安徽省合肥市第六中学2025-2026学年高三上学期数学限时作业（十一）

合肥六中2025-2026学年高三数学上学期限时作业（十一） 命题人：杨益玫 审题人：夏雨寒 时长：100分钟 分值：133分 一、单选题（共8小题，共40分） 1．已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．若函数的图象向右平移个单位长度之后得到的图象关于原点对称，则实数的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 5．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ） A．2 B．6 C．9 D．12 6．已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 7．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．在中，若，，则 C．已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“” D．已知向量，，与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 10．圆上到直线的距离为3的点恰好有2个时，可取值为（   ） A．0 B． C． D． 11．已知曲线的图象可由以坐标原点为中心的双曲线绕其中心旋转一定角度得到.现将双曲线绕原点旋转得到曲线，则（   ） A．直线是曲线的一条渐近线 B．的实轴长为 C．的离心率为2 D．当时，直线与有两个交点 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知矩形中中,是的中点, 则 ． 13．若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 14．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再将的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，且在区间上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为 . 四、解答题（共4小题，共60分） 15．（13分）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 16．（15分）如图，在三棱柱中，，是的中点，是上一点，平面.    (1)证明：平面； (2)若，，是的中点，二面角的大小为，求. 17．（15分）若数列满足，则称为“增差数列”. (1)若，证明：为“增差数列”； (2)若为“增差数列”，且，，求的最大值； (3)已知“增差数列”的前项和为，数列的前项和为，若，证明：. 18．（17分）已知． (1)讨论的单调性； (2)若在有两个零点，求的取值范围； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 《合肥六中2025-2026学年高三数学上学期限时作业（十一）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C B A C C B C BC BCD 题号 11 答案 AD 1．C 【分析】设复数，即可求出，再根据复数相等的充要条件求出、，即可得解. 【详解】设复数，所以， 又，所以， 即，所以，解得，所以，则的虚部为. 故选：C 2．C 【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为， ， 因此，. 故选：C. 3．B 【分析】根据平移后的图象的对称中心得到的对称中心，然后根据正切函数的对称性得到，然后求最小值即可. 【详解】由题意得关于对称，所以， 整理得， 因为，所以当时取得最小值，为. 故选：B. 4．A 【分析】由方程表示双曲线可得或，进而可知“”是该方程表示双曲线的充分而不必要条件. 【详解】若方程表示双曲线， 则有，解得或. 所以是方程表示双曲线的充分而不必要条件. 故选：A. 5．C 【分析】由已知条件及椭圆与双曲线的基本量的关系，得，然后利用基本不等式中“1”的妙用求出最小值． 【详解】椭圆中，则， 所以椭圆的焦点分别为与， 则与也是双曲线的两个焦点，因此， 于是有， 当且仅当且，即时取等号， 因此的最小值为9. 故选：C. 6．C 【分析】根据条件得到，再利用等差数列的性质及前项和公式，即可求出结果. 【详解】等差数列的前项和为，由，且， 得，所以， 则数列的公差，所以数列是递增的等差数列， 且当时，，当时，， 又， 所以使成立的最小的为24， 故选：C． 7．B 【分析】设，根据椭圆定义结合勾股定理解得，进而可得，在中，利用勾股定理列式求解即可. 【详解】设， 因为，则， 由椭圆的定义可得，， 因为，即， 在中，则，即， 解得，可得， 在△中，可得，即，整理得， 所以椭圆E的离心率为. 故选：B． 8．C 【分析】根据已知条件得到递推关系，进而推得是等比数列，逐项分析即可. 【详解】因为正方体棱长为，所以内切球的半径（内切球直径等于正方体棱长）, 对于球：球与正方体的三个面相切，故其球心坐标为； 球与球相切，两球心距离为，该距离等于， 由此得到递推关系：， 整理得， 所以是首项，公比的等比数列. 对于A：，A正确； 对于B：以上已证明，B正确； 对于C：等比数列前项和，因为， 所以，所以，C错误； 对于D：球的体积，， 因为是首项为，公比为的等比数列， 所以 所以，D正确； 故选：C. 9．BC 【分析】对于A，向量不能比较大小；对于B，利用数量积的定义和等腰三角形的性质即可判断；对于C，由正弦定理和大边（角）对大角（边）即可判断；对于D，利用数量积为负同时要排除反向共线即平角的情况即可判断. 【详解】对于A，因为向量有方向，所以不能像实数一样比较大小，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由正弦定理，可知，故C正确； 对于D，由即 解得，故D错误. 故选：BC 10．BCD 【分析】根据给定条件，利用圆的性质，结合点到直线距离公式求出符合条件的范围即判断. 【详解】圆的圆心为，半径， 当圆上到直线的距离为3的点恰好有1个时，直线在圆外， 此时圆心到直线的距离为7，即，解得； 当圆上到直线距离为3的点恰好有3个时，直线到圆心的距离为1，则，解得， 当直线位于到圆心距离为1和到圆心距离为7的两条平行直线之间时， 圆上到直线距离为3的点恰好有2个，此时的取值范围是， 选项A不满足，选项BCD满足. 故选：BCD 11．AD 【分析】根据对勾函数渐近线即可判断A选项；通过渐近线找到对称轴，联立曲线求交点，交点即为两个顶点，从而求出实轴长度，故可判断B选项；通过A，B选项所得条件，将曲线求出，通过曲线C的渐近线方程求离心率可判断C选项；对于D选项，联立用判别式解不等式即可. 【详解】曲线的两条渐近线为：和，故A选项正确； 易知两条渐近线夹角为，故曲线的一个对称轴为， 联立方程得，， 故曲线的两个顶点为：，， 易得曲线的实轴长为，故B选项错误； 由B选项知：两条渐近线夹角为， 易知将顺时针旋转得到， 此时的渐近线倾斜角为，由渐近线方程得：， 而离心率，故C选项错误； 由，，可得：，， 故双曲线的方程为：. 联立直线与曲线消去得：， 若使直线与有两个交点，则只需要让上述方程有两个根即可， 即判别式大于零：， 解得：或， 故当时，直线与有两个交点，故D正确. 故选：AD. 12． 【分析】由平面向量的数量积的运算性质求解即可 【详解】 13． 【分析】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【详解】因为，可知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数的取值范围为. 14． 【分析】先根据函数平移、放缩变换，得到解析式，再根据在区间上恰有两个极值点、两个零点，结合余弦函数图象进行求解即可. 【详解】由题意，得 所以． 令，则． 设，则在上恰有两个极值点和两个零点， 如图，， 解得． 故答案为：. 15．(1)或； (2)最大，此时. 【分析】（1）根据已知，令直线，利用几何法求点线距离，再应用坐标法列方程求参数，即可得直线方程； （2）令直线，应用点线距离公式、弦长公式及三角形面积求法列方程，利用基本不等式求面积最大值，注意取值条件即可得答案. 【详解】（1）若直线斜率不存在，则，此时，不符题设， 由，则圆心，半径为3，又， 所以到直线的距离， 令直线，则，可得，故或， 所以直线的方程为或； （2）由（1）直线斜率不存在，有， 又到直线的距离，则； 若直线斜率存在，令， 此时到直线的距离，， 所以，令， 则，当且仅当，即或时等号成立， 所以，此时最大. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由已知可证得平面，得，再证得，即可得出结果. （2）以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用平面的法向量来求解二面角，进而得出线段长度。 【详解】（1）连接，因为，是的中点， 所以. 因为平面，平面， 所以，. 因为，平面，，所以平面， 因为平面，所以. 因为，，所以， 因为，平面，，所以平面. （2）在平面中，过点作，交于点， 易知平面，又，故以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，    设， 则，，可得， 所以，，， 所以，. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以. 又平面的一个法向量为， 所以，得， 所以，符合题意. 所以. 17．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设，由，得到，即可求解； （2）由数列为“增差数列”，得到，化简得到，得到，进而证得的最大值； （3）由为“增差数列”得到，得到，得到，进而证得. 【详解】（1）设，要证为“增差数列”，只需证， 因为，可得， 则， 所以，所以为“增差数列”. （2）由数列为“增差数列”，可得， 则， 又因为，， 因为， 所以，，，， 可得，即，可得， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为. （3）因为数列为“增差数列”，可得， 所以， 则， 因为， 所以 ， 所以， 所以， 所以， 即， 所以. 18．(1)答案见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； （2）通过分类讨论结合零点存在性定理即得结论； （3）由题意得在上恒成立，令，通过两次求导结合分类讨论分析的单调性可得结论. 【详解】（1）∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． （2）由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． （3）由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 答案第14页，共14页 答案第1页，共14页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥六中2025-2026学年高三数学上学期限时作业（十一） 命题人：杨益玫 审题人：夏雨寒 时长：100分钟 分值：133分 一、单选题（共8小题，共40分） 1．已知复数z满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D．1 2．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．若函数的图象向右平移个单位长度之后得到的图象关于原点对称，则实数的最小值是（　　） A． B． C． D． 4．“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 5．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ） A．2 B．6 C．9 D．12 6．已知是等差数列的前项和，若，则使的最小整数（   ） A．22 B．23 C．24 D．25 7．设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．一个棱长为2的正方体内有一个内切球，若球与正方体的三个面和球相切，球与正方体的三个面和球相切，依次类推，球与正方体的三个面和球相切，设球的半径为，体积为，则下列结论不正确的是（   ） A． B．数列为等比数列 C． D． 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9．下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．在中，若，，则 C．已知a，b，c为的内角A，B，C的对边，则“”的充要条件是“” D．已知向量，，与的夹角为钝角，则实数x的取值范围是 10．圆上到直线的距离为3的点恰好有2个时，可取值为（   ） A．0 B． C． D． 11．已知曲线的图象可由以坐标原点为中心的双曲线绕其中心旋转一定角度得到.现将双曲线绕原点旋转得到曲线，则（   ） A．直线是曲线的一条渐近线 B．的实轴长为 C．的离心率为2 D．当时，直线与有两个交点 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知矩形中中,是的中点, 则 ． 13．若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是 14．将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，再将的图象上各点的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，且在区间上恰有两个极值点、两个零点，则的取值范围为 . 四、解答题（共4小题，共60分） 15．（13分）已知圆及点，过点的直线与圆交于、两点． (1)若弦长，求直线的方程； (2)求△面积的最大值，并求此时弦长的值． 16．（15分）如图，在三棱柱中，，是的中点，是上一点，平面.    (1)证明：平面； (2)若，，是的中点，二面角的大小为，求. 17．（15分）若数列满足，则称为“增差数列”. (1)若，证明：为“增差数列”； (2)若为“增差数列”，且，，求的最大值； (3)已知“增差数列”的前项和为，数列的前项和为，若，证明：. 18．（17分）已知． (1)讨论的单调性； (2)若在有两个零点，求的取值范围； (3)若在上恒成立，求的取值范围． 答案第2页，共3页 答案第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $