(2)正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（北师大版）

高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（二） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) I ⅢV ① ② ③④ ⑤⑥ 档次 系数 与正弦函数有关的 1 选择题 易 0.80 三角方程 正弦型函数图象的 选择题 易 0.72 识别 正弦函数与分式函 3 选择题 5 数复合的函数的 中 0.60 值域 4 选择题 5 解三角不等式 中 0.55 与余弦函数有关的 选择题 5 新定义问题 V 中 0.50 余弦型函数的奇偶 6 选择题 性与特称量词命题 / 中 0.40 的综合 比较三角函数值的 7 选择题 6 中 0.50 大小 余弦函数与正弦函 8 选择题 6 难 0.28 数的综合应用 正弦型函数的奇 9 填空题 5 中 0.60 偶性 余弦函数图象对称 10 填空题 5 中 0.55 性的应用 余弦型函数性质的 11 解答题 13 中 0.60 综合 五点（画图）法画余 12 解答题 15 弦型函数的图象，解 L 中 0.55 三角不等式 三角函数与二次函 13 解答题 20 中 0.35 数的综合 ·5· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 叁考答案及解析 一、选择题 1, x=0,2π 1.B【解析】函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象如图，观 0, 02<号 察图象知，直线y=2与函数y=sin,x∈[0,2π]的 1,交≤x<石后y二cosx的最小正周期月 图象有两个交点.故选B. 0, 3≤x<2m 2 2π，由此可得y=[cosx]的最小正周期为2π，y= [cosx]的值域为{-1,0,1}.故选B. 6.B【解析】不妨设f(x)=acos x-x2一1，显然 3 /2π f(x)=acos x-x2一1的定义域为R,关于原点对 y=sin x 称，且有f(-x)=acos(-x)-(-x)2-1= acos x-x2-1=f(x),所以函数f(x)=acos x 2.A【解析】根据五点（画图）法找出五个关键点，分别 x2一1是R上的偶函数，由题意可知函数f(x)= 为(0,1)，（Ξ，2）小，(，1)，（经，0），(2,1），依此 acos r-x2-1在R上有且仅有一个零点，则只能 f(0)=0,否则若f(x)=0(x≠0)，则由偶函数的 五点判断可知A项符合，故选A. 性质可知f(-x)=f(x)=0(x≠0)，此时与题意 3.A【解析】由题得f()= 2sin z 一4 n十2=2+snx+2 矛盾，所以f(0)=a-1=0,解得a=1,此时有f(x) 因为-1≤sinx≤1，所以1≤sinx十2≤3，所以-4≤ =cosx-1-x2≤-x2≤0，当且仅当x=0时，f(x) 2-青所以-2≤2+m42≤合即 -4 一4 =0,故a=1符合题意.故选B. 二、选择题 f(x)的值城是[-2，号]，故选A 7.AD【解析】由sin(-无)=-sin器，sin(-无) 4.C【解析】作出函数y=sinx和y=cosx在 (0,2π)内的图象，：sinx>cosx,∴.函数y=sinx sn器又因为0<资<无<受，所以0<sin是< 的图象在函数y=cosx的图象上方的区间就是sinx sin是<1，所以-sin否>-sin哥，故A正确； >o0sx的解集，即为（工，平）故选C os(-23)=0(-4标-）)=csF,os(-1平） =0s(-4r-平）=c0s子，因为0<平<<π，所 y=sinx y=coSx 5π3π 以c0s暂<cos千，故B错误：由子=in石，又因为 2元 0<<晋<受，所以sm<sin吾=，故C错 误：因为子<1<受，所以0<cs1<号，因为号<2 5.B【解析】在区间[0,2π]上，y=[cosx]= <票，所以号<n2<1,所以os1<n2,故D正 确.故选AD. 8.BD【解析】由题得f(x)=cos|x|十|cosx|= ·6 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 2cos a,cos x0 四、解答题 coscos x= 其图象如图， 0 cos x<0 11.解：(1)f(x)的最小正周期为2π. (1分) 对于选项A,当x∈[2，受]时，0sx≥0，fx) f(x)的单调递减区间即为y=cosx的单调递增 区间， 2os,易知f在区间[2x,受]上单调递减，所以 ∫(x)的单调递增区间即为y=cosx的单调递减 A错误；对于B,由图象可知f(x)的对称轴为x=kπ 区间， (k∈Z),所以B正确：对于C.当x∈[受，妥]时， 所以f(x)的单调递减区间为[-π十2kπ，2kπ](k∈ Z),单调递增区间为[2kπ，2kπ十π](k∈Z).(3分) =f(x)sinx=0,此时有无数个零点，所以C错误；对 与函数y=cosx类比，可得f(x)图象的对称轴为 于D,因为-1≤sinx≤1，又偶函数f(x)在 直线x=kπ(k∈Z), (4分) [0,受]上单调速减，所以2cos1<fsin)≤2，所以 对称中心为点(kπ十受1)（∈Z。 (6分) D正确.故选BD. 2当e[-吾]时osxe[号1小 所以1-2024cosx∈[-2023,1+1012√2]， (9分) 即f(x)的最小值为-2023，取得最小值时x=0, (11分) 0受π2 f(x)的最大值为1+10122，取得最大值时x= 3π 4 (13分) 三、填空题 9.0【解析】设F(x)=f(x)一2=sinx十x十x3,则 12.解：(1)补充完整的表格如下： F(x)的定义域为R,关于原点对称，又F(一x)= 个 3π 2 2π sin(-x)-x+(-x)3=-sin x-x-x= -F(x),故F(x)是奇函数，：f(m)=4, f(x) 1 3 5 3 .F(-m)=f(-m)-2=-F(m)=-[f(m) 2]=-2,从而f(-m)=0. (4分) 10.4π【解析】在同一平面直角坐标系内作出函数y= 描点、连线得函数f(x)=-2cosx十3(0≤x≤2π) 2cosx(0≤xr≤2π)的图象和直线y=2,如图所示， 的图象如图所示： 围成的封闭图形如图中阴影部分所示，利用图象的 对称性可知此封闭图形的面积等于矩形OABC的 面积，又因为OA=2,OC=2π，所以S矩形a1x=2X2π =4π. y B -y=2 (7分) (2)当x∈[0,2π]时， 2π 令f(x)=2,得-2c0sx十3=2， 1 y=2C0sx,0≤x≤2π 即osx=立，从而x=哥或x=受 3 ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 ∴结合(1)中的图象可知，当x∈[0,2π]时，f(x)≥ (i )k=sin m<0,k:=sin n<0, 2的解集是{女于<<受引 (13分) 则k1,k2为关于k的方程2k2十2k十3t-2=0的 两根， 又，函数f(x)的最小正周期为2π 所以k1十k:=-1,k2=3.2 不等式f(x)≥2的解集为{x +2≤r<号 2 3 则sinm十sinn=-1,sin msin=3t,2>0, 2 +2kπ，k∈Z (15分) (12分) 13.解：(1)因为f(x)=2sinx十2sinx+3t-2, 所以(sinm十sinn)2=(-1)2, 所以f(π-x)=2sin2(π-x)十2sin(π-x)+3t sin'm+sin'n++2sin msin n=1, 2=2sinx+2sin x+3t-2=f(x ) 因为2 sin msin n>0, 所以f(x)的图象关于直线x=受对称。 (4分) 所以sinm十sin2n<1=cos2n+sinn, (2)(i)令k=sinx, 所以sinm<cosn=sn(受-n小 (16分) 因为x∈(x,),且y=simx在(x,)上单调 递减， 所以sinx∈(-1,0)， 所以sin(受-n)<0, 则k∈(-1,0)， 则-sinm<-sim(-n), 则2sin2x+2sinx+3t-2=2k2+2k+3t-2,k∈ (-1,0), (6分) 即sinm>sin(受-n小 所以关于k的方程2k2十2k十3t一2=0在 (一1,0)上有两个不相等实数根， 又y=simx在(x,受)上单调递减， /3t-2>0 所以m<妥-， 所以2×(-1)2+2×(-1)+3t-2>0, △=4-4×2(3t-2)>0 即a十罗 (20分) 解得< 6 即：的取值范围为（号，专） (10分) 8高一同步周测卷/数学必修第二册 (二)正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.方程sinx= 2在区间[0,2x]上的不等实根个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2.函数y=1+sinx(x∈[0,2π])的大致图象是 π3π2元 3元 A B D 3.函数f(x)= 千2的值蚊是 A[-2] [-1, C.[-1,1] D.(-o∞，2)U(2,+∞) 4.在(0,2π)内，使sinx>cosx成立的x的取值范围为 A.(年 B(至，U(,) c.(任，) D.(于，U(,F 5.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字 命名的“高斯函数”：设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函 数，也叫取整函数.记函数g(x)=[cosx],则g(x)的最小正周期及值域依次为 A.元，{-1,0,1} B.2π，{-1,0,1} C.2π，{-1,1} D.4π，{-1,0,1} 数学（北师大版）必修第二册第1页（共4页）】 衡水金卷·先享题· 6.已知命题p:存在唯一x∈R,使得acos x一x2=1是真命题，则实数a的值是 A.0 B.1 C.2 D.3 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.下列式子成立的有 A.sin-)>sim(-无) Bcos(2>cos(1 1>1 C.sin 2 D.cos 1<sin 2 8.已知函数f(x)=cos|x十cosx,则 A.fx)在区问间[2x,]上单调递增 B.函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ(k∈Z) C.函数y=f(x)sinx在[0,2π]上有5个零点 D.Hx∈R,2cos1≤f(sinx)≤2 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 2 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.已知函数f(x)=sinx十x十x3+2,若f(m)=4,则f(-m)= 10.若函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这 个封闭图形的面积是 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 设函数f(x)=1-2024cosx. (1)求函数f(x)的最小正周期、单调区间及对称轴、对称中心； (2)求函数f(x)在区间[一晋，]上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值。 高一同步周测卷二 数学（北师大版）必修第二册第2页（共4页） 12.(本小题满分15分) 13.(本小题满分20分) 已知函数f(x)=一2cosx十3. 已知函数f(x)=2sin2x十2sinx+3t-2,t为常数. (1)完成下面的表格，并用“五点（画图）法”作出函数f(x)在[0,2π]上的简图； (1)证明：f(x)的图象关于直线x=受对称： x 0 3 2π (2)设f(x)在(x,)上有两个零点m,m f(x) (1)求t的取值范围； (1)证明：m十受 3 参考公式：cos2a十sina=1. 3π2πx (2)求不等式f(x)≥2的解集 数学（北师大版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题·高一同步周测卷三 数学（北师大版）必修第二册第4页（共4页）