精品解析：北京市第二中学教育集团2025-2026学年九年级上学期阶段练习（二）数学试卷

北京二中教育集团2025-2026学年度第一学期 初三数学阶段练习（二）试卷 第I卷（选择题 共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是 （ ） A. B. C. D. 3. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C. 抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 16 B. 8 C. 8或 D. 4或 5. 如图，是的直径，，是上两点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 是的二次函数，其对应值如下表： |… 0 1 2 3 4 … … 4 0 1 4 9 … 下列叙述不正确的是（ ） A. 该二次函数的图象的对称轴是直线 B. C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有两个公共点 7. 如图，、、分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面结论中正确的是：（ ） ①该圆的半径为2； ②的长为； ③平分； ④连接，，则与的面积比为． A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 8. 已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过两点，则的值可能是（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 第II卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 把点绕原点旋转后得到点，则点的坐标为___________． 10. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点，这个二次函数的解析式可以是______． 11. 如图，切线、分别与相切于点A、，切线与相切于点，且分别交、于点、，若的周长为12，则线段的长为_____． 12. 为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表： 种子个数n 5 发芽种子个数m 4 发芽种子频率 （1）估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为________（结果保留两位小数）； （2）若在相同条件下播种该品种小麦个，则约有_______个能发芽． 13. 如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 14. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是________． 15. 如图，是等腰直角三角形的边的中点，且是平面内一个动点，且与点之间的距离为2，连接，则的最大值为___________；将线段绕点逆时针旋转，得到线段，取线段的中点，连接，则的最小值为___________． 三、解答题（共68分，其中第17、19-21、23、25题每题5分，第18、22、24、26题每题6分，第27-28题每题7分） 16. 解方程：． 17. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，是弦上一点．求作：． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交于点，垂足为； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（，两点不重合），连接． （2）完成下面的证明： 引理的结论为：． 证明：连接，，，． 为的垂直平分线， ① ② ， 又四边形为圆的内接四边形， ③ ，（ ④ ）（填推理的依据）． 又， ， 又， ， ，（ ⑤ ）（填推理的依据）． ， ． 18. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 ．．． ．．． 0 0 4 ．．． （1）在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象： （2）结合图象回答问题： ①抛物线的对称轴为直线___________； ②已知，直线的解析式为，直接写出时，的取值范围是___________； ③当时，的取值范围是___________． 19. 如图，是的直径，弦于点E，，．求的半径． 20. 国粹，是指一个国家固有文化中的精华，中国的国粹有很多，其中誉满中外的有A．中国京剧，B．中国武术，C．中国书画，D．中国医学，被世人称为中国的“四大国粹”．小明对我国的国粹非常感兴趣，准备从这“四大国粹”中随机选择一个进行深入了解，然后小明的同学小亮从剩下的三个国粹中随机选择一个进行深入了解． （1）小明选择的是“中国书画”的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法求两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 22. 如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点O顺时针旋转（），顶点A，B的对应点分别为，，线段m的对应线段为． （1）在图中标出点O，并画出“L”形旋转后所得到的图形； （2）______°； （3）在旋转过程中，点C所经过的路径长为_____． 23. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求的长． 24. 某兴趣小组在老师们的带领下自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移米得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． （1）求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； （2）最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移几个单位长度而得到； （3）要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请直接写出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 25. 如图，在中，，，点是线段上一点，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，点是中点． （1）如图1，依题意，请补全图形． （2）如图1，连接，直接写出________（用含的式子表示）； （3）如图2，若在的延长线上存在一点，使得．请判断与的数量关系，并证明． 26. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“镜像弦”． （1）已知：点，则线段，，中，是关于直线的“镜像弦”的是___________； （2）是关于直线的“镜像弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标； （3）已知直线和点，若线段是关于直线的“镜像弦”．且，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京二中教育集团2025-2026学年度第一学期 初三数学阶段练习（二）试卷 第I卷（选择题 共16分） 一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题2分，共16分） 1. 下列四个著名数学图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．根据轴对称图形、中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D选项图形是轴对称图形但不是中心对称图形，不符合题意． 故选：C． 2. 用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先移项，然后在方程的两边同时加上16，进而得到答案． 【详解】解：移项得：， 两边同时加16得：， 配方得：， 故选：A． 【点睛】此题考查了利用配方法解一元二次方程，正确掌握配方法解方程的方法是解题的关键． 3. 下列事件属于必然事件的是（ ） A. 挪一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数 B. 车辆随机经过一个路口，遇到红灯 C. 抛掷1枚硬币，硬币落地时正面朝上 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：A、是随机事件，不符合题意； B、是随机事件，不符合题意； C、是随机事件，不符合题意； D、是必然事件，符合题意． 故选：D． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（ ） A. 16 B. 8 C. 8或 D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，关于的一元二次方程，若，则原方程有两个不相等的实数根；若，则原方程有两个相等的实数根；若，则原方程没有实数根． 根据一元二次方程有两个相等的实数根，运用根的判别式进行解答即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程，有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，是的直径，，是上两点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了本题主要考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质．首先根据直径所对的圆周角是直角可知，根据圆周角定理可知，根据圆内接四边形的对角互补可以求出的度数． 【详解】解：如下图所示，连接， 是的直径， ， 又， ， ， 四边形是的内接四边形， ， ．   故选： B． 6. 是的二次函数，其对应值如下表： |… 0 1 2 3 4 … … 4 0 1 4 9 … 下列叙述不正确的是（ ） A. 该二次函数的图象的对称轴是直线 B. C. 当时，随的增大而增大 D. 图象与轴有两个公共点 【答案】D 【解析】 【分析】由待定系数法求出二次函数的解析式，求出对称轴，可以判断A，当时，求出的值，可以判断B，根据的值和对称轴确定随的变化情况，可以判断C，根据根的判别式确定与轴的交点个数，可以判断D，从而得到答案． 【详解】解：设二次函数为， 则， 解得：， 二次函数的解析式为：， 对称轴为：，故选项A正确， 当时，， ，故选项B正确， ， 图象开口向上， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而增大，故选项C正确， ， 图象与轴有一个公共点，故选项D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解答本题的关键是采用待定系数法，求出二次函数的解析式． 7. 如图，、、分别是某圆内接正六边形、正方形、等边三角形的一边．若，下面结论中正确的是：（ ） ①该圆的半径为2； ②的长为； ③平分； ④连接，，则与的面积比为． A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，进而证明是等边三角形，则，由此即可判断①；求出，则的长为：，即可判断②；求出，再求出，即可推出，由此即可判断③；过点A作交延长线于点H，交延长线于点G，求出，则，设交于点M，求出，则，，则，再证明，则，即可判断④． 【详解】解：根据题干补全图形，连接， 根据内接正六边形的性质可知：，， ∴是等边三角形， ∴，即圆的半径为2，故①正确； 根据内接正方形的性质可知：， ∴的长为：，故②错误； ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故③正确； 过点A作交延长线于点H，交延长线于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 设交于点M， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 因此正确的结论：①③④ 故选D． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，弧长公式，勾股定理，得出圆形的半径是解题的关键． 8. 已知二次函数，当时，的取值范围是，且该二次函数的图象经过两点，则的值可能是（ ） A. 4 B. 2 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质及图像上点的坐标的特征．由不等式解集形式可知二次函数开口向下，对称轴为；比较、纵坐标差可知点更靠近对称轴，从而得到，解得或，据此判断选项． 【详解】解：当时，的取值范围是， 二次函数开口向下（），且对称轴． ， ， 又， 点比点更靠近对称轴． 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离， 即，解得或． 选项中只有满足． 故选：A． 第II卷（非选择题 共84分） 二、填空题（共16分，每题2分） 9. 把点绕原点旋转后得到点，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点关于原点对称的特点，根据关于原点对称的点的横坐标、纵坐标均为原坐标的横坐标、纵坐标的相反数即可求解，掌握关于原点对称点的特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，点绕原点旋转后的得到点，即关于原点对称， ∴， 故答案为： ． 10. 写出一个二次函数，其图象满足：①开口向下；②与y轴交于点，这个二次函数的解析式可以是______． 【答案】y=-x2-1（答案不唯一）． 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向得出a的符号，进而得出c的值，即可得出二次函数表达式． 【详解】解：∵图象为开口向下，并且与y轴交于点（0，-1）， ∴a＜0，c=-1， ∴二次函数表达式为：y=-x2-1（答案不唯一）． 故答案为y=-x2-1（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次函数的图像特征及性质，掌握二次函数的图像特征及性质是解题的关键． 11. 如图，切线、分别与相切于点A、，切线与相切于点，且分别交、于点、，若的周长为12，则线段的长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于，又因为，所以可求出的长． 【详解】解：，都是圆的切线， ， 同理，， 的周长， ； 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是切线长定理，解此题的关键是得出的周长． 12. 为了解某品种小麦的发芽率，某农业合作小组在相同条件下对该小麦做发芽试验，试验数据如下表： 种子个数n 5 发芽种子个数m 4 发芽种子频率 （1）估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为________（结果保留两位小数）； （2）若在相同条件下播种该品种小麦个，则约有_______个能发芽． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量．熟练掌握用频率估计概率，已知概率求数量是解题的关键． （1）根据当足够大时，发芽的频率逐渐稳定并趋于概率，作答即可； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，估计该品种小麦在相同条件下发芽的概率为， 故答案为：； （2）解：由题意知，在相同条件下播种该品种小麦个，则约有个能发芽， 故答案为：． 13. 如图，半圆的直径为4，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点，则图中阴影部分的面积为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积，旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握圆的性质以及旋转的性质是解题关键．先求出半圆的面积，由旋转的性质可知，，结合等边对等角的性质，得出，从而求出的面积和，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 半圆的直径为4， 半圆的面积为， 由旋转的性质可知，， ， ， ， 扇形的面积为，， 图中阴影部分的面积半圆的面积扇形的面积 故答案为：． 14. 已知关于的方程有两个不相等的实数根，，关于的方程的根为，给出下面三个结论： ①；②；③． 上述结论中，所有可能正确的结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一元二次方程中根与系数的关系，利用根与系数的关系得到和，进而将用和表示为，然后通过计算和的表达式，分情况讨论和的符号关系，判断大小顺序． 【详解】解：对于方程（），有两个不相等的实数根，（），由根与系数的关系，得， 对于方程，解得：， 代入根与系数的关系，， ∴， ， 分情况讨论： 当时，，则，，所以，结论①正确； 当时，，则，，所以，结论③正确； 当时， 若，则，，， 所以，结论①正确； 若，则，，， 所以，结论③正确； 综上，所有可能正确的结论是①和③． 故答案为：①③． 15. 如图，是等腰直角三角形的边的中点，且是平面内一个动点，且与点之间的距离为2，连接，则的最大值为___________；将线段绕点逆时针旋转，得到线段，取线段的中点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】利用勾股定理得到，再结合直角三角形的斜边中线，得到，根据题意可知，点在以点为圆心，为半径的圆上运动，即可求出的最大值；连接、，延长至点，使得，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、、，根据三角形中位线定理，得到，结合旋转的性质，证明，得到，则点在以点为圆心，为半径的圆上运动，当、、三点共线时，最小，最小值为，即可求出的最小值． 【详解】解：如图，连接、， 在等腰直角三角形中，， ， 是边的中点， ， 是平面内一动点，且与点之间的距离为2， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 的最大值为； 延长至点，使得，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接、、， 是的中位线， ， 由旋转的性质可知，，，， 在中，， ， ， ， ， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形的斜边中线，旋转的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，线段的最值问题等，根据题意得出点的运动轨迹是解题关键． 三、解答题（共68分，其中第17、19-21、23、25题每题5分，第18、22、24、26题每题6分，第27-28题每题7分） 16. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握利用配方法解一元二次方程是解题的关键． 利用配方法进行解方程即可． 【详解】解： 解得， ． 17. 在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知，是弦上一点．求作：． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作线段的垂直平分线，分别交于点，垂足为； ②以点为圆心，长为半径作弧，交于点（，两点不重合），连接． （2）完成下面的证明： 引理的结论为：． 证明：连接，，，． 为的垂直平分线， ① ② ， 又四边形为圆的内接四边形， ③ ，（ ④ ）（填推理的依据）． 又， ， 又， ， ，（ ⑤ ）（填推理的依据）． ， ． 【答案】（1） 如图，点即为所求， （2）①，②，③，④圆内接四边形的对角互补，⑤等弧所对的圆周角相等 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理、圆内接四边形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握其相关性质定理是解题的关键． （1）根据题干提供的作法，利用尺规作图作出点即可； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，根据圆的内接四边形，，根据圆周角定理得到，进而得到，从而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：连接，，，． 为的垂直平分线， ， 又四边形为圆的内接四边形， ，（圆内接四边形的对角互补） 又， ， 又， ， ，（等弧所对的圆周角相等） ， ， 故答案为：①，②，③，④圆内接四边形的对角互补，⑤等弧所对的圆周角相等． 18. 抛物线上部分点的横坐标，纵坐标的对应值如下表： 0 1 2 ．．． ．．． 0 0 4 ．．． （1）在平面直角坐标系中画出该抛物线的图象： （2）结合图象回答问题： ①抛物线的对称轴为直线___________； ②已知，直线的解析式为，直接写出时，的取值范围是___________； ③当时，的取值范围是___________． 【答案】（1） 函数图象如下图; （2）①；②或；③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，画二次函数图象，求二次函数解析式，二次函数与不等式等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据表格，描点连线作图即可； （2）①根据二次函数图象的对称性求解即可； ②结合图象，根据抛物线图象在直线图象上方部分对应的自变量取值求解即可； ③设交点式求出抛物线解析式，进而得到当时，有最小值为；当时，有最大值为，即可得到的取值范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由函数图象可知，抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； ②由函数图象可知，点在抛物线上， 当或时，抛物线图象在直线图象上方， 即时，的取值范围是或； ③设抛物线解析式为， 将点代入得，， 解得：， 则抛物线解析式为， ， 当时，有最小值为；当时，有最大值为； 的取值范围是． 19. 如图，是的直径，弦于点E，，．求的半径． 【答案】的半径是5． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，连接， 设半径为，由垂径定理可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：设圆的半径是r， 连接，如图： ∵弦于点E， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的半径是5． 20. 国粹，是指一个国家固有文化中的精华，中国的国粹有很多，其中誉满中外的有A．中国京剧，B．中国武术，C．中国书画，D．中国医学，被世人称为中国的“四大国粹”．小明对我国的国粹非常感兴趣，准备从这“四大国粹”中随机选择一个进行深入了解，然后小明的同学小亮从剩下的三个国粹中随机选择一个进行深入了解． （1）小明选择的是“中国书画”的概率为 ； （2）请用列表或画树状图的方法求两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先列出图表，得出所有等可能的结果数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 小明随机选择一个，选择的是“中国书画”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 一共有12种情况，小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术”的有6种情况， 小明、小亮两人中恰好有一人选择“中国武术”的概率：． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根． （2）若该方程只有一个根小于2，求的取值范围． 【答案】（1） 证明：由题可得：，，， ， 方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式判断即可； （2）先利用因式分解解方程，再进行求解即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：方程可因式分解为， 或， 或， ∵方程只有一个根小于时， ∴， ． 的取值范围为． 22. 如图，在7×7的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点O顺时针旋转（），顶点A，B的对应点分别为，，线段m的对应线段为． （1）在图中标出点O，并画出“L”形旋转后所得到的图形； （2）______°； （3）在旋转过程中，点C所经过的路径长为_____． 【答案】（1） 图形如图所示； （2）90 （3） 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，弧长公式，解题的关键是掌握旋转变换的性质，记住弧长公式． （1）和垂直平分线的交点即为旋转中心O，然后利用旋转变换的性质分别作出对应点即可； （2）根据旋转角的定义判断即可； （3）利用弧长公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：观察图形发现旋转角． 故答案为：； 【小问3详解】 解：点C所经过的路径长为； 故答案为：； 23. 如图，在中，，为边上的点，以为直径作，连接并延长交于点，连接． （1）求证：是的切线； （2）连接，若，求的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定，勾股定理，掌握圆的切线的判定和性质是解题关键 （1）连接，根据等边对等角的性质，得出，，进而得出，即可证明结论； （2）连接，过点作交于点，设的半径为，在中，利用勾股定理，求出，再根据三角形面积公式求出，再利用勾股定理，先求出，再求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，过点作交于点， 设的半径为，则， ， ，， 在中，， , 解得：， ，， ， ， 在中，， ， 在中，． 24. 某兴趣小组在老师们的带领下自制一种小球发射器，已知该发射器的小球出口C离地竖直高度米．如图，小球在最大档位和最小档位的力度发射出去的路线可以抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，矩形为移动的接球盒，其中米，米，最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移米得到，最大档位抛物线最高点D离出球口的水平距离为2米，高出出球口米． （1）求最大档位时小球射出的抛物线的函数表达式，并求出小球射出的最大射程OA； （2）最小档位发射的抛物线可以看作由最大档位发射的抛物线向左平移几个单位长度而得到； （3）要使接球盒能接住所有档位射出的小球（即射出的小球都能落入水平移动的接球盒中），请直接写出接球盒距发射器的水平距离的取值范围． 【答案】（1）,小球最大射程为米 （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得的值，从 而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则最小档位的抛物线是由最大档位的抛物线向左平移得到的，即可得出结论； （3）根据，令解方程求出的值，再根据最小档位的抛物线是由最大档位的抛物线向左平移米得到的，求出的取值范围． 【小问1详解】 解：由题意得，， 设抛物线解析式为． 抛物线经过点， ， 解得， 最大档位时射出小球的抛物线的函数解析式为； 当时，则， ，（舍去）， 小球最大射程为米； 【小问2详解】 解：抛物线的函数解析式为， 对称轴为直线， 点的对称点为， 最小档位时射出的抛物线是由最大时的抛物线向左平移4米得到的， 故答案为：4； 【小问3详解】 解：， 令，则． 解得，（舍， 要使接球盒能接住小球． 由（2）知，最小档位抛物线是由最大档位抛物线向左平移4米得到的，且米， ， 即接球盒距发射器的水平距离的取值范围为． 25. 如图，在中，，，点是线段上一点，以点为中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接，点是中点． （1）如图1，依题意，请补全图形． （2）如图1，连接，直接写出________（用含的式子表示）； （3）如图2，若在的延长线上存在一点，使得．请判断与的数量关系，并证明． 【答案】（1） 如图1所示： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查旋转性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，解答的关键是正确寻找相似三角形解决问题． （1）根据题意和旋转性质画图即可； （2）连接，由旋转性质和等腰三角形的性质得到，则A、F、C、D四点共圆，利用圆周角定理可得答案； （3）如图2，连接、，过G作于点H，证明得到，利用三线合一得到，则，证明得到，进而可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1，连接， 由旋转性质得，， ∴， ∵点是中点， ∴，， ∴， ∴A、F、C、D四点共圆， ∴； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图2，连接、，过G作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，的半径为1．对于直线和线段，给出如下定义：若线段关于直线的对称图形是的弦（，分别为，的对应点），则称线段是关于直线的“镜像弦”． （1）已知：点，则线段，，中，是关于直线的“镜像弦”的是___________； （2）是关于直线的“镜像弦”，若点的坐标为，且，求点的坐标； （3）已知直线和点，若线段是关于直线的“镜像弦”．且，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）或； （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据题中“镜像弦”的定义即可画图得出； （2）根据“镜像弦”的性质，结合圆的弦长和点的坐标来，证出为等边三角形，进而根据等边三角形的性质和对称性确定点的坐标； （3）先求出圆心关于直线的对称点，再根据“镜像弦”的定义巧妙添加辅助线，利用含角的直角三角形的特殊性质，用含有的式子表示出对应点的坐标，构造直角三角形，最后，利用勾股定理列出关于的方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：作图可知，关于直线对称线段在上； 故答案为：； 【小问2详解】 ∵是关于直线的“镜像弦”，且， ∴设关于直线的对称图形为，则，是的一条弦． ∵直线过圆心， ∴关于直线的对称图形为其本身． ∴在上． 如图，以为圆心，1为半径画圆，与的两个交点即为点，记为，，且，关于轴对称，连接，，过点作轴于点． ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵轴， ∴． ∴． ∴． ∴， ∵，关于轴对称， ∴， 即点的坐标为或； 【小问3详解】 如图，关于直线对称的点为，设直线与轴交于点，与轴交于点，过点作于点，连接，过点作轴于，轴，过点作轴， 与交于点． ∵当时，，即， 当时，，解得，即， ∴． ∴． ∴． ∵， 易知， 易证，，， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵要使得是关于直线的“镜像弦”， ∴过点． ∴． ∵， ∴，． 在中，由勾股定理，得， ∴． 解得或． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，含角的特殊直角三角形的性质，勾股定理等．本题主要围绕“镜像弦”的定义展开，通过分析线段与圆关于直线对称的关系来求解． 掌握对称性，灵活应用数形结合思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $