精品解析：天津市南开日新学校2025-2026学年高二上学期学习质量检测（三）数学学科试卷

2025-2026学年南开日新学校高二上学期学习质量检测（三） 数学学科 一、单选题：本大题共10小题，共30分. 1. 抛物线的焦点到准线的距离为，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线的方程变形，根据焦点与准线距离列方程求参数. 【详解】由题设，抛物线标准形式为，则，可得. 故选：D 2. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 【详解】设，则， 因为，所以，所以. 故选：A. 3. 已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设，则数列的前10项和等于（ ）． A. 55 B. 70 C. 85 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】 根据已知可求出，再根据等差数列的性质及求和公式即可求出数列{abn}的前10项和． 【详解】数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、， 且，． 设，又都是公差为1的等差数列，所以数列也成等差， 则数列的前10项和等于， 又，， ∴， 故选：C． 【点睛】性质：若数列为等差数列，则项数依次成等差的那些项也依次成等差. 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，，是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：由题意可知，代入椭圆方程可知 考点：椭圆性质 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的定义，结合在圆中直径所对的圆周角为直角、勾股定理、椭圆离心率公式进行求解即可. 【详解】设，则，于是有， 由椭圆的定义可知：， ， 在圆中，是直径，所以， 由勾股定理可得：， ，代入中，得 ， 故选：B 6. 已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于不同的M，N两点，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由抛物线定义求出方程，再设直线与抛物线联立，将面积之比转化为坐标关系，代入韦达定理化简即可. 【详解】由题意知抛物线上任意一点到焦点F的距离与它到直线的距离相等，因此，，抛物线的方程为. 设直线的方程为，且，，,， 由得， 所以，， 则， 所以=·=. 综上，. 故选：B. 7. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，则可将化为，结合等差数列定义可得是等差数列，求出首项后即可得其通项公式，再利用计算即可得. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则，即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：D. 8. 已知双曲线：的一条渐近线方程为：，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性易得四边形是平行四边形，再根据其面积得出，进而计算点的坐标，将其代入双曲线方程中，并结合渐近线方程可求. 【详解】记坐标原点为，不妨设在第一象限，显然的倾斜角为，的倾斜角为，故， 而，，由对称性易得四边形是平行四边形， 故其面积，可得， 设，由的倾斜角为，得，， 于是由，得， 又，则，解得， 故的虚轴长为． 故选：D． 9. 设,是双曲线（)的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线性质得到，，然后在和在中利用余弦定理可得． 【详解】由题可知，则， 在中，， 在中,， ， ． 10. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知，直线与圆相离，利用直线与圆的位置关系可求出的取值范围，再结合椭圆离心率公式可求得椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆， 因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角， 则点在圆外， 又因为动点在直线上， 则直线与圆相离，    所以，解得， 则，即， 因此，椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 二、填空题：本大题共6小题，共24分. 11. 若双曲线的离心率为3，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】分若焦点在轴、轴上两种情况，求出的范围，结合离心率的定义求解. 【详解】若焦点在轴上，则，，得， 则，得，满足题意； 若焦点在轴上，则，，无解， 则. 故答案为： 12. 已知等差数列､的前项和分别为､，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】已知，由于等差数列的前项和是关于的二次函数（且常数项为0），形式为，因此可设，(k为非零常数），用、分别算出，，，最后代入计算. 【详解】由于等差数列的前项和是关于的二次函数（且常数项为0），形式为， 因此可设，，(k为非零常数) ； ； 。 故答案为： 13. 椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，，为其左､右焦点.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点；，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆的光学性质可得，即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，又点到直线的距离的倍，分析求解即可. 【详解】 如图，右焦点关于直线的对称点， 设切点为，由椭圆的光学性质可得：，，三点共线， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 圆心到直线的距离为， 则圆上的点到直线的距离最小值为，最大值为， 所以点到直线的距离为， 所以表示点到直线的距离的倍， 则，即. 故答案为： 14. 已知，是抛物线：上不同两点.若直线过点，则的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设出直线的方程，与抛物线方程联立，得到与的关系，再对进行变形，最后利用基本不等式求解其最小值. 【详解】设直线的方程为，与联立得， 由根与系数的关系得，∴， ∴，当且仅当时取等号. 故答案为： 15. 数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，若存在正整数，使，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用分组求和法求，且当时，，当时，，可发现位于两数之间，从而求. 【详解】由于， 则， 当时，，当时，， 根据， 则， 即此时的. 故答案为： 16. 已知椭圆上两个不同的点关于直线对称，则实数的取值范围是______. 【答案】或 【解析】 【分析】设线段的中点，利用点差法得到，结合得到，联立得，根据点M在椭圆的内部列不等式求解即可. 【详解】设，，是线段的中点， 因为点是椭圆上关于直线对称的两个点， 则，两式相减得. 因为，，所以. 因为，所以，故，联立，解得， 所以. 因为点M应在椭圆的内部，所以，即， 解得或. 所以实数m的取值范围是或. 故答案为：或. 三、解答题：本大题共4小题，共46分. 17. 已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线 （1）求曲线的方程； （2）若过点且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据斜率公式表示出和，利用斜率之积为，列方程，化简后得到双曲线方程即可； （2）先求直线的方程，再与双曲线方程联立，利用韦达定理求出和，最后代入弦长公式计算即可． 【小问1详解】 因为的坐标为，又，，, 又动点满足直线与的斜率之积为，， 即， 故曲线的方程为. 【小问2详解】 根据已知作图如下： 直线过点且倾斜角为，直线的方程为， 联立，消去，整理得，， 设，则， ， 故. 18. 记为数列的前项和. （1）已知为等差数列，证明：数列是等差数列； （2）已知在公差为1的等差数列中，成等比数列，求的最小值. 【答案】（1） 设等差数列的公差为，则. 又所以， 所以，所以， 所以， 当时，也满足上式，所以. 所以，为常数，所以数列是等差数列. （2）. 【解析】 【分析】（1）首先根据递推公式求出的通项公式，进而可得的通项公式，最后可判定为等差数列； （2）根据等差数列的通项公式可得到的表达式，结合等比中项可得关于的方程，进而可得到的表达式，进而求得最值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为等差数列的公差为1，所以. 又成等比数列，所以，即， 解得. 所以， 根据二次函数的性质可知，当或12时，取得最小值， 即的最小值为. 19. 已知椭圆的短轴长为，是上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，是轴上不同的两点，直线，分别交椭圆于另一点，，若，证明：椭圆在点处的切线与的外接圆相切． 【答案】（1） （2） 设椭圆在点处的切线方程为， 由，可得， 所以， 化简得，解得， 所以的方程为，即． 因为，所以直线，的倾斜角互补， 所以直线，的斜率均存在且均不为零并互为相反数， 设直线的方程为， 由，可得， 设，线段的中点为， 则，， 所以线段的垂直平分线的方程为．① 由直线的斜率为，同理可得线段的垂直平分线的方程为．② 由①+②得，由①-②得， 所以的外接圆圆心的坐标为， 则直线的斜率， 又，所以，故， 所以的外接圆与直线相切， 所以椭圆在点处的切线与的外接圆相切． 【解析】 【分析】（1）由题意列出关于的方程组，解出的值，即可求出椭圆的标准方程. （2）设椭圆在点处的切线方程为，联立椭圆方程得到关于的一元二次方程，根据直线与椭圆相切，令得到的值，又因为，利用平面几何知识分析出两直线的倾斜角互补，从而得到两直线的斜率互为相反数，借助垂直平分线的性质求的外接圆圆心的坐标，再利用圆心和切点的连线与切线垂直即可证明. 【小问1详解】 由题意得，得，， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 略 20. 已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求三角形面积的最大值； （3）设直线，的斜率为，，若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 证明：下面先说明：椭圆的弦的斜率（存在的情况下）为，为弦中点的坐标， 设弦的端点为，，则， 由，两式相减得， 则， 所以弦的斜率（存在的情况下）为. 设，，，， 根据，有，则， 两式相减得， 对比直线方程，即， 知直线过． 【解析】 【分析】（1）由题意得，再根据椭圆的定义求出，进而根据求出即可求解； （2）设，，设方程为，联立直线与椭圆方程，令，，结合韦达定理表示出，进而结合对勾函数的性质求解即可； （3）先说明：椭圆的弦的斜率（存在的情况下）为，为弦中点的坐标，进而设，，可得，，进而得到，再对比直线方程即可求证. 【小问1详解】 由题意得，，， 则，即， 所以，即所求椭圆方程为. 【小问2详解】 设，，设方程为， 由，得， 则，， 所以 ， 令，，则， 因为函数在上单调递增，且时，， 则，即的最大值为. 【小问3详解】 略 四、附加题：本大题共4小题，共20分. 21. 已知椭圆的右焦点为,且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则__________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，所以，设 ，两式作差得，则，，同理可得，所以，填． 【点睛】点差法：这是处理圆锥曲线问题的一种特殊方法，适用于所有圆锥曲线．不妨以椭圆方程为例，设直线与椭圆交于两点，则该两点满足椭圆方程，有： 考虑两个方程左右分别作差，并利用平方差公式进行分解，则可得到两个量之间的联系： ① ② 由等式可知：其中直线的斜率，中点的坐标为，这些要素均在②式中有所体现．所以通过“点差法”可得到关于直线的斜率与中点的联系，从而能够处理涉及到弦与中点问题时．同时由①可得在涉及坐标的平方差问题中也可使用点差法． 22. 已知，是双曲线的左、右焦点，点在上，与x轴垂直，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则E的离心率为_______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据已知条件结合双曲线的定义求出，，，利用直角三角形求出外接圆半径，再利用等面积法求出内切圆的半径，即可求解. 【详解】 设，与x轴垂直，， 代入双曲线方程得，解得，， 点在双曲线的右支上，则， ， 是直角三角形，外接圆半径， 设内切圆的半径为，又， 则，即，解得， 的外接圆半径是其内切圆半径的倍，，即， 整理得，两边同时除以，得， 解得或. 故答案为：或. 23. 已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为 ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，根据三点共线，求出直线的方程，联立双曲线方程，即可求得点坐标，则由即可容易求得. 【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，， ∴△APF的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|++|AF|=|PA|++|AF|+， 由于是定值，要使△APF的周长最小，则|PA|+最小，即P、A、共线， ∵，∴直线的方程为，即代入整理得， 解得或 (舍)，所以P点的纵坐标为， ∴=. 故答案为：. 【点睛】本题考查双曲线中三角形面积的求解，涉及双曲线的定义，属综合中档题. 24. 已知等差数列，若，，且，则公差__________． 【答案】或 【解析】 【分析】由题可得，然后分和讨论即得. 【详解】∵，， ∴， 若，显然，则， 解得，满足题意； 若，则，， 又， ， ， ， ∴ ，， ， 综上，公差或. 故答案为：0或6． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年南开日新学校高二上学期学习质量检测（三） 数学学科 一、单选题：本大题共10小题，共30分. 1. 抛物线的焦点到准线的距离为，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设，则数列的前10项和等于（ ）． A. 55 B. 70 C. 85 D. 100 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若，，是一个直角三角形的三个顶点，则点到轴的距离为 A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，过点F且斜率存在的直线交抛物线C于A，B两点，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于不同的M，N两点，则=（ ） A. B. C. D. 7. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线：的一条渐近线方程为：，直线与交于，两点，分别过点，作的垂线，垂足为，．若四边形的面积为，则的虚轴长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 9. 设,是双曲线（)的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 A. B. C. D. 10. 蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，共24分. 11. 若双曲线的离心率为3，则___________ 12. 已知等差数列､的前项和分别为､，若，则__________. 13. 椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，，为其左､右焦点.动直线为此椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点；，则的取值范围为__________. 14. 已知，是抛物线：上不同两点.若直线过点，则的最小值为________. 15. 数列的前项和为，若数列的各项按如下规律排列：，若存在正整数，使，则__________. 16. 已知椭圆上两个不同的点关于直线对称，则实数的取值范围是______. 三、解答题：本大题共4小题，共46分. 17. 已知点，动点满足直线与的斜率之积为，记点的轨迹为曲线 （1）求曲线的方程； （2）若过点且倾斜角为的直线与曲线相交于两点，求． 18. 记为数列的前项和. （1）已知为等差数列，证明：数列是等差数列； （2）已知在公差为1的等差数列中，成等比数列，求的最小值. 19. 已知椭圆的短轴长为，是上一点． （1）求椭圆的标准方程； （2）已知点，是轴上不同的两点，直线，分别交椭圆于另一点，，若，证明：椭圆在点处的切线与的外接圆相切． 20. 已知左焦点为的椭圆过点，过右焦点分别作椭圆的动弦，．设点，分别为线段，的中点． （1）求椭圆的标准方程； （2）求三角形面积的最大值； （3）设直线，的斜率为，，若，求证：直线经过定点，并求出定点的坐标． 四、附加题：本大题共4小题，共20分. 21. 已知椭圆的右焦点为,且离心率为，的三个顶点都在椭圆上，设三条边的中点分别为，且三条边所在直线的斜率分别为，且均不为0.为坐标原点，若直线的斜率之和为1.则__________． 22. 已知，是双曲线的左、右焦点，点在上，与x轴垂直，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则E的离心率为_______. 23. 已知是双曲线的右焦点，P是C左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为 ． 24. 已知等差数列，若，，且，则公差__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $