精品解析：甘肃省天水市逸夫实验中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试卷

天水市逸夫实验中学2025—2026学年度第一学期自主评估 八年级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数组的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数． 【详解】解：A选项：，而，，不满足勾股数条件； B选项：，而，，不满足勾股数条件； C选项：，而，，满足勾股数条件； D选项：，而，，不满足勾股数条件； 故选：C. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知是三角形的三边长，则 B. 在直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方 C. 中，分别是、、的对边，若，则 D. 中，分别是、、的对边，若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理，熟知定理内容是解答此题的关键． 根据勾股定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：∵ 勾股定理规定：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方； A、三角形未必是直角三角形，∴ 不一定成立，故说法错误； B、直角三角形中，任意两边的平方和不一定等于第三边的平方，只有两直角边的平方和等于斜边的平方， 故说法错误； C、在中，，则a是斜边，∴ 应有，而非，故说法错误； D、在中，，则c是斜边，∴ ，说法正确； 故选：D． 3. 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可． 【详解】A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意； D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确． 故选D． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的证明方法，根据图形面积得出是解题关键． 4. 已知一个直角三角形的两边长分别为，，则这个三角形的第三条边长为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，分为直角边和斜边两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵ 直角三角形两边长分别为，， ∴ 当为直角边时，第三边（斜边）为 ， 当为斜边时，第三边（直角边）为 ， ∴第三边长为或， 故选：D． 5. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交上方的网格线于点，则的长为（ ） A. B. 3.7 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，连接构造直角三角形是解题的关键． 连接，由勾股定理即可得出的长． 【详解】解：连接， 由题可知， 在中，由勾股定理得， ． 故选：D． 6. 已知△ABC的三个角是∠A，∠B，∠C ，它们所对的边分别是a，b，c.①c2－a2＝b2；②∠A＝∠B＝∠C；③c＝a＝b；④a＝2，b＝2 ，c＝.上述四个条件中，能判定△ABC 为直角三角形的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理逆定理、三角形的内角和逐一进行判断即可得. 【详解】①由c2－a2＝b2，可得c2=a2+b2，故可判断三角形ABC是直角三角形； ②∵∠A＝∠B＝∠C，∴∠B=2∠A，∠C=3∠A， ∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形； ③∵c＝a＝b，∴a=b， ∴a2+b2=2a2=c2，∴△ABC是直角三角形； ④∵a＝2，b＝2 ，c＝， ∴a2+b2=12≠c2， ∴△ABC不是直角三角形， 故选C. 【点睛】本题考查了直角三角形的判定，主要涉及勾股定理的逆定理、三角形的内角和等，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键. 7. 如图①是一个直角三角形纸片，∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），则DC的长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 【答案】A 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出AC，根据翻折变换的性质可得BC´＝BC,DC´＝DC,设DC＝x，表示出AD，然后利用勾股定理列方程求解即可. 【详解】∵∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm ∴ 又∵BC´＝BC＝5,DC´＝DC ∴AC´＝AB－BC´＝13－5＝8cm 设DC＝x,则AD＝AC－DC＝12－x ∴DC´＝x ∴在Rt△AC´D中，根据勾股定理得， 即，即 ∴DC＝,故选A. 【点睛】熟练掌握翻折变换、勾股定理，翻折前后对应线段相等、对应角相等，利用勾股定理列式是本题的解题关键. 8. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 已知分别为的两边，且满足，第三边 ​，求的面积________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质，求出的值，得到三角形的两边长，再结合第三边长，通过勾股定理的逆定理可证该三角形是直角三角形，利用三角形面积公式计算即可； 本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握非负数的性质和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 又∵第三边 ​， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：． 10. 如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为________. 【答案】 ； 【解析】 【分析】树高等于AC＋BC，在直角△ABC中，用勾股定理求出BC即可. 【详解】由勾股定理得，BC＝，所以AC＋BC＝1+. 故答案为(). 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是在实际问题的图形中得到直角三角形. 11. 如图，圆柱的底面周长为，AC是底面圆的直径，高，点P 是上的中点．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是____ 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开图，以及勾股定理的应用，做题的关键是画出圆柱的侧面展开图． 首先画出圆柱的侧面展开图，根据高，，在中，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：侧面展开图如图所示， 圆柱的底面周长为， ， ， 在中， ， ． 故答案为：． 12. 已经RtABC的面积为，斜边长为，两直角边长分别为a，b．则代数式a3b+ab3的值为_____． 【答案】14 【解析】 【分析】根据两直角边乘积的一半表示出面积，把已知面积代入求出ab的值，利用勾股定理得到a2+b2＝，将代数式a3b+ab3变形，把a+b与ab的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵的面积为 ∴＝ 解得＝2 根据勾股定理得：＝＝7 则代数式＝＝2×7＝14 故答案为：14 【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式、勾股定理、因式分解等知识点，把要求的式子因式分解，再通过面积公式和勾股定理等量代换是解题的关键． 13. 如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别为、，则__________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理等知识，根据勾股定理得，再计算，代入即可求解﹒ 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ﹒ 14. 如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换、勾股定理及逆定理，轴对称的性质，掌握其性质是解决此题关键，根据翻折的性质及勾股定理的逆定理可得为直角三角形，设，则，然后再由勾股定理可得答案． 【详解】解：由题意可知，两点关于射线对称， ∴， ∵为定值， 要使周长最小，即最小， ∴由两点之间线段最短知，与射线的交点，即为使周长最小的点，如图所示， ∵ ，且， ∴ ， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， ∴， ∴， 故答案为： ． 三、解答题：本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 【答案】 证明：假设，都不大于零， 即，， 因为两个非正数相加还是非正数， 所以， 这与已知条件矛盾， 所以假设不成立． 所以，中至少有一个大于零． 【解析】 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 根据反证法的步骤，直接从结论的反面出发得出即可． 【详解】略 16. （1）在中，，，，求． （2）在中，，，，求的长． 【答案】（1）5；（2）12 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）直接利用勾股定理求解即可； （2）直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵中，，，， ∴； （2）∵中，，，， ∴． 17. 如图， 在中，，，点 D为上一点， 且满足，． （1）判断的形状， 并说明理由； （2）求的长． 【答案】（1） 解：为直角三角形，理由如下： ∵， ∴ ∴， ∴为直角三角形； （2）16.9 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理逆定理的应用、勾股定理． （1）由得到，所以为直角三角形， （2）由（1）推出，根据勾股定理可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设， ∴， ∵为直角三角形，且， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 18. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】（1）梯子顶端距离地面的高度为24米 （2）梯子的底端在水平方向滑动了8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【小问1详解】 解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； 【小问2详解】 梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 19. 2023年杭州亚运会精彩纷呈．某社区为进一步宣传亚运精神，开辟了一块四边形空地，如图，社区计划将其布置成展区，陈列有关亚运会图片．现测得，，，且． （1）试说明； （2）求四边形展区（阴影部分）的面积． 【答案】（1） 解：中，，，， ，， ， 是直角三角形，； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理的应用， （1）由勾股定理的逆定理证得是直角三角形，即可求得； （2）过作于，由等腰三角形的性质求得，再由勾股定理求得，由三角形的面积公式可求得和，即可求得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作于点， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 20. 如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）的长为__________； （2）当点在线段、上运动时，用的代数式表示的长度； （3）当点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； （4）点运动的过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】（1） （2）当在上，；当在上， （3）秒 （4）秒或秒或秒或秒 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，即可求解； （2）根据题意分别列出代数式； （3）点作于点，根据角平分线的性质、勾股定理列方程进行解答即可； （4）分两种情况讨论：当在上时，为等腰三角形；当在上时，为等腰三角形即①、②时、③，进行讨论易得的值． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴, 故答案为：． 【小问2详解】 解：当点在上运动时，； 当点在上运动时，； 【小问3详解】 当点在的平分线上时，过点作于点， ∵点恰好在的角平分线上， ∴， ∵， ， ∴，， ∵在中， ∴ ∴； 【小问4详解】 ①当在上时，，为等腰三角形 ∴，即 ∴． ②当在上时，为等腰三角形 Ⅰ．当时，点在的垂直平分线上,过作于， 如图： ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即 ∴； Ⅱ．，即 ∴； Ⅲ．，过作于，如图： ∴ ∵ ∴ ∴在中， ∴ ∴． ∴当秒或秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、线段垂直平分线的判定和性质、全等三角形的判定和性质、列方程并解方程等，能利用分类讨论的思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天水市逸夫实验中学2025—2026学年度第一学期自主评估 八年级数学 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中正确的是（ ） A. 已知是三角形的三边长，则 B. 在直角三角形中，任意两边的平方和等于第三边的平方 C. 中，分别是、、的对边，若，则 D. 中，分别是、、的对边，若，则 3. 下列选项中（图中三角形都是直角三角形），不能用来验证勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个直角三角形的两边长分别为，，则这个三角形的第三条边长为（ ） A. B. C. D. 或 5. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，为半径画弧，交上方的网格线于点，则的长为（ ） A. B. 3.7 C. D. 6. 已知△ABC的三个角是∠A，∠B，∠C ，它们所对的边分别是a，b，c.①c2－a2＝b2；②∠A＝∠B＝∠C；③c＝a＝b；④a＝2，b＝2 ，c＝.上述四个条件中，能判定△ABC 为直角三角形的有(　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图①是一个直角三角形纸片，∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），则DC的长为（ ） A. cm B. cm C. cm D. cm 8. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 9. 已知分别为的两边，且满足，第三边 ​，求的面积________． 10. 如图所示,一场暴雨过后,垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断,树尖B恰好碰到地面,经测量AB=2米,则树高为________. 11. 如图，圆柱的底面周长为，AC是底面圆的直径，高，点P 是上的中点．一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是____ 12. 已经RtABC的面积为，斜边长为，两直角边长分别为a，b．则代数式a3b+ab3的值为_____． 13. 如图，在中，，，以斜边和直角边为直径的半圆面积分别为、，则__________．（结果保留） 14. 如图，中，．将沿射线折叠，使点A与边上的点D重合，E为射线上一个动点，当周长最小时，的长为______________． 三、解答题：本题共6小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 用反证法证明：如果，那么，中至少有一个大于零． 16. （1）在中，，，，求． （2）在中，，，，求的长． 17. 如图， 在中，，，点 D为上一点， 且满足，． （1）判断的形状， 并说明理由； （2）求的长． 18. 一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 19. 2023年杭州亚运会精彩纷呈．某社区为进一步宣传亚运精神，开辟了一块四边形空地，如图，社区计划将其布置成展区，陈列有关亚运会图片．现测得，，，且． （1）试说明； （2）求四边形展区（阴影部分）的面积． 20. 如图，在中，，，，若点从点出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，设运动时间为秒． （1）的长为__________； （2）当点在线段、上运动时，用的代数式表示的长度； （3）当点恰好在的角平分线上（点除外），求的值； （4）点运动的过程中，当为等腰三角形时，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $