精品解析：江苏省无锡市夏港中学2025-2026学年九年级上学期12月作业反馈数学试卷

江苏省无锡市夏港中学2025-2026学年九年级上学期12月作业反馈数学试卷 一、选择（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程x2=4x的解是（ ） A. x=4 B. x=0 C. x=0或-4 D. x=0或4 2. 在中，，，则   （ ） A. B. C. D. 3. 如图，是的直径，点C、D在上．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 4. 某班40名学生一周阅读书籍的册数统计图如图所示，该班阅读书籍的册数的众数是（ ） A. 1册 B. 2册 C. 3册 D. 4册 5. 如图，已知，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 温州某服装店十月份的营业额为8000元，第四季度的营业额共为40000元．若平均每月的增长率为x，则由题意可列出方程为( ) A. 8000（1+x）2=40000 B. 8000+8000（1+x）2=40000 C. 8000+8000×2x=40000 D. 8000[1+（1+x）+（1+x）2]=40000 7. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中是真命题的为（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 任何三角形有且只有一个内切圆 D. 相等的圆周角所对的弧相等 9. 如图，边长为4的正三角形外接圆，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（　　） A. 12+2π B. 4+π C. 24+2π D. 12+14π 10. 如图，在中，M是上一点，E是上一动点，过点E作交于点F，若，，，则的最大值为（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 15 二、填空（每题3分，共24分） 11. 若，则的值为______． 12. 已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积为______． 13. 某电视台要招聘名记者，某应聘者参加了项素质测试，成绩如下： 测试项目 采访写作 计算机操作 创意设计 测试成绩（分） 如果将采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按计算，则该应聘者的素质测试平均成绩是______分． 14. 若的半径为4，圆心到直线的距离为5，则直线与的位置关系是__________（填相交、相切或相离） 15. 如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是______． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中，以为直径的圆过C、D两点，则的值为__________． 17. 如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为__________． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，若作，且（C、O在的两侧），设点的坐标为，则关于的函数关系式为__________． 三、解答题（共10题，96分） 19. （1）； （2）化简：． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 21. 如图，△ABC中，D在边AC上，∠ABD＝∠C． （1）求证：△ADB∽△ABC； （2）若AB＝6，AD＝4，求AC的长． 22. “探险家”是历史上的探险先驱，他们的故事激励着无数人勇往直前．小明购买了“四大探险家”（马可·波罗、哥伦布、麦哲伦、大卫·利文斯通）的纪念卡片各1张，分别记为A卡、卡、卡、卡．小明打算将其中两张纪念卡片送给小刚，他将这些卡片背面朝上放在桌上（卡片背面设计完全相同）． （1）小刚随机抽取一张卡片，抽到A卡的概率是__________； （2）小刚先随机抽取一张卡片（不放回），然后再随机抽取第二张，求抽到的两张卡片中，一张是A卡，一张是B卡的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 23. 3月12日，某初级中学组织学生开展了义务植树社会实践活动．为了了解全校500名学生义务植树情况，小文同学开展了一次调查研究．小文从每个班级随机抽取了5名学生进行调查，并将收集的数据（单位：棵）进行整理、描述，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）小文一共随机抽取______名学生进行调查；在扇形统计图中，“4棵”所在的扇形的圆心角等于______度； （2）补全条形统计图； （3）随机抽取的这部分学生义务植树数量的中位数是______； （4）在这次社会实践活动中，学校授予义务植树数量不少于4棵的学生为“植树小能手”的称号，根据调查结果，估计该学校获得“植树小能手”称号的学生有______名． 24. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．               （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； （3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 25. 如图，在中，； （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 26. 如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 27. 某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系； （1）求出y 与x之间的函数关系式； （2）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？ 28. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，过点作，垂足为，当时，请求出的值； （3）如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省无锡市夏港中学2025-2026学年九年级上学期12月作业反馈数学试卷 一、选择（每题3分，共30分） 1. 一元二次方程x2=4x的解是（ ） A. x=4 B. x=0 C. x=0或-4 D. x=0或4 【答案】D 【解析】 【分析】先移项，利用因式分解法解一元二次方程. 【详解】解：x2=4x x2-4x=0 x（x-4）=0 x=0或x=4， 故选：D. 【点睛】此题考查解一元二次方程，直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据一元二次方程的特点选择恰当的解法是解题的关键. 2. 在中，，，则   （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查求角的三角函数值，勾股定理，设，利用勾股定理求出，根据正切定义求出答案，熟练掌握各三角函数值的计算公式是解题的关键 【详解】解：在中，，， ∴ 设，则， ∴， 故选：A 3. 如图，是的直径，点C、D在上．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆周角定理计算即可． 【详解】 故答案为：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理(一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半)，属于高频常考题型． 4. 某班40名学生一周阅读书籍的册数统计图如图所示，该班阅读书籍的册数的众数是（ ） A. 1册 B. 2册 C. 3册 D. 4册 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查众数．从图中得到2册出现的人数最多，即为答案． 【详解】解：有14人阅读书籍2册，人数最多， ∴该班阅读书籍的册数的众数为2册， 故选：B． 5. 如图，已知，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等高三角形面积比转化为边的比，再利用相似三角形相似比和面积比的关系计算． 【详解】解： 故选A． 【点睛】本题主要考查相似三角形的相似比与面积比的关系，熟练掌握相似比与面积比的关系是解决本题的关键． 6. 温州某服装店十月份的营业额为8000元，第四季度的营业额共为40000元．若平均每月的增长率为x，则由题意可列出方程为( ) A. 8000（1+x）2=40000 B. 8000+8000（1+x）2=40000 C. 8000+8000×2x=40000 D. 8000[1+（1+x）+（1+x）2]=40000 【答案】D 【解析】 【详解】试题解析：设平均每月的增长率为x， 则十一月份的营业额为8000（1+x）， 十二月份的营业额为8000（1+x）2， 由此列出方程：8000[1+（1+x）+（1+x）2]=40000． 故选D． 7. 如图，能使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键．根据相似三角形的判定求解即可． 【详解】由题意得，， 若添加，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似， 可判断，故C选项符合题意； A， B， D选项均不能判定，故不符合题意； 故选：C． 8. 下列命题中是真命题的为（ ） A. 长度相等的弧是等弧 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 任何三角形有且只有一个内切圆 D. 相等的圆周角所对的弧相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等弧“在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧”、垂径定理、三角形的内切圆、圆周角定理推论，熟练掌握圆的相关性质是解题关键．根据等弧的定义、垂径定理、三角形的内切圆、圆周角定理推论逐项判断即可得． 【详解】解：A、在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，度数或长度相等的弧不一定是等弧，则此项是假命题，不符合题意； B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，则此项是假命题，不符合题意； C、因为三角形的内切圆的圆心是三角形的三个内角的角平分线的交点，只有一个，所以任何三角形有且只有一个内切圆，则此项是真命题，符合题意； D、在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，则此项是假命题，不符合题意； 故选：C． 9. 如图，边长为4的正三角形外接圆，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分面积为（　　） A. 12+2π B. 4+π C. 24+2π D. 12+14π 【答案】A 【解析】 【分析】正三角形的面积加上三个小半圆的面积，再减去中间大圆的面积即可得到结果． 【详解】解：正三角形的面积为：， 三个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：， 所以阴影部分的面积为：， 故选： 【点睛】本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键． 10. 如图，在中，M是上一点，E是上一动点，过点E作交于点F，若，，，则的最大值为（ ） A. 40 B. 30 C. 20 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，设，先解直角三角形可得，从而可得，，再根据相似三角形的判定可证，根据相似三角形的性质可得，从而可得，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 设， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值，最大值为30， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、二次函数的应用，正确求出的面积的函数表达式是解题关键． 二、填空（每题3分，共24分） 11. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，由已知可得 ，再把分式转化为，进而代入计算即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法．根据圆柱侧面积公式底面周长高计算即可． 【详解】解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形， 它的长是底面圆的周长，即，宽为母线长为， 它的面积为． 故答案为：． 13. 某电视台要招聘名记者，某应聘者参加了项素质测试，成绩如下： 测试项目 采访写作 计算机操作 创意设计 测试成绩（分） 如果将采访写作、计算机操作和创意设计的成绩按计算，则该应聘者的素质测试平均成绩是______分． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，根据加权平均数公式，将各测试成绩按权重比例计算平均成绩，掌握加权平均数公式是解题关键． 【详解】解：该应聘者的素质测试平均成绩是 （分）， 故答案为：． 14. 若的半径为4，圆心到直线的距离为5，则直线与的位置关系是__________（填相交、相切或相离） 【答案】相离 【解析】 【分析】本题考查直线和圆的位置关系，判断直线和圆的位置关系：设的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和相交⇔，②直线l和相切⇔，③直线l和相离⇔．据此判断即可． 【详解】解：∵的半径为4，圆心到直线的距离为5， ∴, ∴直线与圆相离， 故答案为：相离． 15. 如图是一个零件的剖面图，已知零件的外径为，为求出它的厚度，现用一个交叉卡钳（和的长相等）去测量零件的内孔直径．如果，且量得的长是，那么零件的厚度是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定和性质，可以求得的长，再根据某零件的外径为，即可求得x的值． 【详解】解∶∵，， ∴， ∴， ∵的长是， ∴， ∵零件的外径为， ∴零件的厚度为∶， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的应用，解答本题的关键是求出AB的值． 16. 如图，在边长为1的正方形网格中，以为直径的圆过C、D两点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，求角的正切值，连接，根据圆周角定理，得到，，利用正切的定义，进行计算即可． 【详解】解：连接， ∵以为直径的圆过C、D两点， ∴， 在中，， ∴， ∴； 故答案为：． 17. 如图，正方形的边长为4，点E为的中点，连接，将沿折叠，点A的对应点为F．连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，折叠的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的性质和判定．连接交于点O，过点F作交于点M，交于点N，根据勾股定理求出，根据折叠得出，根据勾股定理得出，求出，最后根据矩形的判定和性质，勾股定理求出结果即可． 【详解】解：如图，连接交于点O，则，过点F作交于点M，交于点N， ∵， ∴， ∵，点E是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为，与轴交于点，若作，且（C、O在的两侧），设点的坐标为，则关于的函数关系式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】延长CA，交y轴于点D，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，作于M．利用证明，得出，利用证明，得出，．根据函数解析式求出点A和点B的坐标，再证明，求出，那么点C的坐标为，即，将代入，即可求出y关于x的函数关系式． 【详解】解：延长，交y轴于点D，过点A作x轴的平行线，交y轴于点N，作于M，如图， 令，解得 点B坐标为， 在和中， ， ， ， 同理可得：， ， 抛物线的顶点为A， 点， ， ， ， 即：， 点C的坐标为 即 ， ∴所求函数的解析式为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，正确作出辅助线，求出点C的坐标是解题的关键． 三、解答题（共10题，96分） 19. （1）； （2）化简：． 【答案】 （1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算，异分母分式的加法． （1）先计算各部分，再进行加减计算即可； （2）按照运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20. （1）解方程：； （2）解不等式组：． 【答案】 （1），； （2）． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，解一元一次不等式组． （1）用公式法解方程即可； （2）分别解不等式，即可得不等式组的解集． 【详解】（1）解：， ， ∴有两个不相等的实数根， ∴，； （2）解：， 由得， 由得， ∴原不等式组的解集为． 21. 如图，△ABC中，D在边AC上，∠ABD＝∠C． （1）求证：△ADB∽△ABC； （2）若AB＝6，AD＝4，求AC的长． 【答案】 （1）证明：∵∠ABD＝∠C，∠A＝∠A， ∴△ADB∽△ABC； （2）9． 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质列方程即可得到结论． 【详解】解（1）略 （2）解：∵△ADB∽△ABC， ∴=， ∵AB＝6，AD＝4， ∴＝， ∴AC＝9． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 22. “探险家”是历史上的探险先驱，他们的故事激励着无数人勇往直前．小明购买了“四大探险家”（马可·波罗、哥伦布、麦哲伦、大卫·利文斯通）的纪念卡片各1张，分别记为A卡、卡、卡、卡．小明打算将其中两张纪念卡片送给小刚，他将这些卡片背面朝上放在桌上（卡片背面设计完全相同）． （1）小刚随机抽取一张卡片，抽到A卡的概率是__________； （2）小刚先随机抽取一张卡片（不放回），然后再随机抽取第二张，求抽到的两张卡片中，一张是A卡，一张是B卡的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式计算概率、列表法或树状图法求概率，理解题意、掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可求得答案； （2）列表或画树状图，得到所有的等可能结果，然后找到满足条件的结果，再利用概率公式求概率即可求得答案． 【小问1详解】 因为一共4张卡片，随机抽取一张，每张卡片被抽取的概率是一样的，都是， 因此，抽到A卡的概率是． 故答案为：． 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 由树状图可知， 共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是一张是A卡，一张是B卡的结果有种， ∴（一张是A卡，一张是卡）． 23. 3月12日，某初级中学组织学生开展了义务植树社会实践活动．为了了解全校500名学生义务植树情况，小文同学开展了一次调查研究．小文从每个班级随机抽取了5名学生进行调查，并将收集的数据（单位：棵）进行整理、描述，绘制成如下两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息解答下列问题： （1）小文一共随机抽取______名学生进行调查；在扇形统计图中，“4棵”所在的扇形的圆心角等于______度； （2）补全条形统计图； （3）随机抽取的这部分学生义务植树数量的中位数是______； （4）在这次社会实践活动中，学校授予义务植树数量不少于4棵的学生为“植树小能手”的称号，根据调查结果，估计该学校获得“植树小能手”称号的学生有______名． 【答案】（1）100，72 （2） 补全条形统计图如下： （3）3 （4）175 【解析】 【分析】（1）根据“1棵”的人数及所占的百分比求出随机抽取的学生数，用总人数减去其他小组的人数即可求得植树棵数求出“4棵”的人数，根据“4棵”的人数及调查的学生数求出4棵”所在的扇形的圆心角的度数； （2）由（1）可知植树棵数为“4棵”的人数，再补全条形统计图即可； （3）利用中位数的定义求得中位数即可； （4）根据全校学生数及不少于4棵的学生所占的百分比求出该学校获得“植树小能手”称号的学生人数． 【小问1详解】 10÷10%=100（名）， 植树量为4棵的人数为：100-10-15-40-10-5=20（人）， 360°×=72°， 故答案为：100，72； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为共有100个数，把这组数据从小到大排列，最中间两个数的平均数是第50个数和第51个数的平均数，所以中位数是3， 故答案为：3； 【小问4详解】 500×=175（名）， 故答案为：175． 【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小． 24. 为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了多种测量方法．               （1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高，此时，小组同学测得旗杆的影长为11.3m，据此可得旗杆高度为______； （2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．据此可得旗杆高度为______； （3）如图3，小王在自己与旗杆之间的地面上直立一根标杆，并通过标杆顶端C观测到旗杆顶部A．小组同学测得小王的眼睛距地面高度，标杆，小王到标杆距离，标杆到旗杆距离，求旗杆的高度． 【答案】（1）11.3 （2）11.2 （3）旗杆的高度约为11.4米 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质， （1）影长恰好等于自己的身高，可知是等腰直角三角形，由平行投影性质可知，是等腰直角三角形，即可求得； （2）利用已知判定，结合相似三角形的性质进行求解即可； （3）过点D作，垂足为点H，交于点G，可知四边形，四边形和四边形都是矩形，求得对应边长，进一步证明，结合可求得，即有． 【小问1详解】 解：∵影长恰好等于自己的身高， ∴是等腰直角三角形， 由平行投影性质可知，是等腰直角三角形， 则， 故答案为∶11.3； 【小问2详解】 解： 由反射定律可知， 又， ∴， ∴，即， 解得， 则旗杆高度为11.2米 故答案为∶11.2； 【小问3详解】 解：如图，过点D作，垂足为点H，交于点G， 由题意可知，四边形，四边形和四边形都是矩形，且，，，， ∴，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴旗杆的高度约为． 25. 如图，在中，； （1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图； ①作边的中线； ②在边上找一点，使得：（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若，，则线段的长为________．（如需画草图，请使用备用图） 【答案】（1） ①如图，中线即为所求； ②如图，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）①尺规作边的垂直平分线，得出中点，连接即可； ②尺规作边的垂直平分线，得出中点点，以点为圆心，为直径作圆，圆交边于点，连接，则． （2）根据，得出，设，则，根据和勾股定理求出，得，过作，根据等面积法得出，勾股定理求出，即可得，根据圆周角定理得出，即可得，根据平行线分线段成比例得出．再根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：①略 ②理由，∵，为圆的直径， ∴点在圆上， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， 过作， 则， ∴， ∴， ∴， ∵为圆的直径， ∴， ∴， ∴． ∴． 【点睛】该题考查了勾股定理，圆周角定理，平行线分线段成比例，解直角三角形等知识点，解题的关键是正确作出图形． 26. 如图，是的直径，点D在直径上（D与A，B不重合），且，连接，与交于点F，在上取一点E，使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， 是的半径，是的切线， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，由切线的性质得，继而得到，即可解答； （2）连接，根据已知可得，，从而在中，利用勾股定理求出，，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可证，进而利用相似三角形的性质可求出的长，最后进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：解：连接， ， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， 是的直径， ， ，， ， ， ， ， ， 的长为． 【点睛】本题考查了切线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 27. 某商场购进一种每件成本为80元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系； （1）求出y 与x之间的函数关系式； （2）疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过25%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？ 【答案】（1） （2）将售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元 【解析】 【分析】（1）设y与x之间的函数关系式为，利用待定系数法可求出其解析式，再求出x的取值范围即可； （2）根据利润（售价单价）销售量，由题意可求出的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案； 本题考查一次函数与二次函数的实际应用根据题意找到等量关系，列出等式是解题关键． 【小问1详解】 解：设y与x之间的函数关系式为， 由所给函数图象可知：， 解得：． ， 令，则， 解得：． 故y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 解：∵， ， ， 每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式为； 根据题意可得： ， 解得：， ， ， ∴当时，W有最大值， 且（元）． 答：将售价定为100元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1000元． 28. 如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴，垂足为，交直线于点，设点的横坐标为． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，过点作，垂足为，当时，请求出的值； （3）如图3，连接，当四边形是矩形时，在抛物线的对称轴上存在点，使原点关于直线的对称点恰好落在该矩形对角线所在的直线上，请直接写出满足条件的点的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或 【解析】 【分析】（1）将，代入抛物线可得，解方程组即可得到答案； （2）利用待定系数法可得直线的解析式为：，设点的横坐标为，则，，，作轴于，轴于，可证得，得出，再由，，求得，结合，可得，建立方程求解即可得到答案； （3）设，分三种情况：①当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时；②当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时；③当点恰好落在该矩形对角线延长线上时，分别求出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 解：如图，作轴于，轴于， ， 抛物线与轴交于点， 当时，， ， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为：， 设点的横坐标为，则，， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， 在中，， ， 轴，轴， ， 四边形是矩形， ， 轴， ， ，即， ， ， ， ， 解得：或， ， ； 【小问3详解】 解：抛物线， 抛物线对称轴为直线， 点在抛物线的对称轴上， 设，设抛物线对称轴交轴于点，交边于点， 则， 当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，如图所示， ， 则垂直平分，即， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 解得：， ； 当点恰好落在该矩形对角线所在的直线上时，如图所示，连接交于点， ， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ， ， ， ， 关于对称轴对称，即点是的中点，， 点是的中点， ， ， ， 在中，， ， 解得：（舍去）或， ； 当点恰好落在该矩形对角线延长线上时，如图，过点作轴于点，连接交于点， ， 点与点关于直线对称， 垂直平分， ， ，， ， ，即， ，， ， ， 点是的中点， ， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， 直线的解析式为：， 当时，， ； 综上所述：或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，解直角三角形，熟练掌握二次函数的图象与性质，待定系数法求二次函数的解析式，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质，添加适当的辅助线，采用数形结合的思想，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $