精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市拜泉县2025-2026学年九年级上学期期末质量检测数学试题

2025-2026学年度上学期期末质量测查 九年级数学试题 考生注意： 1、考试时间90分钟． 2、全卷共三道大题，总分100分． 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 圆 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意， 故选：D． 2. 将函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】抛物线的顶点坐标为（0，0），则把它向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的顶点坐标为（3，4），然后根据顶点式写出解析式． 【详解】解：把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的函数解析式为． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放篮球比赛 B. 守株待兔 C. 明天是晴天 D. 在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球. 【答案】D 【解析】 【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可． 【详解】解：打开电视机，正在播放篮球比赛是随机事件，不符合题意； 守株待兔是随机事件，不符合题意； 明天是晴天是随机事件，不符合题意 在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球是必然事件，D符合题意. 故选：D． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 4. 一元二次方程的一次项系数和常数项依次是( ) A. -1和1 B. 1和1 C. 2和1 D. 0和1 【答案】A 【解析】 【分析】找出2x2-x+1的一次项-x、和常数项+1，再确定一次项的系数即可． 【详解】2x2-x+1的一次项是-x，系数是-1，常数项是1． 故选A. 【点睛】本题考查一元二次方程的一般形式． 5. 已知点、点关于原点对称，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由关于原点对称的两个点的坐标之间的关系直接得出、的值即可． 【详解】解：点、点关于原点对称， ，， ． 故选：B． 【点睛】本题考查关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两个点，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数． 6. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C． ∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=30°． ∵∠C和∠D是同圆中同弧所对的圆周角，∴∠D=∠C=30°． ∵AD为直径，∴∠ABD=90°． ∵AD=6，∴AB=AD=3． 故选A． 7. 如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 5π cm 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长， 利用弧长公式得：l==3πcm， 则重物上升了3πcm， 故选C 8. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【 】 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 【答案】C 【解析】 【详解】∵抛物线的顶点在第四象限， ∴﹣＞0，＜0． ∴＜0， ∴一次函数的图象经过二、三、四象限． 故选C． 9. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意分析：第一次降价后的价格=原价×（1-降低的百分率），第二次降价后的价格=第一次降价后的价格×（1-降低的百分率），把相关数值代入即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程150（1-x）2=96， 故选：C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，解题的关键是能够分别表示出两次降价后的售价． 10. 如图为二次函数的图象，则下列说法： ①；②；③；④；⑤；其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴计算与0的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知，故①错误； ②由对称轴为， ∴， ∴，则，故②正确； ③由图象可知，当时，，则，故③正确； ④从图象知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，故④正确； ⑤由图象可知，当时，，则，故⑤正确； 综上，②③④⑤正确，共4个． 故选：D． 二、填空题（每空3分，共18分） 11. 从，0，，π，3.5这个数中随机抽取一个，则抽到无理数的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用无理数的定义得出无理数的个数，再利用概率公式求出答案． 【详解】∵、π是无理数， ∴从，0，，π，3.5这五个数中，随机抽取一个，则抽到无理数的概率是：． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了无理数的定义以及概率公式的应用，正确把握概率公式是解题关键． 12. 二次函数的图象的顶点坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】将一般式转化为顶点式，即可得解． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查求抛物线的顶点坐标．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． 13. ⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为_____． 【答案】3或1 【解析】 【分析】根据垂径定理推论，得AO⊥BC，由勾股定理得OD=1，分两种情况分别求出AD的值，即可 【详解】如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC， ∴， ∴AO⊥BC， ∴BD=BC=， 在Rt△OBD中， ∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1， ∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1； 当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3． 故答案为1或3． 【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 14. 已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了圆柱侧面积的计算方法．根据圆柱侧面积公式底面周长高计算即可． 【详解】解：圆柱沿一条母线剪开，所得到的侧面展开图是一个矩形， 它的长是底面圆的周长，即，宽为母线长为， 它的面积为． 故答案为：． 15. 如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若，则的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】连结OA，设⊙O的半径为r，根据垂径定理得到AC=BC=AB=3，再在Rt△OAC中利用勾股定理得到（r-2）2+32=r2，然后解方程求出r即可． 【详解】解：连结OA，如图，设⊙O的半径为r， ∵OD⊥AB， ∴AC=BC=AB=3， 在Rt△OAC中， ∵OA=r，OC=OD-CD=r-2，AC=3， ∴（r-2）2+32=r2，解得r=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键． 16. 如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点O，，将绕，旋转得到，交于；将绕旋转得到，交轴于如此进行下去，若点在某段抛物线上，则___________．   【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质及旋转的性质，解题的关键是求出抛物线的顶点坐标． 将这段抛物线通过配方法求出顶点坐标及抛物线与x轴的交点，由旋转的性质可以知道与的顶点到x轴的距离相等，且，照此类推可以推导得到结果． 【详解】解：∵， ∴配方可得， ∴顶点坐标为， ∴A1坐标为， ∵由旋转得到， ∴，即顶点坐标为，； 照此类推可得，顶点坐标为，； 顶点坐标为，； 顶点坐标为，； … 顶点坐标为，； 顶点坐标为， ∵在某段抛物线上，则 故答案为：1． 三、解答题 17. 解下列方程 （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可． （2）利用公式法求解即可． 本题考查了公式法，直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， 移项，得． 系数化为1，得 两边开平方，得． 解得． 【小问2详解】 解：∵, 在这里， ∴， 解得，． 18. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解； （2）设一元二次方程的两个根分别为，然后根据等腰三角形的定义、三角形三边关系及根与系数的关系可分类进行求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设一元二次方程的两个根分别为， 由等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，可分为： 当边长为2是该等腰三角形的腰长时，则令，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为2、2、1，根据三角形三边关系可知符合题意； 当边长为2是该等腰三角形的底边长时，则有，根据根与系数的关系可得：， 解得：， ∴该等腰三角形的三边长分别为1、1、2，不符合三角形三边关系； 综上所述：． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，﹣2），B（﹣5，3），C（0，4）． （1）以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A1B1C1，写出点A1的坐标； （2）求出（1）中点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留根号和π）． 【答案】（1）如图，点A1的坐标（6，1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转图形的作法，画出△A1B1C1； （2）根据弧长公式可求点B旋转到点B1所经过的路径长． 【详解】解：（1）如图： ∴点A1的坐标（6，1） （2）点B旋转到点B1所经过的路径长==. 【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解题的关键是熟练掌握旋转变换的定义和性质及弧长公式． 20. 随着我国反电信诈骗电影的热播，“校园防电信诈骗安全”也受到全社会的广泛关注．某中学为了调查九年级学生防电信诈骗安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行了调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如下所示的两幅不完整统计图． 请你根据统计图中的信息解答下列问题： （1）请通过计算补全条形统计图； （2）若从对校园防电信诈骗安全知识达到“B：了解”程度的2名男生和3名女生中随机抽取2人参加“校园防电信诈骗安全”知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如图： （2） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键． （1）用条形统计图中C的人数除以扇形统计图中C的百分比可得本次调查的总人数，再分别减去条形统计图中的人数可求出A的人数，补全条形统计图即可． （2）运用树状图得出所有等可能的结果数以及恰好抽到1名男生和1名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：依题意 ∵调查的人数为（人）， ∴了解程度为A的人数为（人） 【小问2详解】 解：记2名男生分别为A，B，3名女生为C，D，E，画树状图如下： 共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生1名女生的结果有：，，，，，，，，，，，共12种， 恰好抽到1名男生1名女生的概率为. 21. 如图所示，在中，，以为直径的交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径是5，求的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理． （1）利用等边对等角求得，，推出，证得，即可得到是的切线； （2）利用圆周角定理结合勾股定理求得，再利用等积法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵是的直径， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵，即， ∴． 22. 水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克利润为18元，每天可售出1000千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低0.5元，每天多售出50千克，设这种水果每千克降价元，销售量为千克． （1）求与之间的函数关系式． （2）这种水果降价多少元时，每天获得的利润最大？求出最大利润． 【答案】（1）y与x之间的函数关系式为 （2）这种水果降价4元时，每天获得的利润最大，最大利润为19600元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利用函数的增减性来解答，掌握函数的性质是解题的关键． （1）根据题意直接写出y与x的函数解析式; （2）根据总利润每千克的利润销售量，列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 【小问1详解】 解：根据题意，得 即y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：设这种水果每天获得的利润为a元， 根据题意，得． ， ∴当时，a最大，最大值为19600． 答：这种水果降价4元时，每天获得的利润最大，最大利润为19600元． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）如图①，点在上，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）把绕直角顶点旋转到图②的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）把绕点在平面内自由旋转，连接，若，，当最大时，直接写出的长是 ． 【答案】（1）； （2）成立； 理由如下： 延长交于，交于，如图所示： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； （3） 【解析】 【分析】（1）如图①中，延长交于，由等腰直角三角形性质及三角形全等的判定定理证明，再由全等性质得到，从而确定；； （2）结论不变．延长交于，交于，如图所示，由三角形全等的判定定理证明，再由全等性质得到，从而确定；； （3）由题意知，点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示，当共线时，存在最大值，由勾股定理解答即可得到答案． 【小问1详解】 解：延长交于，如图所示： 和都是等腰直角三角形， ，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 故答案为：；； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：把绕点在平面内自由旋转，， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示： 当共线时，最大， ∵， ∴， ∴是直角三角形， 在中，，由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查几何变换综合题，涉及等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形的判定与性质、辅助圆-点圆模型、勾股定理等知识，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识． 24. 综合与探究 已知：直线与抛物线经过点、，且交轴于点． （1）A点坐标A（___________，___________）；B点坐标B（___________，___________）； （2）求抛物线的解析式； （3）点为抛物线上一点，且点在的下方，设点的横坐标为．试求当为何值时，的面积最大； （4）在（3）的条件下，当的面积最大时，过点作轴的垂线，垂足为点，问在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的的坐标若不存在，请说明理由． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为 （2）抛物线的解析式为 （3）当时，的面积最大，最大值是9 （4）存在点或，使为直角三角形 【解析】 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标； （2）利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （3）过点P作轴于D，交于点E，设点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点E的坐标为，进而可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出，利用配方法即可解决最值问题； （4）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点Q的坐标为，则，，，分、及三种情况，利用勾股定理即可得出关于y的方程，解之即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵直线与x轴、y轴分别交于点A、B， 当时，， 当时，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， 故答案为：6，0；0，； 【小问2详解】 解：将、代入，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：过点P作轴于D，交于点E，如图1所示． 设点P的横坐标为m，则点P的坐标为，点E的坐标为， ∴， ∴， ∴当时，的面积最大，最大值是9； 【小问4详解】 解：当时，有， 解得：，， ∴点C的坐标为， 设点Q的坐标为， 则，，， 分以下三种情况讨论： 当时，有， 即， 解得：； 当时，有， 即， 解得：； 当时，有， 即， 方程无解． 综上所述：在直线上存在点或，使为直角三角形． 【点睛】本题考查了一次、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积、二次函数的性质以及勾股定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度上学期期末质量测查 九年级数学试题 考生注意： 1、考试时间90分钟． 2、全卷共三道大题，总分100分． 一、单项选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 平行四边形 C. 正五边形 D. 圆 2. 将函数的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放篮球比赛 B. 守株待兔 C. 明天是晴天 D. 在只装有5个红球的袋中摸出1球，是红球. 4. 一元二次方程的一次项系数和常数项依次是( ) A. -1和1 B. 1和1 C. 2和1 D. 0和1 5. 已知点、点关于原点对称，则的值为（ ） A. 3 B. C. D. 1 6. 如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（ ） A. 3 B. C. D. 2 7. 如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ） A. π cm B. 2π cm C. 3π cm D. 5π cm 8. 二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过【 】 A. 第一、二、三象限 B. 第一、二、四象限 C. 第二、三、四象限 D. 第一、三、四象限 9. 某种商品原来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百分率为x，根据随意，所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图为二次函数的图象，则下列说法： ①；②；③；④；⑤；其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（每空3分，共18分） 11. 从，0，，π，3.5这个数中随机抽取一个，则抽到无理数的概率是___________． 12. 二次函数的图象的顶点坐标是_____． 13. ⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为_____． 14. 已知圆柱的底面半径为，母线长为，则圆柱的侧面积为______． 15. 如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若，则的半径为______． 16. 如图，一段抛物线记为，它与轴交于两点O，，将绕，旋转得到，交于；将绕旋转得到，交轴于如此进行下去，若点在某段抛物线上，则___________．   三、解答题 17. 解下列方程 （1） （2） 18. 已知关于x的方程． （1）求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； （2）若等腰三角形的一边长为2，另两边长为这个方程的两个根，求k的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点为A（﹣3，﹣2），B（﹣5，3），C（0，4）． （1）以C为旋转中心，将△ABC绕C逆时针旋转90°，画出旋转后的对应的△A1B1C1，写出点A1的坐标； （2）求出（1）中点B旋转到点B1所经过的路径长（结果保留根号和π）． 20. 随着我国反电信诈骗电影的热播，“校园防电信诈骗安全”也受到全社会的广泛关注．某中学为了调查九年级学生防电信诈骗安全知识的了解程度，采用随机抽样的方式进行了调查，并根据收集到的信息进行统计，绘制了如下所示的两幅不完整统计图． 请你根据统计图中的信息解答下列问题： （1）请通过计算补全条形统计图； （2）若从对校园防电信诈骗安全知识达到“B：了解”程度的2名男生和3名女生中随机抽取2人参加“校园防电信诈骗安全”知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 21. 如图所示，在中，，以为直径的交于点，过点作，交于点． （1）求证：是的切线； （2）若的半径是5，求的长． 22. 水果批发商进口一种高档水果，售出水果每千克利润为18元，每天可售出1000千克，经市场调查后发现，在进价不变的情况下，若每千克售价降低0.5元，每天多售出50千克，设这种水果每千克降价元，销售量为千克． （1）求与之间的函数关系式． （2）这种水果降价多少元时，每天获得的利润最大？求出最大利润． 23. 如图，和都是等腰直角三角形，． （1）如图①，点在上，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）把绕直角顶点旋转到图②的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由； （3）把绕点在平面内自由旋转，连接，若，，当最大时，直接写出的长是 ． 24. 综合与探究 已知：直线与抛物线经过点、，且交轴于点． （1）A点坐标A（___________，___________）；B点坐标B（___________，___________）； （2）求抛物线的解析式； （3）点为抛物线上一点，且点在的下方，设点的横坐标为．试求当为何值时，的面积最大； （4）在（3）的条件下，当的面积最大时，过点作轴的垂线，垂足为点，问在直线上是否存在点，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的的坐标若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $