(4)正切函数、三角函数的简单应用-【衡水金卷·先享题】2024-2025学年高一数学必修2同步周测卷（北师大版）

高一同步周测卷/数学必修第二册 (四)正切函数、三角函数的简单应用 (考试时间40分钟，满分100分) 一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知角a的终边经过点P(一8，m》,且ama=一，则cose的值是 A是 c D.5 2.已知在△ABC中，sin Acos Btan C<0,则△ABC是 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形或钝角三角形 3.函数f(x)= tan(2) 图象的对称轴方程为 A.r=匹+bx(k∈Z) B.x=及+匹(k∈Z) 6 C.x=+经 π(k∈Z) D.x= +经k∈z 6 4.已知a=sin2,b=cos2,c=tan2,d=1,则 A.a<b<c<d B.a<b<d<c C.c<b<a<d D.b<a<d<c 5.已知函数fx)=tanx十3sinx,若对任意x∈(-吾，看)f(x)>a恒成立，则a的 取值范围是 A.（-o0, 537 6 B.(-∞，-5 6 C.(-∞，- 2 D.（-oo,- 2 6.如图的曲线就像横放的葫芦的轴截面的边缘线，我们叫葫芦曲线（也像湖面上高低起 伏的小岛在水中的倒影与自身形成的图形，也可以形象地称它为倒影曲线).它每过 相同的间隔振幅就变化一次，且过点P(牙，2其对应的方程为y川= 2-[]）川sino(x≥0，其中[]为不超过x的最大整数，0<w<5).若该葫芦曲 线上一点M到y轴的距离为餐，则点M到x轴的距离为 A B.3 4 C.2 D. 2 数学（北师大版）必修第二册第1页（共4页） 衡水金卷·先享题 二、选择题（本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 7.如图，函数f(x)=2 tanwr-+于)(w>0)的图象与x轴相交于A,B两点，与y轴相交 于点C,且满足△ABC的面积为罗，则 A.w=4 B.f(x)的图象无对称轴 C)的单词递增区间是（管+经，受+经），∈乙 D.将函数f(x)的图象向右平移灭个单位长度后可以得到函数y=2 tan wx 的图象 8.如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天 轮.以摩天轮某座舱P距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮（匀速转动）的 转动时间t(单位：分钟)与座舱P距离地面的高度h(t)(单位：米)的函数关系式为 h()=Asin(需十0）十h(A>0,0<x),且开始转动5分钟后，座舱P距离地面的高 度为37.5米，转动10分钟后，座舱P距离地面的高度为92.5米，则 A.0=-号 B.该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟 C.A=55 D.该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为120米 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 4 5 6 8 答案 三、填空题（本题共2小题，每小题5分，共10分） 9.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角0（一π<0<π）与时间t(s)满足函 数关系式0=n(号+受），则单摆的频率是 高一同步周测卷四 数学（北师大版）必修第二册第2页（共4页） 10.已知函数f(x)=tan(wx十o)(w>0,o<罗)的图象经过点(0，√3)，若f(x)在区间 [0,π]内恰有两个零点，则实数ω的取值范围是 四、解答题（本题共3小题，共48分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 11.(本小题满分13分) 已知角α的顶点在坐标原点O,始边与x轴非负半轴重合，其终边经过点 P(3,-4). (1)求sina,cosa,tana的值； cos(π-a)cos (2)求 的值 sin(+a)tan(r+a) 12.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=tan(ou+牙)w>0. (1)若ω=2，求f(x)的最小正周期与函数图象的对称中心； (2)若f(x)在[0，π]上是单调递增函数，求w的取值范围； (3)若方程f(x)=√3在[a,b]上至少存在2024个根，且b-a的最小值不小于 2024,求ω的取值范围. 数学（北师大版）必修第二册第3页（共4页） 衡水金卷·先享题· 13.(本小题满分20分) 某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是该港口的水深 数据： t/h 0 3 69 12 15 18 21 24 y/m10139.97101310.17 10 一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5时就是安全的. (I)若有以下几个函数模型：y=at十b,y=Asin(wt十o),y=Asin wt十K,你认为哪 个模型可以更好地刻画y与t之间的对应关系？请你求出该拟合模型的函数解 析式； (2)如果船的吃水深度（船底与水面的距离）为7，那么该船在什么时间段能够安 全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留最多不能超过多长时间？ 高一同步周测卷四 数学（北师大版）必修第二册第4页（共4页)高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 高一同步周测卷/数学必修第二册（四） 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I.抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ，运算求解能力Ⅳ，空间想象能力V,数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模 ④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 题型 值 (主题内容) ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次 系数 由正切函数的定义 选择题 易 0.80 求参 判断正切函数的 选择题 易 0.75 符号 正切函数图象的对 3 选择题 5 易 0.72 称性 比较三角函数值的 4 选择题 5 中 0.55 大小 正切函数的单调性 5 选择题 5 中 0.45 与最值的综合 三角函数图象的实 6 选择题 5 中 0.35 际应用 正切型函数图象与 选择题 6 中 0.50 性质的综合 三角函数的实际应 8 选择题 6 中 0.32 用—摩天轮问题 三角函数的应 9 填空题 5 易 0.80 用—钟摆问题 由正切函数的零点 10 填空题 5 中 0.50 个数求参 正切函数的定义与 11 解答题 13 易 0.80 诱导公式的综合 正切函数性质的 12 解答题 15 中 0.45 综合 三角函数的实际应 13 解答题 20 难 0.25 用 决策性问题 叁考答案及解析 一、选择题 -8 以cosa= 1.C 【解析】因为tana=一 =-子，所以m=6,所 3 2.C【解析】由于sin Acos Btan C<0,且sinA>0,所 ·13· ·数学（北师大版）必修第二册· 参考答案及解析 以cos Btan C<0,所以B,C中有且只有一个角为钝 然正确：由受+x<2x十开<受十m,k∈Z,得冬+ 角，所以△ABC是钝角三角形.故选C 4 8 3.A【解析】函数y=|tanx图象的对称轴为x= 经<<晋+经，k∈Z,则K)的单调递增区间为 (∈Z,令2x-爱-受(k∈Z,得x=年+晋(k∈ (晋+经要+经).cZ,故C正确：将函数fx) 2D,所以函数f(x)=an(2x一)图象的对称 的图象向右平移于个长度单位，得到函数y一 轴方程为x=年+受k∈Z).故选A 21am(2x-千）的图象，故D不正确，故选BC 4.C【解析】因为2是第二象限角，所以0<sin2<1, 8.BCD 【解析】依题知h(0)=-A十h=Asin+h,则 -1<c0s2<0,因为受<2<3平，所以tan2<an3买 sin0=-1,因为<π，所以0=-受，A错误：由h() =-1,综上可知，a∈(0,1)，b∈(-1,0)，c<-1,d =Asim(需+0）十h,则周期为T=2红=30，则该摩天 =l,所以c<b<a<d.故选C. 秀 5.A【解析】因为函数y=tanx和y=√3sinx在 轮转动一圈需30分钟，B正确：h()=Asin(无t （一否，)上都单调递增，所以函数f(x)=tanx h(5)=Asin(号-受)+h=37.5 +5sinx在(-否，)上单调递增，所以f(x)> 可 h(10)=Asim(25-受）十h=92.5 f(-吾)=ian(-晋)+5sim(-吾）=-5，若 (h=65 得 故座舱P距离地面的最大高度为A十h= 对任意x∈(-吾，晋)，f(x)>a恒成立，则a≤ A=55 55+65=120,C,D正确.故选BCD. 故送A 三、填空题 6.D【解析】将P(平，2)代入=(2-[凭]) 9.r 【解析】由题得周期T=经-3π，故频率为 1 2 3 m1中，(2[])m=2 3π 即sin=1,因为0<a<5,所以0<℉<平，所 1o.[,g） 【解析】由题得f(0)=tan9=√3，又 以℉=受，解得m=2,故y=(2-[])· |p<受，所以g=号，f(x)=tan(ox+牙)，当x 1sm2,当x=誓时，1=(2-是[9]）： ∈[0，x]时，ar+号∈[号，om+晋]，若f(x)在 区间[0，π]上恰有2个零点，则2π≤wm十于<3元， 二、选择题 解得号<< 7.BC【解析】当x=0时，0C=f0)=2an子= 四、解答题 11.解：(1)，角a的终边经过点P(3,-4), 2,又Sae=受，所以Sam=号|AB|·OC= ∴.|P0=√3+(-4)=5， (2分) 4 X2|AB|=号，得|AB|=受，即函数f(x)的最 -4 sina=三万cosa号，tana=一3 (6分) 小正周期为交，由T=无得w=2,故A不正确：B显 (2)原式= -cosa·sing=-cosa= cosa·tana 5·(13分) ·14· 高一周测卷 ·数学（北师大版）必修第二册· 12.解：(1)由题可得fx)=tan(2x+号)， 又b-a的最小值不小于2024， 所以2023·π≥2024， 所以函数的最小正周期为受， (2分) 2023π 由2x+晋-经，k∈Z, 解得w≤2024’ 所以。的取值范朋为(0,22] (15分) 可得=经-吾6e乙， l3.解：(1)函数y=Asin wt-+K可以更好地刻画y与t 所以f(x)图象的对称中心为 之间的对应关系， (2分) 1A+K=13 (k∈Z) (4分) 根据数据可得一A十K=7 (2)当x∈[0，]时ar+号∈[吾，om+吾]： ∴.A=3,K=10, (5分) 因为f(x)在[0，π]上是单调递增函数， 又.T=15-3=12, 所以[子m+子]=[0，受)， (6分) (7分) 所以om十晋<受， ∴y=3sint+10(0≤≤24). (10分) 又w>0, (2)由题意，要满足题意，需y≥4.5十7， (12分) 所以0<a<G, 即3sin否t+10≥11.5(0≤≤24)， 即。的取值范围为(o,合)： (8分) (3)f(x)=5即tan(ox+号)=E, ∴看4e[2k+晋，2kx+ξ]k∈z 则x十号=晋+k元，∈乙， 解得12k+1≤t≤12k+5,k∈Z, (15分) 当k=0时，t长[1,5]；当k=1时，t∈[13,17]： 所以x=红，k∈Z, (10分) .t∈[1,5]或[13,17]， (17分) ∴.该船在1：00至5：00或13：00至17：00能安全进 因为在[a,b们上至少存在2024个根， 港， (19分) 所以可得b一a至少包含2023个周期， 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不 即b-a≥2023T=2023·π 能超过16个小时. (20分) 所以6-a的最小值为2023·吾， (12分) ·15·