(2)向量的分解与坐标表示、向量的数量积-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (二)向量的分解与坐标表示、向量的数量积 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知O为坐标原点，点A(1,0),B(3,4),M是线段AB的中点，那么向量OM的坐 标是 A(层引 B.(2,2) c别 (侵引 2.若向量a,b满足a=1,b=2,|2a+b=2,则向量a,b夹角的大小为 A.晋 B. c晋 2π D. 3.已知向量a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b,则a+b= A.2 B.√5 C.√/10 D.5 4.已知向量a=(3,2),b=(一1，x),则“x=2√3”是“(a十b)⊥(a-b)”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明 是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦 图”是数形结合思想的体现，还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图，大正方 形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若DA=m,DC=, A产-A它，以向量m,n为一组基表示D它，则D定 2 1 A.5m+5” m D E cm+ D. B 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 6.若O为△ABC所在平面内一点，且满足(OA+OB)·BA=(OB+OC)·CB=(OC+ OA)·AC,则O是△ABC的 A.内心 B.外心 C.重心 D.垂心 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.若{e1,e2}是平面内的一组基，则下列四组向量中不能作为平面向量的一组基的是 A.{e1-e2,e2-e1} B.2e-ez,e-ze2 C.{2e2-3e1,6e1-4e2} D.{e1+e2,e1+3e2} 8.如图是《易·系辞上》记载的“洛书”，其历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的 源头.洛书中9个数字的排列可抽象为两正方形ABCD,EFGH,其中O为这两个正 方形的中心，E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点，若正方形ABCD的边长为 2,则 书洛 G 0-0000000 A.AO-HG B.AO·(GC+GB)=0 C.BH=-- EF+Ei D.AO·BH=-1 班级 姓名」 分数 题号 1 2 3 4 6 7 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知单位向量a,b的夹角为45°，且ka一b与a垂直，则k= 10.在矩形ABCD中，AB=2,BC=√3，点P在边AB上，则向量CP在向量CB上的投影 向量的长度是 ,CP·PD的最大值是 .(本题第一空2分，第 二空3分) 高一同步周测卷二 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页） 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知0为坐标原点，OA=(3,-4),OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-n). (1)若A,B,C三点共线，求m的值； (2)若△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形，求m的值以及此时三角形的 面积. 12.(本小题满分15分) 已知向量a与b的夹角为0=3π，且a=3,b=2√2. (1)求a与a十b的夹角的余弦值； (2)若ka+2b与3a十4b的夹角为钝角，求实数k的取值范围. 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高 13.(本小题满分20分) 设平面内两个非零向量m,n的夹角为0，定义一种运算“☒”：m☒n=m n sin0. (1)已知向量a,b满足a=(2,1),b=2,a·b=4,求a☒b的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点A(2,1),B(一1,2)，C(0,4),求ABBC的值； (3)已知向量a= (na品。&（品。。eo,登）求ab的最小位 cos a'sin a' 一同步周测卷二 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页）高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（二） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) IⅢN ①②③④⑤⑥ 档次 系数 中点坐标公式的 1 选择题 5 易 0.90 应用 选择题 5 求向量的夹角 易 0.85 向量平行的坐标表 3 选择题 5 易 0.70 示，求向量的模长 向量垂直的坐标形 4 选择题 5 / 中 0.55 式与充要性的综合 利用平面上一组基 选择题 5 表示向量（数学文化 / 中 0.45 题) 利用数量积解决三 6 选择题 中 0.30 角形的四心问题 选择题 基的概念 易 0.75 向量线性运算、数量 8 选择题 6 积的综合（数学文化 / 中 0.45 题) 9 填空题 5 由向量垂直求参 易 0.71 求投影向量的长度， 10 填空题 中 0.35 求数量积的最值 利用向量坐标运算 11 解答题 13 解决三点共线问题 中 0.60 及求三角形的面积 求向量夹角的余弦 12 解答题 15 值，由向量夹角为钝 中 0.55 角求参 平面向量数量积与 13 解答题 20 中 0.40 三角函数的综合 ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 季考答案及解析 一、选择题 10A2,于是1OA1=1O市1=1O心1，所以0是 1.B【解析】由中点坐标公式可得M(2,2),所以OM △ABC的外心.故选B. =(2,2).故选B 二、选择题 2.D【解析】由|2a十b=2两边取平方，得|2a十b| 7.ABC【解析】对于A,e1-e2=-(e-e1),则e1 =4a2十4a·b十b=4,设向量a,b的夹角为0，则有4 e2与e2一e1为共线向量，不能作为平面向量的一组 十8Cos0叶4=4，则c0os0=-子，因为0≤<x,故0= 基：对于B,2e-6=2(e-7e),则2e-e与e 季故选D 4,为共线向量，不能作为平面向量的一组基：对 3.B【解析】因为a=(1,2),b=(-2,t),且a∥b,所 于C,-2(2e2-3e1)=6e1-4e2,则2e2-3e1与6e 以1×t=2×(-2),解得t=-4,故b=(-2,-4), 一4e2为共线向量，不能作为平面向量的一组基；对于 a+b=(-1,-2),1a+bl=√-1)+（-2)F= D,若存在实数入使得e1十e2=入(e1十3e),则 √5.故选B. λ=1 4.A【解析】因为a=(3,2),b=(一1，x),由(a十b)⊥ 3以=1无解，所以e十e:与e十3e,不共线，可以作 (a-b),得(a十b)·(a-b)=a2-b2=(32+22)-(1 为平面的一组基，故选ABC. 十x2)=0,解得x=士23，显然当x=23时，有(a十 8BCD【解析】对于A,A0=号A花-号×X2H心- b)⊥(a-b)成立，所以“x=2W3”是“(a+b)⊥(a HG,A错误；对于B,AO·(G式+G)=Aò·2G市 b)”的充分而不必要条件.故选A. 5.B【解析】如图所示，过点E分别作EM⊥DC,EN =2AO·DO=0,B正确；对于C,Bi-BE+Ei= ⊥AD,垂足分别为M,N,可知四边形DMEN为 号Fi+E=合(F+Ei)+=-成+ 矩形， D M Ei.C正确：对于D,A0·B府=A6· (-+号)=-A动，晾+是A0.i =一号×EX,厄=-1，D正确，故选CD 三、填空题 【解析】由题意可得a·b=1X1Xcos45°= 2 由向量垂直的充分必要条件可得(ka一b)·a=0,即 ka2-a·b=k- =0，解得= √2 不妨设DE=a>0,由题意可知DE=AF=子AE= 2 10,√3一2【解析】由题意可得|IC2·cos∠PCB a,在Rt△ADE中，可得AD=√AE+DE=√5a, =CB=√，即向量CP在向量CB上的投影向量的 期sm∠ADE-5-25,os∠ADE-器-9， 长度是3.如图，以A为坐标原点，AB为x轴，AD 可得DN=DEcos∠ADE=5a,NE=DM= 为y轴建立平面直角坐标系，设P(x,0)(0≤x≤2)， 则A(0,0),B(2,0),C(2,3),D(0,3),故CP= DEsin∠ADE-2a,即DN-号Di,Di-会Dd, (x-2,-√3)，PD=(-x5),则Cp.PD=-x +2x-3=-(x-1)2-2,则当x=1∈[0,2]时，C2 所以D成-DN+D成=吉Di+号成-号m+号n ·PD取得最大值为-2. 故选B 6.B【解析】依题意，(Oi+O)·BA=(OA+O)· (OA-OB)=1OA12-1Oi1',(O+O元)·C第 (Oi+O心)·(Oi-O心)=1ōi-1O心12，(O心+ OA)·AC=(OC+OA)·(OC-OA)=|OC12- OA,A-0B=10B-0C1=0C ·6 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 从而3+28<0，即k<-2经 3 (12分) 若a十2b与3a十4b共线， 则台-子即长=兰，此时它们共线，夹角不为纯 角， (14分) 所以k的取值范圈是（一©，一29）， (15分) 13.解：(1)由已知a=(2,1),得a=√5， 设a与b的夹角为0， 四、解答题 11.解：(1)由已知得，A言=O亦-OA=(6,-3) 则a·b=|al|b1cos0=25cos0=4, (3,-4)=(3,1),AC=OC-OA=(5-m,-3- 解得cos9=2 m)-(3,-4)=(2-m,1-m), (3分) 又0≤≤π， :A、B、C三点共线， ∴.AB∥AC, 所以sin9=1 (4分) 即31-m)=2-m,解得m=2 1 (6分) 所以a8b=|a1 b|sin9=25×是=2. (5分) (2),△ABC是以角A为直角顶点的直角三角形， ..AB.AC=0, (2)设a=(x1,y),b=(x2,), 则|a=十y,b|=√+y, 即3(2-m)十1-m=7-4m=0, 所以cos0= a·b xix+yiy 即m=子 a b (7分) (8分) √xi+y听√/x+y :|A|=√1+9=√而， sim0=√1-( x1x2十y1y2 1à-V)+(-￥-项 √/+y听√+ (11分) √(1y2-x2y) xyexy ∴SAe=专IA创IAC=号XV而X 10 √x+yi√x十y吃√x+yi√x十y明 4 所以a☒b=|a||b|sin8=|x1y2-x2y|,(10分) (13分) 又AB=(-3,1),BC=(1,2), 所以AB☒BC=|-3X2-1X1|=7. (12分) 12.解：1由题得a·b=1a1b1os要=3×2厄× (3)由(2)得a☒b=|a|b|sin0=|xy-x2y|, 故a&b= 1 4 4 (号)=-6 1一十 (2分) cos a sina cos a sin'a (14分) |a十b|=√(a+b)F=a2+b+2(a·b) 4 又 1 =√/9+8-12=√5 (4分) cos'a sin a cos(a,a+b)-al latbl-lalabl a·(a十b) |a|2+a·b 1 +4 cos a sin'a (cos'a+sin'a) 9-6=5 (7分) =5+sin'a4cos'a 3×5 cos'a sin'a (2)由题得，(ka+2b)·(3a+4b)=3k|a|2+ ≥5+2√cos'a sina×4cosa 8|b2+(4k+6)a·b=27k+64-6(4k+6)=3k sin a =9,当且仅当sine cos'a +28, (9分) 4cose,即tana=E时等号成立， (19分) 因为a十2b与3a十4b的夹角为钝角， sin'a 所以ab的最小值是9. (20分) 所以(ka十2b)·(3a十4b)0, 7