第三章图形的平移与旋转 问题解决活动：最短距离 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

该初中数学课件聚焦图形平移与旋转中的最短距离问题，以“将军饮马”“造桥选址”为核心，通过居民区与工厂修地下通道的实际情境导入，抽象为“定点在直线两侧、动点间距固定求路径最短”的数学模型，借助平移转化中间路段，连接两点之间线段最短等旧知，构建“复杂问题转化为直线连接”的学习支架。 其亮点在于以问题链驱动探究，渗透数学核心素养。从实际情境抽象模型培养抽象能力与模型意识，引导学生用平移构造转化问题发展几何直观，通过全等推理验证方案强化推理意识，如跟踪训练中天桥修建问题让学生经历“抽象-转化-验证”过程。随堂练习结合坐标系综合应用，助力学生形成转化思想与空间观念，为教师提供“情境-探究-应用”完整教学流程，便于实施分层教学。

问题解决活动：最短距离 第三章 图形的平移与旋转 八下数学 BSD 1. 使用平移解决最短路径问题：将军遛马；造桥选址. 2. 通过构造相关点的对称点、平移点或旋转点，改变某些点的位置，将不相关、复杂的问题转化为相关、简单的问题. 学习目标 问题 如图，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿着城铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班. 课堂导入 知识点 最短距离 思考 已知该地下通道长度为a m，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短?请画出这条最短路线并说明理由(不考虑地面到地下通道地面的高度). 新知探究 理解问题 上述问题可以抽象成怎样的数学问题? 如图所示，定点A，B分别位于直线l的两侧，动点M，N(点M居左)在直线l上且MN=a， 求使AM+MN+NB取得最小值时点M，N的位置. 知识点 最短距离 新知探究 拟定计划 (1) 你以前遇到过类似的问题吗? 以前遇到过两点之间的最短路线问题、与垂线段最短有关的最短路线问题、将军饮马问题等. 知识点 最短距离 新知探究 (2) 解决这个问题最大的困难是什么? 最大的困难是整条路线中需要“弯折”一段距离无法通过直接连接A，B两点来得到所求点的位置. 知识点 最短距离 新知探究 (3) 地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗? 可以通过将居民区沿铁路方向向右平移a m，将中间地下通道的路程“先行”，再连接居民区平移后的位置与工厂的位置，即可使前后两段路连起来. 知识点 最短距离 新知探究 实施计划 (1) 写出你的解决方案. 在由原问题转化的数学问题上说明解决方案. 如图，将点A沿l向右平移a个单位长度得到点A′，连接A′B交l于点N，在直线l上点N的左侧截取MN=a， 连接AM，此时AM +MN+NB取得最 小值. 知识点 最短距离 a 新知探究 (2) 说明你的方案的合理性. 如图所示，连接A′M. 由平移作图可知AA′=MN， AA′∥MN， ∴ ∠AA′M=∠NMA′. 在△AA′M和△NMA′中， ∴ △AA′M≌△NMA′(SAS)， 知识点 最短距离 新知探究 ∴ AM = A′N， ∴ AM + MN + NB = MN + A′N + NB = MN+A′B. 根据“两点之间线段最短”可得， 此时A′N+NB最小， 故此时AM+MN+NB取得最小值. 知识点 最短距离 新知探究 回顾反思 通过解决上述问题，你获得了哪些经验?你认为解决这类问题的关键是什么? “将军遛马”类问题可以将固定要行的一段路线进行平移，将问题转化为两点之间线段最短问题进行解答. 知识点 最短距离 新知探究 回顾反思 通过解决上述问题，你获得了哪些经验?你认为解决这类问题的关键是什么? 解决最短距离类问题的关键要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点或旋转点，将复杂的图形转化为简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等进行解决. 知识点 最短距离 新知探究 知识点 最短距离 跟踪训练 1. 如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭式道路的两旁，现规划修建一座过路天桥，要求天桥与道路垂直.那么，天桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短? 新知探究 知识点 最短距离 解：如图所示，记甲单位所在位置为点A，乙单位所在位置为点B，将点A沿竖直向下的方向平移，平移距离等于桥长，到达点A1，连接A1B，与道路靠近乙单位的一侧交于点B1，过点B1建桥即符合要求. 新知探究 知识点 最短距离 跟踪训练 2.(1) 如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新设两个储物点，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂大门后，先到甲储物点取物品，然后沿道路走到乙储物点取物品，最后到道路另一侧的车间.请画图说明，两个储物点设在何处，工作人员所走的路程最短. 大门 道路 车间 甲储物点 乙储物点 新知探究 知识点 最短距离 解：(1) 不妨设大门为点A，车间为点B，道路为直线l，甲、乙储物点分别为l上的点M，N，两储物点之间的固定距离为a. 新知探究 知识点 最短距离 如图所示，将点A沿l向右平移a个单位长度得到点A′，连接A′B交l于点N，在直线l上点N的左侧截取MN=a，连接AM. 即点M，N分别为甲、乙储物点的所求位置，此时工作人员所走的路程最短. a 新知探究 知识点 最短距离 跟踪训练 2.(1) 如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新设两个储物点，两个储物点的间距固定，工作人员每天进入工厂大门后，先到甲储物点取物品，然后沿道路走到乙储物点取物品，最后到道路另一侧的车间.请画图说明，两个储物点设在何处，工作人员所走的路程最短. (2) 第(1)问与本课研究的例题 有什么联系和区别? 大门 道路 车间 甲储物点 乙储物点 新知探究 知识点 最短距离 (2) 联系：核心原理一致. 两题均运用“平移+两点之间线段最短”的几何原理，通过平移其中一个点(居民区、车间)，将折线路线转化为直线段，从而找到最短路径. 区别：平移对象、路径结构. 新知探究 1.如图所示，若将军要骑马从军营A到河边并沿着小河l往回遛马一段距离，距离为a m，再骑马到达军营B(河宽忽略不计).请画出将军的最短路线. 解：如图，将点A沿l向左平移a m 得到点A′，连接A′B交l于点N，在直线 l上点N的右侧截取MN=a m， 连接AM，即此时AM+MN+BN取最小值. 随堂练习 21 2.如图所示，若军营A，B在小河l的同侧，将军要骑马从军营A到河边并沿着河遛马一段距离，距离为a m，然后再骑马到达军营B(河宽忽略不计).请画出将军的最短路线. 解：如图，将点A沿l向右平移a m得到点A′， 作点A′关于直线l的对称点A″，连接A″B交 l于点F，在直线l上点F的左侧截取EF=a m， 连接AE，即此时AE+EF+FB取最小值. 随堂练习 22 3. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在原点，点A，C在坐标轴上，点D的坐标为(5，4)，点E为CD的中点，点P，Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为 . 随堂练习 23 解析：由题意可知，PQ，AE为定值，使得四边形APQE的周长最小，求得AP+QE的最小值即可. 如图所示，将点A沿AD向右平移2个单位长度得到点A′，作点A′关于x轴的对称点A″，连接 A″E交x轴于点Q，在x轴上点Q的左侧截取PQ=2， 连接AP，即此时四边形APQE的周长最小. 随堂练习 24 由题意知A(0，4)，E(5，2)，由平移得A′(2，4)，由对称可知A″(2，-4). 设直线A″E的函数表达式为y=kx+b(k≠0). 将A″(2，-4)，E(5，2)代入， 得解得 即直线A″E的函数表达式为y=2x-8. 令y=0，得0=2x-8，解得x=4，即Q(4，0)， 故P的坐标为(2，0). 随堂练习 25 3. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B在原点，点A，C在坐标轴上，点D的坐标为(5，4)，点E为CD的中点，点P，Q为BC边上两个动点，且PQ=2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标应为 . (2，0) 随堂练习 26 “最短路径问题”的原型来自“将军饮马问题”“造桥选址问题”，出题背景通常为直线、角、三角形、平行四边形坐标轴等. 一般来说，线段和最短的问题，往往要把几条线段连接成一条线段，利用“两点之间线段最短”或者“垂线段最短”来分析与解决现实问题. 解题的关键是通过构造相关点的对称点，平移点或旋转点，改变某些点的位置，将不相关、复杂的问题转化为相关、简单的问题，进而实现化“折”为“直”来进行求解. 课堂小结 $