精品解析：广西南宁市青秀区荔英中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题

2025~2026学年秋季学期12月素养练习 八年级数学 （考试形式：闭卷 时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列图形具有稳定性的是（ ） A. 正方形 B. 长方形 C. 平行四边形 D. 三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形具有稳定性，掌握并理解三角形的特性是解题的关键．另外补充知识：四边形如正方形、长方形、平行四边形不具有稳定性．根据三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定，可得答案． 【详解】解：∵三角形三边长度固定后，其形状和大小唯一确定， ∴三角形具有稳定性． ∵四边形四边长度固定时，其角度可改变，形状不固定， ∴四边形不具有稳定性． 因此，具有稳定性的是三角形． 故选：D． 2. 已知直角三角形一个锐角的度数为，则它的另一个内角（锐角）的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余求解即可． 【详解】解：90°-40°=50°， 故选C． 【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键． 3. 在实数，0，，，，中，无理数有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义、算术平方根等知识点，掌握无理数是无限不循环小数且不能表示为分数是解题的关键. 根据无理数的定义以及算术平方根逐个判断是否为无理数即可解答． 【详解】解：可写为分数，是有理数；0是整数，是有理数；是无理数；是有限小数，是有理数；是整数，有理数；2π是无理数． 所以无理数有和，共2个． 故选：B． 4. 2025年暑期，一部战争历史题材电影《南京照相馆》上映．根据网络平台数据，截至8月11日，电影《南京照相馆》票房超22亿元，刷新中国影史暑期档历史片票房纪录．将数据“22亿”用科学记数法表示，其结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正整数指数科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．据此求解即可．． 【详解】解：22亿， 故选B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出各项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A.，故原选项错误； B. ，故原选项错误； C. ，计算正确； D. ，故原选项错误 故选C 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 6. 根据下列条件，能画出唯一三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的唯一性判定，灵活运用三角形的基本性质与全等判定定理是解题的关键．根据三角形的构成条件（三边关系）、“大边对大角”原则，以及全等三角形的判定定理（、等），逐一分析各选项是否能唯一确定三角形． 【详解】项：，，，，不满足三角形三边关系，不能画出三角形； 项：，，，为钝角，其对边应最大，但，矛盾，不能构成三角形； 项：，，，两边及其夹角对应相等，能画出唯一三角形； 项：，，，仅三个角相等，不能确定边长，不能画出唯一三角形． 故选：． 7. 下列真命题中，逆命题也是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角都相等 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 对顶角相等 D. 全等三角形的对应边都相等 【答案】D 【解析】 【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、逆命题为：对应角相等的三角形全等，错误，为假命题，不符合题意； B、逆命题为：锐角三角形是等边三角形，错误，为假命题，不符合题意； C、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，为假命题，不符合题意； D、逆命题为：对应边都相等的三角形全等，正确，为真命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是正确的写出一个命题的逆命题． 8. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定：与线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上即可确定凉亭位置，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等， ∴凉亭选择三条边的垂直平分线的交点，即凉亭选择三条边的中垂线的交点， 故选：． 9. 已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】将，进行因式分解，根据平方的非负性，即可得到，根据等边三角形的判定，即可求解； 本题考查了因式分解，平方的非负性，等边三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握因式分解． 【详解】解：∵ ∴，即：， ∴，且，即：，， ∴， ∴是等边三角形， 故选：． 10. 如图，在中，，，交于点，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、三角形内角和定理．掌握等腰三角形“等边对等角”“等角对等边”及“直角三角形角所对直角边是斜边的一半”是解题关键．首先，根据等腰三角形“等边对等角”的性质及，得到，进而得到，接着，根据，得，可证，最后，根据“直角三角形角所对直角边是斜边的一半”可得，进而可求得的长． 【详解】解：∵ ，， ∴． ∴． ∵ ， ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴． 故选：C． 11. 《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长尺，木长尺，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意，绳子比木长4.5尺，可得；对折绳子量木，木比对折绳子长1尺，可得，即，可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设绳子长x尺，长木长y尺，依题意，得： ， 故选：B． 12. 如图，在和中，，，，，连接交于点M，连接，以下结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定，解题关键是证明三角形全等． 由证明判断①；由全等三角形的性质得出，结合三角形的外角性质判断②；作于，于，由证明，得出，由角平分线的判定方法得出平分，即可判断③；由，得出当时，才平分，假设，则，由平分得出，推出，由判断该假设不成立，即可判断④． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ，，， 故①正确，符合题意； 由三角形的外角性质得：， ， 故②正确，符合题意； 作于，于，如图所示， 则， 在和中， ， ， ， 平分，故③正确； ， 当时，才平分， 假设， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， ， 与矛盾， ④错误； 故选：B． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：__． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用平方差公式分解即可得． 【详解】解：原式． 故答案为：． 【点晴】本题考查了公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14. 若，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法法则，掌握同底数幂相除、底数不变、指数相减是解题的关键． 利用同底数幂的除法法则将转化为，然后再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2. 15. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则______． 【答案】##度 【解析】 【分析】根据题意证明，得出，根据平行线的性质得出，等量代换得出，进而即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据网格结构，准确判定全等三角形是解答的关键． 16. 定义：一个三角形的三个角的度数分别为x，y，z，若满足，则该三角形为“善美三角形”，度数为x的角被称为善美角．若是“善美三角形”，且，则的善美角的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】先设出善美角，再利用题中的定义分类讨论即可． 【详解】解：设善美角的度数为， 则，或，或， ∴或或， 故答案为或或． 【点睛】本题为新定义题型，涉及到了三角形的内角和定理和一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，分类讨论并正确计算． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2）解不等式组： 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算和解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先计算乘方、计算算术平方根、去绝对值符号，再计算加减即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 解不等式①得 解不等式②得 则不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握整式混合运算法则，是解题的关键．先根据完全平方公式和平方差公式，单项式乘多项式运算法则，进行化简，然后代入数据进行计算即可． 【详解】解： ＝ ＝， 当，时， 原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形； （2）求的面积； （3）若在轴上有一点，使得线段的值最小，请你在图中标出点的位置，并直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示． （2）2 （3） 如图所示，点即为所求，． 【解析】 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，关键是根据轴对称求线段和最小值问题，求三角形的面积解答． （1）先作三个顶点关于轴的对称点，再依次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积解答； （3）作出点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 略 20. 如图，在中，是的垂直平分线，于点，且为的中点． （1）求证：； （2）若，求的周长． 【答案】（1） 证明：是的垂直平分线， ． ，为的中点， 是的垂直平分线． ． ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换即可证明； （2）将的周长转化为，等量代换即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的中点， ． 由（1）得，，， ． 21. 阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】 （1）由此可得________； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值． （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘多项式及其应用，理解题意、找到规律是解题的关键； （1）由前面三个算式得到规律，根据规律即可求解； （2）算式乘，即可利用所得结论计算； （3）等式两边同乘，左边可利用所得结论计算，进而求得的值，舍去不合题意的值，代入即可求值． 【详解】解：（1）①； ②； ③； 所以． 故答案为：． （2）原式 ． 故答案为：． （3）因为， 所以． 所以实数． 因为， 当时，， 所以，． 所以． 22. 小王同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小王用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． （1）求证：； （2）求的长； （3）连接，若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据“直角三角形两锐角互余”以及垂直的定义可得，，进而即可证明结论； （2）由易得，然后由求解即可； （3）连接，易证是等腰三角形，再利用三角形内角和定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，如图所示， 由题意可得：， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题关键． 23. 综合与实践：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． （1）几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是________（直接写出其取值范围） 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）初步运用：如图2，是的中线，延长到点E，连接，使，求证：； （3）拓展提升：如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系，并给予证明． 【答案】（1） （2） 延长，取点F，使，连接，如图所示： ∵是边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）； 理由如下： 延长，取点Q，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）证明，得出，根据三角形三边关系得出，即，求出结果即可； （2）延长，取点F，使，连接，证明，得出，，根据等腰三角形的性质得出，即可证明结论； （3）延长，取点Q，使，连接，证明，得出，，证明，得出即可． 【小问1详解】 解：∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，三角形的三边关系，等腰三角形的判定和性质，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年秋季学期12月素养练习 八年级数学 （考试形式：闭卷 时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号、座位号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 下列图形具有稳定性的是（ ） A. 正方形 B. 长方形 C. 平行四边形 D. 三角形 2. 已知直角三角形一个锐角的度数为，则它的另一个内角（锐角）的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 在实数，0，，，，中，无理数有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 2025年暑期，一部战争历史题材电影《南京照相馆》上映．根据网络平台数据，截至8月11日，电影《南京照相馆》票房超22亿元，刷新中国影史暑期档历史片票房纪录．将数据“22亿”用科学记数法表示，其结果是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 根据下列条件，能画出唯一三角形的是（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 下列真命题中，逆命题也是真命题的是（ ） A. 全等三角形的对应角都相等 B. 等边三角形是锐角三角形 C. 对顶角相等 D. 全等三角形的对应边都相等 8. 如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（ ） A. 的三条中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条高所在直线的交点 D. 三边的中垂线的交点 9. 已知，，是的三边长，满足，据此判断的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 10. 如图，在中，，，交于点，，则的长是（ ） A. B. C. D. 11. 《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸，屈绳量之，不足一尺．木长几何？”译为：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？”设绳子长尺，木长尺，则列方程组为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在和中，，，，，连接交于点M，连接，以下结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 因式分解：__． 14. 若，，则________． 15. 如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，则______． 16. 定义：一个三角形的三个角的度数分别为x，y，z，若满足，则该三角形为“善美三角形”，度数为x的角被称为善美角．若是“善美三角形”，且，则的善美角的度数为______． 三、解答题（本题共7小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算 （1） （2）解不等式组： 18. 先化简，再求值：其中，． 19. 如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． （1）画出关于轴对称的图形； （2）求的面积； （3）若在轴上有一点，使得线段的值最小，请你在图中标出点的位置，并直接写出点的坐标． 20. 如图，在中，是的垂直平分线，于点，且为的中点． （1）求证：； （2）若，求的周长． 21. 阅读：在计算的过程中，我们可以先从简单的、特殊的情形入手，再到复杂的、一般的问题，通过观察、归纳、总结，形成解决一类问题的一般方法，数学中把这样的过程叫做从特殊到一般．如下所示： 【观察】①； ②； ③； …… 【归纳】 （1）由此可得________； 【应用】请运用上面的结论，解决下列问题： （2）计算的值． （3）若，求的值． 22. 小王同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球A，小球A可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小王用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点B作于点D，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的A、B、O、C在同一平面上），过点C作于点E，测得，． （1）求证：； （2）求的长； （3）连接，若，求的度数． 23. 综合与实践：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在中，，，求边上的中线的取值范围． （1）几何模型：小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）： ①延长到Q使得； ②再连接，把、、集中在中； ③利用三角形的三边关系可得，则的取值范围是________（直接写出其取值范围） 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）初步运用：如图2，是的中线，延长到点E，连接，使，求证：； （3）拓展提升：如图3，是的中线，，，，试探究线段与的数量关系，并给予证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $