2026年中考数学复习知识点强化之解答题训练——全等三角形压轴

解答题训练——全等三角形压轴

1．【问题原型】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC，AB＝6．点D是BC边上一点，AC＝BD，连结AD，试探究线段AD长度的最小值．

【问题探究】如图②，小明发现点C的轨迹是以AB的中点为圆心，半径为3的圆的一部分，因为AC＝BD，所以点C的变化会导致点D的变化，于是将问题进一步转化为探究点D的轨迹问题：小明过点B作BE⊥AB，使点E和点C在直线AB同侧，且BE＝6，连结DE，则△ABC≌△BED，可知∠BDE恒为直角，又因为点B和点E均为定点，即可确定点D的轨迹．

以下是小明证明∠BDE＝90°的部分过程：

证明：过点B作BE⊥AB，使点E和点C在直线AB同侧，且BE＝6，连结DE．

证明过程缺失

又∵AC＝BD，AB＝BE＝6，

∴△ABC≌△BED，

∴∠ACB＝∠BDE＝90°．

请你补全缺失的证明过程．

【解决问题】在图③中，点O是线段BE的中点，请结合上述探究过程，用圆规和无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中的点D，使线段AD长度的最小，此时线段AD长度的最小值是 　                　 ．（保留作图痕迹）

 

 

 

 

 

2．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为平面内一点（A，B，D三点不共线），AE为△ABD的中线．

【问题初探】

（1）如图1，延长AE至点M，使得ME＝AE，连接DM，则∠MDA与∠DAB的数量关系为　                 　 ；

【类比探究】

（2）如图2，将AD绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接CF．请你猜想AE与CF的数量关系，并证明你的结论；

【拓展延伸】

（3）如图3，在（2）的条件下，点D在以点A为圆心，AD长为半径的圆上运动（AD＞AB），直线AE与直线CF交于点G，连接BG，在点G的运动过程中BG存在最大值．若AB＝6，请直接写出BG的最大值．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3．如图，在△ABC中，AB＝AC．

（1）如图1，D为边BC的中点，连接AD，过C点作CE⊥AB于点E，交AD于点F，连接BF，若AD＝2BD＝4，求△ABF的面积；

（2）如图2，∠BAC＝60°，D、E分别为BC、AB边上的点，且CD＝BE，连接CE交AD于点G，若F为AC的中点，连接BG、FG，猜想线段BG和FG之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）如图3，D为平面内一点，若BC＝2BD＝4，连接CD，以CD为边向上构造等边△CDE，连接BE并延长至点P使EP＝BE，当PC最短时，请直接写出的值．