2.3 空间向量基本定理及坐标表示 (第一课时)课件-2025-2026学年高二下学期数学湘教版选择性必修第二册

这是一份高中数学同步教学课件，共36页，聚焦“空间向量基本定理及坐标表示”第一课时。通过复习回顾共面向量、共线向量，逐步讲解定理内容，结合长方体、平行六面体等模型分析共面充要条件、基向量及坐标表示，辅以例题与课堂练习构建学习支架。 资料特色鲜明，注重数学思维与语言培养。通过定理证明中的逻辑推理（如反证法证系数唯一性）和符号化表达（向量线性组合式），结合斜三棱柱、平行六面体实例提升空间观念，帮助高一学生适应三维抽象思维，为教师提供清晰教学路径，助力学生理解抽象概念，奠定立体几何学习基础。

2.3 空间向量基本定理及坐标表示 第一课时 在同一平面的向量叫做共面向量 空间向量基本定理 共面向量 复习回顾 空间向量基本定理 方向相同或相反的向量叫做共线向量 共线向量 空间中任意两个向量总是共面的,但空间中任意三个向量可能是共面的,也可能是不共面的,什么情况下三个空间向量共面呢? 空间向量基本定理 空间向量基本定理 在长方体中,,而,,在同一平面内 此时,我们称,,共面 能平移到同一平面的向量叫做共面向量 知识讲解 对于空间两个不共线向量,,若空间任意一个向量与,共面,则,,这三个向量之间存在怎样的关系呢? 空间向量基本定理 空间向量基本定理 在平面直角坐标系中,分别取与轴,轴方向相同的两个单位向量、作为基底,为坐标平面内的任意向量,以坐标原点为起点作,由平面向量基本定理可知,有且只有一对实数、,使得 因此 对于空间三个向量,,,不共线,当,,共面时,根据平面向量基本定理,存在唯一的有序实数组使得 空间向量基本定理 空间向量基本定理 所以点在平面内,从而,,共面, 即与,共面 反过来,对于空间三个向量,,其中,不共线,如果存在 有序组实数组,使得,那么与,共面吗? 空间向量基本定理 如果两个向量,不共线,那么向量与向量,共面的充要条件是,存在有序实数组使得： 向量可以用两个不共线的向量,线性表示 在三个向量,,中,某个向量为,或者某两个向量平行,则这三个向量共面 空间向量基本定理 当某个向量为的时候,另外两个向量直接组成一个平面,因此这三个向量共面 当某两个向量平行的时候,假设,平行,则此时,在同一个平面内,由于,根据共面向量定义,,,三个向量共面 空间向量基本定理 如图,斜三棱柱中,设,,在和上分别取点和,使, 求证:与和共面 例 空间向量基本定理 和有着一定的联系 空间向量基本定理 证明:因为 因此与和共面 所以 若要求证四点共面,如何证明？ 空间向量基本定理 我们可以把四点共面转换成三个向量共面,即证明三个向量共面,如果这三个向量共面,则四点共面 若要求证四点共面,如何证明？ 空间向量基本定理 在平面直角坐标系中,分别取与轴,轴方向相同的两个单位向量作为基底,为坐标平面内的任意向量,以坐标原点为起点作向量,有平面向量基本定理可知,有且只有一对实数使得 因此 空间向量基本定理 任取三个不共面向量,,以及空间任一向量 则对某个实数成立 因而对唯一有序实数组成立,于是 即被分解成三个不共面的向量的实倍数之和 空间任一向量可以表示成三个向量的实数倍之和 空间向量基本定理 公式中的实数是确定的吗? 空间向量基本定理 表明与共面,与已知矛盾 因此 同理可证 表达式中的系数唯一,由此得到空间向量基本定理 假设 若则有 证明系数的唯一确定 空间向量基本定理 上述表达式中的系数由向量唯一确定,即: 设是空间中三个不共面向量,则空间中任意一个向量可以分解成这三个向量的实数倍之和： 则 我们把称为空间的一组基,叫作基向量称为 在基下的坐标 若 空间向量基本定理 如图,在平行六面体中,为的重心,设以为一组基,求在这组基下的坐标 三个基向量的实数倍之和 向量 例 空间向量基本定理 已知,,只需求出 因为为的重心 解 在平行六面体中, 所以 因此和在基下的坐标分别为 用基表示向量时： (1)若基确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行； (2)若没给定基时，首先选择基，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求. 23 例3 24 解 25 判断基的基本思路及方法 (1)基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成一组基；若不共面，则能构成一组基. (2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为一组基；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成一组基. ②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基；若无解，则不共面，能作为基. 26 例4 27 29 由空间向量基本定理可以知道，如果三个向量a，b，c是不共面的向量(基向量)，则a，b，c的线性组合xa＋yb＋zc能生成所有的空间向量，并且有序数组(x，y，z)是唯一的，这是利用空间向量基本定理求参数值的理论基础. 30 空间向量基本定理 共面向量 空间三个向量共面的充要条件 空间向量基本定理 归纳小结 √ 课堂练习 2.(多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一组基，则下列向量组中，可以作为空间的一组基的有 A.{a，b，x} B.{x，y，z} C.{b，c，z} D.{x，y，a＋b＋c} √ √ √ 如图，连接AC， 34 35 谢谢观看 则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ， ∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3) ＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3. ∵e1，e2，e3不共面， 已知{e1，e2，e3}是空间的一组基，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一组基. 假设，，共面， ∴此方程组无解， ∴，，不共面， ∴{，，}可以作为空间的一组基. ＝(＋)＋(＋)＝＋， 如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别 在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1. (1)证明：A，E，C1，F四点共面； ∵＝＋＋＝＋＋＋ ＝＋ ∴，，共面， 又它们有公共点A， ∴A，E，C1，F四点共面. ∴x＋y＋z＝. (2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z. ∵＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋， 又＝x＋y＋z， ∴x＝－1，y＝1，z＝， 1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间向量的一组基的是 A.{，，} B.{，，} C.{，，} D.{，，} 由题意知，，，不共面，可以作为空间向量的一组基. 如图所示，令a＝，b＝，c＝， 则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝， 由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，故B，C，D都可以作为空间的一组基. ＝＋＝＋＝－(＋)＋(＋) ＝－＝a－c， 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点.用向量a，b，c表示，，，并分别指出它们在这组基下的坐标. ＝＋＝－＋－＝a－b－c， 在基{a，b，c}下的坐标为(1，－1，－1). 在基{a，b，c}下的坐标为. ＝(＋)＝(－＋)＝(－c＋a－b－c)＝a－b－c， 在基{a，b，c}下的坐标为. $