精品解析：河南省平顶山市第四十四中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

平顶山市第44中学2025－2026学年第一学期学业水平诊断性评价2 九年级数学 温馨提示：1、本试卷共2页 三大题 满分120分 考试时间100分钟 请用黑色水笔直接答在答题卡上． 2、答卷前将姓名、班级、考号、考场、座号等项目在答题卷上填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四个几何体中，三视图中的主视图、侧视图、俯视图完全相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，若，，则EF的长度为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 5. 用长的篱笆，围成一个一面靠墙面积为的长方形场地，求这个长方形的长和宽．设平行于墙的一边为，可得方程（ ） A. B. C. D. 6. 下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（　　） A. AC＝BD B. AB⊥BC C. AD＝BD D. AC⊥BD 7. 如图，在中，E是边上3等分点，交于点F．则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 8. 一个布袋内装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球，从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则摸出1个红球，1个白球的概率为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，点，分别在函数，的图像上，点，在轴上．若四边形为正方形．则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示：二次函数（）的图象过原点，且对称轴为，给出以下四个结论：①当时，随x的增大而减小；②；③；④是方程的一个根，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为________________. 12. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为_____． 13. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是__________． 14. 如果抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣2，﹣3)、(4，﹣3)，那么抛物线的对称轴是_____． 15. 如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D对应点D'刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为_______． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 17. 我校初三年级在开学初进行了跳绳测试．某班体育老师告诉该班体育委员：班上只有的同学得到了满分20分，要加油．体育委员将跳绳测试的统计结果绘制成如下的统计图，以便根据班级情况进行针对性训练．请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整； （2）已知全校初三共有1500名学生，请你根据以上统计结果估计全校跳绳成绩在17分以下的约有______人； （3）针对班级目前的情况，体育委员决定将跳绳成绩在17分或17分以下的同学分成两组进行强化训练，现准备从得满分的4名同学中随机选择两名担任组长．已知得满分的同学两男两女．请你利用树状图或列表的方法求出这两名组长是一男一女的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，． （1）以点为位似中心，在轴的左侧画出放大倍后的； （2）分别写出，两点的对应点，的坐标． 19. 平顶山某超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． （1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 20. 某校数学社团的同学们使用皮尺和自制的测角仪测量“鼎桥”的高度．如图2所示，他们在地面上架设测角仪，先在点处测得“鼎桥”最高点的仰角，然后沿方向前进到达点处，测得点A的仰角（点在一条直线上），测角仪的高度为．请利用同学们的测量数据求“鼎桥”最高点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 21. 如图，的对角线与相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点P． （1）证明四边形为平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形为菱形，并说明理由． 22. 如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图． （1）求抛物线的解析式； （2）求水流落地点B离墙的距离OB． 23. 综合与实践 如图1，在正方形中，，是正方形内一点，连接，，且，将绕点顺时针旋转，得到，延长交于点． （1）【问题发现】根据旋转的性质，易得四边形是________．（填特殊四边形的名称） （2）【深入探究】如图2．过点作于点，连接．请判断四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若点是的三等分点，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平顶山市第44中学2025－2026学年第一学期学业水平诊断性评价2 九年级数学 温馨提示：1、本试卷共2页 三大题 满分120分 考试时间100分钟 请用黑色水笔直接答在答题卡上． 2、答卷前将姓名、班级、考号、考场、座号等项目在答题卷上填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高常数是2整式方程是一元二次方程．对每个方程进行分析，作出判断． 【详解】解：A：化简后不含二次项，不是一元二次方程； B：当a=0时，不是一元二次方程； C：是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程； D：符合一元二次方程的定义，是一元二次方程． 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，根据定义对每个方程进行分析，作出判断． 2. 如图，在四个几何体中，三视图中的主视图、侧视图、俯视图完全相同的几何体是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，掌握相关知识是解决问题的关键．主视图、 左视图、 俯视图是分别从物体正面、 左面和上面看所得到的图形 ． 【详解】解：A、正方体的三视图为三个完全相同的正方形，故此选项符合题意； B、长方体的三视图分别为三个长方形，但形状不一定相同，故此选项不符合题意； C、圆锥的三视图分别为三角形、 三角形、 圆，故此选项不符合题意； D、圆柱的三视图分别为长方形、 长方形、 圆，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算判别式Δ的值，判断一元二次方程根的情况即可． 【详解】解：对于方程 ，系数 ，，； 判别式 ； ， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 4. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．点E、F分别是AB，AO的中点，若，，则EF的长度为（ ） A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质,勾股定理可得AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD＝5，再根据三角形中位线定理可得EF＝BO＝2.5． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ 在中，，， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD＝10，BO＝DO＝BD， ∴BO＝DO＝BD＝5， ∵点E、F是AB，AO的中点， ∴EF是△AOB的中位线， ∴EF＝BO＝2.5， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，难度不大，关键熟练掌握知识点，并灵活运用． 5. 用长的篱笆，围成一个一面靠墙面积为的长方形场地，求这个长方形的长和宽．设平行于墙的一边为，可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．根据长方形的面积公式列方程即可得到结论． 【详解】解：设长方形的长为，则宽为， 根据题意得，， 故选：B． 6. 下列条件中，能判定▱ABCD是菱形的是（　　） A. AC＝BD B. AB⊥BC C. AD＝BD D. AC⊥BD 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定条件即可得到结果； 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，准确理解条件是解题的关键． 7. 如图，在中，E是边上3等分点，交于点F．则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质以及相似三角形的判定得出，再利用相似三角形的面积比与相似比的关系即可得出答案． 【详解】解：四边形是平行四边形，且是上的等分点， ，，， ，， ， ， 故选A． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出是解题的关键． 8. 一个布袋内装有4个只有颜色不同的球，其中3个红球，1个白球，从布袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球，则摸出1个红球，1个白球的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与摸出1个红球，1个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案. 【详解】画树状图得： 共有16种等可能的结果，摸出1个红球，1个白球的有6种情况， . 故选：B. 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比. 9. 如图，点，分别在函数，的图像上，点，在轴上．若四边形为正方形．则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，解题的关键是理解题意，掌握这些知识点． 设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n，根据点A，B分别在函数，的图象上得，，根据四边形为正方形得，解得，得点A的纵坐标为5，将代入，进行计算即可得． 【详解】解：设点A的纵坐标为n，则点B的纵坐标为n， ∵点A，B分别在函数，的图象上， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴ ， ，（舍）， ∴点A的纵坐标为5， 将代入得，， ， ∴， 故选：C． 10. 如图所示：二次函数（）的图象过原点，且对称轴为，给出以下四个结论：①当时，随x的增大而减小；②；③；④是方程的一个根，其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，由抛物线开口方向和对称轴以及与轴的交点可判断，根据抛物线与轴的交点个数与的关系可判断，根据图象确定抛物线与轴的交点，可判断，从而即可求得答案． 【详解】解：抛物线开口向下，对称轴为， 当时，随x的增大而减小，故错误； ，， ， ， 故正确； 抛物线与轴有两个交点， 根据交点个数与的关系可得出：，即，故正确； 由图象可知和关于对称轴对称， 当时，，即是方程的一个根，故正确； 故正确的一共有3个， 故选：C． 二、填空题（每空3分，共15分） 11. 用配方法解方程时，配方后得到的方程为________________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键． 根据即可求解． 【详解】解：， 移项得，， 等式两边同时加上1得，， ∴， 故答案为： ． 12. 把抛物线向左平移1个单位，再向下平移2个单位，则所得抛物线的解析式为_____． 【答案】． 【解析】 【详解】y=（x－1）2+2向左平移1个单位后得到的解析式为y=x2+2，再向下平移2个单位，得到的解析式为y=x2. 点睛：二次函数平移的时候首先要将二次函数解析式化为顶点式，若是左右平移，则在括号里面加减，左加右减；若是上下平移，直接在解析式最后加减，上加下减. 13. 如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据坡比求出AB的长度，再利用勾股定理即可求出BC的长度． 【详解】 故答案为：． 【点睛】本题主要考查坡比及勾股定理，掌握坡比的定义及勾股定理是解题的关键． 14. 如果抛物线y=ax2+bx+c经过(﹣2，﹣3)、(4，﹣3)，那么抛物线的对称轴是_____． 【答案】x=1 【解析】 【分析】根据图象上函数值相等的点关于对称轴对称，可得抛物线的对称轴． 【详解】解：由抛物线y=ax2+bx+c经过（-2，-3）、（4，-3），得 （-2，-3）、（4，-3）关于对称轴对称， 即对称轴过（-2，-3）、（4，-3）的中点， x=， 故答案为：x=1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，图象上函数值相等点的垂直平分线是抛物线的对称轴． 15. 如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝6，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D对应点D'刚好落在线段AB的垂直平分线上时，DE的长为_______． 【答案】15或 【解析】 【分析】分两种情况讨论，由折叠的性质可得，由勾股定理可求得，再由勾股定理可求得DE的长． 【详解】如图，若点E在线段CD上时，过点作， 四边形ADNM是矩形， 把△ADE沿直线AE折叠，当点D对应点D'刚好落在线段AB的垂直平分线上时， ； 如图，点E在线段DC的延长线上，过点作， 同理可求，， 综上所述，DE的长为15或， 故答案为：15或 【点睛】本题考查翻折变、矩形的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识，利用分类讨论思想解决问题是解题关键． 三、解答题（共75分） 16. （1）计算：． （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，实数的混合计算，特殊角三角函数值，零指数幂． （1）先计算零指数幂，立方根，特殊角三角函数值，然后根据实数的混合计算法则求解即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：（1） ； （2）∵， ∴， ∴，， 解得． 17. 我校初三年级在开学初进行了跳绳测试．某班体育老师告诉该班体育委员：班上只有的同学得到了满分20分，要加油．体育委员将跳绳测试的统计结果绘制成如下的统计图，以便根据班级情况进行针对性训练．请你结合图中所给信息解答下列问题： （1）请把条形统计图补充完整； （2）已知全校初三共有1500名学生，请你根据以上统计结果估计全校跳绳成绩在17分以下的约有______人； （3）针对班级目前的情况，体育委员决定将跳绳成绩在17分或17分以下的同学分成两组进行强化训练，现准备从得满分的4名同学中随机选择两名担任组长．已知得满分的同学两男两女．请你利用树状图或列表的方法求出这两名组长是一男一女的概率． 【答案】（1） 如图， （2）120 （3） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出，再从中选出符合事件的结果数目，然后根据概率公式求出事件或的概率．也考查了用样本估计总体和条形统计图． （1）用得20分的人数除以它所占的百分比可得全班人数，然后计算出得17分的人数，再补全统计图； （2）用样本中成绩在17分以下的人数所占百分比表示全校成绩在17分以下的人数的百分比，然后用1500乘以这个百分比可估计全校跳绳成绩在17分以下的人数； （3）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出一男一女的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：全班人数（人）， 所以17分的人数（人） 【小问2详解】 解：（人）， 估计全校跳绳成绩在17分以下的约有120人； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中一男一女的结果数为8， 所以这两名组长是一男一女的概率． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知是坐标原点，，两点的坐标分别为，． （1）以点为位似中心，在轴的左侧画出放大倍后的； （2）分别写出，两点的对应点，的坐标． 【答案】（1）如图所示：，即为所求； （2）， 【解析】 【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）利用（1）中所画图形得出对应点的坐标． 【详解】（1）略 （2）的坐标是，的坐标是． 【点睛】此题主要考查了位似变换，正确得出对应点位置是解题关键． 19. 平顶山某超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件． （1）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天所获销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元 （2）每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程与二次函数的实际应用，理解题意、利用等量关系列出方程和函数关系式是本题的关键． （1）设每件商品降价x元时，根据等量关系：商店每天销售利润为1200元，列出方程、解方程即可； （2）设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元，则可得y关于n的二次函数，求此二次函数的最大值即可，从而可得此时n的值． 【小问1详解】 解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元 由题意得：， 解得：， 则 ∵每件盈利不少于25元， ∴应舍去 ∴ 即每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元． 【小问2详解】 解：设每件商品降价n元时，该商店每天销售利润为y元 则：， ∵ ， ∴y有最大值， 当时，y有最大值1250元 则，符合题意 即每件商品降价15元时，该商店每天销售利润最大值为1250元 20. 某校数学社团的同学们使用皮尺和自制的测角仪测量“鼎桥”的高度．如图2所示，他们在地面上架设测角仪，先在点处测得“鼎桥”最高点的仰角，然后沿方向前进到达点处，测得点A的仰角（点在一条直线上），测角仪的高度为．请利用同学们的测量数据求“鼎桥”最高点距离地面的高度．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【解析】 【分析】延长，交于点，设，则，在中，，可得，在中，，求出的值，再根据可得答案． 【详解】解：如图所示，延长，交于点， 由题意得，，，，， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， ∴“鼎桥”最高点距离地面的高度约为， 故答案是：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，通过仰角俯角问题测量物体高度，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 21. 如图，的对角线与相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点P． （1）证明四边形为平行四边形； （2）给添加一个条件，使得四边形为菱形，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形； （2）添加条件， 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行证明即可； （2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形可知，只需要令相等即可，由此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判断，菱形的判定，熟知平行四边形和菱形的判定定理是解题的关键． 22. 如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图． （1）求抛物线的解析式； （2）求水流落地点B离墙的距离OB． 【答案】（1）y＝﹣3x2+6x+9；（2）3米. 【解析】 【分析】（1）先根据题意确定所求抛物线的顶点M和点A的坐标，再利用待定系数法求解； （2）根据（1）中求得的二次函数解析式即可求解． 【详解】解：（1）根据题意，得A（0，9），顶点M（1，12）， 于是设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12， 把A（0，9）代入，得9=a+12，解得a＝﹣3， 所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9． 答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9． （2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9，解得x1＝3，x2＝﹣1， 所以B（3，0）． 答：水流落地点B离墙的距离OB为3米． 【点睛】本题是二次函数的应用题，正确理解题意、求出抛物线的解析式是解题关键. 23. 综合与实践 如图1，在正方形中，，是正方形内一点，连接，，且，将绕点顺时针旋转，得到，延长交于点． （1）【问题发现】根据旋转的性质，易得四边形是________．（填特殊四边形的名称） （2）【深入探究】如图2．过点作于点，连接．请判断四边形的形状，并说明理由． （3）【拓展应用】在（2）的条件下，若点是的三等分点，请直接写出线段的长． 【答案】（1）正方形 （2）四边形是平行四边形． 理由如下： 由（1）可知四边形是正方形 ∴． ∵ ∴ ∴． ∴． ∵四边形是正方形 ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ 由旋转的性质，可知 ∴ ∴四边形是平行四边形． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和旋转的性质可得，根据矩形的判定和性质可得，根据正方形的判定即可求得； （2）根据正方形的性质和平行线的判定可推得，，根据全等三角形的判定可得，故，即可证明四边形是平行四边形； （3）根据全等三角形的判定和性质可得，推得，进行分类讨论： ①当时，根据勾股定理可得求解可得的值； ②当时，根据勾股定理可得求解可得的值． 【小问1详解】 ∵，， ∴ ∴四边形是矩形 又∵ ∴矩形是正方形． 故答案为：正方形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2），得 ∴ ∵， ∴ ∴ 由题意，可知需分以下两种情况：进行讨论． ①当时，如题图2所示． 设，则，．在 中， 即 解得（负值已舍去） ∴ ②当时，如解图所示． 设，则，， ∴ 解得（负值已舍去） ∴ ∴ 综上所述，当点是的三等分点时，线段的长为或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定和性质，勾股定理等，属于综合题，具有一定的难度，解题的关键是熟练掌握和运用这些判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $