精品解析：山东省枣庄市峄城 2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025－2026学年第一学期12月核心素养评价 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．根据得，所以只要点的横坐标与纵坐标的积等于，就在函数图象上． 【详解】解：∵ 点在该函数图象上需满足， A：，∴不在图象上； B：，∴不在图象上； C：，∴ 不在图象上； D：，∴ 满足方程，在图象上； 故选 ：D． 2. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，结合题意再根据直角三角形中余弦的定义得，代值计算即可． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 3. 二次函数的图象经过下列点中的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．将各点横坐标分别代入函数表达式，求出函数值，判断与纵坐标是否相等，若相等，则图象经过该点，否则，不经过． 【详解】A．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； B．，时，，与点的纵坐标相等，在函数图象上； C．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； D．，时，，与点的纵坐标不相等，不在函数图象上； 故选：B． 4. 如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点A，再以点A为圆心，长为半径画弧，两弧交于点B，画射线，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，等边三角形的性质与判定，线段的尺规作图，根据作图方法可得，则可证明是等边三角形，得到，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 故选：D． 5. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 若点，在图象上，且，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性及反比例函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 分别根据反比例函数的图象及图象上点的坐标特点、反比例函数的增减性对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、∵， ∴图象在第一、三象限，故本选项错误； B、当时，y随x的增大而减小，故本选项正确； C、∵当时，， ∴图象不经过点，故本选项错误； D、∵图象在第一、三象限，在每一支上，y随x的增大而减小， ∴当时，，故本选项错误； 故选：B． 6. 对于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 顶点坐标为 D. 对称轴为轴 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，掌握其相关性质是解题的关键．观察解析式可知，，顶点坐标为 ，对称轴为 （即轴），进而根据二次函数的相关性质判断即可． 【详解】解：抛物线 中，， 图象开口向下，顶点坐标为 ，对称轴为 （即轴），故选项A、C、D说法正确，不符合题意； 当时，随增大而增大；当时，随增大而减小， 当时，随增大而减小，故选项B说法不正确，符合题意； 故选：B． 7. 向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A. 第7秒 B. 第9秒 C. 第11秒 D. 第13秒 【答案】B 【解析】 【分析】本题需先根据题意求出抛物线的对称轴，即可得出顶点的横坐标，从而得出炮弹所在高度最高时的值． 【详解】解：∵此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴是：， ∴炮弹所在高度最高时：时间是第9.5秒， ∵炮弹所处的高度与时间的函数图象的开口向下， ∴距离对称轴越近的点函数值越大，即炮弹的高度越高， ∴第9秒时炮弹所在高度最高，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据题意求出抛物线的对称轴，是解答本题的关键． 8. 如图，四边形和四边形都是正方形，反比例函数在第一象限的图象经过点，若两正方形的面积差为12，则的值为　　 A. 12 B. 6 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b，则可表示出D（a，a-b），F（a+b，a），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到E（a+b，），由于点E与点D的纵坐标相同，所以=a-b，则a2-b2=k，然后利用正方形的面积公式易得k=12． 【详解】解：设正方形OABC、BDEF的边长分别为a和b， 则D（a，a-b），F（a+b，a）， ∴E（a+b，）， ∴=a-b， ∴（a+b）（a-b）=k， ∴a2-b2=k， ∵两正方形的面积差为12， ∴k=12． 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．也考查了正方形的性质． 9. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查网格中的三角函数，连接，，则，勾股定理求出的长，利用正弦的定义，进行求解即可. 【详解】解：连接，，则，如图： 由勾股定理，得：， ∴； 故选：B． 10. 如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据时判定②，由抛物线图象性质判定④．要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征． 【详解】解：①抛物线的对称轴在轴右侧，则，而，故，故正确； ②时，函数值小于0，则，故正确； ③与轴交于点和点，则对称轴，故，即，故③正确； ④当时，图象位于对称轴左边，随的增大而增大．故④错误； 综上所述，正确的为①②③，有3个． 故选：C． 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分把答案填在题中的横线上） 11. 已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随着x的增大而增大，则m的取值是_____． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据函数是反比例函数，可得出，在结合当x＜0时，y随着x的增大而增大，可得出，解一元二次方程及一元一次不等式即可得出结论. 【详解】解：根据题意得： ， 解得：m＝﹣3． 故答案是：﹣3． 【点睛】此题主要考查反比例函数定义及性质，能把函数的增减性与比例系数的符号相结合解题，是最基本的要求． 12. 在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 【答案】等腰直角三角形 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，根据特殊角的三角函数值求出的度数，进而确定出三角形的形状即可． 【详解】解：∵，都是锐角，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； 故答案为：等腰直角三角形． 13. 小明沿着坡比为的斜山坡向上走了300m，则他升高了______m． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，坡度坡角问题，熟练掌握坡比等于铅直距离与水平距离得比是解题的关键． 根据坡比等于坡角的正切值，以及正切的定义可设升高了，则水平距离为，再根据勾股定理求得答案． 【详解】解：设升高了，根据坡比为，可得水平距离为， ∴由勾股定理得， 解得． 故答案为：． 14. 如图，反比例函数的图象经过菱形的对角线与的交点P，点B，C分别在y轴和x轴上，轴，轴，则的面积为____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，矩形和菱形的性质，根据反比例函数k值的几何意义求得，再逐步推理解答即可． 【详解】解：如图，连接， 轴，轴， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， 点P在反比例函数图象上， ， 四边形是菱形， ， 故答案为：6． 15. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 【答案】2 【解析】 【分析】把一般式化为顶点式，即可得到答案． 【详解】解：∵h=-5t2+20t=-5（t-2）2+20， 且-5＜0， ∴当t=2时，h取最大值20， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式． 16. 如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接，分别以为边向外部作正方形，连接．点从点运动到点的过程中，与的面积之和为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查的是抛物线和轴的交点，涉及到三角形全等、坐标与图形、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．证明，得到，同理可得：，即可求解． 【详解】解：令，则或， 即点、的坐标分别为：、， 设点的横坐标为， 分别过点、作轴的垂线，垂足分别为点、， ， ， ， ， ，， ， ， 同理可得：， 则与的面积之和， 故答案为：． 三、解答题：（共7个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． （1）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （2）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算； （3）分别代入特殊角的三角函数值，再进行二次根式的混合运算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： 18. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A、点B和点C的坐标； （2）若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，抛物线与图形面积问题，解题的关键是正确求出抛物线与坐标轴的交点． （1）分别令，即可求解抛物线与坐标轴的交点坐标； （2）先求出顶点，设抛物线对称轴与轴交于点，则，，，，，再由求解． 【小问1详解】 解：当时，则， 解得或， ∴，； 当， ∴； 【小问2详解】 解：， ∴顶点， 设抛物线对称轴与轴交于点， ∴，，，，， ∴ 19. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； （2）出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； （3）若想要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点到的距离为米，是否符合要求？ 【答案】（1）； （2）; （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解决本题的关键是利用待定系数法求反比例函数的关系式． 由米，，可知点的坐标是，利用待定系数法求出段滑梯所在的双曲线的解析式； 设点的坐标是，代入中的解析式求出的值，用点横坐标减去点横坐标即为，之间的水平距离； 设点的坐标是，把点的坐标代入中的解析式求出值，根据值判断是否符合要求 ． 【小问1详解】 解：米，， 点的坐标是， 设双曲线的解析式为， 把点的坐标代入， 可得：， 段滑梯所在的双曲线的解析式是； 【小问2详解】 解：出口点距离水面的距离为米， 设点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 点，之间的水平距离为； 【小问3详解】 解：点到的距离为米，则点的横坐标是， 设点的坐标是， 把代入， 可得：， 符合要求． 20. 已知二次函数y＝a+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … （1）求该二次函数的函数关系式； （2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象； （3）写出y≤5时自变量x的取值范围(可以结合图象说明)． 【答案】（1）y＝﹣4x+5 （2） 画出函数的图象如图： （3）0≤x≤4 【解析】 【分析】（1）当x＝1或3时，y均等于2，那么此二次函数的对称轴是2，则顶点坐标为(2，1)，设出顶点式，把表格中除顶点外的一点的坐标代入可得a的值，也就求得了二次函数的值； （2）根据图表中的对应点，画出函数的图象即可； （3）由表格中的值可以判断函数值等于5的自变量的值，再利用二次函数增减性求出即可． 【小问1详解】 解：由图表可知抛物线y＝a+bx+c过点(1，2)，(3，2)，求出对称轴为x＝2； ∴顶点坐标为：(2，1)， ∴设y＝ +1， 将(1，2)代入可得：a+1＝2， 解得：a＝1， ∴二次函数的解析式为：y＝+1＝﹣4x+5． 【小问2详解】 解：略． 【小问3详解】 解：由图表可知抛物线y＝+1＝﹣4x+5过点(0，5)，对称轴为直线x＝2； ∴抛物线y＝+1＝﹣4x+5过点(4，5)， ∴y≤5时自变量x的取值范围：0≤x≤4． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，画二次函数图象，二次函数与不等式关系．掌握用待定系数法求二次函数解析式和用图象法求不等式解集是解题的关键． 21. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为8米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 【答案】（1）米；米 （2）72平方米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形，正确应用计算公式是解题的关键． （1）在直角三角形中根据三角函数定义，先求出，然后根据求解即可； （2）过点A作于点M，先求出，在直角三形中，根据正切定义再求出，根据及矩形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 解：∵，的长为8米，， ∴， ∴米； ∵， ∴米， ∴米； 【小问2详解】 过点A作于点M，如图所示： ， ， ， 在中，∵， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∴底座的底面的面积为：平方米． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画，使点在格点上，且； （2）在图②中以线段为边画等腰，使点在格点上； （3）在图③中以线段为边画，使点在格点上，使． 【答案】（1） 如图所示，即为所求（答案不唯一）： （2） 如图所示，即为所求（答案不唯一）： （3） 如图所示，即为所求（答案不唯一）： 【解析】 【分析】本题考查网格作图，等腰三角形的性质与判定，勾股定理与网格，锐角三角函数中的正切值，掌握正切值等于对边与邻边的比是关键； （1）根据，作直角三角形，使得，即可求解； （2）作，即可； （3）在（2）的基础上作的中点，连接，即可求解． 【小问1详解】 解：略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∴． 23. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； （2）若，求的最小值． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值． （1）①将，代入，求出b，c的值即可； ②由①得，二次函数为，可知二次函数图象的顶点坐标为，当时，，进而可得当时，，即，求出t的值即可． （2）若，则二次函数解析式为，可得，，则，根据二次函数的性质可得答案． 【小问1详解】 解：①当，时，，， 将，代入， 得， 解得， ②由①得，二次函数解析式为， ∴二次函数图象的顶点坐标为， 当时，， ∵当时，二次函数的最大值与最小值的差为10， ∴当时，， 即， 解得，（舍去）， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴二次函数解析式为， ∴，， ∴， ∴当时，取得最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期12月核心素养评价 九年级数学 （满分：120分 时间：120分钟） 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各点在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，，那么的值是（ ） A. B. C. D. 3. 二次函数的图象经过下列点中的（ ） A. B. C. D. 4. 如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，与射线交于点A，再以点A为圆心，长为半径画弧，两弧交于点B，画射线，则的值为（ ）． A. B. C. D. 5. 关于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象分布在第二、四象限 B. 当时，随的增大而减小 C. 图象经过点 D. 若点，在图象上，且，则 6. 对于抛物线，下列说法不正确的是（ ） A. 图象开口向下 B. 当时，随的增大而增大 C. 顶点坐标为 D. 对称轴为轴 7. 向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的函数表达式为，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（ ） A. 第7秒 B. 第9秒 C. 第11秒 D. 第13秒 8. 如图，四边形和四边形都是正方形，反比例函数在第一象限的图象经过点，若两正方形的面积差为12，则的值为　　 A. 12 B. 6 C. D. 8 9. 如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，抛物线与轴交于点和点，以下结论：①；②；③；④当时，随的增大而减小．其中正确的结论个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共6个小题，每题3分，共18分把答案填在题中的横线上） 11. 已知函数是反比例函数，且当x＜0时，y随着x的增大而增大，则m的取值是_____． 12. 在中，，都是锐角，，，写出最确切的形状是______． 13. 小明沿着坡比为的斜山坡向上走了300m，则他升高了______m． 14. 如图，反比例函数的图象经过菱形的对角线与的交点P，点B，C分别在y轴和x轴上，轴，轴，则的面积为____． 15. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度（单位：m）与飞行时间（单位：s）之间具有函数关系：，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间_________s． 16. 如图，抛物线与轴交于两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接，分别以为边向外部作正方形，连接．点从点运动到点的过程中，与的面积之和为_____． 三、解答题：（共7个小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） （3） 18. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． （1）求点A、点B和点C的坐标； （2）若抛物线的顶点为D，求四边形的面积． 19. 如图为某公园“水上滑梯”的侧面图，其中段可看成是一段双曲线，矩形为向上攀爬的梯子，米，米．以点为原点，水面所在直线为轴建立如图的直角坐标系，其中点在轴上． （1）求段滑梯所在的双曲线的解析式（不需写出的取值范围）； （2）出口点距离水面的距离为米，求，之间的水平距离； （3）若想要在滑梯上的点处设置一个安全警示牌，要求安全警示牌到水面的距离不低于3米，已知点到的距离为米，是否符合要求？ 20. 已知二次函数y＝a+bx+c中自变量x和函数值y的部分对应值如下表： x … ﹣1 0 1 2 3 … y … 10 5 2 1 2 … （1）求该二次函数的函数关系式； （2）在所给的直角坐标系中画出此函数的图象； （3）写出y≤5时自变量x的取值范围(可以结合图象说明)． 21. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点E，使得点C，B，E在同一条直线上； ②过点E作，并沿方向前进到点F，用皮尺测得的长为8米； ③在点F处用测角仪测得，，； ④用计算器计算得：，，，，，． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1）求线段和的长度： （2）求底座的底面的面积． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中以线段为边画，使点在格点上，且； （2）在图②中以线段为边画等腰，使点在格点上； （3）在图③中以线段为边画，使点在格点上，使． 23. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求b，c的值； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为10，求t的值； （2）若，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $