河南省郑州市2026届高三上学期第一次质量预测数学试题

郑州市2026年高中毕业年级第一次质量预测 数学评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D D B 二、多选题：本题共3小题， 每小题6分，共18分. 题号 9 10 11 答案 ABD AC ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.4 5 13.60 14. 3 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。 1.解：0x=总5-5=y-917 -10 10 2分 5分 -10m b= 55950-10×55×91.71103 0.67, 10 -10 38500-10×5521650 a=-b=91.7-0.67x55=54.85 6分 所以，加工时间y关于零件个数x的经验回归方程是)=0.6,7x+54.85,…7分 (2)(i)当x=120时，)=0.67x120+54.85=135.25. .9分 所以120个零件任务的回归预测时间135.25<144，因此低于现行标准时间..10分 (i)由于回归预测显示实际所需时间（约135.25分）比标准时间（144分)少9分钟， 说明按照现行标准，工人很容易拿到奖励（实际效率更高）.如果车间希望控制奖励发放比 例或更符合实际效率，应考虑调低标准时间，如调整到接近预测的 135.25 ≈113分/个 120 使标准更贴近真实加工能力.. .13分 16.解：(1)在△ABC中，由tan B tan C=tanB+tanC+1得 tan B+tanC =-1, 1-tan BtanC .tan(B+C)=-1.2分 又tanA=-tan(B+C),.tamA=1,… .3分 又0<A<π，A= π 4分 4 2 :a=√6，c=3,∴由正弦定理 sinC=csinA 3× 2 6分 a √6 2 c>a,C=7或2z 33 .7分 (2)因为△ABC为锐角三角形，所以C= 3 8分 smB=im(A+C=6+V② ...10分 4 .A+NB+NC=0,.W是△ABC的重心，11分 1 12分 csinB= V6x3xV6+巨3+5 6 6 4 4 所以AWBC的面积为3+V5 15分 4 17.解：(1)在矩形CDEF中，CD=1,DE=2,点A,B分别是DE,CF的中点， 所以四边形ABCD和EFBA是全等的正方形，所以BD⊥AC,AE⊥AB. 2分 又因为平面ABCD⊥平面EFBA, 平面ABCD∩平面EFBA=AB,AEC平面EFBA, 所以AE⊥平面ABCD.……4分 因为BDC平面ABCD,所以AE⊥BD. 5分 又因为BD⊥AC,AEOAC=A,AE,ACC平面AEC, 所以BD⊥平面AEC 6分 (2)以B为原点，BA,BF,BC所在直线分别为x轴、y轴、轴，建立如图所示的空间直角 坐标系 则B(0,0,0),A(1,0,0),E(1,1,0), F(0,1,0),C(0,0,1),D(1,0,1), .7分 则CA=1,0,-1D,CB=(0,0,-1D, .CP=BO=a, 则c2ai-5a0-b%. 2 2 2 P夜=P元+cB+0=0.5a,2a-》,8分 2,2 网-g99-a10ca 9分 所以当a=5时，线段P0最短 .…10分 比时PQ分别为线段4cCBr的点，厄-〔好》0（号0 11 i.P=0 二y-二z=0 2 设i=(x,y,)是平面PQA的一个法向量，则 即 元.A0=0 1 x+2y=0 2”21 取平面PQA的一个法向量为=(1,1,1).12分 由(1)知，BD=(1,0,1)为平面AEC的一个法向量， .13分 3 设平面P04与平面ABC夹角为0，则eos-os(BD n.BD 例，BD V3x√23， 所以平面PO1与平面AC夹角的余弦值为6 15分 a2+b2=3 a=2 01'解得 18.解：(1)由题意可得c=V3,又}3,1 =1 …4分 做椭圆C的标准方程为十15分 (2)i)由(1)可得：A(-2,0),B(0,-1),设P(x,%),x>0,y。>0, 且十2=1即2t4以0=4.6 4 则y=,(+2),令x=0,y=2D0,2) x。+2 x0+2 x0+2 7分 则p:y=+ x-1,令y=0,y=2%C(0) 七+2 %+1 8分 则产2则高1 。+1 。+2 X。+210分 5ac10-330当 七+2 =1（6,+2,+29=2x6++2%+2=2 2xy0+x0+20+20++20+2 故求证四边形ABCD面积为定值2... ..12分 (i)直线4a:x+2y+2=0,P(x。,y,)到直线的距离为 d-5+2%+2且1AB5 √5 14s分 s-方5x1+g+2-*2%+2s对5c+4*=万-116分 5 当且仅当x。=2。=√2时等号成立. 所以，△PCD的面积SeD=SAMB-SARCD≤V2+1-2=V2-117分 4 1917分)1f()-是2aeR), 1分 当a=1时，f'(1)=-1,f0)=0, 2分 故f(x)的图象在(1，f(1)处的切线方程为y=一(x-1,即x+y-1=0.3分 (2)f)-g2ae. 当a≤0时，令f(x)<0,f(x)在R上递减，f(x)最多一个零点，与题意不符..4分 当a0时，令f)-0,则x-分则当x∈0号)f>0:当x∈(+mf<0, 所以在单调递。在[侣上卓调递。 .5分 故fm-f〔促)-ah经+a=a0+h经 .7分 lim f()=-.lim f()= 故f)有两个零点，即f大=a+h9>0.a>。 9分 (3)由于g(x)=-2e+2a=f(e),所以y=f(x)与y=g(x)的零点个数相同. 依题意共有4个不同的零点，所以()有两个零点10分 不妨设y=g(x)的两个零点为，x(:<),y=f(x)的两个零点为x,x(s<x), 则有5=ns<好<=5： .11分 [f()=any,-2x,+2a=0, m-2x,-2 得 a f(x4)）=anx4-2x4+2a=0, 2 ,① nx4=二x,-2 2 所以nx3-hnx4=二(x3-x4),② a 若四个零点成等差数列，则有两种情况：· ①当x<x2<x,<x4时，即hx,hx4,x,x成等差数列，则有hx3-hx=x3-x,③ 由②③得a=2 代入①得h=x-2,hx4=x-2④ m,+5,=2n￥同 又1nx+x=2x [2x,-2=2x,-4 将④代入⑤式可得 12x,-2=2x →x4=x3+1, 代入③可得无=考，解得号号 7,4=这与矛盾，故实数不存在...14 ②当x1<x3<x2<x4时，即hx,x3,hx4,x4成等差数列，则nx-hx4=x-x4,③ 由②③得a=2,同理得lhx=x-2,hx,=x4-2④ Inx,+Inx=2x x+x=2Inx ⑥ 6+x4-4=2x 将④代入⑥式可得 5+=2x-4→。=5+4， 代入③可得x=e3,解得x,= 4e4 e 4 e1 这与④矛盾，故实数a不存在」 综上所述，不存在实数a使得四个零点成等差数列17分 6郑州市2026年高中毕业年级第一次质量预测 数学试题卷 注意事项： 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分 钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在 尽 试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一个是符合题目要求的. 长 1.设复数之在复平面内对应的点为（一2,1），则复数的虚部为 A.-2 B.-1 C.1 D.2 2.已知集合A={x|y=x2},B={y|y=x2},则A∩B= A.[0,+o) B.☑ C.R D.(0,0)》 狗 3.已知单调递减的等比数列{an}满足a4=l2,a6=3,则a5= A.6 B.±6 c号 D土号 甘 4.已知圆O的直径AB=4,动点P与A的距离是它与B的距离的2倍，当 △PAB面积最大时，PA.PB= A.16 B.32 C.48 D.64 5.已知定义域为R的函数f(x)满足f(x+2)=f(一x),且f(2x-1)为 奇函数，则一定有 A.f(0)=0 B.f(2)=0 C.f(3)=0 D.f(4)=0 6.已知函数f(x)=sin+)(a>0)在（←3，）上单调递增，且其图 数学试题卷第1页（共6页） 象关于直线x=5对称，则(》= A.一 c D 2 7.过点(0，一2)与圆(x一4)2十(y一2)2=4相切的两条直线的夹角为a, 则sina= D.10 4 4 c 8.在新型太空仓生命维持系统的储液罐设计中，采用一种胶囊性结构：中 间部分为圆柱体，左、右两端均为半球形封头，圆柱底面半径和半球半径均为R. 已知储液罐外表面积为定值S,当储液罐的体积V取最大值时R= C. 4π D, 6π 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项 中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分. 9.已知数列{an}满足a1=1,a1十an=3X2”,设{an}的前n项和为Sn,下 列结论中正确的是 A.a2=5 B.数列{an一2”)是等比数列 C.S4=24 D.S2n=22m+-2 10.任意抛掷一枚骰子一次，观察它向上一面的点数，得到样本空间为= {1,2,3,4,5,6.若事件A={1,2,5},事件B=(1,3,5},事件C满足P(ABC)= P(A)P(B)P(C),下列结论中正确的是 A.P(A)=1 B.事件A,B,C两两独立 C.当事件ABC={5}时，P(C)= 3 D.当事件ABC={1)}时，事件C包含10个样本点 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,若C上存在n个互不重合的点 数学试题卷第2页（共6页） P1,P2,P3,…,Pn满足∠P1FP2=∠P2FP3=…=∠Pm-1FPn=∠PnFP1= 2r,下列结论中正确的是 A若n=2,则|P1P2|的最小值为4 B若=2，则+-号 C若a=,则P,FP,可十P,FP,可-号 1 1 D.若n=4,则|P1P3|十|P2P4|的最小值为16 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12已知双曲线C:君-y=1的-条渐近线为x-y-0,则C的焦距为 13.(x2十x十y)6的展开式中x5y3项的系数是 14.已知棱长为3的正四面体P-ABC的外接球球心为0，A应=E克，过点 E作球0的截面，若截面面积为，则直线OB与该截面所成的角的正弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15.(13分) 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了 10次试验，收集数据如下： 零件数/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间/分 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 根据样本数据，画出加工时间与加工零件个数的散点图，如图所示，散点大 数学试题卷第3页（共6页） 致分布在一条从左下角到右上角的直线附近，表明两个变量线性相关，因此可 以用一元线性回归模型刻画加工时间与加工零件个数之间的关系.（运算结果 保留小数点后两位数字) 加工时间/分 140 120 100 8 0 4420 0 20 40 60 80 100 120 零件数/个 (1)请求出加工时间y关于零件数x的经验回归方程； (2)该车间实行“按时计件”工资制度：若工人完成一个零件的平均时间低 于标准时间，则可获得额外奖励.已知目前每个零件的标准加工时间定为1.2分 钟，根据上述回归方程判断： ()对于120个零件的任务，预测加工时间是否低于现行标准加工时间？ (标准加工时间为120×1.2=144分钟) ()若工人的实际加工能力与回归模型基本一致，车间是否应考虑调整标 准时间？若需调整应调整到多少比较合适？ 附：套考数话含，-580.艺.=917.立：=5950，方4！=350 对于一组数据(x1y1),(x2,y2),…,(xmyn),其经验回归方程y=bx十a 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： 2(x:-z)0:-y）2xy:- ,- a=y-bx. 数学试题卷第4页（共6页） 16.(15分) 已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且tanBtanC=tanB +tanC+1,a=√6，c=3. (1)求角C; (2)若△ABC为锐角三角形，且NA+NB+NC=0,求△NBC的面积 17.(15分) 如图，在矩形CDEF中，CD=1,DE=2,A,B分别是DE,CF的中点，点P, Q分别是对角线AC,BE上的动点（不包括端点），且CP=BQ=a (0<a<√2)，将四边形ABCD沿AB翻折，使平面ABCD⊥平面ABFE. (1)求证：BD⊥平面AEC; (2)求线段PQ的长（用a表示）； (3)当线段PQ的长最小时，求平面PQA与平面AEC夹角的余弦值. B B E A 数学试题卷第5页（共6页） 18.(17分) 已知椭圆C:2+2】 是=1(a>b>0)经过点(W3,号》，左、右焦点分别为 F,(一3,0)，F2(W3,0). (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的左顶点为A,下顶点为B,P是椭圆C在第一象限上的一点， 直线PB与x轴相交于点C,直线PA与y轴相交于点D. ()求证：四边形ABCD的面积为定值； (i)求△PCD面积的最大值. 19.（17分) 已知函数f(x)=alnx一2x+2a(a∈R). (1)当a=1时，求函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有两个零点，求实数a的取值范围； (3)设g(x)=ax-2ex+2a,若函数y=f(x)与y=g(x)共有4个不同 的零点，是否存在实数α，使得这4个零点在调整顺序后成等差数列，若存在，求 出α的值；若不存在，请说明理由， 数学试题卷第6页（共6页）