精品解析：安徽省合肥市第六中学2025-2026学年高三上学期第八次限时作业数学试题

合肥六中2023级高三上学期数学第八次限时作业 命题人：杨啸天 审题人：许猛 时长：100分钟 分值：133分 一､单选题 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合，结合交集定义求. 【详解】，， 所以，又， ． 故选：C. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据两角和与差的正弦公式进行化简求值即可. 【详解】由于， 那么， ，则， 故选：C． 4. 已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由条件化简得，利用投影向量的定义计算. 【详解】由，则，化简得， 所以在向量上的投影向量为. 故选：C. 5. 已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的周期，举例说明函数的单调性不满足要求，排除A，证明为函数的周期，再判断函数在上的单调性，判断B，举例说明函数的单调性不满足要求，排除C，结合函数定义域，排除D. 【详解】对于A，，但，， 所以函数在上不单调递增，不符合题意； 对于B，， 所以函数的周期为， 当时，，因为， 函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，同理可得函数在上单调递减， ，所以函数的最小正周期为，B正确； 对于C，因为，， 所以函数在上不单调递增，不符合题意； 对于D，函数的定义域为，， 所以结论函数在单调递增错误，不符合题意； 故选：B. 6. 法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率，其中，2，3…，为使得，则的最大值为（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】通过累乘法以及等差数列求和公式得，进一步得 ，结合数列单调性即可得解. 【详解】由题意，所以， 所以，即， 显然关于单调递增，其中， 又，所以的最大值为63. 故选：C. 7. 如图，二面角的大小为，四边形､都是边长为1的正方形，则､两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二面角的定义可得，利用空间向量线性运算把表示为，再利用空间向量数量积的运算性质求解即可. 【详解】∵四边形、都是边长为1的正方形， ∴，. 又∵二面角的大小为， ∴，即. ∵，且由题意知，， ∴. 故选：C 8. 已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对n分奇数与偶数讨论，求出数列与数列的公共项，利用裂项相消法求和. 【详解】因为数列是正奇数数列，对于数列，当为奇数时，设，则，为奇数；当为偶数时，设，则，为偶数，所以， ， 所以， 故选：D． 二､多选题 9. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】求导，利用导数确定函数单调性、极值与最值即可判断ABC，对于D，通过验证的值是否为6来验证对称性. 【详解】，解得，所以在上单调递减，故A正确； 又时，单调递减，单调递增，， 所以时，的值域为，故B错误； 在上单调递减，在和单调递增， ，所以只有一个零点，故C错误； 因为，所以曲线关于点对称，故D正确； 故选：AD. 10. 已知函数，则（ ） A. 为周期函数 B. 存在，使得的图象关于对称 C. 在区间上单调递减 D. 的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】证明，结合周期函数定义判断A，证明函数为奇函数，结合周期性证明若函数存在对称轴，则为其对称轴，推出矛盾，判断B，利用导数判断指定区间函数的单调性，判断C，结合正弦函数性质可得，进一步说明等号不成立，判断D. 【详解】由于，故，所以为的周期，A正确； 函数的定义域为，定义域关于原点对称，， 所以为奇函数， 假设图象关于对称，则函数为偶函数， 所以，故， 所以，又，所以为函数的对称轴， 所以， 但，， 所以，矛盾，所以图象不关于对称，B错误； 因为，化简整理得， 当时，， 函数的图象为开口向上，对称轴为的抛物线， 若，则， 所以当时，， 故在区间上单调递减，C正确； 因为，当且仅当时取等号， 但当，即时，，所以，D不正确． 故选：AC. 11. 如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段AE的最小值是 B. 的周长最小值为 C. 如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D. 如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，线段AE的最小值就是正四体的高，通过计算高进行判断，对于B，把沿着CD展开与面BDC同一个平面内，则的周长最小值为，通过计算判断，对于C，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，由等体积法求解即可，对于D，10个小球分三层（1个，3个，6个）放进去，要使小球半径要最大，则外层小球与四个面相切，如图四个角小球球心连线是棱长为的正四面体，在正四面体中计算即可. 【详解】A选项：因为D是PB的中点，E是CD上的动点，所以线段AE的最小值就是正四体的高， 因为正四面体的棱长为4，所以正四面体的高为， 所以线段AE的最小值是 所以A选项正确； B选项，把沿着CD展开与面BDC同一个平面内， 由，， 所以， 所以，所以的周长最小值为不正确.故B选项错误； C选项，要使小球半径最大，则小球与四个面相切，是正四面体的内切球，设半径为r. 由等体积法可得：， 所以半径.故C选项正确； D选项，10个小球分三层（1个，3个，6个）放进去，要使小球半径要最大， 则外层小球与四个面相切，设小球半径为， 四个角小球球心连线是棱长为的正四面体，其高为， 由正四面体内切球的半径是高的得， 如图正四面体， 则，正四面体高为， 得.故D选项正确. 故选：ACD 三､填空题 12. 已知i是虚数单位，则 ________． 【答案】 【解析】 【分析】先由复数除法运算化简，再由复数模长公式即可计算求解. 【详解】先由题得，所以. 故答案为： 13. 已知正三棱台的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，且，则正三棱台的体积为___________. 【答案】或 【解析】 【分析】先由球的表面积公式求出球O的半径为R，利用正弦定理求出上下底面外接圆的半径，进而求出球心到上下底面的距离，分上下底面在球心的同侧和异侧两种情形求出正三棱台的高，再由体积公式即可得出答案. 【详解】设点，分别是，的外接圆的圆心，球O的半径为R， 则，解得，且，，O三点共线， 正三棱台的高为， 在等边中，， 由正弦定理可得：，得. 在等边中，， 由正弦定理可，得. 在中，，即，得， 在中，，即，得， 如果三棱台的上下底面在球心O的同侧，如图1所示，则正三棱台的高为， 所以正三棱台的体积. 如果三棱台的上下底面在球心O的两侧，如图2所示，则正三棱台的高为， 此时正三棱台的体积. 综上，正三棱台的体积为或. 故答案为：或. 【点睛】关键点点睛：先由球的表面积公式求出球O的半径为R，利用正弦定理求出上下底面外接圆的半径，进而求出球心到上下底面的距离，分上下底面在球心的同侧和异侧两种情形求出正三棱台的高，再由体积公式即可得出答案. 14. 若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______ 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值. 【详解】由题意得，，． 设公切线与的图象切于点， 与的图象切于点， ∴， ∴，∴， ∴，∴． 设，则， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴， ∴实数的最大值为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键点在于由导数的几何意义将公共切线的斜率分别由两函数上的切点横坐标表示，并据此建立关系，将由切点坐标表示，进而将转化为关于的函数，通过求导求其最大值. 四､解答题 15. 在中，角的对边分别是，已知. （1）求； （2）若，且的周长为，求. 【答案】（1）或； （2） 当时，无解；当时，或. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理边化角，进而求出. （2）由（1）的结论，利用余弦定理列式求解. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理得，而， 则，又， 所以或. 【小问2详解】 由的周长为，，得， 在中，由余弦定理得，即， 则，当时，，于是，，此方程无解； 当时，，于是，解得或， 所以当时，无解；当时，或. 16. 如图，直三棱柱的体积为1，，，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：直三棱柱的体积为：， 则，四边形为正方形， 法一：在直棱柱中，面，， 又平面，则， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以， 因为，所以， 在正方形中，有， 因为，，，平面， 所以平面，又平面， 所以． 法二：直棱柱，平面，又， 以为原点，，，所在直线为x轴，y轴， z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， ，， ，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）法一：由线面垂直证明即可；法二：用空间直角坐标系证明即可； （2）法一：过作于，连接，由已知得出为二面角的平面角，求解即可；法二：建立空间直角坐标系求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得， 设，在中，过作于，连接， 因为，，平面，且， 所以平面，又平面， 所以， 所以为二面角的平面角， 因为，，得， 又在中，，得， ， 所以二面角的余弦值为． 法二： ，，，，， ，，设平面的法向量：， 则，取，得， ，，设面的法向量， 则，取，得， 设二面角的大小为，则： ， 因为为锐角，所以二面角余弦值为． 17. 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，. （1）求和的通项公式； （2）设数列满足求. 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式； （2）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 依题意，得，解得， 故，， 所以，的通项公式为，的通项公式为； 【小问2详解】 ， 记 ① 则 ② ②①得，， 所以 . 【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目. 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时，. 【答案】（1） 当，在上单调递增， 当，在上单调递减， 当，在上单调递增； （2）； （3） 由（2）取，在上， 令，，则，即， 所以，则，得证. 【解析】 【分析】（1）应用导数研究函数的区间单调性即可； （2）应用导数探讨时，恒成立有，再判断所得范围的充分性，即可得； （3）根据（2）结论，令，得，即可证. 【小问1详解】 由题设，则且， 当，，即在上单调递增， 当，，即在上单调递减， 当，，即在上单调递增； 【小问2详解】 由题设，令，则， 对时，恒成立，且，只需，即， 另一方面，时，， 所以在上单调递增，则， 所以在上单调递增，则，满足题设， 综上，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥六中2023级高三上学期数学第八次限时作业 命题人：杨啸天 审题人：许猛 时长：100分钟 分值：133分 一､单选题 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 4. 已知两个非零向量满足，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（ ） A. B. C. D. 6. 法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率，其中，2，3…，为使得，则的最大值为（ ） A. 31 B. 32 C. 63 D. 64 7. 如图，二面角的大小为，四边形､都是边长为1的正方形，则､两点间的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，数列与数列的公共项按从大到小的顺序排列组成一个新数列，则数列的前99项和为（ ） A. B. C. D. 二､多选题 9. 设函数，则（ ） A. 在上单调递减 B. 时，的值域为 C. 有三个零点 D. 曲线关于点对称 10. 已知函数，则（ ） A. 为周期函数 B. 存在，使得的图象关于对称 C. 在区间上单调递减 D. 的最大值为 11. 如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 线段AE的最小值是 B. 的周长最小值为 C. 如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为 D. 如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为 三､填空题 12. 已知i是虚数单位，则 ________． 13. 已知正三棱台的所有顶点都在表面积为的球O的球面上，且，则正三棱台的体积为___________. 14. 若函数与的图象存在公共切线，则实数的最大值为______ 四､解答题 15. 在中，角的对边分别是，已知. （1）求； （2）若，且的周长为，求. 16. 如图，直三棱柱的体积为1，，，． （1）求证：； （2）求二面角的余弦值． 17. 设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知， ，. （1）求和的通项公式； （2）设数列满足求. 18. 已知函数. （1）当时，讨论的单调性； （2）当时，恒成立，求的取值范围； （3）求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $