24.同角三角函数的齐次式求值（已知tanα求代数式值）（中等）专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学三角函数特色专项训练 24.同角三角函数的齐次式求值（已知tanα求代数式值）（中等）（全国通用）（原卷版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】同角三角函数齐次式 ￮ 定义表述：由同角的和构成的代数式，各项中与的次数之和相等，且常见形式为分式（分子分母次数相同），称为同角三角函数齐次式。 ￮ 数学符号/表达式：一次齐次式；二次齐次式（为常数） ￮ 关键特征：各项次数统一；已知的值时，可通过弦切互化转化为关于的代数式求值。 ￮ 跨章节关联：与代数分式的化简求值逻辑相通，结合同角三角函数的商数关系实现转化。 2. 【概念2】齐次式求值的弦切互化法 ￮ 定义表述：对于已知值的齐次式求值问题，利用，对分子分母同除以的次幂（为齐次式次数），消去和，转化为仅含的代数式代入求值的方法。 ￮ 数学符号/表达式：以二次齐次式为例，（） ￮ 关键特征：转化的前提是（即）；转化后代入的值即可快速计算。 ￮ 跨章节关联：与代数中“代入消元法”的思想一致，适用于三角函数的求值问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 弦切互化的前提条件 齐次式求值时，分子分母同除以，必须满足，即 忽略的限制，直接对任意角进行弦切互化求值 化简分式时，忽略的条件直接约分 齐次式的构造技巧 当所求代数式非标准齐次式时，可利用进行构造，转化为齐次式再求值 不会利用构造齐次式，直接代入导致无法计算 求分式的值时，不会利用进行变形 三、题型分类与例题精析 题型1：一次齐次分式的求值（已知tanα的值） 题型特征：所求代数式为分子分母均是、一次项的分式，且已知的具体数值。 解题步骤：1. 确认式子为一次齐次分式，且；2. 分子分母同除以，转化为含的代数式；3. 代入的值计算结果。 例题1 已知，求的值。 举一反三1-1 已知，求的值。 举一反三1-2 已知，求的值。 举一反三1-3 已知，求的值。 题型2：二次齐次分式的求值（已知tanα的值） 题型特征：所求代数式为分子分母含、、的二次齐次分式，且已知的具体数值。 解题步骤：1. 确认式子为二次齐次分式，且；2. 分子分母同除以，转化为含、的代数式；3. 代入的值计算结果。 例题2 已知，求的值。 举一反三2-1 已知，求的值。 举一反三2-2 已知，求的值。 举一反三2-3 已知，求的值。 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知，下列代数式求值结果正确的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 已知，则的值为______。 4. 解答题 (1) 已知，求的值。 (2) 已知，求的值。 （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 2. 多选题 已知，且为第二象限角，下列代数式求值结果为负数的是（ ） A． B． C． D． 3. 填空题 已知，则的值为______。 4. 解答题 (1) 已知，求的值。 (2) 已知，求的值。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高中数学三角函数特色专项训练 24.同角三角函数的齐次式求值（已知tanα求代数式值）（中等）（全国通用）（解析版） 一、专题知识目录 1. 核心概念与定义（跨章节整合） 2. 性质辨析与易错点（综合多类函数） 3. 题型分类与例题精析（细分题型+综合考法） 4. 举一反三强化训练（每题对应一类综合考向） 5. 专题分层测试卷（基础/中等/拔高三层） 二、核心概念与定义 1.1 基础概念（跨章节整合） 1. 【概念1】同角三角函数齐次式 ￮ 定义表述：由同角的和构成的代数式，各项中与的次数之和相等，且常见形式为分式（分子分母次数相同），称为同角三角函数齐次式。 ￮ 数学符号/表达式：一次齐次式；二次齐次式（为常数） ￮ 关键特征：各项次数统一；已知的值时，可通过弦切互化转化为关于的代数式求值。 ￮ 跨章节关联：与代数分式的化简求值逻辑相通，结合同角三角函数的商数关系实现转化。 2. 【概念2】齐次式求值的弦切互化法 ￮ 定义表述：对于已知值的齐次式求值问题，利用，对分子分母同除以的次幂（为齐次式次数），消去和，转化为仅含的代数式代入求值的方法。 ￮ 数学符号/表达式：以二次齐次式为例，（） ￮ 关键特征：转化的前提是（即）；转化后代入的值即可快速计算。 ￮ 跨章节关联：与代数中“代入消元法”的思想一致，适用于三角函数的求值问题。 1.2 性质辨析与易错点（综合辨析） 性质/结论 正确表述 常见易错点 跨函数辨析举例 弦切互化的前提条件 齐次式求值时，分子分母同除以，必须满足，即 忽略的限制，直接对任意角进行弦切互化求值 化简分式时，忽略的条件直接约分 齐次式的构造技巧 当所求代数式非标准齐次式时，可利用进行构造，转化为齐次式再求值 不会利用构造齐次式，直接代入导致无法计算 求分式的值时，不会利用进行变形 三、题型分类与例题精析 题型1：一次齐次分式的求值（已知tanα的值） 题型特征：所求代数式为分子分母均是、一次项的分式，且已知的具体数值。 解题步骤：1. 确认式子为一次齐次分式，且；2. 分子分母同除以，转化为含的代数式；3. 代入的值计算结果。 例题1 已知，求的值。 解析： 第一步，该式是、的一次齐次分式，由可知； 第二步，分子分母同除以，得； 第三步，代入计算：。 答案： 举一反三1-1 已知，求的值。 解析： 式子为一次齐次分式，，分子分母同除以得； 代入，分母，原式无意义。 答案：无意义 举一反三1-2 已知，求的值。 解析： 一次齐次分式，，分子分母同除以得； 代入：，原式无意义。 答案：无意义 举一反三1-3 已知，求的值。 解析： 一次齐次分式，，分子分母同除以得； 代入：。 答案： 题型2：二次齐次分式的求值（已知tanα的值） 题型特征：所求代数式为分子分母含、、的二次齐次分式，且已知的具体数值。 解题步骤：1. 确认式子为二次齐次分式，且；2. 分子分母同除以，转化为含、的代数式；3. 代入的值计算结果。 例题2 已知，求的值。 解析： 第一步，该式是二次齐次分式，由知； 第二步，分子分母同除以，得； 第三步，代入计算：。 答案： 举一反三2-1 已知，求的值。 解析： 二次齐次分式，，分子分母同除以得； 代入：。 答案： 举一反三2-2 已知，求的值。 解析： 二次齐次分式，分母，分子分母同除以得； 代入：。 答案： 举一反三2-3 已知，求的值。 解析： 二次齐次分式，，分子分母同除以得； 代入：。 答案： 四、专题分层测试卷 （一）基础达标卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：一次齐次分式，分子分母同除以得，代入得，选A。 答案：A 2. 多选题 已知，下列代数式求值结果正确的是（ ） A． B． C． D． 解析：A选项代入得正确；B选项即正确；C选项代入得正确；D选项代入得正确，故选ABCD。 答案：ABCD 3. 填空题 已知，则的值为______。 解析：二次齐次分式，分子分母同除以得，代入得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知，求的值。 解析：一次齐次分式，分子分母同除以得，代入得。 答案： (2) 已知，求的值。 解析：二次齐次分式，分子分母同除以得，代入得。 答案： （二）能力提升卷（5题） 1. 单选题 已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 解析：二次齐次分式，分子分母同除以得，代入得，选B。 答案：B 2. 多选题 已知，且为第二象限角，下列代数式求值结果为负数的是（ ） A． B． C． D． 解析：A选项代入得无意义；B选项代入得；C选项代入得无意义；D选项代入得为负数，故选D。 答案：D 3. 填空题 已知，则的值为______。 解析：二次齐次分式，分子分母同除以得，代入得。 答案： 4. 解答题 (1) 已知，求的值。 解析：一次齐次分式，分子分母同除以得，代入得。 答案： (2) 已知，求的值。 解析：二次齐次分式，分子分母同除以得，代入得，无意义。 答案：无意义 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $