△ABO一个顶点的坐标分别为A（﹣2，4），B（4，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的．得到△CDO，则点A的对应点C的坐标是（ ） A．（﹣4，8） B．（﹣4，8）或（4，﹣8） C．（﹣1，2） D．（﹣1，2）或（1，﹣2） D 新知探究 2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABC的三个顶点均在格点（网格线的交点）上．以原点O为位似中心，画出△，使它与△ABC的相似比为2，且它与△ABC在位似中心O的两侧，并写出点B的对应点的坐标是_________． （﹣4，﹣2） 新知探究 例1 已知△ABC，以点O为位似中心画一个△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2. 【分析】确定位似中心→连接并延长（或反向延长）中心与顶点→按位似比截取对应点→连接对应点 解：如图，画射线OA，OB，OC；在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F 使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC 用线段顺次连接D，E，F，D，则△DEF与△ABC位似，相似比为2 新知探究 例2 在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点坐标分别是O（0，0），A（6，0），B（3，6），C（-3，3）. 以原点O为位似中心画一个四边形，使它与四边形OABC位似，且相似比是2∶3. 【分析】为了使画出的四边形与原四边形的相似比为2∶3，可以将原四边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘，或都乘. 如图，有两种画法. 画法一：将四边形OABC各顶点的坐标都乘，得O（0，0），A′（4，0），B′（2，4），C′（-2，2）；在平面直角坐标系中描出点A′，B′，C′，用线段顺次连接点O，A′，B′，C′，O，则四边形OA′B′C′就是符合要求的四边形. 画法二：将四边形OABC各顶点的坐标都乘，得O（0，0），A″（-4，0），B″（-2，-4），C″（2，-2）；在平面直角坐标系中描出点A″，B″，C″，用线段顺次连接点O，A″，B″，C″，O，则四边形OA″B″C″也是符合要求的四边形. 巩固练习 基础巩固题 1．下列每组的两个图形不是位似多边形的是( ) B 2．如图，△ABC和△是以点O为位似中心的位似三角形，若C1为OC的中点，AB＝4，则的长为( ) A．1 B．2 C．4 D．8 B 巩固练习 基础巩固题 A 3．下列关于位似图形的表述： ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形； ②位似图形一定有位似中心； ③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比． 其中正确命题的序号是( ) A．②③ B．①② C．③④ D．②③④ 巩固练习 基础巩固题 4．用作位似图形的办法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心位置可选在( ) A．原图形的外部 B．原图形的内部 C．原图形的边上 D．任意位置 5.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ADE是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，点A在x轴上，若点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（2，1），则点D的坐标是（ ） A．（2，1） B．（2，2） C．（3，2） D．（3，3） 巩固练习 基础巩固题 6.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是________． （6，2） 7．如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB∶DE＝_____. 2:3 巩固练习 基础巩固题 8.如图，△ABC与△DOE是位似图形，A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0），△ABC与△DOE的位似中心为M． （1）写出D点的坐标； （2）在图中画出M点，并求M点的坐标． 【解答】解：（1）过点D作DH⊥OE于点H， ∵△ABC与△DOE是位似图形 A（0，3），B（﹣2，0），C（1，0），E（6，0）， ∴BC＝3，OE＝6，△AOB∽△DHO， ∴位似比为：3：6＝1：2， ∴OH＝2OB＝4，DH＝2OA＝6， ∴D点的坐标为：（4，6） 巩固练习 基础巩固题 （2）连接DA并延长，交x轴于点M，则点M即为△ABC与△DOE的位似中心 则MO：MH＝1：2， 设MO＝x，则MH＝x+4， ∴x：（x+4）＝1：2， 解得：x＝4， ∴M点的坐标为（﹣4，0 ）． 课堂小结 利用位似放缩图形 位似多边形 需同时满足“相似”和“任意一组对应顶点连线过同一位似中心，且OP' = k OP(k 0)，其中k是相似比（位似比），点O是位似中心 位似的性质 对应顶点连线过位似中心，对应边平行（或共线），相似比等于位似比 位似图形的坐标表示 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 感谢聆听! $