专题07 指数函数的图象与性质（重点+二级结论+19题型+复习提升）（复习讲义）高一数学苏教版

专题07 指数函数的图象与性质 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】根式与指数幂 1、根式 （1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）的次方根的表示 当n是奇数时，，的值仅有一个，记为 当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 （3）根式的性质（，且）：； 2、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 【考点02】指数函数的图象与性质 1、指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 2、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 3、指数函数的底数对图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”． （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 【二级结论1】指数函数的图象及其应用 1.过定点 因为当时，，所以指数函数的图象均过点． 2.底数对指数函数图象的影响 当时，越大，指数函数的图象在轴右侧部分越靠近轴； 当时，越小，指数函数的图象在轴左侧部分越靠近轴． 在如图1所示的指数函数图象中，底数的大小关系为．在轴右侧，图象从上至下相应的底数由大变小，形象记为“底大图高”．相应地，在轴左侧“底大图低”． 3.“底大图高”的判断依据 如图1，作直线，则直线与各指数函数图象交点的纵坐标即为各指数函数的底数，分别为，则．可见在轴右侧底数越大，图象越高． 4.图象的对称性 （1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，如图2.根据这种对称性，可以利用一个函数的图象画出另一个函数的图象． （2）（且）为偶函数，其图象如图3所示． 【二级结论2】指数型复合函数性质 指数型复合函数常见的是型和型两种． 类型 定义域 函数的定义域与的定义域相同 求的定义域，关键是找出在的定义域中时的范围 单调性（同增异减） 当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调性与的单调性相反 根据具体函数类型，利用同增异减原则判断即可 值域 ①求出的值域； ②根据的单调性求出的值域 ①求出的定义域对应的的取值范围； ②根据的单调性求出的值域 注：两种类型中与都体现了换元思想中的整体换元：以“元”换“式”．换元法是解决复合函数问题的核心方法，注意掌握． 【二级结论3】一类函数模型的性质 在指数型函数中，函数，且有着极其特殊的地位，我们经常遇到形式各异且与指数函数有关的问题，都与这个函数有一定的联系．下面从三个方面来研究这个函数的性质： （1）的奇偶性：函数的定义域为， 因为，所以是奇函数． （2）的单调性：因为函数，所以当时，由复合函数的单调性可知在上单调递增；当时，在上单调递减． （3）的值域：令，则，结合（2）知原函数等价于，易知在区间上单调递增，所以，故的值域为． 注：除了函数，且，常考查的指数型复合函数还有： 函数解析式 奇偶性 单调性 偶 在上单调递减，在上单调递增 奇 时，在上单调递增 时，在上单调递减 奇 时，在上单调递减 时，在上单调递增 奇 时，函数在上单调递减 时，函数在上单调递增 事实上，函数，即转化为了我们所研究的函数，因此解题时注意函数形式的灵活变化，或互为倒数，或互为相反数，或差一倍数等． 【题型1 指数幂的运算】 高妙技法 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 1．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·陕西西安·期末）计算 . 3．（25-26高一上·天津·期中）计算： 4．（24-25高一上·陕西咸阳·月考）的值为 . 【题型2 整体换元法解决条件求值】 高妙技法 利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，则 ． 6．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 7．（2024高三·全国·专题练习）若，则= ；= ． 8．【多选】（25-26高一·全国·假期作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型3 求指数函数的解析式或值】 高妙技法 设指数函数标准形式，代入已知点坐标列方程求；求函数值时，直接代入自变量，或结合幂的运算化简后计算。 9．（2023高二上·甘肃兰州·学业考试）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 10．（23-24高三上·广东茂名·月考）若函数的图象经过，则（    ） A． B． C．3 D．9 11．（22-23高一上·全国·单元测试）下列函数中，满足的是（　　） A． B． C． D． 【题型4 指数型函数的定义域、值域问题】 高妙技法 对于y＝af(x)(a>0，a≠1)这类函数， (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； (2)求值域问题，有以下三种方法： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域. ③求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)，再转化为二次函数求值域. 12．（24-25高一上·江苏苏州·期末）下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 13．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . 17．（22-23高一下·江苏镇江·开学考试）已知函数，则的值域为 ﹔函数图象的对称中心为 . 18．（24-25高一上·江苏盐城·期末）若的值域为，则的取值范围为 . 【题型5 指数型函数的恒过定点问题】 高妙技法 指数型函数图象过定点问题的处理方法 求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． 19．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的图象恒过的点 . 20．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数且过定点，则 . 21．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数且的图像经过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 22．（21-22高一上·江苏徐州·期末）已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【题型6 根据指数函数的图象判断底数大小】 高妙技法 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 注：底数a对指数函数图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”；当且时，底数越小，图象越“陡”． （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 23．（25-26高一·全国·假期作业）已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）．如图是上述函数的图象，则a，b，c，d与1，0的大小关系是 ． 24．（2023·天津河东·一模）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【题型7 指数型函数图象识别】 高妙技法 先确定底数的范围判断增减性，再看函数的平移（左加右减、上加下减）、对称（关于轴、轴、原点）变换和奇偶性，结合特殊点（定点、与坐标轴交点）排除错误选项。 25．（22-23高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 26．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   27．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 28．【多选】（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 29．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）函数（且）的图像可能是（　　） A．   B．   C．   D．   30．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 31．（2010·浙江·一模）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 32．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【题型8 根据指数函数图象求参数取值范围】 高妙技法 分析图象特征（如过定点、增减趋势、与某直线的位置关系），转化为关于参数的不等式或方程，结合指数函数定义域、值域限制，求解参数范围，可代入验证。 33．（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 34．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 35．（24-25高一上·河北邯郸·期末）“”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 36．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 37．【多选】（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 38．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【题型9 指数函数图象的应用】 高妙技法 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 39．（2025高三下·全国·专题练习）若曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是 ． 40．（2024·山东潍坊·二模）已知函数，则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 41．（25-26高二上·上海·月考）设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是 . 42．（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 43．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数.若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【题型10 判断指数型函数的单调性】 高妙技法 判断形如y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性 (1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律. 44．【多选】（24-25高三上·山西·月考）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 45．（24-25高一下·福建福州·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 46．（25-26高三上·江苏·月考）下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 47．（25-26高一上·海南·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 48．（24-25高一下·广东深圳·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【题型11 求指数型函数的单调区间】 高妙技法 设内层函数，外层函数，根据“同增异减”判断：时，的单调区间与一致；时，与相反，注意定义域优先原则。 49．（25-26高一上·四川德阳·期中）函数的单调增区间为 . 50．（25-26高一上·山西·月考）函数的单调增区间是 . 51．（25-26高一上·天津·期中）函数的单调增区间是 . 52．（25-26高一上·北京·月考）函数的单调增区间为 ． 53．【多选】（25-26高一上·新疆喀什·月考）关于函数 下列说法正确的是（ ） A．值域 B．值域 C．单调增区间 D．单调减区间 【题型12 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围】 高妙技法 拆分复合函数，明确内外层函数单调性，结合“同增异减”列不等式；若含参数在底数位置，需分和讨论，同时保证函数定义域有效。 54．（25-26高一上·福建厦门·月考）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 55．（25-26高一上·北京·月考）已知函数，若对，且，都有，则的取值范围是 ． 56．（25-26高一上·浙江·月考）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 . 57．（25-26高一上·甘肃张掖·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 58．（25-26高一上·湖北·月考）若函数，且满足对任意的实数都有 成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知，函数在上单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型13 比较指数幂的大小】 高妙技法 60．【多选】（25-26高二上·山东潍坊·月考）若，则，的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 61．【多选】（25-26高一上·江苏淮安·月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 62．（2025高三上·江苏·学业考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 63．（25-26高一上·江苏无锡·月考）三个数，， 之间的大小关系为（     ） A． B． C． D． 64．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型14 解指数型不等式】 高妙技法 指数（型）不等式的三种常见类型及解法如下表所示：（，且） 类型 解法 借助的单调性求解：当时，转化为；当时，转化为． 将化为以为底数的指数幂的形式，转化为上一个类型求解． 借助两函数的图象求解：转化为求的图象在的图象上方的部分对应的的取值范围． 65．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 66．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 67．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 68．（25-26高三上·江苏南京·期中）定义在上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 69．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 70．（2025·陕西汉中·一模）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ． 71．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数（且），若，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【题型15 指数型函数的奇偶性问题】 高妙技法 先判断定义域是否关于原点对称，再计算，化简后与、比较：为偶函数，为奇函数，含参时利用奇偶性列方程求参数。 72．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为 . 73．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则 . 74．（23-24高三上·四川绵阳·月考）已知是定义在上的奇函数， 且当时则 . 75．（24-25高三上·福建三明·月考）已知函数为奇函数，则实数的值为 . 76．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数是奇函数，则 ． 77．（2023高一·全国·课后作业）设，，为奇函数，则的值为 ． 78．（23-24高二上·云南大理·月考）已知函数是奇函数，则 . 79．（25-26高一上·江苏·期中）已知幂函数为偶函数，则 ，若，则的单调增区间是 80．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 81．（21-22高一上·江苏南通·期中）若函数是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集是 【题型16 指数型函数的最值问题】 高妙技法 复合函数型利用“同增异减”找单调区间，利用单调性取最值；含参型需分情况讨论底数范围和参数对单调性的影响；可结合换元法转化为二次函数求最值。 82．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，”是假命题，则的取值范围为 . 83．【多选】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．的递增区间为 B．的递增区间为 C．有最大值4 D．有最小值4 84．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）若函数在上的最大值是最小值的2倍，则 . 85．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 86．（2025·广东广州·三模）若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 87．（25-26高一上·广东·期中）已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题型17 指数函数的恒成立和存在问题】 高妙技法 恒成立问题：转化为函数最值（如恒成立⇔）；存在性问题：转化为函数值域（如存在使⇔），结合单调性求最值。 88．（23-24高二上·上海·期末）若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 89．（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 90．（22-23高一上·四川眉山·期末）已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为 ． 91．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最大值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【题型18 指数函数的实际应用】 高妙技法 1.指数型函数模型 形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型． 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． 2.指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题. (2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型. 92．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，） 93．（23-24高一上·湖北·期末）酒驾新规来了，2024年3月1日起实施，新国标将酒驾的上限从降低到了，也就是说，只要驾驶员血液中酒精含量超过了，就属于违法行为.某人饮酒后，体内血液酒精含量迅速上升到，然后血液酒精含量会以每小时的速度减少，则按照新规他至少经过 小时后才能开车.（参考数据：） 94．（23-24高三上·河南三门峡·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式，求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.若现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是，则 （参考值，） 95．（23-24高一上·河南开封·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 96．（23-24高一上·云南昆明·月考）如图，将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂” 次．（参考数据：取） 【题型19 指数型函数性质的综合应用】 高妙技法 解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧. (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行. (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论. 97．【多选】（25-26高一上·江苏·期末）已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图像过定点 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若， 98．【多选】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（    ） A．不等式解集为 B．的图图像关于轴对称 C．是上的递增函数 D．的值域为 99．【多选】（25-26高一上·陕西西安·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西汉中·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·上海·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 3．（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏·期末）若为偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 5．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山西·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·江苏南通·期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.以下函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·北京房山·期末）已知函数且，给出下列四个结论: ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④函数的图象过定点. 其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（24-25高一上·江苏徐州·期末）下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 11．（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象过定点 B．若，则的最小值为4 C．若，则 D．若， 12．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的递减区间是 C．的图象关于成中心对称 D．函数在上单调递增，则a的取值范围是 13．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知符号函数，则（    ） A．是周期函数 B．对任意的， C．函数的值域为 D．函数的值域为或 14．（24-25高一上·江苏镇江·期末）若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若实数，且满足，则的最小值为6 三、填空题 15．（23-24高一上·江苏南京·期末） . 16．（20-21高一上·广东佛山·期中）计算 . 17．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 18．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 19．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知集合，集合，则的子集个数是 . 20．（24-25高二下·江苏·期末）已知函数，则的解集为 ． 四、解答题 21．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 22．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 23．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数（为常数，），且为偶函数， (1)求a的值； (2)若方程在上有解，求实数k的取值范围． 24．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为奇函数，． (1)求实数的值； (2)求函数的值域； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 25．（22-23高一上·江苏常州·期末）若，已知函数为奇函数． (1)求实数的值． (2)用定义证明的单调性． (3)若函数在区间上的值域是，求的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 指数函数的图象与性质 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【考点01】根式与指数幂 1、根式 （1）一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且。 式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）的次方根的表示 当n是奇数时，，的值仅有一个，记为 当n是偶数，①时，的有两个值，且互为相反数，记为； ②时，不存在 （3）根式的性质（，且）：； 2、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3、指数幂的运算性质 （1）无理数指数幂：一般地，无理数指数幂（，为无理数）是一个确定的实数． 有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． （2）指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 【考点02】指数函数的图象与性质 1、指数函数的概念 （1）定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）注意事项：指数函数的底数规定大于0且不等于1的理由： ①如果，当 ②如果，如，当时，在实数范围内函数值不存在． ③如果，是一个常量，对它就没有研究的必要． 2、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 3、指数函数的底数对图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”． （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 【二级结论1】指数函数的图象及其应用 1.过定点 因为当时，，所以指数函数的图象均过点． 2.底数对指数函数图象的影响 当时，越大，指数函数的图象在轴右侧部分越靠近轴； 当时，越小，指数函数的图象在轴左侧部分越靠近轴． 在如图1所示的指数函数图象中，底数的大小关系为．在轴右侧，图象从上至下相应的底数由大变小，形象记为“底大图高”．相应地，在轴左侧“底大图低”． 3.“底大图高”的判断依据 如图1，作直线，则直线与各指数函数图象交点的纵坐标即为各指数函数的底数，分别为，则．可见在轴右侧底数越大，图象越高． 4.图象的对称性 （1）底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称，如图2.根据这种对称性，可以利用一个函数的图象画出另一个函数的图象． （2）（且）为偶函数，其图象如图3所示． 【二级结论2】指数型复合函数性质 指数型复合函数常见的是型和型两种． 类型 定义域 函数的定义域与的定义域相同 求的定义域，关键是找出在的定义域中时的范围 单调性（同增异减） 当时，的单调性与的单调性相同；当时，的单调性与的单调性相反 根据具体函数类型，利用同增异减原则判断即可 值域 ①求出的值域； ②根据的单调性求出的值域 ①求出的定义域对应的的取值范围； ②根据的单调性求出的值域 注：两种类型中与都体现了换元思想中的整体换元：以“元”换“式”．换元法是解决复合函数问题的核心方法，注意掌握． 【二级结论3】一类函数模型的性质 在指数型函数中，函数，且有着极其特殊的地位，我们经常遇到形式各异且与指数函数有关的问题，都与这个函数有一定的联系．下面从三个方面来研究这个函数的性质： （1）的奇偶性：函数的定义域为， 因为，所以是奇函数． （2）的单调性：因为函数，所以当时，由复合函数的单调性可知在上单调递增；当时，在上单调递减． （3）的值域：令，则，结合（2）知原函数等价于，易知在区间上单调递增，所以，故的值域为． 注：除了函数，且，常考查的指数型复合函数还有： 函数解析式 奇偶性 单调性 偶 在上单调递减，在上单调递增 奇 时，在上单调递增 时，在上单调递减 奇 时，在上单调递减 时，在上单调递增 奇 时，函数在上单调递减 时，函数在上单调递增 事实上，函数，即转化为了我们所研究的函数，因此解题时注意函数形式的灵活变化，或互为倒数，或互为相反数，或差一倍数等． 【题型1 指数幂的运算】 高妙技法 指数幂运算的常用技巧 (1)有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算. (2)负指数幂化为正指数幂的倒数. (3)底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于运用指数幂的运算性质. 1．（24-25高二下·云南·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式与指数幂的转化求解即可. 【详解】. 故选：D 2．（24-25高二下·陕西西安·期末）计算 . 【答案】8 【分析】根据给定条件，利用指数运算计算得解. 【详解】 . 故答案为：8 3．（25-26高一上·天津·期中）计算： 【答案】 【分析】应用有理数指数幂及根式与指数幂关系化简求值. 【详解】. 故答案为： 4．（24-25高一上·陕西咸阳·月考）的值为 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂运算求解即可. 【详解】原式. 故答案为：. 【题型2 整体换元法解决条件求值】 高妙技法 利用整体代换法求分数指数幂 (1)整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键. (2)利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常常运用完全平方公式及其变形公式. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】根据题意结合平方关系可得，，代入即可得结果. 【详解】因为，两边同时平方得，即， 对两边同时平方得，即， 所以． 故答案为：. 6．（25-26高一·上海·假期作业）已知 ，求： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用完全平方公式进行求解； （2）利用立方和公式对已知条件进行变形求解. 【详解】（1）因为 ，所以   即 ，. . 因为 ，所以 ，则 . （2）. 已知，所以. 7．（2024高三·全国·专题练习）若，则= ；= ． 【答案】 7 【分析】利用完全平方公式及立方和公式结合分数指数幂的运算法则计算即可. 【详解】由题意，所以. 由题意， 所以. 故答案为：7；. 8．【多选】（25-26高一·全国·假期作业）已知，下列各式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题目条件，结合完全平方公式、立方和公式逐项判断可得答案. 【详解】A.，故A正确； B.，故B错误； C.由可知，故， 因为，所以，故C正确； D.因为， 又，所以原式，故D正确． 故选：ACD. 【题型3 求指数函数的解析式或值】 高妙技法 设指数函数标准形式，代入已知点坐标列方程求；求函数值时，直接代入自变量，或结合幂的运算化简后计算。 9．（2023高二上·甘肃兰州·学业考试）已知指数函数的图象经过点，则（    ） A．4 B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的特征，结合经过的点即可求解. 【详解】由指数函数的图象经过点可得 ，解得， 所以， 故选：A 10．（23-24高三上·广东茂名·月考）若函数的图象经过，则（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【分析】根据题意，由求得函数解析式求解. 【详解】解：因为函数的图象经过， 所以，解得 ， 所以， 则， 故选：B 11．（22-23高一上·全国·单元测试）下列函数中，满足的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数运算法则，结合函数解析式直接判断即可. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D. 【题型4 指数型函数的定义域、值域问题】 高妙技法 对于y＝af(x)(a>0，a≠1)这类函数， (1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围； (2)求值域问题，有以下三种方法： ①由定义域求出u＝f(x)的值域； ②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域. ③求形如y＝A·a2x＋B·ax＋C类函数的值域一般用换元法，设ax＝t(t>0)，再转化为二次函数求值域. 12．（24-25高一上·江苏苏州·期末）下列函数中，定义域为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数有意义的条件可得函数的定义域. 【详解】选项A，函数的定义为，故A错误； 选项B，由得，故的定义域为，故B错误； 选项C，由得，故的定义域为，故C错误； 选项D，由得，故的定义域为，故D正确， 故选：D 13．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 14．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抽象函数定义域法以及指数函数单调性运算求解即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数有，解得， 所以函数的定义域是. 故选：D. 15．（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求关于指数函数的复合函数的值域即得, 【详解】因为函数的定义域为 所以，解得. 所以的定义域为 由得 所以. 当，即时，， 当，即时，. 所以的值域为, 故选：A. 16．（24-25高一上·重庆沙坪坝·期末）已知函数，，则的值域为 . 【答案】 【分析】由题意，利用换元法（令）可将原函数变形为关于的二次函数，结合二次函数的图象与性质即可求解. 【详解】令，则， 原函数可变形为， 其图象为开口向上的抛物线，对称轴为， 所以该二次函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取到最小值，为； 当时，得， 所以在的值域为. 故答案为： 17．（22-23高一下·江苏镇江·开学考试）已知函数，则的值域为 ﹔函数图象的对称中心为 . 【答案】 【分析】将函数的解析式变形为，结合不等式的基本性质可求得的值域；利用函数对称性的定义可求得函数的对称中心的坐标. 【详解】因为，则，所以，， 所以，函数的值域为， 因为，则， 因此，函数图象的对称中心为. 故答案为：；. 18．（24-25高一上·江苏盐城·期末）若的值域为，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】结合指数函数单调性可知在内值域为，进而可知在内的值域包含，结合一次函数性质分析判断. 【详解】因为在内单调递增，可知在内单调递增， 则，可知在内值域为， 又因为的值域为， 可知在内的值域包含， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故答案为：. 【题型5 指数型函数的恒过定点问题】 高妙技法 指数型函数图象过定点问题的处理方法 求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． 19．（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的图象恒过的点 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质计算可得. 【详解】对于函数，令，解得，此时， 所以函数的图象恒过的点为. 故答案为： 20．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数且过定点，则 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，求出所对应的函数值，即可得解. 【详解】对于函数且，令，解得， 所以， 所以恒过点，即， 所以. 故答案为： 21．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数且的图像经过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数，令解出，进而得的定点. 【详解】令，，所以过定点. 故选：B. 22．（21-22高一上·江苏徐州·期末）已知函数（，且）的图象恒过点，若角的终边经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令指数函数的指数为零即可求出指数型函数过定点的坐标，再根据三角函数的定义计算可得； 【详解】解：因为函数（，且），令，即时，所以函数恒过定点，又角的终边经过点，所以， 故选：A 【题型6 根据指数函数的图象判断底数大小】 高妙技法 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大． 注：底数a对指数函数图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”；当且时，底数越小，图象越“陡”． （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”；在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 23．（25-26高一·全国·假期作业）已知下列函数：（1）；（2）；（3）；（4）．如图是上述函数的图象，则a，b，c，d与1，0的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的图象性质即可求解. 【详解】根据指数函数图象在第一象限的图象特征，底数大于1，图象上升，底数小于1，图象下降；底数越大，图象越高， 即由图可知：， 故答案为： 24．（2023·天津河东·一模）如图中，①②③④中不属于函数，，中一个的是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据指数函数的图象的特征即可得答案. 【详解】解：由指数函数的性质可知： ①是的部分图象；③是的部分图象；④是的部分图象； 所以只有②不是指数函数的图象. 故选：B. 【题型7 指数型函数图象识别】 高妙技法 先确定底数的范围判断增减性，再看函数的平移（左加右减、上加下减）、对称（关于轴、轴、原点）变换和奇偶性，结合特殊点（定点、与坐标轴交点）排除错误选项。 25．（22-23高一上·江苏无锡·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值来确定正确答案. 【详解】的定义域为， ，所以是奇函数， 图象关于原点对称，所以B选项错误. ，所以C选项错误. 的增长速度比的增长速度慢， 所以时，，所以D选项错误. 故选：A 26．（24-25高一上·河南驻马店·期末）函数的图像大致为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再判断当时，的取值情况，从而可得答案. 【详解】的定义域为， 因为， 所以为奇函数，所以的图象关于原点对称， 所以排除AC， 因为当时，， 所以排除D， 故选：B. 27．（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出函数的定义域，分析函数的奇偶性，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】对于函数，有，解得， 所以，函数的定义域为，排除BC选项， 又因为，故函数为偶函数，排除A选项， 故选：D. 28．【多选】（23-24高三上·江苏扬州·期末）已知函数是奇函数或偶函数，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用奇偶性求对应参数a的值，再由指数型函数性质判断时的函数值符号，即可得答案. 【详解】由已知得， 若为偶函数，则恒成立， 所以恒成立，故，则， 所以时有，显然C对，D错； 若为奇函数，则恒成立， 所以恒成立，故，则， 所以时有，显然B对，A错； 故选：BC 29．（22-23高一下·黑龙江齐齐哈尔·开学考试）函数（且）的图像可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分、两种情况讨论，结合函数的单调性与、的特征，利用排除法判断即可. 【详解】当时，在定义域上单调递减，， ，所以，则A、B均不符合题意； 当时，在定义域上单调递增，， ，所以，故C符合题意，D不符合题意. 故选：C 30．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 31．（2010·浙江·一模）已知函数（其中）的图象如图所示，则函数的图象是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二次函数的图象可得，然后结合指数函数的图象分析判断即可. 【详解】由二次函数（其中）的图象可得， 所以的图象过点，且在上为减函数，则函数递减，排除CD； 因为，所以将的图象向下平移个单位可得的图象，排除B； 故选：A 32．（24-25高一上·湖南岳阳·期末）若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的图象确定的范围，再根据指数函数的图象即可得解. 【详解】由函数的图象知， 则， 所以函数为增函数， 且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位， 所以函数的大致图象是C选项. 故选：C. 【题型8 根据指数函数图象求参数取值范围】 高妙技法 分析图象特征（如过定点、增减趋势、与某直线的位置关系），转化为关于参数的不等式或方程，结合指数函数定义域、值域限制，求解参数范围，可代入验证。 33．（24-25高一上·上海长宁·期末）函数的图象不经过第一象限，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】借助函数图像即可求解； 【详解】画出的图像，同时向下平移一个单位得到 结合图象可知：， 故答案为： 34．（24-25高二下·河北石家庄·期末）若函数的图象经过第二、三、四象限，则一定有（   ） A． ，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质，结合函数图像经过的象限，列出关于和的不等式组，进而求解和的取值范围. 【详解】已知函数的图像经过第二、三、四象限，说明函数单调递减，所以可得 指数函数过定点，则函数过定点，即 因为函数的图像经过第二、三、四象限，如图所示，所以该函数与轴的交点在轴负半轴上，即 综上分析，可得 故选：C. 35．（24-25高一上·河北邯郸·期末）“”是“函数的图象不经过第一象限”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题中条件图象不经过第一象限，求出m的范围，根据此范围来确定与两者关系判断充分必要性． 【详解】由图象不经过第一象限，则，解得， 而，故是图象不经过第一象限的必要不充分条件． 故选：B 36．（24-25高一上·上海·期末）函数（，且）单调递增且图象不经过第四象限，则、满足的条件为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据指数函数的单调性结合函数的图象不经过第四象限，判断a， b的范围. 【详解】因为函数 (且)单调递增， 所以，图象不经过第四象限，则当时，，所以，， 故选：B. 37．【多选】（24-25高一上·辽宁·期中）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】BD 【分析】根据图象，结合指数函数的单调性，可得答案. 【详解】对于A，由图象可知函数单调递减，则，故A错误； 对于B，当时，，由图象可得，解得，故B正确； 对于C，，由是增函数，则，故C错误； 对于D，由，，则函数是增函数， 当时，，故D正确. 故选：BD. 38．（24-25高一上·福建泉州·期中）设函数（且）的图象经过第二、三、四象限，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】判断函数是定义域R上的减函数，再将不等式化为，求解即可. 【详解】函数的图象过第二、三、四象限，则，解得， 则函数是定义域R上的减函数， 不等式化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：A 【题型9 指数函数图象的应用】 高妙技法 处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 39．（2025高三下·全国·专题练习）若曲线与直线有两个公共点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】画出曲线与直线的图象，由条件结合图象求的范围. 【详解】画出曲线与直线的图象如图所示， 由图象可得，如果曲线与直线有两个公共点， 则的取值范围是． 故答案为：. 40．（2024·山东潍坊·二模）已知函数，则图象上关于原点对称的点有（   ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【分析】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象，进而数形结合判断即可. 【详解】作出的图象，再作出函数关于原点对称的图象如图所示. 因为函数关于原点对称的图象与图象有三个交点， 故图象上关于原点对称的点有3对.      故选：C 41．（25-26高二上·上海·月考）设，若有不相等的实数满足，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据解析式作出函数的图象，得到的范围，再由得到，从而得解. 【详解】对于， 当时，，则； 当时，，则，且当时，； 当时，，则， 且当时，，当时，，； 作出函数的图象，如图， 不妨设，因为，则， 由得，则， 由，得，即， 则. 故答案为：. 42．（2025·湖南长沙·三模）已知函数 ，方程 的根的个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据解析式画出和的函数图象，判断图象交点个数即可. 【详解】当时， ，故是的一个周期， 又时，，则， 作出函数和的函数图象， 因， ， 结合图象可知，和的函数图象交点个数为. 故选：B 43．（24-25高一上·湖南长沙·期末）已知函数.若函数有七个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据得或，问题转化为直线与函数的图象有3交点，结合函数图象可得结果. 【详解】 如图所示，作出函数的图象. 由得，， ∴或， 由图象可得直线与函数的图象有4个交点，故方程有4个不相等的实数根， 要使函数有七个不同的零点，需方程有3个不相等的实数根，即直线与函数的图象有3交点， 结合图象可得，的取值范围是. 故答案为：. 【题型10 判断指数型函数的单调性】 高妙技法 判断形如y＝af(x)(a>0，a≠1)的单调性 (1)定义法，即“取值－作差－变形－定号”.其中，在定号过程中需要用到指数函数的单调性；(2)利用复合函数的单调性“同增异减”的规律. 44．【多选】（24-25高三上·山西·月考）下列函数中，在区间上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据复合函数规律：同增异减，即可判断BCD；去掉绝对值符号后可判断A的正误. 【详解】对于A，函数所以在上单调递减，故A正确； 对于B，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B错误； 对于C，函数在上单调递增，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故C错误； 对于D，函数在上单调递减，函数在上单调递增， 所以函数在上单调递减，故D正确. 故选：AD. 45．（24-25高一下·福建福州·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用反比例函数性质判断A，利用幂函数性质判断B，利用指数函数性质判断C，利用对数函数性质判断D即可. 【详解】对于A，由反比例函数性质得在区间上单调递减，故A错误， 对于B，由幂函数性质得在区间上单调递增，故B正确， 对于C，由指数函数性质得在区间上单调递减，故C错误， 对于D，由对数函数性质得在区间上单调递减，故D错误. 故选：B 46．（25-26高三上·江苏·月考）下列函数中，是偶函数且在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇偶性的定义一一判断函数的奇偶性，利用函数的图像判断函数的单调性. 【详解】选项A，，，故是偶函数， 当时，为指数函数，底数， 故在上是单调递增函数，故选项A错误； 选项B，，定义域为，故函数为非奇非偶函数，故选项B错误； 选项C，，，，故是奇函数，故选项C错误； 选项D，，，故是偶函数， 是幂函数，当时，为单调递增函数， 是偶函数，关于轴对称，在上是单调递减函数.故选项D正确. 故选：D. 47．（25-26高一上·海南·期中）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数定义及应用解析式的单调性判断各个选项. 【详解】对于A：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，A选项错误； 对于B：函数定义域为，，所以函数是奇函数， 在定义域内单调递增，B选项正确； 对于C：在区间上单调递减的，C选项错误； 对于D：定义域为不关于原点对称，函数不是奇函数，D选项错误； 故选：B. 48．（24-25高一下·广东深圳·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由函数的奇偶性、基本初等函数的性质再结合复合函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，由在上递增，在定义域上递增，故在上递增，故A不满足题意； 对于B，由在上递增，在定义域上递增，故在 上单调递增函数，故B不满足题意； 对于C，为偶函数，由幂函数的性质知在上递减，故C满足题意； 对于D，为偶函数，在上为周期函数，故D不满足题意. 故选：C. 【题型11 求指数型函数的单调区间】 高妙技法 设内层函数，外层函数，根据“同增异减”判断：时，的单调区间与一致；时，与相反，注意定义域优先原则。 49．（25-26高一上·四川德阳·期中）函数的单调增区间为 . 【答案】 【分析】根据指数函数、二次函数性质，结合复合函数的单调性的求法，求解即可． 【详解】设，为开口向上，对称轴为的抛物线， 所以t在上单调递减，在上单调递增， 又因为在R上单调递减， 所以函数的单调增区间为. 故答案为： 50．（25-26高一上·山西·月考）函数的单调增区间是 . 【答案】（或） 【分析】根据指数函数单调性结合复合函数单调性分析求解. 【详解】因为的定义域为R， 又因为在定义域内单调递增，在内单调递减，在内单调递增， 可知在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调增区间是. 故答案为：（或） 51．（25-26高一上·天津·期中）函数的单调增区间是 . 【答案】 【分析】由二次函数及指数函数的单调性，结合复合函数的单调性法则得解. 【详解】令， 由二次函数单调性可知，在上单调递减， 又是减函数， 由复合函数的单调性知，的单调增区间为. 故答案为： 52．（25-26高一上·北京·月考）函数的单调增区间为 ． 【答案】 【分析】求出给定函数定义域，再求出函数的单调区间，然后借助复合函数单调性即可得解. 【详解】函数中，，解得， 即函数定义域为， 因函数在上单调递减，在上单调递增， 又指数函数为单调递减， 因此，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的单调增区间是. 故答案为：. 53．【多选】（25-26高一上·新疆喀什·月考）关于函数 下列说法正确的是（ ） A．值域 B．值域 C．单调增区间 D．单调减区间 【答案】BCD 【分析】令，求函数的值域即可判断AB；根据同增异减判断复合函数的单调性判断CD. 【详解】令，则， 因在上单调递增，则， 即的值域为，故正确，错误； 在上单调递增，在上单调递减， 则的增区间为，减区间为，故CD正确. 故选：BCD 【题型12 根据指数型函数的单调性求参数的取值范围】 高妙技法 拆分复合函数，明确内外层函数单调性，结合“同增异减”列不等式；若含参数在底数位置，需分和讨论，同时保证函数定义域有效。 54．（25-26高一上·福建厦门·月考）若函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先令，将原函数转化为函数与的复合函数，再根据复合函数单调性的判断方法，结合二次函数的性质确定的范围. 【详解】令，则原函数可以看作函数与的复合函数. 因为R上的增函数，要使函数在上单调递增，则函数在上单调递增. 所以，即，所以的取值范围. 故选：C 55．（25-26高一上·北京·月考）已知函数，若对，且，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题可得，令，则在上单调递减，由复合函数的单调性可得在上单调递减，结合二次函数的图象与性质分析即可求解. 【详解】因为对，且，都有， 则， 令，则在上单调递减， 令 由于在上为增函数， 由复合函数单调性可得：在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足条件， 当时，要使在上单调递减， 则，解得：， 当时，要使在上单调递减， 则，解得：， 综上的取值范围为：; 故答案为： 56．（25-26高一上·浙江·月考）已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由指数函数的单调性结合分段函数的单调性和间断点的连续性列不等式可得. 【详解】因为当时，函数单调递减，且当时，； 当时，函数单调递减，且当时，. 由题意得，，解得 即实数的取值范围是. 故答案为：. 57．（25-26高一上·甘肃张掖·月考）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数以及指数函数的单调性，利用分段函数的单调性，建立不等式组，可得答案. 【详解】由二次函数的图像开口向下，对称轴为直线， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 由指数函数易知在上单调递增. 由题意可得，即，解得. 故选：D. 58．（25-26高一上·湖北·月考）若函数，且满足对任意的实数都有 成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由条件可得在上单调递增，结合分段函数的单调性要求即可求解. 【详解】解：∵对任意的实数都有成立， ∴函数在上单调递增， ∴,解得， 故选：C 59．（25-26高一上·河南新乡·期中）已知，函数在上单调函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分段函数的单调性，分段考虑单调性，再考虑分段点的函数值大小即得. 【详解】对于，，若，由幂函数性质易得函数在上单调递增， 当时，因函数在上单调递减，故在上单调递增， 时，总有在上单调递增. 对于，因函数在上单调递减， 由题意需使在上单调递减，即． 依题意，需使，解得， 故实数a的取值范围是． 故选：C． 【题型13 比较指数幂的大小】 高妙技法 60．【多选】（25-26高二上·山东潍坊·月考）若，则，的大小关系不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用指数函数的图象，数形结合，可判断各项的正确性. 【详解】作函数，的草图，如下： 设，则 当时，，故C可能成立； 当时，； 当时，，故A可能成立. 综上，BD不可能成立. 故选：BD 61．【多选】（25-26高一上·江苏淮安·月考）已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据已知条件以及指数函数的单调性判断选项A即可；选项B利用幂函数的性质判断即可；利用对数函数的单调性判断C、D选项即可. 【详解】因为，所以函数在上单调递减， 又，所以，故A选项不正确， 因为幂函数在上单调递增， 且，所以，故B选项正确； 因为，所以函数在上单调递减， 且，所以，故C选项正确； 因为，所以函数在上单调递减， 且，所以，即，故D选项正确； 故选：BCD. 62．（2025高三上·江苏·学业考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】根据指数函数的单调性得，，， 所以. 故选：D. 63．（25-26高一上·江苏无锡·月考）三个数，， 之间的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由中间值结合指数函数、对数函数单调性进行判断. 【详解】因为函数在单调递增，所以， 而由指数函数性质可知：，，所以， 因为函数在上单调递减，所以， 函数在上单调递增，所以，所以， 综上，. 故选：A. 64．（25-26高三上·天津滨海新·月考）已知，，，那么的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数与指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为函数在上单调递减，所以，故； 因为函数在上单调递增，所以，故； 因为函数在上单调递减，所以，故； 综上，. 故选：D. 【题型14 解指数型不等式】 高妙技法 指数（型）不等式的三种常见类型及解法如下表所示：（，且） 类型 解法 借助的单调性求解：当时，转化为；当时，转化为． 将化为以为底数的指数幂的形式，转化为上一个类型求解． 借助两函数的图象求解：转化为求的图象在的图象上方的部分对应的的取值范围． 65．（25-26高一上·江苏南通·月考）已知条件，条件，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合一元二次不等式及指数函数性质求解，进行充分、必要条件的判断. 【详解】由得，解得. 由，因为指数函数在上单调递增， 所以，解得或. 此时为，为或， 当成立时，一定成立； 当成立时，不一定成立. 所以是的充分不必要条件. 故选：. 66．（25-26高一上·江苏南京·月考）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解指数、对数不等式得到集合的范围，再计算即可. 【详解】因为，所以 ，又因为，所以 所以 故选：B 67．（2025高一上·江苏南通·专题练习）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，先由奇偶性求得在上的解析式，把不等式转化为等价不等式组，结合指数函数单调性，求解不等式组的解集即可. 【详解】因为函数为上的奇函数，且当时，， 当时，，可得，所以， 又因为为上的奇函数，则， 则可转化为或，解得或， 故不等式的解集为. 故选：C. 68．（25-26高三上·江苏南京·期中）定义在上的函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据求出函数的表达式，再分析函数性质，最后解不等式. 【详解】已知，解得， 则，因为，所以，进而，即是定义在上的奇函数且单调递增， 令，则， 所以是偶函数，当时，，故，且在上单调递增， 因为，所以不等式等价于， 因为是偶函数且在上单调递增，所以， 解得：或， 即或，结合，最终解集为. 故选：C. 69．（24-25高一上·广西·期末）已知函数，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】构造函数，可得是奇函数，且在上是增函数，将不等式转化为，得到，结合的单调性，即可求解. 【解答过程】设函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且，即，所以为奇函数， 因为是上的增函数，是上的减函数， 所以是上的增函数， 由等价于， 即， 又因为是奇函数，可得， 可得，即，解得或. 所以不等式的解集为. 故选：B. 70．（2025·陕西汉中·一模）已知函数，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，利用换元法将函数转化为，再利用分离参数法求出的取值范围. 【详解】因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 当时，，令，则 所以当时，可转化为， 因为在区间上恒成立，所以在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 又，当且仅当，即时，取得最小值， 所以. 故答案为： 71．（25-26高三上·江苏南京·期中）已知函数（且），若，则不等式的解集为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件判断指数函数的单调性，然后利用单调性求解不等式即可. 【详解】对于函数（且）， 因,由可知函数在上单调递减， 故不等式，解得. 故选：A 【题型15 指数型函数的奇偶性问题】 高妙技法 先判断定义域是否关于原点对称，再计算，化简后与、比较：为偶函数，为奇函数，含参时利用奇偶性列方程求参数。 72．（24-25高一上·江苏常州·月考）已知函数为上的奇函数，当时，，则的解集为 . 【答案】 【分析】利用函数奇偶性及其部分解析式，求出函数的解析式，画出其图象即可求得不等式的解集. 【详解】根据题意可知，当时，， 利用函数奇偶性可得，则， 即，函数的图象如下： 由图象可知，的解集为. 故答案为：. 73．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则 . 【答案】 【分析】利用奇函数的性质，结合对数的运算即可求解. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：. 74．（23-24高三上·四川绵阳·月考）已知是定义在上的奇函数， 且当时则 . 【答案】 【分析】根据奇函数性质得到，求出，进而由得到答案. 【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以， 解得，则， 故. 故答案为： 75．（24-25高三上·福建三明·月考）已知函数为奇函数，则实数的值为 . 【答案】/ 【分析】根据得到方程，求出答案. 【详解】由题意得，即， 故， 解得. 故答案为： 76．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数是奇函数，则 ． 【答案】/ 【分析】利用奇函数的定义及指数的运算性质即可求解. 【详解】由，得，解得， 所以的定义域为， 因为， 所以， 因为函数是奇函数， 所以，解得. 故答案为：. 77．（2023高一·全国·课后作业）设，，为奇函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】先化简已知函数，再由函数为奇函数可得，由此式可解的值． 【详解】要使为奇函数，∵ ,∴需， ∴， 由,得,． 故答案为：1. 78．（23-24高二上·云南大理·月考）已知函数是奇函数，则 . 【答案】1 【分析】利用奇函数的定义可求答案. 【详解】因为，故， 因为为奇函数，故，，整理得到，解得. 故答案为：1 79．（25-26高一上·江苏·期中）已知幂函数为偶函数，则 ，若，则的单调增区间是 【答案】 3 （或） 【分析】先由幂函数定义求出参数m，再结合奇偶性确定符合的m值；再由函数和函数的单调性结合复合函数同增异减原则即可得解. 【详解】由题可得或， 当时，函数为奇函数，不符合； 当时，函数为偶函数，符合. 所以； 所以，定义域为R， 因为为减函数，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调增区间是. 故答案为：3； 80．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先可得的单调性，再由，即可得到对任意的，恒成立，从而得到对任意的，恒成立，再分、、三种情况讨论，分别解出，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围. 【详解】因为当时，，所以在上单调递增且， 又函数是定义域为的偶函数， 则当时，，所以在上单调递减且， 所以，， 因为对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 显然，即； 所以对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 当时，不等式，解得，显然不成立； 当时，不等式，解得，则，解得； 当时，不等式，解得，则，解得； 综上可得：实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据函数的单调性与奇偶性将函数不等式转化为对任意的，恒成立. 81．（21-22高一上·江苏南通·期中）若函数是定义在上的偶函数，且当时，，则不等式的解集是 【答案】 【分析】根据的奇偶性、单调性以及特殊点的函数值来求得不等式的解集. 【详解】因为当时，， 则此时递增，且， 又函数是定义在上的偶函数， 则时，递减，且， 由，得或， 解得. 故答案为： 【题型16 指数型函数的最值问题】 高妙技法 复合函数型利用“同增异减”找单调区间，利用单调性取最值；含参型需分情况讨论底数范围和参数对单调性的影响；可结合换元法转化为二次函数求最值。 82．（23-24高一上·江苏宿迁·期末）若命题“，”是假命题，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】由题意可知此命题的否定为真命题，从而可求出的取值范围. 【详解】因为“，”是假命题， 所以“，”是真命题，即在上恒成立， 因为在上单调递增，所以， 则. 故答案为：. 83．【多选】（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数，则（    ） A．的递增区间为 B．的递增区间为 C．有最大值4 D．有最小值4 【答案】AC 【分析】对于A、B选项，利用指数型复合函数的单调性判断即得；对于C、D选项，利用二次函数的值域和指数函数的单调性即可求得最值判断. 【详解】设，则在上单调递减，在上单调递增． 因为是上的减函数，由同增异减原则，可知的递增区间为，则A正确，B错误． 因为，所以，则C正确，D错误． 故选：AC 84．（24-25高一下·贵州六盘水·期末）若函数在上的最大值是最小值的2倍，则 . 【答案】5 【分析】根据对数函数的单调性，可求得，再结合对数运算即可求解. 【详解】因为，所以函数在单调递增， 所以其最小值为，最大值为， 因为最大值是最小值的2倍，所以，解得或（舍）， 因此， 则. 故答案为：5. 85．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知函数（，且）． (1)若的图象过点和，求在上的值域； (2)若在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将点和分别代入解析式，即可求得和的值，再根据指数函数的性质，即可求解； （2）分和讨论，结合指数型函数的单调性即可求解. 【详解】（1） 由题可知，， 解得，，所以． 因为，所以，所以在上的值域为． （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 当时，在区间上单调递增， 所以，， 因此，解得或（舍去）． 所以或． 86．（2025·广东广州·三模）若函数有最大值，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考虑，函数的值域，结合时，若，不合要求，若，在上单调递减，进而得到不等式，及时代入判断即可. 【详解】当时， ， 当时，， 若，在上单调递增，此时没有最大值， 若，在上单调递减， 要想函数有最大值，则，解得； 若，，函数有最大值1，符合题意； 故实数的取值范围为. 故选：A. 87．（25-26高一上·广东·期中）已知．若存在最小值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性，结合指数函数和一次函数的性质、最小值定义分类讨论进行求解即可. 【详解】当时，函数在上单调递增， 所以当时，，即， 显然不存在最小值，不符合题意， 当时，当时，， 当时，函数单调递增，则有， 因为，所以此时函数存在最小值，最小值为，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递增，则有， 要想存在最小值，只需，而，所以； 当时，函数在上单调递减， 所以当时，，即， 当时，函数单调递减，则有， 因此函数存在最小值，最小值为， 综上所述：， 故选：A 【题型17 指数函数的恒成立和存在问题】 高妙技法 恒成立问题：转化为函数最值（如恒成立⇔）；存在性问题：转化为函数值域（如存在使⇔），结合单调性求最值。 88．（23-24高二上·上海·期末）若不等式对任意都成立，则实数的最大值为 . 【答案】 【分析】由参变量分离法可知，对任意的恒成立，求出函数在上的最小值，即可得出实数的最大值. 【详解】因为不等式对任意都成立，则， 因为函数、在上均为增函数，则函数在上为增函数， 所以，当时，，所以，， 因此，实数的最大值为. 故答案为：. 89．（25-26高一上·湖南张家界·期中）已知函数，，若对任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据存在性和任意性的定义，结合二次函数和指数函数的最值性质进行求解即可. 【详解】当时，，则， 因为对任意的，存在，使得成立， 因此函数在上的最大值大于函数在上的最大值， 又， 所以在上的最大值为， 于是，即，所以实数的取值范围是. 故答案为： 90．（22-23高一上·四川眉山·期末）已知为偶函数，为奇函数，且满足：．若对任意的都有不等式成立，则实数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】由为偶函数，为奇函数，构造方程组，分别解出和的解析式，代入不等式中，利用换元法求出函数的最值，可得实数的范围． 【详解】为偶函数，为奇函数，，即 又，解得， 时，等价于， 化简得，， 令，则，在上单调递增， 当时， 则实数的最大值为 故答案为： 91．（25-26高一上·山西晋中·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)若，求在区间上的最大值； (3)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)20 (3) 【分析】（1）由代入可得； （2）设，换元后利用二次函数的性质可得； （3）先将条件转化为，因，故对任意的恒成立，即在上恒成立，进而可得. 【详解】（1）由，得，解得. （2）当时，， 令，因为，所以， 所以， 当时，取最大值，所以在区间上的最大值为. （3）若对任意的，总存在，使得， 可得：. 又， 所以， 所以对任意的，， 则对任意的恒成立， 即，. 令，即，令，. 因为在区间上为增函数，所以 所以实数的取值范围是. 【题型18 指数函数的实际应用】 高妙技法 1.指数型函数模型 形如y＝kax(k∈R，且k≠0，a>0且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是一种非常有用的函数模型． 设原有量为N，每次的增长率为p，经过x次增长，该量增长到y，则y＝N(1＋p)x(x∈N)． 2.指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题，求解时应准确读懂题意，从实际问题中提取出模型转化为数学问题. (2)在实际问题中，经常会遇到指数增长模型：设基数为N，平均增长率为p，则对于经过时间x后的总量y可以用y＝N(1＋p)x来表示，这是非常有用的函数模型. 92．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，） 【答案】 【分析】设至少需要经过天，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】设至少需要经过天，木棒第一天剩余的长度为米， 木棒第二天剩余的长度为米，木棒第三天剩余的长度为米，， 以此类推可知，木棒第天剩余的长度为米， 由题意可得，可得， 所以，， 所以，，则， 故至少需要天. 故答案为：. 93．（23-24高一上·湖北·期末）酒驾新规来了，2024年3月1日起实施，新国标将酒驾的上限从降低到了，也就是说，只要驾驶员血液中酒精含量超过了，就属于违法行为.某人饮酒后，体内血液酒精含量迅速上升到，然后血液酒精含量会以每小时的速度减少，则按照新规他至少经过 小时后才能开车.（参考数据：） 【答案】7 【分析】设他至少经过x小时后才能开车，由题意列出不等式，结合对数运算，即可求得答案. 【详解】设他至少经过x小时后才能开车， 则，即， 故（小时）， 即他至少经过7小时后才能开车， 故答案为：7 94．（23-24高三上·河南三门峡·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式，求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.若现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度是，则 （参考值，） 【答案】0.24/ 【分析】根据题意中的函数模型代入已知量，化简得，再化成对数式即得. 【详解】依题意，，把数据代入公式中，整理得：， 两边取自然对数，可得：，即得：. 故答案为：0.24. 95．（23-24高一上·河南开封·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为：，其中，k是正的常数.如果在前5h消除了的污染物，则10h后剩余 %的污染物含量. 【答案】 【分析】根据所给函数模型，代入后整体计算即可得解. 【详解】因为前5h消除了的污染物， 所以，解得， 当经过10h后，， 所以10h后剩余的污染物含量. 故答案为： 96．（23-24高一上·云南昆明·月考）如图，将石片扔向水面，假设石片第一次接触水面的速率为，这是第一次“打水漂”，然后石片在水面上多次“打水漂”，每次“打水漂”的速率为上一次的，若要使石片的速率低于，则至少需要“打水漂” 次．（参考数据：取） 【答案】6 【分析】根据题意求出第次“打水漂”的速率，建立不等式，解出即可. 【详解】根据题意可知， 设石片第n次“打水漂”时的速率为，则， 由， 得，则， 即，则， 故至少需要“打水漂”的次数为6． 故答案为：6. 【题型19 指数型函数性质的综合应用】 高妙技法 解决指数函数性质的综合问题的注意点 (1)注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧. (2)解答函数问题注意应在函数定义域内进行. (3)由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论. 97．【多选】（25-26高一上·江苏·期末）已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图像过定点 B．若，则的最小值为 C．若，则 D．若， 【答案】ACD 【分析】对于选项A，令，可得，故A正确； 对于选项B，因为，所以，结合基本不等式可得，故B错误； 对于选项C，因为，则在上单调递增，又，根据函数单调性，故C正确； 对于选项D，因为，则在上单调递减，又，函数单调递增，根据函数单调性，故D正确. 【详解】对于A选项，令，解得，则，所以的图像过定点，故A正确； 对于B选项，因为，所以， 则， 当且仅当，即时取等号，故B错误； 对于C选项，因为，则在上单调递增， 又，即，所以，故C正确； 对于D选项，因为，则在上单调递减， 又，函数单调递增， 则，故D正确. 故选：ACD 98．【多选】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数，则（    ） A．不等式解集为 B．的图图像关于轴对称 C．是上的递增函数 D．的值域为 【答案】ACD 【分析】化去绝对值再利用指数函数的单调性解不等式可判断A；判断函数的奇偶性可判断B；根据复合函数单调性判断C；通过求含指数函数的复合函数的值域判断D. 【详解】 对于A，由得，即，解得.故A正确； 对于B，因为，所以函数是奇函数，其图像关于原点对称，不关于y轴对称，故B不正确； 对于C，因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数， 因此函数是增函数，故C正确； 对于D，由，所以函数的值域为，故D正确. 故选：ACD. 99．【多选】（25-26高一上·陕西西安·期中）已知是奇函数，则（    ） A． B．在上单调递增 C．的值域为 D．的解集为 【答案】AC 【分析】由恒成立即可求得；化简，由复合函数的单调性可判断出在上单调递减；利用指数函数的值域结合不等式性质可得的值域；利用函数在上单调递减可解不等式. 【详解】因为是奇函数，定义域， 所以当时，恒成立， 即，A正确； 所以， 记， 当时，单调递增，在上单调递减， 由复合函数的单调性可知在上单调递减，B错误； 因为且， 所以且， 所以或 所以或 所以的值域为，C正确； 因为，且在上单调递减 所以等价于 又因为单调递减， 所以 所以的解集为.D错误. 故选：AC 一、单选题 1．（25-26高一上·陕西汉中·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数幂的性质判断ABC，根据计算判断D. 【详解】对于A：，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D错误； 故选：C 2．（25-26高一上·上海·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】C 【分析】利用指数运算化简判断AC；利用根式运算化简判断BD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由可知，则， 因为，所以，C正确； 对于D，，D错误. 故选：C 3．（24-25高一上·江苏常州·期末）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，所以，结合指数函数的单调性即可求出答案. 【详解】令，所以， 因为在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故选：D. 4．（24-25高三上·江苏·期末）若为偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据偶函数的定义即可求得. 【详解】因为为偶函数，所以， 则， 即，即，解得. 故选：D 5．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 6．（24-25高一上·江西吉安·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解析式，可得函数奇偶性，根据特殊值及函数图象的变换，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由题意可知：函数的定义域为，关于原点对称， 且，则函数为奇函数，图象关于原点对称，故C错误； 又因为，故D错误； 当时，，故B错误，A正确. 故选：A. 7．（25-26高一上·山西·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数的概念及指数幂的运算求解判断即可. 【详解】因为，所以． 故选：A． 8．（24-25高一上·江苏南通·期末）若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数，与函数，即为“同族函数”.以下函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用“同族函数”的定义，结合各选项函数的性质判断即可. 【详解】对于A，函数是定义域为R上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，A不是； 对于B，函数是定义域为上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，B不是； 对于C，函数是定义域为上的增函数，对于定义域的不同子集对应的值域不同，C不是； 对于D，函数与函数的解析式相同，值域都为， 因此函数能被用来构造“同族函数”，D是. 故选：D 9．（24-25高一上·北京房山·期末）已知函数且，给出下列四个结论: ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④函数的图象过定点. 其中正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】举反例判断①，②，利用函数的奇偶性判断③，利用指数函数的性质判断④即可. 【详解】令，此时，而， ，故函数在其定义域内不单调递减， 函数的值域不可能为；即①，②错误， 因为，的定义域关于原点对称， 故，即， 得到是奇函数，则函数的图象是中心对称图形，故③正确， 当时，，故函数的图象过定点，即④正确. 综上，其中正确结论的个数是，故B正确. 故选：B 二、多选题 10．（24-25高一上·江苏徐州·期末）下列命题正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】AD 【分析】AB由指数运算性质可判断选项正误； CD由对数运算性质可判断选项正误. 【详解】对于A，由指数运算性质可得：，故A正确； 对于B，由指数运算性质可得：，故B错误； 对于C，由题，故C错误； 对于D，，则.故D正确. 故选：AD 11．（24-25高一上·江苏徐州·期末）已知函数（且，），则下列说法正确的是（   ） A．若，则的图象过定点 B．若，则的最小值为4 C．若，则 D．若， 【答案】ABD 【分析】A由可得的图象所过定点；B由题可得，然后由基本不等式可得答案；CD由指数函数单调性，结合作差法，正切函数单调性可判断选项正误； 【详解】对于A，令，，则的图象过定点，故A正确； 对于B，，， 当且仅当，即时取等号，故B正确； 对于C，因，则在R上单调递增，又， 则，故C错误； 对于D，因，则在R上单调递减， 又注意到时，函数单调递增， 则，故D正确. 故选：ABD 12．（23-24高一上·江苏连云港·期末）下列说法正确的是（   ） A．的最小值为 B．的递减区间是 C．的图象关于成中心对称 D．函数在上单调递增，则a的取值范围是 【答案】AC 【分析】由指数函数的单调性可判断A正确；由复合函数的单调性和对数函数的性质可判断B错误；对函数变形后，利用反比例函数的对称性和函数图像的变换规律可得C正确；由复合函数的单调性可判断D错误. 【详解】A：因为，所以，故A正确； B：设，因为在定义域上为增函数，则由复合函数的单调性和对数函数有意义可知，减区间为，故B错误； C：，对称中心为，故C正确； D：函数的对称轴为，因为函数在上单调递增，所以，即，故D错误； 故选：AC. 13．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知符号函数，则（    ） A．是周期函数 B．对任意的， C．函数的值域为 D．函数的值域为或 【答案】BD 【分析】对A：利用周期函数性质举出反例即可得；对B：将与都写成分段形式即可得；对C、D：利用符号函数，将所给函数化为分段函数形式后结合指数与对数函数的性质分段计算其值域即可得. 【详解】对A：由，当时，，故不是周期函数，故A错误； 对B：，由，则， 故对任意的，，故B正确； 对C：，当时，， 当时，，当时，， 综上所述，函数的值域为，故C错误； 对D：，则时，， 当时，，当时，， 故函数的值域为或，故D正确. 故选：BD. 14．（24-25高一上·江苏镇江·期末）若函数是上的奇函数，且，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．函数的最大值为1 D．若实数，且满足，则的最小值为6 【答案】ACD 【分析】根据奇函数的性质可求得A，根据函数的单调性可判断B，根据基本不等式可求得最值，即可判断C，根据奇函数的性质以及基本不等式可求得D. 【详解】对于A，因为函数是奇函数，所以， 即，所以， 当时，满足是奇函数，所以选项A正确； 对于B，根据A可知，因为，所以，即， 设，则 ， 因为，所以，， ，那么，即， 所以在上单调递增， 由于且，所以，选项B错误； 对于C，当时，，根据基本不等式， 当且仅当，即时，等号成立，所以， 当时，，，根据， 当且仅当即时，等号成立，所以， 综上函数的最大值为1，选项C正确； 对于D，因为是奇函数，， 则， 又，在上单调递增，所以，即， 则， 当且仅当即时，等号成立，选项D正确. 故选：ACD. 【点睛】关键点点睛： （1）对于奇函数，如果在处有意义，则； （2）定义法判断函数的单调性，根据单调性判断函数值的大小； （3）运用基本不等式时一定要注意“一正二定三相等”. 三、填空题 15．（23-24高一上·江苏南京·期末） . 【答案】 【分析】利用对数和指数运算求解. 【详解】解：， 故答案为： 16．（20-21高一上·广东佛山·期中）计算 . 【答案】/ 【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果. 【详解】 . 故答案为： 17．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数在上单调递增，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 易知函数在上单调递增， 函数在上单调递增，则，且有，解得， 所以，，即实数的取值范围是. 故答案为：. 18．（24-25高一上·广东深圳·期末）函数的单调递增区间为 ． 【答案】（说明写成也给分） 【分析】应用复合函数单调性结合指数函数单调性求解. 【详解】因为单调递减，单调递减，单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为：. 19．（24-25高一上·江苏苏州·期末）已知集合，集合，则的子集个数是 . 【答案】 【分析】化简集合，，根据交集定义求，再求其子集个数. 【详解】集合为由所有正奇数组成的集合，即， 集合， 所以， 所以集合的子集有，，，， 故的子集共有4个． 故答案为：. 20．（24-25高二下·江苏·期末）已知函数，则的解集为 ． 【答案】 【分析】根据函数解析式，结合指对数函数的单调性解不等式求解集. 【详解】由题设，若，可得，即； 若，可得； 综上，不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 21．（24-25高一上·河南漯河·期末）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据奇函数定义计算可得； （2）利用换元法以及二次函数单调性将问题转化成值域的包含关系，解不等式可得结果. 【详解】（1）函数中，， 由是奇函数，得，即， 整理得， 解得.此时， 所以满足，即函数为奇函数，符合题意； 所以. （2）由（1），显然在上单调递减. 可得在的值域， 又 设，则， 当时，有，当时，有， 因此函数在上的值域， 由对任意的，总存在，使得成立，可知， 于是.解得. 所以实数的取值范围是. 22．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知定义域为的函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并证明； (3)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)在上是递减函数，证明见解析 (3). 【分析】（1）利用奇函数的定义列式求出值. （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性推理得证. （3）利用奇函数及单调性脱去法则“f”，再分离参数并利用基本不等式求出最小值. 【详解】（1）由是定义在上的奇函数，得， 则， 所以. （2）由（1）知，函数在上是递减函数， 任取，且，， 由，得，则，，即， 所以是定义在上的递减函数. （3）由，得， 由（2）知，是上的递减函数，则，即， 依题意，对任意的恒成立， 而，则，当且仅当，即时取等号， 因此，所以实数的取值范围是. 23．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知函数（为常数，），且为偶函数， (1)求a的值； (2)若方程在上有解，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程即可求实数a的值； （2）求出的表达式，结合单调性得出，则的二次函数值域即可求解. 【详解】（1）∵是偶函数， ∴， 即， 即恒成立， 则，得； （2）因为，且，， 因为单调递增， 所以，， 即 ， 设， 因为在上单调递增，所以， 故实数k的取值范围是． 24．（24-25高二下·江苏淮安·期末）已知为奇函数，． (1)求实数的值； (2)求函数的值域； (3)若函数有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据奇函数的性质求得，然后检验满足即可得解； （2）根据，结合不等式性质求解函数的值域； （3）先判断为增函数，令，然后将函数有两个零点转化为在上有两不等根，最后利用二次函数根的分布列不等式组求解即可. 【详解】（1）函数定义域为， 因为为奇函数，所以 当时，，所以，故， 则，经检验，满足条件，故． （2）因为，所以， 所以，即，所以， 所以函数的值域． （3）因为为增函数，所以为增函数，为减函数， 所以为增函数．令，则． 由（2）可知，当时，仅一根， 所以在上有两不等根， 所以，解得，所以． 25．（22-23高一上·江苏常州·期末）若，已知函数为奇函数． (1)求实数的值． (2)用定义证明的单调性． (3)若函数在区间上的值域是，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）先判定函数定义域，借助求参数，再验证即可； （2）利用单调性的定义，作差证明即可； （3）根据（2）的结论，将问题转化为二次方程的根的个数问题，利用韦达定理计算即可. 【详解】（1），则恒成立，所以定义域为R， 则，所以， 此时，符合题意， 故 （2）由上知， 不妨设，所以， 因为，且在R上单调递增，所以， 即，即在R上单调递增； （3）由上知在R上单调递增，所以， 整理得， 则是关于的方程的两个不等正根， 所以，解不等式组得. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $