02 长方体和正方体的表面积（导学案）五年级数学寒假自学课（北京版）

02 长方体和正方体的表面积 知识点精讲 知识点 长方体和正方体的表面积 内容 长方体和正方体的表面积 1、长方体的展开图是由6个长方形组成的，相对面的面积相等，而且相邻的面的面积一般不相等（特殊情况也有4个面的面积相等）；正方体的展开图是由6个正方形组成的，而且6个正方形的面积相等。 2、长方体表面积的计算方法： （1）先分别求出相对的2个面的面积，再将三组面积相加，即长方体的表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2。 （2）先求出三个不同面的面积之和，再乘2，即长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2。 3、正方体的表面积=棱长×棱长×6。 【典型例题1】下面图（    ）可以围成有一组相对面的点数和是7的正方体。 A． B． C． D． 【典型例题2】计算下列图形的表面积。 【典型例题3】计算下面图形的表面积。 【典型例题4】一间教室长10米，宽7米，高3米。要粉刷教室的屋顶和四面墙壁（除去门窗和黑板的面积28.6平方米），粉刷面积是多少平方米？如果平均每平方米用0.3千克涂料，至少需要多少千克涂料？ 【典型例题5】一个装玩具飞机的盒子长30cm，宽20cm，高5cm，把两个这样的盒子包成一包。有三种方案，分别算出各种方案所需的包装纸的大小。哪种方案最节省包装纸？（接头处不计） 第一种方案： 第二种方案： 第三种方案： 【变式训练1】下列图形不是长方体的表面展开图的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】计算下面图形的表面积。（单位：cm） （1）    （2）    （3） 【变式训练3】计算下面图形的表面积。（单位：cm） 【变式训练4】涛涛和爸爸一起用36分米长的铁丝做了一个正方体孔明灯框架，除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，这个孔明灯至少需要多少平方分米的安全阻燃纸？ 【变式训练5】一本涂色书的长是16cm，宽是12cm，厚是0.4cm。 （1）如果把4本书包装成一包，分别算出下面三种包装方法所需包装纸的大小。（接口处不计） 草图 长/cm 宽/cm 高/cm 表面积/cm2 方法一 方法二 方法三 （2）上述三种方法中，最节省包装纸的方法是方法几？ （3）如果不列式计算，你能很快地知道用哪一种包装方法最节约吗？它有什么规律？ 1．把下图中的图①折叠成图②，图②中右面的数字应该是（    ）。 A．1 B．2 C．5 D．6 2．如下图所示，把一个棱长是3分米的正方体木块锯成两个完全一样的长方体木块之后，表面积（    ）。 A．减少了9平方分米 B．减少了18平方分米 C．增加了9平方分米 D．增加了18平方分米 3．一个长方体，用下面三种不同的方法分别将其切成了两个完全一样的长方体。切后两个长方体的表面积总和分别比原来增加了60平方厘米、40平方厘米和48平方厘米。求原来长方体的表面积，列式正确的是（    ）。          A．60＋40＋48 B．（60＋40＋48）÷2C．（60＋40＋48）×2 D．以上都不正确 4．如图，从长方体木块中挖去一个棱长为1cm的正方体，剩下木块的表面积是（    ）cm2。 A．59 B．52 C．94 D．100 5．一盒糖果长、宽、高如下图所示。将四盒包成一包，下面方案中最节约包装纸的是（    ）。（接口处不计，单位：cm） A．B． C． D． 6．县人民礼堂前有5级台阶，长20米，每节台阶宽0.2米，高0.15米，5级台阶共占地（ ）平方米；如果用地毯铺这些台阶，需要地毯（ ）平方米。 7．有三个同样大的正方体铁块，棱长都是5厘米，将它们拼成下图的形状，表面积比原来减少了（ ）平方厘米。 8．“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的“六艺”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后，与“御”字相对的是“（ ）”字。与“乐”字相对的是“（ ）”字。 9．下边是正方体的展开图，根据图上的信息，这个正方体的棱长是（ ）厘米，表面积是（ ）平方厘米。 10．明明准备用一根铁丝围一个长12cm、宽10cm、高5cm的长方体框架，他至少需要用（ ）cm的铁丝；如果他将这根铁丝改围成一个正方体，所围成的正方体的棱长是（ ）cm，如果他再给这个正方体的四周贴上商标纸，至少需要（ ） cm2的商标纸。 11．计算下面图形的表面积和体积。（单位：cm） 12．下图是一个长方体展开图的左面、下面和前面。请画出长方体展开图的另外三个面。 13．如下图（单位：cm），某广场上有20根这样的柱子，给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖。若每平方米瓷砖100元，则给这些柱子贴瓷砖一共要花多少钱？ 14．果果用5个完全一样的小正方体拼成如下面的长方体，表面积减少了32平方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米？ 15．茶叶厂家在对外销售时一般有统一制作的包装盒。某茶叶厂有甲（长方体）、乙（正方体）两种包装盒（尺寸如下图所示）。如果分别用最少的铁皮制作甲、乙两种包装盒各一只（接缝处忽略不计），哪种包装盒的铁皮用料更少？请你写出计算过程。 16．学校有一间长8m、宽6m、高3m的教室，门窗的面积是11.4m2。 （1）算式“8×6”所解决的问题是_________________________？ （2）学校要粉刷这间教室（除去地面和门窗），如果每平方米需要花4元涂料费，粉刷这间教室需要花费多少元涂料费？ 知识点一： 【典型例题1】C 【分析】相对之端是对面：相对的两个小正方形（中间隔着一个小正方形）是正方体的两个对面，“z”字两端处的小正方形是正方体的对面；据此解答。 【详解】A．由图可知：相邻的两个面的点数和是7，不符合题意； B．由图可知：相邻的两个面的点数和是7，不符合题意； C．由图可知：相对的两个面的点数和是7，符合题意； D．由图可知：相邻的两个面的点数和是7，不符合题意； 故答案为：C 【点睛】本题主要考查正方体展开图的相对面辨别方法。 【典型例题2】长方体的表面积：112cm2； 正方体的表面积：294 cm2； 【分析】根据长方体的表面积公式S＝2（ab＋ah＋bh），正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算求解。 【详解】长方体的表面积： （8×4＋8×2＋2×4）×2 ＝（32＋16＋8）×2 ＝56×2 ＝112（cm2） 所以，长方体的表面积是112cm2。 正方体的表面积： 7×7×6 ＝49×6 ＝294（cm2） 所以，正方体的表面积是294 cm2。 【典型例题3】98平方厘米 【分析】如图所示，立体图形的表面积等于正方体四个面的面积之和加上长方体的表面积，根据正方体的表面积和长方体的表面积公式，把数据代入公式即可解答。 【详解】 （平方厘米） 立体图形的表面积是98平方厘米。 【典型例题4】143.4平方米；43.02千克 【分析】要粉刷教室的屋顶和四面墙壁，也就是长方体的上面，前后两个面，左右两个面的和，减去门窗和黑板的面积。用粉刷面积乘平均每平方米的涂料质量，即为需要的涂料总质量。 【详解】10×7＋10×3×2＋7×3×2－28.6 ＝70＋60＋42－28.6 ＝143.4（平方米） 143.4×0.3＝43.02（千克） 答：粉刷面积是143.4平方米，至少需要43.02千克涂料。 【典型例题5】2200；3200；3100；第一种方案最节省包装纸。 【分析】先明确三种包装方案中组合后长方体的长、宽、高，再根据长方体表面积公式分别计算每种方案的包装纸面积，即S＝（长×宽＋长×高＋宽×高），最后比较大小确定最节省包装纸的方案。 【详解】第一种方案：（） 第二种方案：（） 第三种方案：（） 答：第一种方案最节省包装纸。 【变式训练1】C 【分析】根据长方形展开图的特征：“1－4－1”型结构；“2－3－1”型结构；“3－3”型结构；逐项分析，进行解答。 【详解】 A．，属于长方体展开图的“1－4－1”型结构，是长方体展开图。 B．，属于长方体展开图的“1－4－1”型结构，是长方体展开图。 C．，不属于长方体展开图的特征，不是长方体展开图。 D．，属于长方体展开图的“1－4－1”型结构，是长方体展开图。 不是长方体的表面展开图的是。 故答案为：C 【变式训练2】（1） （2） （3） 【分析】根据长方体的表面积公式：，正方体的表面积公式：，将数据代入公式即可得出答案。 【详解】（1） （2） （3） 【变式训练3】376平方厘米 【分析】看图可知，在长方体的顶点挖去一个长方体，看上去表面积少了3个面，里面又出现了同样的3个面，因此这个立体图形的表面积就是完整的长方体表面积，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，列式计算即可。 【详解】 （平方厘米） 它的表面积是376平方厘米。 【变式训练4】45平方分米 【分析】根据题意，用36分米长的铁丝做了一个正方体孔明灯框架，那么正方体的棱长总和等于铁丝的长度；根据正方体的棱长总和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长总和÷12，求出正方体的棱长； 这个正方体孔明灯除了底面外，其他面都要糊上安全阻燃纸，即正方体的5个面要糊安全阻燃纸，根据“棱长×棱长×5”求出至少需要安全阻燃纸的面积。 【详解】36÷12＝3（分米） 3×3×5 ＝9×5 ＝45（平方分米） 答：这个孔明灯至少需要45平方分米的安全阻燃纸。 【变式训练5】（1）32；24；0.4；1580.8 32；12；0.8；838.4 16；12；1.6；473.6 （2）473.6＜838.4＜1580.8；最节省包装纸的方法是方法三 （3）第三种包装方法最节约，因为第三种包装方法让涂色书之间直接接触的面积最大 【分析】（1）通过观察图形可知，方法一，拼成的长方体的长是（）厘米，宽是（）厘米，高是0.4厘米；方法二，拼成的长方体的长是（）厘米，宽是12厘米，高是（）厘米；方法三，拼成长方体的长是16厘米，宽是12厘米，高的（）厘米；根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答； （2）比较三种方法的表面积即可得出最节省包装纸的方法。 （3）不用列式计算，我能很快地知道用第三种包装方法最节省包装纸，因为最大面重合摞起来进行包装最节省包装纸。 【详解】（1）方法一： （平方厘米） 方法二： （平方厘米） 方法三： （平方厘米） 草图 长/cm 宽/cm 高/cm 表面积/ 方法一 32 24 0.4 1580.8 方法二 32 12 0.8 838.4 方法三 16 12 1.6 473.6 （2） 答：最节省包装纸的方法是方法三。 （3）不用列式计算，我能很快地知道用第三种包装方法最节省包装纸，因为最大面重合摞起来进行包装最节省包装纸。 1．D 【分析】由图示可知：数字1、2、3、4在一条直线上，5、3、6在一条直线上，如果折成一个正方体，标有1、2、3、4的4个面可作为正方体的侧面；标有5、6的2个面可作为上下两个底面。图②中，能看到数字3、4，即侧面，则右面的数字应该是6。 【详解】结合正方体的特征及展开图围成立体图的规律，可知： 图②中右面的数字应该是6。 故答案为：D。 【点睛】充分考查了学生的空间思维能力，主要是通过将平面展开图折成立体图的过程中，训练对数字位置推测的能力。 2．D 【分析】根据正方体的特征，它的6个面都是正方形，6个面的面积都相等；把一个棱长是3分米的正方体木块锯成两个完全一样的长方体木块之后，表面积增加两个截面的面积；根据正方形的面积公式解答。 【详解】表面积增加： 3×3×2 ＝9×2 ＝18（平方分米） 故答案为：D 【点睛】此题主要考查正方体的特征和表面积的计算方法，关键是明确把一个正方体木块锯成两个完全一样的长方体木块之后，表面积增加两个截面的面积。 3．A 【分析】三种切法增加的面积分别是2个上面的面积，2个左面的面积，2个前面的面积，所以把增加的面积加起来就是原来长方体的表面积。 【详解】根据分析可知，原来长方体的表面积为：60＋40＋48。 故答案为：A 【点睛】考查了长方体的表面积，解题的关键是分析出三种切法增加的面积。 4．C 【分析】据图可知，挖去一个棱长是1cm的正方体，则原来长方体的表面积会减少3个边长是1cm的正方形的面，而挖去之后又会增加3个边长是1cm的正方形的面，据此可知剩下木块的表面积就等于原来长方体的表面积，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2列式计算即可。 【详解】（5×4＋5×3＋4×3）×2 ＝（20＋15＋12）×2 ＝47×2 ＝94（cm2） 从长方体木块中挖去一个棱长为1cm的正方体，剩下木块的表面积是94cm2。 故答案为：C 5．D 【分析】要使包装的表面积最少，应把长方体糖果盒最大的面重合一起包装。已知糖果盒的长、宽、高分别为20cm、15cm、5cm，根据长方形面积公式计算各个面的面积，长×宽：20×15＝300（cm2）；长×高：20×5＝100（cm2）；宽×高：15×5＝75（cm2）。长×宽的面是最大的面。 【详解】A．重合的是6个长×高的面，即减少了20×5×6＝600（cm2）。 B．重合的是4个宽×高和4个长×高的面，即减少了： 15×5×4＋20×5×4 ＝300＋400 ＝700（cm2） C．重合的是4个长×宽和4个长×高的面，即减少了： 20×15×4＋20×5×4 ＝1200＋400 ＝1600（cm2） D．重合的是6个的长×宽的面，即减少了20×15×6＝1800（cm2）。 1800＞1600＞700＞600 所以选项D中的包装表面积减少最多，最节约包装纸。 故答案为：D 6．20 35 【分析】台阶的长是20米，宽是0.2米，根据长方形的面积＝长×宽即可求出它的面积；再乘5，求出一阶台阶的占地面积；根据题意可知：每级台阶的上面是长方形，长20米，宽0.2米，高0.15米；铺地毯不仅要铺每阶台阶的上面，而且还要铺每阶台阶的前面。因此先求铺一级台阶需要地毯多少平方米，再乘5即可。 【详解】20×0.2×5 ＝4×5 ＝20（平方米） （20×0.2＋20×0.15）×5 ＝（4＋3）×5 ＝7×5 ＝35（平方米） 5级台阶共占地20平方米；如果用地毯铺这些台阶，需要地毯35平方米。 【点睛】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 7．100 【分析】由图可知，表面积减少了4个面，每个面的面积＝棱长×棱长，用每个面的面积×减少的面的个数即可。 【详解】（3－1）×2 ＝2×2 ＝4（个） 5×5×4 ＝25×4 ＝100（平方厘米） 表面积比原来减少了100平方厘米。 【点睛】此题考查了立体图形的切拼，明确减少了多少个面是解题关键。 8．礼 数 【分析】正方体相对的面不相连；相对的两个面在同层中隔着一个面（小正方形）寻找，再在异层中隔两面寻找，剩下的两面自然相对。据此解答。 【详解】通过分析可得：与“御”字相对的是“礼”字；与“乐”字相对的是“数”字。 9．2 24 【分析】正方体有六个面，且六个面都是正方形，是如图所示“1—4—1”型的正方体展开图，3条棱长的总长度是6厘米，则正方体的棱长是6÷3＝2（厘米），最后利用“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出这个正方体的表面积，据此解答。 【详解】 6÷3＝2（厘米） 2×2×6 ＝4×6 ＝24（平方厘米） 所以，这个正方体的棱长是2厘米，表面积是24平方厘米。 10．108 9 324 【分析】（1）用一根铁丝围成一个长方体框架，那么铁丝的长度等于长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，求出铁丝的长度。 （2）如果将这根铁丝改围成一个正方体，那么铁丝的长度等于正方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求出所围成的正方体的棱长。 （3）如果给这个正方体的四周贴上商标纸，即贴商标纸的面是正方体的4个面，根据正方体的侧面积＝棱长×棱长×4，求出至少需要商标纸的面积。 【详解】（1）（12＋10＋5）×4 ＝27×4 ＝108（cm） 他至少需要用（108）cm的铁丝； （2）108÷12＝9（cm） 如果他将这根铁丝改围成一个正方体，所围成的正方体的棱长是（9）cm； （3）9×9×4＝324（cm2） 如果他再给这个正方体的四周贴上商标纸，至少需要（324）cm2的商标纸。 11．左图表面积：216cm2；体积：204cm3 右图表面积：158cm2；体积：120cm3 【分析】左边图形的表面积可以看作是一个棱长为6cm的正方体的表面积，根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入相应数值计算；体积可以看作是一个棱长为6cm的正方体的体积减去一个长为2cm，宽为2cm，高为3cm的长方体体积，根据正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算即可解答。 右边图形是一个长为8cm，宽为3cm，高为5cm的长方体，根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体的体积＝长×宽×高，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】左边图形表面积： 6×6×6＝216（cm2） 体积：6×6×6－2×2×3 ＝216－12 ＝204（cm3） 右边图形表面积： （8×3＋8×5＋3×5）×2 ＝（24＋40＋15）×2 ＝79×2 ＝158（cm2） 体积：8×3×5＝120（cm3） 12．见详解 【分析】长方体有6个面，相对的面完全相同。 与“左面”相对的是“右面”，“右面”的形状和大小应与“左面”完全相同，中间隔着“下面”，画在“下面”的右面； 与“下面”相对的是“上面”，“上面”的形状和大小应与“下面”完全相同，中间隔着“右面”，画在“右面”的右面； 与“前面”相对的是“后面”，“后面”的形状和大小应与“前面”完全相同，中间隔着“下面”，画在“下面”的上面。 【详解】如图： 13．4380元 【分析】根据题意可知，要给每根柱子的四周和最上面贴上瓷砖，即一根柱子贴瓷砖的面积＝下面长方体侧面积＋上面长方体侧面积＋最上面的面积，再用贴瓷砖的面积乘20求出20根柱子的贴瓷砖的面积，最后乘100即可，注意单位的换算。 【详解】 （平方厘米） （元） 答：这些柱子贴瓷砖一共要花4380元。 14．88平方厘米 【分析】因为每两个正方体拼接会减少2个面，5个正方体拼接了4次，2×4＝8（个），一共减少了8个面，表面积减少了32平方厘米，32÷8＝4（平方厘米），则正方体一个面的面积为4平方厘米。一个正方体有6个面，先算出一个正方体的表面积，再乘5，求出5个正方体的表面积之和。拼成长方体后，表面积减少了32平方厘米，用5个正方体的表面积之和减去32平方厘米，即可求出这个长方体的表面积。 【详解】5－1＝4（次） 32÷（4×2） ＝32÷8 ＝4（平方厘米） 4×6×5－32 ＝120－32 ＝88（平方厘米） 答：这个长方体的表面积是88平方厘米。 15．乙包装盒 【分析】求出两种包装盒需要铁皮的面积，再进行比较。 甲包装盒：根据图可知，甲包装盒的长是27－6×2＝27－12＝15厘米，宽是14－6＝8厘米，高是6厘米的长方体，根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出甲包装盒的表面积，也就是需要铁皮的面积； 乙包装盒：根据图可知，乙包装的展开图是符合正方体展开图的“2－3－1”结构，正方体的棱长为9厘米，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6，代入数据，求出乙包装盒的表面积，也就是需要铁皮的面积，再和甲包装盒的需要铁皮的面积比较，即可解答。 【详解】甲包装盒： 长： 27－6×2 ＝27－12 ＝15（厘米） 宽：14－6＝8（厘米） 高：6厘米 （15×8＋15×6＋8×6）×2 ＝（120＋90＋48）×2 ＝（210＋48）×2 ＝258×2 ＝516（平方厘米） 乙包装盒：棱长是9厘米。 9×9×6 ＝81×6 ＝486（平方厘米） 516＜486，乙包装盒的铁皮用料更少。 答：乙包装盒的铁皮用料更少。 16．（1）教室顶面的面积是多少 （2）482.4元 【分析】（1）8×6表示长×宽，即长方体的上面或者下面的面积，题中表示教室的顶面或地面的面积； （2）根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2求出教室的面积，粉刷面积要除去地面和门窗，即求出完整的面积再去掉地面和门窗，求出实际粉刷面积，再乘4即可求出费用。 【详解】（1）算式“8×6”所解决的问题是教室顶面的面积是多少。 （2）（8×6＋8×3＋6×3）×2 ＝（48＋24＋18）×2 ＝（72＋18）×2 ＝90×2 ＝180（平方米） 180－8×6－11.4 ＝180－48－11.4 ＝132－11.4 ＝120.6（平方米） 120.6×4＝482.4（元） 答：粉刷这间教室需要花费482.4元涂料费。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $