9.8相似三角形的性质（第1课时）（教学课件）数学鲁教版五四制八年级下册

该初中数学课件聚焦相似三角形性质，核心讲解对应高、中线、角平分线及拓展的n等分线、n等分点连线的比等于相似比。课堂从建筑模型等生活情境导入，结合相似比、三角形线段定义等旧知，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以情境探究驱动，通过建筑模型立柱问题引导证明对应线段比等于相似比，类比延伸至n等分线和n等分点，培养推理能力与创新意识。例1及分层练习强化模型应用，学生能提升几何直观与问题解决能力，教师可高效突破重难点。

9.8相似三角形的性质 （第1课时） 第九章 图形的相似 学 习 目 标 1.理解并掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；（重点） 2.灵活运用相似三角形的性质进行推理证明和实际问题的解决.（难点） 知识回顾 1. 你还记得相似比的定义吗？ 两个相似图形对应边的比叫做相似比 2.什么是三角形的高、中线、角平分线？ ①从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段 ②连接三角形一个顶点与对边的中点的线段 ③平分三角形一个内角，且顶点与对边交点间的线段 （3）如图，ΔABC，你能找出其中∠B的对应角吗？AB的对应边是哪一条边？ ∠B的对应角是∠,AB的对应边是. 情境引入 生活中我们经常会看到 “按比例缩小或放大” 的物品，比如建筑模型、地图、玩具摆件等。现在我们研究一个和建筑相关的问题 ——图纸上是房梁△ABC，需按 1:2 的比例建造模型房的房梁△A'B'C' 仔细观察这幅图，思考第一个问题：图纸上的△ABC 和模型房的△A'B'C' 是什么关系？ 再想一想：这两个立柱所在的小三角形，也就是△ACD 和△A'C'D'，它们是不是也相似呢？如果相似，相似比是多少？ 新知探究 探究一：相似三角形对应线段的性质探究 探究“对应高的比等于相似比” 情境展示：小王依据图纸上的△ABC，以 1:2 的比例建造模型房的房梁△A'B'C'，CD 和 C'D' 分别是它们的立柱. △ACD与△A'C'D'相似吗？为什么？相似比是多少？ 解：由△ABC∽△A'B'C'可得∠A=∠A'，又∠ADC=∠A'D'C'=90° 故△ACD∽△A'C'D'（AA判定） ∵△ACD∽△A'C'D' ∴ ∴相似比是 新知探究 2. 若CD=1.5cm，模型房的立柱C'D'有多高？ 已知CD=1.5cm，，解得C'D'=3cm. 3. CD 和 C'D'是△ABC和△A'B'C'的高，由以上结果可以发现相似三角形的高和相似比有什么关系？ 相似三角形对应高的比等于相似比 新知探究 任务二：类比探究“对应中线、对应角平分线的比等于相似比” 1.若CD、C'D'是△ABC与△A'B'C'的对应中线（AD=DB，A'D'=D'B'），结论是否仍成立？ 已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，CD、C'D'分别为AB、A'B'边上的中线 求证： 证明：由△ABC∽△A'B'C'可得∠A=∠A'，AC:A`C`=k，AB:A`B`=k 依据中线定义可得AD=AB，A'D'=A'B' ∵∠A=∠A'，AC:A`C`=k，AD:A`D`=k ∴△ACD∽△A'C'D' ∴则 新知探究 2. 若CD、C'D'是△ABC与△A'B'C'的对应角平分线（∠ACD=∠BCD，∠A'C'D'=∠B'C'D'）呢？结论是否成立？ 已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，CD、C'D'分别为AB、A'B'边上的角平分线 求证： 证明：∵ ，相似比为， ∴ ，，且 ∵ 是的角平分线，是的角平分线， ∴ ， 新知探究 又∵ ∴ （等量的一半相等） ∴ ∵ ， ∴ 由以上证明可以发现: （1）相似三角形对应边上的中线的比等于相似比 （2）相似三角形对应角平分线的比等于相似比 新知探究 相似三角形的性质（1）： 知识归纳 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比 对应高的比等于相似比 构造直角三角形，用“AA”证相似 利用中线分线段成比例，用“SAS”证相似 对应中线的比等于相似比 利用角平分线分角相等，用“AA”证相似 对应角平分线的比等于相似比 新知探究 12 已知△ABC∽△DEF，相似比为3:4： （1）若△ABC中BC边上的高为6，则△DEF中EF边上的高为____； （2）若△DEF中AC边上的中线为8，则△ABC中对应中线的长为____； （3）若△ABC中∠B的角平分线长为9，则△DEF中对应角平分线的长为____ 8 6 新知探究 探究一：相似三角形中“对应分线段”的性质拓展 任务一：探究“对应角n等分线的比等于相似比” 1.已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'，则的比值是多少？ 解： ∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠B=∠B'，∠BAC=∠B'A'C'； ∵∠BAD=∠BAC，∠B'A'D'=∠B'A'C'， 情境展示：探究一中我们证明了“对应角平分线的比等于相似比”，若将“2等分”改为“3等分” ，结论是否仍成立？ 新知探究 在△ABD和△A'B'D'中 ∴△ABD∽△A'B'D'（AA判定） ∴ ∴∠BAD=∠B'A'D' 结论：相似三角形对应角的n等分线的比等于相似比 新知探究 任务二：探究“对应边n等分点连线的比等于相似比” 情境展示：若AE、A‘E’不是中线，而是BC、B'C'边上的3等分点连线（BE=BC，B'E'=B'C'），是否仍等于k？ 2. 已知：△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，BE=BC，B'E'=B'C'，的比值是多少？ 解：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴，∠B=∠B'； ∵BE=BC，B'E'=B'C' 新知探究 结论：相似三角形对应边的n等分点连线的比等于相似比 ∴； 在△ABE和△A'B'E'中 △ABE∽△A'B'E'（SAS判定） ∴ 新知探究 任务三：你还能提出哪些问题？与同伴交流. 如：① 若AD、A'D'是∠BAC、∠B'A'C'的4等分线，则为多少？  ② 若BE=BC，B'E'=B'C'，则的比值是多少？ 尝试通过小组合作解决自己提出来的问题 新知探究 性质拓展： 知识归纳 相似三角形中，对应角的n等分线（n≥2）、对应边的n等分点连线（n≥2）的比都等于相似比 新知探究 （1）填空 已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为 ( ) ， 和 分别是 ∠BAC 和 ∠B′A′C′ 的四等分线. ①若 ，则 ； ② ___. （2）判断并说明理由 下列说法是否正确？正确的在括号内打“√”，错误的打“×”并简要说明理由： ①“相似三角形任意两条角平分线的比都等于相似比。”（ ） ②“如果两个三角形的某两边被同一条直线分成相同的比例，那么这两个三角形一定相似。”（ ） k × × 新知探究 例1 如图，是的高，，点在边上，点在边上，，垂足为。当时，求的长。如果呢？ 【分析】本题以“三角形中的平行线段与高的关系”为载体，考查相似三角形的判定及性质（对应高的比等于相似比）的应用。核心是通过平行线构造相似三角形，建立线段比例关系求解未知量． 【解答】∵， ∴ ∴， ∴ ∴ 当时，得 即 解得 时，得 解得 巩固练习 基础巩固题 1.已知，若与的相似比为，则与对应中线的比为（ ） A. B. C. D. 2.如果两个相似三角形对应边之比为，那么它们的对应中线之比是（ ） A. B. C. D. A C 巩固练习 基础巩固题 3.已知，和是它们的对应中线，若，，则的长是（ ） B. C. D. 4.若，相似比为，则对应高的比为（ ） B. C. D. C A 巩固练习 基础巩固题 5.若两个相似三角形某一对应高的长分别为6和9，则它们的相似比为（ ） A．2∶3  B．3∶2  C．1∶2  D．2∶1 6.若△ABC∼△DEF，且相似比为2∶3，若△ABC的中线AM=4，则△DEF中对应的中线DN=______ 7. 若△MNP∽△M'N'P'，它们的对应角平分线的比为3:1，则相似比为______，对应中线的比为______ A 6 3:1 3:1 巩固练习 基础巩固题 8.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD． （1）求证：△ABC∽△BDC． （2）若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长． （1）证明：如图，∵AD＝BD， ∴∠A＝∠DBA， ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴∠CBD＝∠DBA， ∴∠A＝∠CBD， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△BDC． （2）解：如图，∵∠C＝90°， ∴∠A+∠ABC＝90° ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∴∠A+∠ABD+∠CBD＝3∠A＝90°， ∴∠A＝30° ∴AB＝4 课堂小结 相似三角形的性质（1） 相似三角形的性质（1） 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比 性质的延申 相似三角形中，对应角的n等分线（n≥2）、对应边的n等分点连线（n≥2）的比都等于相似比 感谢聆听! $