(3)解三角形、平面向量的应用举例-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（湘教版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (三)解三角形、平面向量的应用举例 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的) 1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为Q,b,c,且cosA=青，B=号，b=5E,则 a= A.6 B.6 C.8 D.2√2 2.已知△ABC的三边之比为3：5：7，则最大角为 A号 R经 C. D. 3.已知在△ABC中，AB=7,BC=5,AC=6,则AB·BC的值为 A.19 B.-14 C.-18 D.-19 4.如图，某人用1.5m长的绳索，施力25N,把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了 6m,拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为1.2m,则此人对该物体所做的功为 A.√13J B.30√/13J 1.5m 1.2m C.125J 6 m D.150J 30° 5.数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂 足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作 欧拉圆.已知在△ABC中，A(一2,0)，B(4,4),C(2,2),则△ABC的九点圆的半径为 A.70 B.30 3 3 C.10 2 D.30 2 数学（湘教版）必修第二册第1页（共4页)】 衡水金卷·先享题 6.我国油纸伞的制作工艺非常巧妙.如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP始终平分 同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D能够沿着伞柄 滑动.如图2，伞完全收拢时，伞圈D已滑到D'的位置，且A,B,D'三点共线，AD= 40c,B为AD'的中点，当伞从完全张开到完全收拢，伞圈D沿着伞柄向下滑动的 距离为25cm,则当伞完全张开时，∠BAD的余弦值是 A号 B B(C) 1 B.2 D c 图1 图2 D 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.已知在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列选项中，三角形有两解的是 A.a=14,b=73,B=45° B.a=15,b=20,A=30° C.b=47,c=38,B=50° D.b=25,c=13,C=239 8.石家庄电视塔是石家庄的地标性建筑，吸引众多游客来此拍照，如图1所示.现某中学数 学兴趣小组对电视塔的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，如图2所示，A为电视 塔的最顶端，B为基座（即B在A的正下方），在世纪公园上(B在同一水平面内)选取C,D 两点，测得CD的长为100m,小组成员利用测角仪已测得∠ACB=石，则根据下列各组中 的测量数据，能确定计算出电视塔高度AB的是 A.∠BCD,∠BDC B.∠BCD,∠ACD C.∠ACD,∠ADC D.∠BCD,∠ADB D 图1 图2 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 6 7 8 答案 高一同步周测卷目 数学（湘教版）必修第二册第2页（共4页） 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知在△ABC中，B=60°，AC=2√3，BC=4,则cosC= ,△ABC的面积 S= .(本题第一空2分，第二空3分) 10.山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1），其主体建筑采用与地形吻合 的矩形设计，将数学符号“∞”完美嵌入其中，寓意无限未知、无限发展、无限可能和 无限的科技创新.如图2，为了测量科技馆最高点A与其附近一建筑物楼顶B之间 的距离，无人机在点C测得点A和点B的俯角分别为75°，30°，随后无人机沿水平 方向飞行600米到点D,此时测得点A和点B的俯角分别为45°和60°(A,B,C,D 在同一铅垂面内)，则A,B两点之间的距离为 米 图1 图2 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,c=√3，且(a十b)2=c2+3ab. (1)求C; (2)求△ABC周长的最大值 数学（湘教版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 12.(本小题满分15分) 已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=2,且2 sin Beos(一C)=-l b sin A a (1)若A=否，求证：△ABC是等腰三角形： (2)在以下三个条件中任选一个，补充在下面的横线中，并进行解答. 若点M在边AB上，CM=1,且满足 ,求边长AB, ①CM为△ABC的一条中线；②CM为△ABC的一条角平分线；③CM为△ABC的 一条高线 注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分： 13.(本小题满分20分) 某海岸的A哨所在凌晨1点15分发现哨所北偏东30°方向20nmie处的D点出现 可疑船只，因天气恶劣能见度低，无法对船只进行识别，所以将该船雷达特征信号进 行标记并上报周围哨所.早上5点15分位于A哨所正西方向20 n mile的B哨所发 现了该可疑船只位于B哨所北偏西30°方向60 n mile处的E点，并识别出其为走私 船，立刻命令位于B哨所正西方向30nile处C点的我方缉私船前往拦截，已知缉 私船速度大小为30 n mile/h.(假设所有船只均保持匀速直线航行) (1)求走私船的速度大小； (2)缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出截获走私船的具体时间. B 高一同步周测卷三 数学（湘教版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（三） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ⊙ ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 正弦定理的应用（已 1 选择题 5 易 0.80 知两角及一边) 余弦定理的应用（已 选择题 易 知三边) 0.72 余弦定理与平面向 3 选择题 5 中 0.65 量的综合 平面向量与力所做 4 选择题 5 中 0.55 的功 正、余弦定理与三角 选择题 5 形外接圆的半径的 中 0.45 综合（数学文化） 解三角形与动态儿 6 选择题 中 0.35 何的综合 7 三角形中的两解 选择题 6 中 0.50 问题 与三角形有关的方 8 选择题 6 中 0.35 案设计问题 正弦定理与三角形 9 填空题 5 易 0.71 面积公式的综合 解三角形的实际应 10 填空题 5 中 0.40 用一距离问题 利用正、余弦定理解 11 解答题 13 三角形，利用基本不 中 0.60 等式求最值 利用正、余弦定理解 12 解答题 15 中 0.45 多个三角形 解三角形的实际应 13 解答题 20 中 0.35 用 角度问题 ·9 ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 考答案及解析 一、选择题 EF 区=I0,所以R=,故选D 1.A【解析】由cosA=号，得sinA=子由正孩定理 sin∠EDF1 1 2 10 6.A【解析】当伞完全张开时，AD=40-25=15cm, sin Asin B,得a=sinA b i6x sin B =6.故选A. 因为B为AD'的中点，所以AB=AC=AD- 2 20cm,当伞完全收拢时，AB十BD=AD'=40cm,所 2.A【解析】不妨设△ABC的三边满足abc,因为 以BD=20cm,在△ABD中，cos∠BAD= △ABC的三边之比为3：5：7，故可设a=3x,则b 5x,c=7x,由△ABC中最大边所对的角最大，可得 A十AD-4009=子故选A 2AB·AD 2×20×15 △ABC的最大内角为∠C,由余弦定理可得cOsC 二、选择题 。+6-2-922549r=-合，又∠C∈ 7.ABD【解析】易知A,B,C∈(0°，180)，A十B+C 2ab 2X3x×5x (0,),所以∠C-三，故最大角为故选A 180,对于A,由正弦定理可知snA=号snB= 3 3.D【解析】由余弦定理可得cosB= ∈（竖，）由正弦函数的图象与性质可得45<A A十CAC--号所以.d 2AB·BC 2X7X5 <60°或120°<A<135°，又a>b→A>B,则A有两个 =|AB||BC·cos(π-B)=-7×5× 19 解，即A正确：对于B,同上sinB=名sinA=号∈ 35 =-19. 故选D. (兮号），则0<B<45或135<B<150,又a<b AB 4.B【解析】在△ABC中，由正弦定理得sn12o →A<B,则B有两个解，即B正确；对于C,同上得 sin∠BAG,则sin∠BAC=6 BC 5,则cos∠BAC= sinC=c sin B=8sin50°<sin50°，且c<b→C<B →C<50°，故C只有一解，即C错误；对于D,如下图 √1-sim∠BAC=厘，“w=F·s=25×6× 5 所示，AD1BC,则易知AD=25s23<空<13< cos∠BAC=30√/13J.故选B. 25,即此时有两解，即D正确，故选ABD. 25 6m 230 B D 309 8.ACD 【解析】对于A,由题意得CD=100m, 5.D【解析】因为AB的中点为D(1,2),AC的中点 ∠BCD,∠BDC,故由正弦定理求得CB,从而再解 为E(0,1),BC的中点为F(3,3),所以△ABC的九 Rt△ABC求得AB=BCtan∠ACB,故A正确；对于 点圆是△DEF的外接圆，DE=√2，DF=√5，EF= B,由题意得CD=100m,∠ACB,∠BCD,∠ACD四 V⑧，cos∠EDF=2+5-13 3 个条件，在△BCD中，已知CD=100m,∠BCD,三角 ,则∠EDF 2×√2×5 /1 形形状不确定，即无法确定其他边和角，而∠ACB, ∠ACD分别在△ABC,△ACD中，也无法确定其他 为钝角，所以sin∠EDF=√I-cos'∠EDF= 10 的边和角，因此无法通过解三角形求得AB,故B错 设△DEF的外接圆半径为R,由正弦定理得2R= 误；对于C,由题意得CD=100m,∠ACD,∠ADC, ·10· 高一周测卷 ·数学（湘教版）必修第二册· 在△ACD中，由正弦定理求得AC,从而再解 即△ABC周长的最大值为3√3. (13分) Rt△ABC求得AB=ACsin∠ACB,故C正确：对于 12.解：(1)由2 sin Beos(-C=-b D,可设AB=,利用∠ACB=否和∠ADB,分别表 sin A 2asin Bcos C+bsin A=0, 示出BC,BD,然后在△BCD中，结合∠BCD和CD, 由正弦定理得2 sin Asin Bcos C-+sin Bsin A=0, 利用余弦定理列出关于h的方程，即可求得h,D正 (2分) 确.故选ACD. 所以(2cosC+1)sin Asin B=0. (5分) 三、填空题 又A,B∈(0，π)，则sinA≠0，sinB≠0， g.525【解析】在△ABC中，B=60,AC=25, 1 2 可得cosC=一立 (6分) BC=4,由正弦定理得品=二，所以血A 又因为C∈(0，π)， 所以C-三， (7分) BCsin B 4③ =1,又A∈(0°，180°)，所以A= AC 2√3 又A=若， 90,枚C=30osC=号sinC=2,所以S=号AC 所以B=元一A-C=若=A, ·BC·simC=2×25X4×号=25， 所以△ABC是等腰三角形. (8分) (2)若选择①：CM为△ABC的中线， 10.100√15【解析】由题意，∠DCB=30°，∠CDB= 设AM=BM=x(x>O), 60°，所以∠CBD=90°，所以在Rt△CBD中，BD 号CD=00,BC-号cD=80,又∠DA=75. 由余弦定理可得cos∠CMA=十1-4」 2x ∠CDA=45°，所以∠CAD=60°，在△ACD中，由正弦 cos∠CMB=+1-BC (11分) 2x 定理得6=0，所以AC=僧×号 因为∠CMA+∠CMB=π， √3 可得cos∠CMA+cos∠CMB=0, (12分) 2 200V6,在△ABC中，∠ACB=∠ACD-∠BCD=75 即1-4++)BC=0, 2x 2x -30°=45°，由余弦定理得AB=AC十BC-2AC· 整理得BC=2x2一2>0，可知x>1, BC·cos∠ACB=(200√6)2+(300√3)2-2×200√6 又因为cos∠ACB=2+BC-4x 2×2XBC 、1 2 ×3005×2=150000所t以AB=100√5. 2 解得x2=3,即x=√3， 四、解答题 所以AB=2x=25. (15分) 11.解：(1)因为(a十b)2=c2+3ab, 若选择②：CM为△ABC的角平分线， 所以a2十b-c2=ab, (3分) 由余弦定理得cosC=Q2+b-C- 则∠ACM=∠BCM=号， 2ab 2ab =2 在△ACM中，由余弦定理得AMW=22十12-2X2× (4分) 因为Ce(0,π)，所以C=号 1X-3,即AM=尽， (6分) 可知AM十CMP=AC, (2)由(1)可知a2+-c2=a2+6-3=ab, 则CM⊥AB, (13分) 所以(a+b)2-3=a2+b2十2ab-3=3ab≤ 可知AC=BC,AM=MB=√5， 3(a十b),当且仅当a=b=B时取等号， (9分)》 4 所以AB=2AM=25, (15分) 所以a十b≤23，所以a十b+c≤3v3, 若选择③：CM为△ABC的高线， 11 ·数学（湘教版）必修第二册· 参考答案及解析 则∠CMA=∠BMC=受， BE=BC+CE,∴.∠BCE=90°，∠BEC=30°， 则AMP=AC-CMP=3, :在R△BED中，an∠BED-器-号， 即AM=√3， ∴.∠BED=30°，.∠CEF=120°， 则∠BAC=否， (12分) :走私船速度为l0√3 n mile/h,缉私船速度为 30 n mile/h, 则∠ABC=若， ∴.EF=10√3t,CF=30t, (12分) 可知AC=BC,AM=MB=√3， 在△CEF中，根据余弦定理得CF=CE十EF2一 所以AB=2AM=2√3. (15分) 2CE·EFcos120°， 13.解：(1)连接BD, 即900t2=2700+300t-2×30√5×105× :D点位于A哨所北偏东30°方向20 n mile处， tc0s120°， .∠BAD=90°+30°=120°，AD=20, (2分) 化简得2P-3t-9=0, AB=20, 解得t=一 （舍去）或=3， (16分) ∴BD=√/AD+AB-2AD·ABc0s120=20√3， 此时CE=EF=30√5， (3分) ∴.∠ECF=30°， (18分) AB=AD,.∠ABD=∠ADB=30°， (4分) .缉私船沿北偏西30°方向行驶，3小时后即早上 ,E点位于B哨所北偏西30°方向60 n mile处， 8点15分可截获走私船. (20分) ∴∠DBE=90°-30°+30°=90， (5分) ∴.DE=√BD+BE=403, (6分) 40310 n mile/h, (7分) 4 ∴走私船的速度大小为l0√3 n mile/,h. (8分) (2)连接CE, 设在F点处截获走私船，截获走私船所需时间为t, BE=60,BC=30,∠CBE=60°， ,.CE=√/BE+BC-2BE·BCcos60°=30√3， ·12·